_ i=1 ^ n _ j=1 ^ i _ k=1 ^ j , ,1=.......... - Vidyadip

MCQ

$\sum\limits_{i=1}^{n}{{}}\sum\limits_{j=1}^{i}{{}}\sum\limits_{k=1}^{j}{\,\,1=..........}$

A
$\frac{n\left( n+1 \right)\left( 2n+1 \right)}{6}$
B
$\frac{n\left( n+1 \right)}{2}$
✓
$\frac{n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}{6}$
D
$\frac{{{n}^{2}}{{\left( n+1 \right)}^{2}}}{4}$

✓

Answer

Correct option: C.

$\frac{n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}{6}$

C

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i\sum_{k=1}^j1$
$=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ij$
$=\sum_{i=1}^n\frac{i(i+1)}{2}\Rightarrow\frac{1}{2}\sum_{i=1}^ni^2+i \Rightarrow \frac{1}{2}\left[\sum n^2+\sum n\right]$
$=\frac{1}{2}\left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}\right]$
$=\frac{n(n+1)}{4}\left[\frac{2n+1}{3}+1\right]$
$=\frac{n(n+1)}{4}\left(\frac{2n+4}{3}\right)$
$=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

Need a full question paper?

Generate a complete, print-ready paper with questions like this in minutes — across 16+ boards, with answer keys.

Start Generating Free

Explore more

More "MCQ" from શ્રેણી અને શ્રેઢી→શ્રેણી અને શ્રેઢી — all question types→ગણિત ધોરણ 11 સાયન્સ question papers→Gujarat Board ધોરણ 11 સાયન્સ question papers→Gujarat Board question paper generator→

Similar questions

ધારો કે $\alpha=1^2+4^2+8^2+13^2+19^2+26^2+\ldots 10$ પદો સુધી અને $\beta=\sum_{n=1}^{10} n^4$. ને $4 \alpha-\beta=55 \mathrm{k}+40$ હોય,તો $\mathrm{k}=$_________.

ધારો કે $5$ અવલોકનો $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ નાં મધ્યક અને વિચરણ અનુક્રમે $\frac{24}{5}$ અને $\frac{194}{25}$ છે.જો પ્રથમ $4$ અવલોકનોમાં મધ્યક અને વિચરણ અનુક્રમે $\frac{7}{2}$ અને $a$ હોય,તો $\left(4 a+x_{5}\right)=\dots\dots$

જો $(1 + x)^n$ ના વિસ્તરણમાં કોઈ ત્રણ ક્રમિક પદોના સહગુણકનો ગુણોત્તર $1 : 7 : 42,$ હોય તો વિસ્તરણમાં આવેલા આ ત્રણ ક્રમિક પદોમાં પહેલું પદ કેટલામું હશે ?

જો A $(a, b), B(3,4)$ અને $C(-6, -8)$ એ ત્રિકોણના અનુક્કમે કેન્દ્ર પરિકેન્દ્ર અને લંબકેન્દ્ર છે. તો રેખા $2 x+$ $3 y-4=0$ ને સમાંતર રેખા $x-2 y-1=0$ થી બિંદુ $\mathrm{P}(2 \mathrm{a}+3,7 \mathrm{~b}+5)$ નું અંતર મેળવો.

જો $A, B, C, D$ એ ચક્રીય ચતુષ્કોણના ખૂણા હોય તો $\cos \,A + \cos B + \cos \,\,C + \cos D = $

$\left(x^4-\frac{1}{x^3}\right)^{15}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{18}$ નો સહગુણક $........$ છે.

$\frac{3}{{{1}^{2}}}+\frac{5}{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}+\frac{7}{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}}+....n$ પદ સુધીનો સરવાળો ......... મળે.

જો $\theta $ અને $\phi $ એ લઘુકોણ છે કે જે સમીકરણ $\sin \theta = \frac{1}{2},$ $\cos \phi = \frac{1}{3}$ નું સમાધાન કરે છે તો $\theta + \phi \in $ . . .

જો $z = x + iy$ એ $|z|-2=0$ અને $|z-i|-|z+5 i|=0$ નું સમાધાન કરે છે તો . . . .

સમીક૨ણ $7 \cos x+5\sin x=2k+1$ નો શક્ય ઉકેલ ,પૂર્ણાંક હોય , તેવા પૂર્ણાંક $k$ ની સંખ્યા .......... છે.