Question
(tan 1° tan 2° tan 3° ... tan 89°) का मान है
✓
Answer
हमारे पास tan 1°$\cdot$ tan 2$\cdot$ tan 3° …… tan 89°
= tan 1$\cdot$ tan 2$\cdot$ tan 3°… tan 43$\cdot$ tan 44$\cdot$ tan 45$\cdot$ tan 46$\cdot$ tan 47°…tan 87$\cdot$ tan 88$\cdot$ tan 89°
= tan 1$\cdot$ tan 2$\cdot$ tan 3°… tan 43$\cdot$ tan 44$\cdot$tan 46$\cdot$ tan 47°… tan 87$\cdot$ tan 88$\cdot$ tan 89° ...($\because$ tan 45° = 1)
= tan1$\cdot$tan 2$\cdot$tan 3°…tan 43$\cdot$tan 44$\cdot$1$\cdot$tan(90° - 44°)$\cdot$tan(90° - 43°)…tan(90° - 3°). tan(90° - 2°) $\cdot$ tan(90° - 1°)
= tan 1$\cdot$ tan 2$\cdot$ tan 3°…tan 43$\cdot$ tan 44$\cdot$ 1 $\cdot$ cot 44$\cdot$ cot 43°…cot 3$\cdot$ cot 2$\cdot$ cot 1° ...($\because$ tan(90° - $\theta$) = cot $\theta$)
= tan 1$\cdot$ tan 2$\cdot$ tan 3°… tan 43$\cdot$ tan 44$\cdot$1$\cdot$ $\frac{1}{\tan 44^{\circ}} \cdot \frac{1}{\tan 43^{\circ}} \cdots \frac{1}{\tan 3^{\circ}} \cdot \frac{1}{\tan 2^{\circ}} \cdot \frac{1}{\tan 1^{\circ}}$ ...($\because$ tan $\theta$ = $\frac{1}{\cot \theta}$)
= $\left(\tan 1^{\circ} \times \frac{1}{\tan 1^{\circ}}\right) \cdot\left(\tan 2^{\circ} \times \frac{1}{\tan 2^{\circ}}\right)$ .... $\left(\tan 44^{\circ} \times \frac{1}{\tan 44^{\circ}}\right)$ = 1
अत: tan 1$\cdot$ tan 2$\cdot$ tan 3° …… tan 89° = 1
= tan 1$\cdot$ tan 2$\cdot$ tan 3°… tan 43$\cdot$ tan 44$\cdot$ tan 45$\cdot$ tan 46$\cdot$ tan 47°…tan 87$\cdot$ tan 88$\cdot$ tan 89°
= tan 1$\cdot$ tan 2$\cdot$ tan 3°… tan 43$\cdot$ tan 44$\cdot$tan 46$\cdot$ tan 47°… tan 87$\cdot$ tan 88$\cdot$ tan 89° ...($\because$ tan 45° = 1)
= tan1$\cdot$tan 2$\cdot$tan 3°…tan 43$\cdot$tan 44$\cdot$1$\cdot$tan(90° - 44°)$\cdot$tan(90° - 43°)…tan(90° - 3°). tan(90° - 2°) $\cdot$ tan(90° - 1°)
= tan 1$\cdot$ tan 2$\cdot$ tan 3°…tan 43$\cdot$ tan 44$\cdot$ 1 $\cdot$ cot 44$\cdot$ cot 43°…cot 3$\cdot$ cot 2$\cdot$ cot 1° ...($\because$ tan(90° - $\theta$) = cot $\theta$)
= tan 1$\cdot$ tan 2$\cdot$ tan 3°… tan 43$\cdot$ tan 44$\cdot$1$\cdot$ $\frac{1}{\tan 44^{\circ}} \cdot \frac{1}{\tan 43^{\circ}} \cdots \frac{1}{\tan 3^{\circ}} \cdot \frac{1}{\tan 2^{\circ}} \cdot \frac{1}{\tan 1^{\circ}}$ ...($\because$ tan $\theta$ = $\frac{1}{\cot \theta}$)
= $\left(\tan 1^{\circ} \times \frac{1}{\tan 1^{\circ}}\right) \cdot\left(\tan 2^{\circ} \times \frac{1}{\tan 2^{\circ}}\right)$ .... $\left(\tan 44^{\circ} \times \frac{1}{\tan 44^{\circ}}\right)$ = 1
अत: tan 1$\cdot$ tan 2$\cdot$ tan 3° …… tan 89° = 1
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