The determinant b^2-ab&b-c&bc-ac -a^2&a-b&b^2-ab -ac&c-a&ab-a^2 equals:

The determinant b^2-ab&b-c&bc-ac -a^2&a-b&b^2-ab -ac&c-a&ab-a^2 e…

MCQ

The determinant $\begin{vmatrix}\text{b}^2-\text{ab}&\text{b}-\text{c}&\text{bc}-\text{ac}\\\text{ab}-\text{a}^2&\text{a}-\text{b}&\text{b}^2-\text{ab}\\\text{bc}-\text{ac}&\text{c}-\text{a}&\text{ab}-\text{a}^2\end{vmatrix}$ equals:

A
$abc(b - c)(c - a)(a - b)$
B
$(b - c)(c - a)(a - b)$
C
$(a + b + c)(b - c)(c - a)(a - b)$
✓
None of these

✓

Answer

Correct option: D.

None of these

$\begin{vmatrix}\text{b}^2-\text{ab}&\text{b}-\text{c}&\text{bc}-\text{ac}\\\text{ab}-\text{a}^2&\text{a}-\text{b}&\text{b}^2-\text{ab}\\\text{bc}-\text{ac}&\text{c}-\text{a}&\text{ab}-\text{a}^2\end{vmatrix}$
$=\begin{vmatrix}\text{b}(\text{b}-\text{a})&\text{b}-\text{c}&\text{c}(\text{b}-\text{a})\\\text{a}(\text{b}-\text{a})&\text{a}-\text{b}&\text{b}(\text{b}-\text{a})\\\text{c}(\text{b}-\text{a})&\text{c}-\text{a}&\text{a}(\text{b}-\text{a})\end{vmatrix}$
$=(\text{b}-\text{a})^2\begin{vmatrix}\text{b}&\text{b}-\text{c}&\text{c}\\\text{a}&\text{a}-\text{b}&\text{b}\\\text{c}&\text{c}-\text{a}&\text{a}\end{vmatrix} [$Taking $(b - a)$ common from $C_1$ and $C_3]$
$=(\text{b}-\text{a})^2\begin{vmatrix}0&\text{b}-\text{c}&\text{c}\\0&\text{a}-\text{b}&\text{b}\\0&\text{c}-\text{a}&\text{a}\end{vmatrix} [$Applying $C_1\rightarrow C_1 - C_2 - C_3]$
$=0$
Hence, the correct option is $(d)$