STD 12 - 7.2 definite integral — Mathematics STD 12 Science — Question

We have,

$\lim _{x \rightarrow \infty} x^2 \int \limits_0^x e^{t^3-x^3} d t =\lim _{x \rightarrow \infty} x^2 e^{-x^3} \int \limits_0^x e^{e^3} d t$

$=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^2 \int \limits_0^x e^{t^3} d t}{e^{x^3}}$

Apply $L$ Hospital's rule

$=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x \int \limits_0^x e^{t^3} d t+x^2 e^{x^3}}{3 x^2 e^{x^3}}$ $=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 \int \limits_0^x e^{t^3} d t+x^2 e^{x^3}}{3 x^2 e^{x^3}}$

Again Apply $L$ Hospital's rule, we get

$=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 e^{x^3}+e^{x^3}+3 x^3 e^{x^3}}{3 e^{x^3}+9 x^3 e^{x^3}}$

$=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{e^{x^3}\left(3+3 x^3\right)}{e^{x^3}\left(3+9 x^3\right)}=\frac{1}{3}$