MCQ
વિધાન $1$: $\mathop \sum \limits_{r = 0}^n \left( {r + 1} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}n\\r\end{array}} \right) = \left( {n + 2} \right){2^{n - 1}}$

વિધાન $2$:$\;\mathop \sum \limits_{r = 0}^n \left( {r + 1} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}n\\r\end{array}} \right){x^r}\; = {\left( {1 + x} \right)^n} + nx{\left( {1 + x} \right)^{n - 1}}$

  • A
    વિધાન $- 1$ ખોટું છે. વિધાન$- 2$ સાચું છે.
  • B
    વિધાન $- 1$ સાચું છે. વિધાન $- 2$ ખોટું છે.
  • C
    વિધાન $- 1$ સાચું છે, વિધાન $- 2$ સાચું છે. વિધાન $- 2$ એ વિધાન$- 1$ ની સાચી સમજૂતી નથી
  • વિધાન $- 1$ સાચું છે, વિધાન $- 2$ સાચું છે. વિધાન $- 2$ એ વિધાન$- 1$ ની સાચી સમજૂતી છે.

Answer

Correct option: D.
વિધાન $- 1$ સાચું છે, વિધાન $- 2$ સાચું છે. વિધાન $- 2$ એ વિધાન$- 1$ ની સાચી સમજૂતી છે.
d
We have

$\sum_{r=0}^{n}(r+1)^{n} C_{r} x^{r}=$$\sum_{r=0}^{n} r {\cdot}^{n} C_{r} x^{r}+\sum_{r=0}^{n}{\cdot} ^{n} C_{r} x^{r}$

$=\sum_{r=1}^{n} r \cdot \frac{n}{r}^{n-1} C_{r-1} x^{r}+(1+x)^{n}$

$=n x \sum_{r=1}^{n} n-^{1} C_{r-1} x^{r-1}+(1+x)^{n}$

$=n x(1+x)^{n-1}+(1+x)^{n}=R H S$

$\therefore$ Statement $2$ is correct.

Putting $x=1,$ we get

$\sum_{r=0}^{n}(r+1)^{n} C_{r}=n .2^{n-1}+2^{n}=(n+2) \cdot 2^{n-1}$

Statement $1$ is also true and statement $2$ is a correct explanation for statement $1$

Need a full question paper?

Generate a complete, print-ready paper with questions like this in minutes — across 16+ boards, with answer keys.

Start Generating Free

Similar questions

જો સમીકરણ $x^2 + ax + 10 = 0$ અને $x^2 + bx - 10 = 0$ બંને સમાન બીજ ધરાવતા હોય તો $a^2 - b^2 = …..$
$2, 4, 6, 8, 10$ નું વિચરણ શોધો.
$\lim_{x \rightarrow 2} \frac{4-8x+5{{x}^{2}}-{{x}^{3}}}{2{{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+12x-4}=......$
$\left( {{7^{1/5}} - {3^{1/10}}} \right)^{60}$  ના વિસ્તરણમાં કુલ અસંમેય પદોની સંખ્યા મેળવો.
$A\left( -2,3 \right)$ અને $B(1,5)$ નું $A$ તરફથી $1:\lambda $ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતી રેખા $x+y=4$ હોય, તો $\lambda =............$
સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $2n + 3n^2$ છે અને નવી સમાંતર શ્રેણી બનાવમાં આવે છે કે જેમાં પ્રથમ પદ સમાન હોય  અને સામાન્ય તફાવત બમણો હોય તો નવી શ્રેણીના $n$ પદનો સરવાળો મેળવો.
ધારો કે $A =\left\{ z \in C :\left|\frac{ z +1}{ z -1}<1\right|\right\}$ અને $B =\left\{ z \in C : \arg \left(\frac{ z -1}{ z +1}\right)=\frac{2 \pi}{3}\right\}$ તો $A \cap B$ એ:
જો ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(4, 0), (-1, -1), (3, 5)$ હોય તો ત્રિકોણ .. . .  .  પ્રકારનો છે.
જો $A:\left\{ {z:{{\left( {\frac{{z - \bar z}}{{2i}}} \right)}^2} \leqslant 2\left( {z - \bar z} \right)} \right\}$ જ્યાં $i = \sqrt { - 1}$  અને $B : \{z : |z| \leqslant  \sqrt 5 \}$. $A \cap B$ માં આવેલ $z$ વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની .............. જોડો મળે 
જો $S_n$ અને  $s_n$ એ $n$ પદો ધરાવતી બે ભિન્ન સમાંતર શ્રેણી છે કે જેના માટે  $\frac{{{s_n}}}{{{S_n}}} = \frac{{3n - 13}}{{7n + 13}}$ હોય તો $\frac{{{s_n}}}{{{S_{2n}}}}$ ની કિમત મેળવો