x = 1 पर फलन f(x) = l x^3 - 1; , ,1 < x < - 1; , , - < x 1 . है - Vidyadip

Question

$x = 1$ पर फलन $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 1;\,\,1 < x < \infty \\x - 1;\,\, - \infty < x \le 1\end{array} \right.$ है

✓

Answer

$Rf\ '(1) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(1 + h) - f(1)}}{h}$
$ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\left\{ {{{(1 + h)}^3} - 1} \right\} - 0}}{h} = 3$
$Lf\ '(1) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(1 - h) - f(1)}}{{ - h}}$
$ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\left\{ {(1 - h) - 1} \right\} - 0}}{{ - h}} = 1$
$\therefore Rf\ '(1) \ne Lf\ '(1)$
$ \Rightarrow f(x)$, $x = 1$ पर अनअवकलनीय है।
अब $f(1 + 0) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} f(1 + h) = 0$
तथा $f(1 - 0) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} f(1 - h) = 0$
$\therefore f(1 + 0) = f(1 - 0) = f(0)$
$ \Rightarrow f(x)$, $x = 1$ पर सतत् है।
अत: $x = 1$ पर, $f(x)$ सतत् व अनअवकलनीय है।

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