Question
$x^3-23 x^2+142 x-120$ का गुणनखंडन कीजिए।
✓
Answer
मान लीजिए $p(x)=x^3-23 x^2+142 x-120$ है।
अब हम -120 के सभी गुणनखंडों का पता लगाएँगे। इनमें कुछ गुणनखंड हैं:
$\pm$1,$\pm$2,$\pm$3,$\pm$4,$\pm$5,$\pm$6,$\pm$8,$\pm$10,$\pm$12,$\pm$15, $\pm$20,$\pm$24,$\pm$30,$\pm$60
जाँच करने पर, हम यह पाते हैं कि p(1) = 0 है। अतः (x - 1), p(x) का एक गुणनखंड है।
अब हम देखते हैं कि $x^3-23 x^2+142 x-120=x^3-x^2-22 x^2+22 x+120 x-120$
$=x^2(x-1)-22 x(x-1)+120(x-1) $
$ =(x-1)\left(x^2-22 x+120\right)[(x-1)$ को सर्वनिष्ठ लेकर$]$
इसे p(x) को (x - 1) से भाग देकर भी प्राप्त किया जा सकता था।
अब $x^2-22 x+120$ का गुणनखंडन या तो मध्य पद को विभक्त करके या गुणनखंड प्रमेय की सहायता से किया जा सकता है। मध्य पद को विभक्त करने पर, हमें यह प्राप्त होता है:
$ x^2-22 x+120=x^2-12 x-10 x+120 $
$ =x(x-12)-10(x-12) $
$=(x-12)(x-10)$
अतः,$x^3-23 x^2-142 x-120=(x-1)(x-10)(x-12)$
अब हम -120 के सभी गुणनखंडों का पता लगाएँगे। इनमें कुछ गुणनखंड हैं:
$\pm$1,$\pm$2,$\pm$3,$\pm$4,$\pm$5,$\pm$6,$\pm$8,$\pm$10,$\pm$12,$\pm$15, $\pm$20,$\pm$24,$\pm$30,$\pm$60
जाँच करने पर, हम यह पाते हैं कि p(1) = 0 है। अतः (x - 1), p(x) का एक गुणनखंड है।
अब हम देखते हैं कि $x^3-23 x^2+142 x-120=x^3-x^2-22 x^2+22 x+120 x-120$
$=x^2(x-1)-22 x(x-1)+120(x-1) $
$ =(x-1)\left(x^2-22 x+120\right)[(x-1)$ को सर्वनिष्ठ लेकर$]$
इसे p(x) को (x - 1) से भाग देकर भी प्राप्त किया जा सकता था।
अब $x^2-22 x+120$ का गुणनखंडन या तो मध्य पद को विभक्त करके या गुणनखंड प्रमेय की सहायता से किया जा सकता है। मध्य पद को विभक्त करने पर, हमें यह प्राप्त होता है:
$ x^2-22 x+120=x^2-12 x-10 x+120 $
$ =x(x-12)-10(x-12) $
$=(x-12)(x-10)$
अतः,$x^3-23 x^2-142 x-120=(x-1)(x-10)(x-12)$
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