Question
यदि $ - 1 + \sqrt { - 3} = r{e^{i\theta }},$तो $\theta $ बराबर है
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Answer
c
(c) यहाँ $ - 1 + \sqrt { - 3} = r{e^{i\theta }} ⇒ - 1 + i\sqrt 3 = r{e^{i\theta }}$
(c) यहाँ $ - 1 + \sqrt { - 3} = r{e^{i\theta }} ⇒ - 1 + i\sqrt 3 = r{e^{i\theta }}$
$ = r\cos \theta + ir\sin \theta $
वास्तविक एवं काल्पनिक भागों की तुलना करने पर,
$r\cos \theta = - 1$एवं $r\sin \theta = \sqrt 3 $
अत:$\tan \theta = - \sqrt 3 \,\, \Rightarrow \tan \theta = \tan \frac{{2\pi }}{3}$. अत: $\theta = \frac{{2\pi }}{3}$.
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माना एक दीर्घवृत्त, जिसका केन्द्र $(1,0)$ पर है तथा नाभिलंब जीवा की लंबाई $\frac{1}{2}$ है, का दीर्घ अक्ष, $\mathrm{x}$-अक्ष के अनुदिश है। यदि इसका लघु अक्ष इसकी नाभि पर $60^{\circ}$ का कोण बनाता हैं, तो इसके लघु तथा दीर्घ अक्षों की लंबाईयों के योग का वर्ग बराबर है :
→माना $A , B$ तथा $C$ तीन घटनाएँ हैं जिनके लिए $A$ तथा $B$ में से ठीक एक के होने की प्रायिकता $(1- k )$ है, $B$ तथा $C$ में से ठीक एक के होने की प्रायिकता $(1-2 k )$ है, $C$ तथा $A$ में से ठीक एक के होने की प्रायिकता $(1- k )$ है तथा $A , B$ और $C$ तीनों के एक साथ होने की प्रायिकता $k ^{2}$ है, जबकि $0 < k < 1$ है। तो $A , B$ तथा $C$ में से कम से कम एक के होने की प्रायिकता
→माना तीन सदिश $\vec{a}=3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}, \vec{b}=4 \hat{i}+\hat{j}+7 \hat{k}$ तथा $\vec{c}=\hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}$ है। यदि एक सदिश $\vec{p}$ के लिए $\overrightarrow{\mathrm{p}} \times \overrightarrow{\mathrm{b}}=\overrightarrow{\mathrm{c}} \times \overrightarrow{\mathrm{b}}$ तथा $\overrightarrow{\mathrm{p}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{a}}=0$ हैं, तो $\overrightarrow{\mathrm{p}} \cdot(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}})$ बराबर है।
→माना कि फलन (function) $f: R \rightarrow R$, $f(x)=\frac{\sin x}{e^{\pi x}} \frac{\left(x^{2023}+2024 x+2025\right)}{\left(x^2-x+3\right)}+\frac{2}{e^{\pi x}} \frac{\left(x^{2023}+2024 x+2025\right)}{\left(x^2-x+3\right)}$ द्वारा परिभाषित है। तब $R$ में, $f(x)=0$ के हलों (solutions) की संख्या ......... है।
→यदि दो संख्याओं $a$ तथा $b , a > b >0$ का समांतर माध्य $(A.M.)$ उनके गुणोत्तर माध्य $(G.M.)$ का $5$ गुना है, तो $\frac{a+b}{a-b}$ बराबर है
→${i^{1 + 3 + 5 + ... + (2n + 1)}}$ का मान है
→उस त्रिभुज का क्षेत्रफल जिसके शीर्ष $(a,b),\;({x_1},{y_1})$ व $({x_2},{y_2})$, जहाँ $a,\;{x_1}$ व ${x_2}$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं जिसका सार्वअनुपात $r$ एवं b, ${y_1}$ व ${y_2}$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं जिसका सार्वअनुपात $s$ है, होगा
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→यदि $a\,.\,b = b\,.\,c = c\,.\,a = 0$ तब अदिश त्रिगुणन $ [a b c] $ का मान है
→यदि $a = i + j + k,\,\,a\,.\,b = 1$ और $a \times b = j - k,$ तब $b = $
→