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STD 11 - 3. trignometrical ratios,functions and identities — JEE कक्षा 11 साइन्स — Question

Gujarat Boardहिन्दी माध्यमकक्षा 11 साइन्सJEESTD 11 - 3. trignometrical ratios,functions and identities4 Marks
Question
यदि $2\sec 2\alpha = \tan \beta + \cot \beta ,$ तब  $\alpha + \beta $ का निम्न में से एक मान होगा
✓

Answer

a
(a) दिये गये समीकरण को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है

$\frac{2}{{\cos 2\alpha }} = \frac{{\sin \beta }}{{\cos \beta }} + \frac{{\cos \beta }}{{\sin \beta }}$

$= \frac{{{{\sin }^2}\beta + {{\cos }^2}\beta }}{{\cos \beta \sin \beta }}$

$ = \frac{1}{{\cos \beta .\sin \beta }}$ 

==> $\cos 2\alpha = \sin 2\beta $ 

==> $\cos 2\alpha $= $\cos \,\left( {\frac{\pi }{2} - 2\beta } \right)$

==> $2\alpha = \frac{\pi }{2} - 2\beta $ 

==> $2\alpha + 2\beta = \frac{\pi }{2}$ 

==> $\alpha + \beta = \frac{\pi }{4}$.

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फलन $f ( x )=\left\{\begin{array}{l}\frac{\pi}{4}+\tan ^{-1} x ,| x | \leq 1 \\ \frac{1}{2}(| x |-1),| x |>1\end{array}\right.$ 
→
दो खिलाड़ी $P_1$ एवं $P_2$ एक दूसरे के विरूद्ध एक खेल खेलते हैं। इस खेल के प्रत्येक राउंड (round) में दोनो खिलाड़ी एक-एक बार एक न्याय्य पासा (fair die) उछालते हैं, जहाँ पासे के छह फलकों (six faces) पर छह भिन्न संख्यायें (six distinct numbers) है। माना कि $x$ एवं $y$ क्रमशः $P_1$ एवं $P_2$ द्वारा पासे के उछाले जाने पर प्रकट होने वाली संख्याओं को निरूपित करते हैं। यदि $x>y$ होता है, तब $P_1$ को $5$ अंक मिलता है एवं $P_2$ को $0$ अंक मिलता है। यदि $x=$ $y$ होता है, तब प्रत्येक खिलाड़ी को $2$ अंक मिलते हैं। यदि $x < y$ होता है, तब $P_1$ को $0$ अंक मिलता है एवं $P_2$ को $5$ अंक मिलता है। माना कि $i$-वाँ $\left( i ^{\text {th }}\right)$ राउंड खेलने के बाद, $X_i$ एवं $Y_i$ क्रमशः $P_1$ एवं $P_2$ के द्वारा प्राप्त कुल अंक है।

List-$I$ List-$II$
($I$) $\left(X_2 \geq Y_2\right)$ होने की प्रायिकता (probability) ($P$) $\frac{3}{8}$
($II$) $\left(X_2>Y_2\right)$ होने की प्रायिकता ($Q$) $\frac{11}{16}$
($III$) $\left(X_3=Y_3\right)$ होने की प्रायिकता ($R$) $\frac{5}{16}$
($IV$) $\left(X_3>Y_3\right)$ होने की प्रायिकता ($S$) $\frac{355}{864}$
  ($T$) $\frac{77}{432}$

 

सही विकल्प है :

→
रेखायें $15x - 18y + 1 = 0,$ $12x + 10y - 3 = 0$ व $6x + 66y - 11 = 0$ हैं          
→
$\lambda$ के सभी मानों का समुच्चय, जिनके लिए रैखिक समीकरण निकाय $2{x_1} - 2{x_2} + {x_3} = \lambda {x_1}\;,\;2{x_1} - 3{x_2} + 2{x_3} = \lambda {x_2}\;\;,$$\;\; - {x_1} + 2{x_2} = \lambda {x_3}$ का एक अतुच्छ हल है,
→
एक फलन $f$ सभी धनात्मक पूर्णांक संख्याओं के समुच्चय के लिए इस प्रकार परिभाषित है: $f(x y)=f(x)+f(y)$, जहाँ $x$ और $y$ धनात्मक है. यदि $f(12)=24$ तथा $f(8)=15$ है, तो $f(48)$ का मान होगा
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साइन तथा कोसाइन फलनों के ग्राफ एक दूसरे को बहुत से बिन्दुओं पर काटते हैं, तथा इनके दो क्रमागत प्रतिच्छेदन बिन्दुओं के बीच में ये दो ग्राफ एक समान क्षेत्रफल $A$ घेरते हैं। तो $A ^{4}$ बराबर है
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यदि $\omega $ इकाई का इकाई के अतिरिक्त $n$ वाँ मूल है , तब $1 + \omega  + {\omega ^2} + ... + {\omega ^{n - 1}}$का मान है   
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एक $\triangle \mathrm{ABC}$ में माना कोण $\mathrm{B}$ समद्विभाजक समीकरण $y=x$ है तथा भुजा $A C$ का समीकरण $2 x-y=2$ है। यदि $(4,6)$ और $(\alpha, \beta)$ क्रमशः बिंदु $A$ और $B$ है तथा $2 \mathrm{AB}=\mathrm{BC}$ है, तो $\alpha+2 \beta$ बराबर है
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अवकल समीकरण $\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{x - y + 3}}{{2(x - y) + 5}}$ का हल है
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माना $A =\left[\begin{array}{cc}0 & -2 \\ 2 & 0\end{array}\right]$ है। यदि $M$ तथा $N$ दो आव्यूह $M =\sum_{ k =1}^{10} A ^{2 k }$ तथा $N =\sum_{ k =1}^{10} A ^{2 k -1}$ से दिये जाते है तो $MN ^2$ है
→