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STD 12 - 6. Application of derivatives — JEE कक्षा 11 साइन्स — Question

Gujarat Boardहिन्दी माध्यमकक्षा 11 साइन्सJEESTD 12 - 6. Application of derivatives4 Marks
Question
यदि $f(x) = 2x + {\cot ^{ - 1}}x + \log (\sqrt {1 + {x^2}} - x)$, तो $f(x)$
✓

Answer

a
(a) यहाँ $f(x) = 2x + {\cot ^{ - 1}}x + \log (\sqrt {1 + {x^2}} - x)$

$\therefore f'(x) = 2 - \frac{1}{{1 - {x^2}}} + \frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} - x}}\left( {\frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} - 1} \right)$

$ = \frac{{1 + 2{x^2}}}{{1 + {x^2}}} - \frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} = \frac{{1 + 2{x^2}}}{{1 + {x^2}}} - \frac{{\sqrt {(1 + {x^2})} }}{{1 + {x^2}}}$

$ = \frac{{{x^2} + \sqrt {1 + {x^2}} (\sqrt {1 + {x^2}} - 1)}}{{1 + {x^2}}} \ge 0$,    $\forall  x$

अत:  $f(x)$ , अंतराल $( - \infty ,\,\infty )$ में वर्धमान है

तथा विशेषत: $[0,\;\infty )$ में वर्धमान है।

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