यदि f(x) = sgn ( x^3 ), तब - Vidyadip

Question

यदि $f(x) = {\mathop{\rm sgn}} ({x^3}),$ तब

✓

Answer

यहाँ, $f(x) = {\mathop{\rm sgn}} {x^3} = \left\{ \begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^3}}}{{|{x^3}|}},}&{}&{{x^3} \ne 0}\\{0{\rm{ }},}&{}&{{x^3} = 0}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{x}{{|x|}},}&{}&{x \ne 0}\\{0{\rm{ ,}}}&{}&{x = 0}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1,}&{x < 0}\\{0,}&{x = 0}\\{1,}&{x > 0}\end{array}} \right.\end{array} \right.$
इस प्रकार $f(x) = {\mathop{\rm sgn}} {x^3} = {\mathop{\rm sgn}} x,$ जो $0$ पर न तो सतत् है, और नही अवकलनीय।
$f'({0^ + }) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{h \to {0^ + }} \,\frac{{f(0 + h) - f(0)}}{h}$
$ = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{h \to {0^ + }} \,\frac{{1 - 0}}{h} \to \infty $
तथा $f'({0^ - }) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{h \to {0^ - }} \,\frac{{f(0 - h) - f(0)}}{h}$
$= \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{h \to {0^ - }} \,\frac{{ - 1 - 0}}{h} \to \infty $
$\therefore f'({0^ + }) \ne f'({0^ - })$,
$\therefore ,x = 0$ पर $f$ अवकलनीय नहीं है।

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