यदि _ 0 ^ 100 ^ 2 x e ^ ( x - [ x ] ) dx= ^ 3 1+4 ^ 2 , R है, जबक… - Vidyadip

Question

यदि $\int \limits_{0}^{100 \pi}$ $\frac{\sin ^{2} x }{ e ^{\left(\frac{ x }{\pi}-\left[\frac{ x }{\pi}\right]\right)}}$$dx$$=\frac{\alpha \pi^{3}}{1+4 \pi^{2}}, \alpha \in R$ है, जबकि [ $x ]$ महत्तम पूर्णांक $\leq x$ है, तो $\alpha$ बराबर है -

✓

Answer

b
$I=\int_{0}^{100 \pi} \frac{\sin ^{2} x}{e^{[x / z\}}} d x=100 \int_{0}^{\pi} \frac{\sin ^{2} x}{e^{x / x}} d x$

$100 \int_{0}^{\pi} e^{-x / \pi} \frac{(1-\cos 2 x)}{2} d x$

$=50\left\{\int_{0}^{\pi} e^{-x / \pi} d x-\int_{0}^{\pi} e^{-x / \pi} \cos 2 x d x\right\}$

$I_{1}=\int_{0}^{\pi} e^{-x / \pi} d x=\left[-\pi e^{-x / \pi}\right]_{0}^{\pi}=\pi\left(1-e^{-1}\right)$

$I_{2}=\int_{0}^{\pi} e^{-x / \pi} \cos 2 x d x$

$\left.=-\pi \mathrm{e}^{-x / \pi} \cos 2 x\right]_{0}^{\pi}-\int-\pi e^{-x / \pi}(-2 \sin 2 x) d x$

$=\pi\left(1-e^{-1}\right)-2 \pi \int_{0}^{\pi} e^{-x / \pi} \sin 2 x d x$

$\left.=\pi\left(1-e^{-1}\right)-2 \pi\left\{-\pi e^{-x / \pi} \sin 2 x\right]_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi}-\pi e^{-x / \pi} 2 \cos 2 x d x\right\}$

$=\pi\left(1-\mathrm{e}^{-1}\right)-4 \pi^{2} I_{2}$

$\Rightarrow I_{2}=\frac{\pi\left(1-e^{-1}\right)}{1+4 \pi^{2}}$

$\therefore I=50\left\{\pi\left(1-e^{-1}\right)-\frac{\pi\left(1-e^{-1}\right)}{1+4 \pi^{2}}\right\}$

$=\frac{200\left(1-e^{-1}\right) \pi^{3}}{1+4 \pi^{2}}$

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