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STD 12 - 7.2 definite integral — JEE कक्षा 11 साइन्स — Question

Gujarat Boardहिन्दी माध्यमकक्षा 11 साइन्सJEESTD 12 - 7.2 definite integral4 Marks
Question
यदि $\phi (x) = \int_{1/x}^{\sqrt x } {\sin ({t^2})\,dt,} $ तो $\phi '(1) = $ का मान है
✓

Answer

c
(c) $\phi '(x) = \sin x\frac{d}{{dx}}\sqrt x - \sin \frac{1}{{{x^2}}}\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{1}{x}} \right)$

$ = \sin x.\frac{1}{{2\sqrt x }} + \frac{1}{{{x^2}}}\sin \frac{1}{{{x^2}}}$

==> $\phi '(1) = \frac{1}{2}\sin 1 + \sin 1 = \frac{3}{2}\sin 1$.

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माना कि $f:[0, \infty) \rightarrow R$ एक ऐसा संतत फलन (continuous function) है कि $f(x)=1-2 x+\int_0^x e^{x-t} f(t) d t$ सभी $x \in[0, \infty)$ के लिये। तब निम्नलिखित में से कौन सा (से) कथन सत्य है (हैं)?

$(A)$ वक्र (curve) $y=f(x)$ बिंदु $(1,2)$ से गुजरता है

$(B)$ वक्र (curve) $y=f(x)$ बिंदु $(2,-1)$ से गुजरता है

$(C)$ क्षेत्र (region) $\left\{(x, y) \in[0,1] \times R : f(x) \leq y \leq \sqrt{1-x^2}\right\}$ का क्षेत्रफल (area) $\frac{\pi-2}{4}$ है

$(D)$ क्षेत्र (region) $\left\{(x, y) \in[0,1] \times R : f(x) \leq y \leq \sqrt{1-x^2}\right\}$ का क्षेत्रफल $\frac{\pi-1}{4}$ है

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यदि किसी समान्तर श्रेणी के $11$ वें पद का दुगना, उसके $21$ वें पद के $7$ गुने के बराबर हो, तो $25$ वाँ पद होगा
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माना कि परवलय (parabola) $y^2=4 x$ पर $P$ एक ऐसा बिन्दु है जो वृत्त $x^2+y^2-4 x-16 y+64=0$ के केन्द्र बिन्दु $S$ से न्यूनतम दूरी पर है। माना कि वृत्त पर बिन्दु $Q$ ऐसा है कि वह रेखाखंड $S P$ को आंतरिक विभाजित करता है। तब

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$(C)$. परवलय के बिंदु $P$ पर अभिलम्ब (normal) का $x$-अंतःखंड $6$ है

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यदि $\tan \alpha  = \frac{m}{{m + 1}}$ तथा $\tan \beta  = \frac{1}{{2m + 1}}$, तो $\alpha  + \beta  = $
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रैखिक समीकरण निकाय $x -2 y =1, x - y + kz =-2, ky +4 z =6, k \in R$, के लिए, नीचे दिए कथनों पर विचार कीजिए

(A) निकाय का केवल एक हल है, यदि $k \neq 2, k \neq-2$ है

(B) निकाय का केवल एक हल है, यदि $k =-2$.

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(D) निकाय का कोई हल नहीं है, यदि $k =2$.

(E) निकाय के अनन्त हल हैं, यदि $k \neq-2$ है। तो निम्न कथनों में कौन से सत्य हैं ?

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