योग की सीमा से _ 0 ^ 1 e2 - 3x dx को हल कीजिए। - Vidyadip

Question

योग की सीमा से $\int_{0}^{1}$ e^{2 - 3x} dx को हल कीजिए।

✓

Answer

माना f(x) = e^{2 - 3x}, तब $\int_{0}^{1} $e^{2 - 3}dx = $\int_{0}^{1} $f(x)dx
हम जानते हैं कि
$\int_{a}^{b} $ f(x) dx = $\lim \limits_{h \rightarrow 0} h$[f(a) + f(a + h) + f(a + 2h) + ... + f{a + (n - 1) h}]
जहाँ, h $=\frac{b-a}{n}$
यहाँ, a = 0, b = 1 तथा nh = 1 तथा f(x) = e^{2 - 3x}
$\therefore$ f(0) = e²; f(0 + h) = e^{2 - 3h}
$\therefore$ $\int_{0}^{1}$e^{2 - 3x} dx = $\lim \limits_{h \rightarrow 0}$ h[f(0) + f(0 + h) + f(0 + 2h) + ... + f{0 + (n - 1)h}]
= $\lim \limits_{h \rightarrow 0}$ h{e² + e^{2 - 3h} + e^{2 - 6h} + ... e^{2 - 3}^{(n - 1)h}}
= $\lim \limits_{h \rightarrow 0}$ he² {1 + e^-3h + e^-6h + ... e^{-3(n - 1)h}}
$=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{h e^{2}\left\{1-\left(e^{-3 h}\right)^{n}\right\}}{1-e^{-3 h}}$ (जहाँ, nh = 1) (यह एक गुणोत्तर श्रेणी है, जहाँ a = 1, r = |e^-3h| < 1)
$=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{e^{2}\left[1-\left\{e^{-3(1)}\right\}\right]}{\frac{1-e^{-3 h}}{-3 h}(-3)}$ ($\because$ nh = 1)
$=\frac{e^{2}\left(1-e^{-3}\right)}{3 \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{e^{-3 h}-1}{-3 h}}=\frac{1}{3}\left(e^{2}-e^{-1}\right)$ $\left(\because \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-1}{x}=1\right)$

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