MCQ

MCQ 11 Mark

1 से 10 तक की संख्याओं (दोनों सम्मिलित हैं) में से सभी संख्याओं से विभाज्य न्यूनतम संख्या है

A
504
B
100
C
10
✓
2520

Answer

Correct option: D.

2520

1 से 10 संख्याओं के गुणनखंड
1 = 1
2 = 1 $\times$ 2
3 = 1 $\times$ 3
4 = 1 $\times$ 2 $\times$ 2
5 = 1 $\times$ 5
6 = 1 $\times$ 2 $\times$ 3
7 = 1 $\times$ 7
8 = 2 $\times$ 2 $\times$ 2
9 = 1 $\times$ 3 $\times$ 3
$\Rightarrow$ 1 से 10 तक की संख्या का LCM = LCM (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)
= 1 $\times$ 2 $\times$ 2 $\times$ 2 $\times$ 3 $\times$ 3 $\times$ 5 $\times$ 7 = 2520

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MCQ 21 Mark

एक शून्येतर परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का गुणनफल होता है

✓
एक अपरिमेय संख्या
B
परिमेय या अपरिमेय संख्या
C
सदैव अपरिमेय संख्या
D
सदैव परिमेय संख्या

Answer

Correct option: A.

एक अपरिमेय संख्या

एक गैर-शून्य परिमेय और एक अपरिमेय संख्या का गुणनफल सदैव अपरिमेय होता है। उदाहरण के लिए
$\sqrt{3} \times 2=2 \sqrt{3}$
यह एक अपरिमेय संख्या है।

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MCQ 31 Mark

यदि दो धनात्मक पूर्णांकों $p$ और $q$ को $p=a b^2$ और $q=a^3 b$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ $a$ और $b$ अभाज्य संख्याएँ हैं, तो $\operatorname{LCM}(p, q)$ है

✓
$a^3 b^2$
B
$a^2 b^2$
C
$a^3 b^3$
D
$ab$

Answer

Correct option: A.

$a^3 b^2$

मान लीजिए $p=a b^2=a \times b \times b$
और $q=a^3 b=a \times a \times a \times b$
$\Rightarrow p$ और $q$ का $LCM =\operatorname{LCM}\left( ab ^2, a ^3 b\right)= a \times b \times b \times a \times a = a ^3 b^2$
[चूंकि, $LCM$ संख्या में शामिल प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल है]

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MCQ 41 Mark

यदि दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ को $a = x ^3 y ^2$ और $b = xy { }^3$ के रूप में व्यक्त किया जाए, जहाँ $x$ और $y$ अभाज्य संख्याएँ हैं, तो $HCF ( a , b)$ है

A
$x^2 y^2$
B
$xy$
C
$x^3 y^3$
✓
$x y^2$

Answer

Correct option: D.

$x y^2$

माना $a=x^3 y^2=x \times x \times x \times y \times y$
और बी $=x y^3=x \times y \times y \times y$
$\Rightarrow a$ और $b$ का $HCF = HCF \left(x^3 y^2, x y^3\right)=x \times y \times y=x y^2$
[चूंकि, एचसीएफ संख्याओं में शामिल प्रत्येक सामान्य अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल है]

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MCQ 51 Mark

वह सबसे बड़ी संख्या, जिससे 70 और 125 को विभाजित करने पर क्रमशः शेषफल 5 और 8 प्राप्त हों, है

✓
13
B
65
C
1750
D
875

Answer

Correct option: A.

चूँकि, यह दिया गया है कि 5 और 8 क्रमशः 70 और 125 के शेषफल हैं। इन शेषफलों को संख्याओं में से घटाने पर हमें 65
= (70 - 5) और 117 = (125 - 8) प्राप्त होता है, जो अभीष्ट संख्या से विभाज्य है।
अब, अभीष्ट संख्या = HCF (65, 117) [सबसे बड़ी संख्या के लिए]
यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार,
b = a $\times$ q + r, 0 $\leq$ r < a [$\therefore$ लाभांश = भाजक $\times$ भागफल + शेष]
$\Rightarrow$ 117 = 65 $\times$ 1 + 52
$\Rightarrow$ 65 = 52 $\times$ 1 + 13
$\Rightarrow$ 52 = 13 $\times$ 4 + 0
$\Rightarrow$ HCF = 13
इसलिए, 13 सबसे बड़ी संख्या है जो 70 और 125 को विभाजित करती है, शेष 5 और 8 छोड़ती है।

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MCQ 61 Mark

यदि 65 और 117 के HCF को 65m - 117 के रूप में व्यक्त किया जा सके तो m का मान है

A
1
B
4
✓
2
D
3

Answer

Correct option: C.

सबसे पहले, 65 और 117 का HCF ज्ञात कीजिए:-
117 = 65 $\times$ 1 + 52
65 = 52 $\times$ 1 + 13
52 = 13 $\times$ 4 + 0 (शून्य शेष)
इसलिए, एचसीएफ (117, 65) 13 है
अभी,
$\therefore$ 65 m - 117 = 13
$\Rightarrow$ 65 m = 13 + 117
$\Rightarrow$ 65 m = 130
$\Rightarrow$ m = 2

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MCQ 71 Mark

संख्या $n^2-1,8$ से विभाज्य होती है, यदि n है एक

A
सम संख्या
✓
विषम संख्या
C
प्राकृत संख्या
D
पूर्णांक

Answer

Correct option: B.

विषम संख्या

मान लीजिए कि $n^2-1$ के रूप का $a, n$ विषम या सम हो सकता है। आइए दो मामलों पर विचार करें।
स्थिति $I$ यदि $n$ सम है अर्थात $n =2 k$, जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
$\Rightarrow a=(2 k)^2-1$
$\Rightarrow a=4 k^2-1$
$k=1$ पर, $=4(1)^2-1=4-1=3$ पर, जो $8$ से विभाज्य नहीं है।
$k=2$ पर, $a=4(2)^2-1=16-1=15$ जो $8$ से विभाज्य नहीं है।
स्थिति $II$ यदि $n$ विषम है अर्थात $n=2 k+1$ है, जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
$\Rightarrow a=(2 k+1)^2-1$
$\Rightarrow 4 k^2+1+4 k-1$
$\Rightarrow a=4 k^2+4 k=4 k(k+1)$
$k=1$ पर, $a=4(1)(1+1)=4 \times 2=8$, जो $8$ से विभाज्य है।
$k=2$ पर, $a=4(2)(1+1)=8 \times 2=16$ जो कि $8$ से विभाज्य है।
इसलिए, हम उपरोक्त दो मामलों से यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि यदि $n$ विषम है, तो $n^2-1,8$ से विभाज्य है।

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MCQ 81 Mark

किसी पूर्णांक q के लिए, प्रत्येक विषम पूर्णांक निम्नलिखित रूप का होता है

A
q + 1
B
2q
C
q
✓
2q + 1

Answer

Correct option: D.

2q + 1

हम जानते हैं कि एक पूर्णांक को विषम कहा जाता है यदि वह 2 से विभाज्य न हो।
मान लीजिए कि m एक पूर्णांक है अर्थात q = -1, 0, 1, 2, 3, 4,...
दोनों पक्षों को 2 से गुणा करना
$\Rightarrow$ 2q = -2, 0, 2, 4, 6, 8,...
दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर
$\Rightarrow$ 2q + 1 = -2 + 1, 0 + 1, 2 + 1, 4 + 1, 6 + 1, 8 + 1,...
$\Rightarrow$ 2q + 1 = -1, 1, 3, 5, 7, 9,...
इसलिए, किसी पूर्णांक q के लिए, प्रत्येक विषम पूर्णांक 2q + 1 के रूप का होता है।

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MCQ 91 Mark

परिमेय संख्या $\frac{14587}{1250}$ का दशमलव प्रसार निम्नलिखित किन दशमलव स्थानों के बाद समाप्त हो जाएगा?

A
एक
B
दो
C
तीन
✓
चार

Answer

Correct option: D.

चार

दिए गए भिन्न का सरलीकरण
$\frac{14587}{1250}=\frac{14587}{5^{4} \times 2}$
$\Rightarrow \frac{14587}{5^{4} \times 2} \times \frac{2^{3}}{2^{3}}$ $=\frac{116696}{5^{4} 2^{4}}=\frac{116696}{10^{4}}$ = 11.6696
अत: दी गई परिमेय संख्या दशमलव के चार स्थानों के बाद समाप्त होगी।

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MCQ 101 Mark

किसी पूर्णांक m के लिए, प्रत्येक सम पूर्णांक निम्नलिखित रूप का होता है

A
m + 1
B
m
C
2m + 1
✓
2m

Answer

Correct option: D.

हम जानते हैं कि एक पूर्णांक 2 से विभाज्य होने पर भी कहा जाता है।
मान लीजिए कि m एक पूर्णांक है अर्थात m = ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
स्पष्ट रूप से, 'm' सम हो भी सकता है और नहीं भी हो सकता है, इसलिए 'm' उत्तर नहीं हो सकता।
m + 1 = ..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4... यहाँ भी, 'm + 1' सम हो भी सकता है और नहीं भी हो सकता है, इसलिए 'm + 1' उत्तर नहीं हो सकता।
अब, 2m यानी 2m = ...,-6, -4, -2, 0, 2, 4, 6,... पर विचार करें।
यहाँ, किसी पूर्णांक m के लिए, 2m हमेशा सम पूर्णांक रहेगा।
अब, 2m + 1 पर विचार करें। अर्थात 2m + 1 = ..., -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7,... स्पष्ट रूप से, 2m + 1 एक विषम पूर्णांक है, इसलिए यह एक उत्तर नहीं हो सकता है इसलिए, 2m केवल उत्तर है।

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गणित MCQ

Take a timed test