प्रश्नों के उत्तर लिखिए। (प्रत्येक प्रश्न 1 अंक का हे) - गणित कक्षा 11 साइन्स Questions - Vidyadip

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प्रश्नों के उत्तर लिखिए। (प्रत्येक प्रश्न 1 अंक का हे)

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Question 11 Mark

$\theta$ और p के मान ज्ञात कीजिए यदि समीकरण x cos $\theta$ + y sin $\theta$ = p रेखा $\sqrt{3}$x + y + 2 = 0 का लंब रूप हैं।

Answer

$\sqrt{3}$x + y + 2 = 0
-$\sqrt{3}$x - y = 2
दोनों ओर $\sqrt{(-\sqrt{3})^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{3+1}$ = 2 से भाग देने पर,
$\frac{-\sqrt{3}}{2} x-\frac{1}{2}$y = 1
इसकी तुलना x cos $\theta$ + y sin $\theta$ = p से करने पर
cos $\theta=\frac{-\sqrt{3}}{2}, \sin \theta=\frac{-1}{2}$ और P = 1 मात्रक
$\therefore \theta=\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{7 \pi}{6}$ ($\because \theta$ तृतीय चतुर्थांश में है।)

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Question 21 Mark

$k$ के मान ज्ञात कीजिए जबकि रेखा $(k - 3)x - (4 - k^2)y + k^2- 7k + 6 = 0,$ मूल बिंदु से जाती है।

Answer

$(k - 3)x - (4 - k^2)y + k^2- 7k + 6 = 0 ...(1)$
$\because$ रेखा मूलबिन्दु से होकर जाती है। समी. (1) से,
$(k - 3) \times 0 - (4 - k^2) \times 0 + k^2- 7k + 6 = 0$
$\therefore k^2- 7k + 6 = 0$
$(k - 6)(k - 1) = 0$
$\Rightarrow k = 1, 6$

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Question 31 Mark

$k$ के मान ज्ञात कीजिए जबकि रेखा $(k - 3)x - (4 - k^2)y + k^2- 7k + 6 = 0, y-$अक्ष के समांतर है।

Answer

$(k - 3)x - (4 - k^2)y + k^2- 7k + 6 = 0 ...(1)$
$\because$ रेखा $y-$अक्ष के समान्तर है।
$\therefore y$ का गुणांक $= 0$
$4 - k^2 = 0$
$\Rightarrow k^2 = 4$
$\therefore k = \pm 2$

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Question 41 Mark

$k$ के मान ज्ञात कीजिए जबकि रेखा $(k - 3)x - (4 - k^2)y + k^2- 7k + 6 = 0, x-$अक्ष के समांतर है।

Answer

$(k - 3)x - (4 - k^2)y + k^2- 7k + 6 = 0 ...(1)$
$\because$ रेखा $x-$अक्ष के समान्तर हैं।
$\therefore x$ का गुणांक $= 0$
$\Rightarrow k - 3 = 0$
$\therefore k = 3$

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Question 51 Mark

रेखा $3x - 4y + 2 = 0$ के समांतर और बिंदु $(-2, 3)$ से जाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

Answer

रेखा $3x - 4y + 2 = 0$
$\Rightarrow -4y = -3x - 2$
$\Rightarrow y=\frac{3}{4} x+\frac{1}{2} ...(1)$
इस रेखा की ढाल $m_1= \frac{3}{4}$
$\therefore$ इसके समान्तर रेखा की ढाल $m_2$
$\because m_1= m_2\Rightarrow m_2= \frac{3}{4}$
इस प्रकार $(-2, 3)$ से होकर जाने वाली समान्तर रेखा का समी.
$y - 3 = \frac{3}{4} (x + 2)$
$\Rightarrow 4y - 12 = 3x + 6$
$\Rightarrow 3x - 4y + 18 = 0$

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Question 61 Mark

समांतर रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए:$ l(x + y) + p = 0$ और $l(x + y) - r = 0$

Answer

समान्तर रेखाओं के समी.
$l(x + y) + p = 0$ और $l(x + y) - r = 0$
यहा $a = l, b = l, c_1 = p, c_2= -r$
इन रेखाओं के बीच की दूरी
$= \frac{\left|c_{1}-c_{2}\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$
$= \frac{|p+r|}{\sqrt{l^{2}+l^{2}}}=\frac{p+r}{l \sqrt{2}}$ मात्रक

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Question 71 Mark

समांतर रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए: $15x + 8y - 34 = 0$ और $15x + 8y + 31 = 0$

Answer

समान्तर रेखाओं के समी.
$15x + 8y - 34 = 0$
और $15x + 8y + 31 = 0$
यहां $a = 15, b = 8, c_1 = -34, c_2= 31$
$\therefore$ इन रेखाओं के बीच की दूरी = $\frac{\left|c_{1}-c_{2}\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$
$=\frac{|-34-31|}{\sqrt{15^{2}+8^{2}}}=\frac{65}{\sqrt{225+64}}$
$= \frac{65}{\sqrt{289}}=\frac{65}{17}$ मात्रक

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Question 81 Mark

3y + 2 = 0 समीकरण को अंतः खंड रूप में रूपांतरित कीजिए और अक्ष पर इनके द्वारा काटे गए अंतः खंड ज्ञात कीजिए।

Answer

3y + 2 = 0
$\Rightarrow$ -3y = 2
$\Rightarrow$ 0x - 3y = 2
$\Rightarrow \frac{0 x}{2}-\frac{3 y}{2}$ = 1
$\Rightarrow \frac{x}{\infty}+\frac{y}{\left(\frac{-2}{3}\right)}$ = 1 ...(1)
इस समी की तुलना $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}$ = 1 से करने पर,
$a=\infty, b=\frac{-2}{3}$

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Question 91 Mark

4x - 3y = 6 समीकरण को अंतः खंड रूप में रूपांतरित कीजिए और अक्ष पर इनके द्वारा काटे गए अंतः खंड ज्ञात कीजिए।

Answer

4x - 3y = 6
$\Rightarrow \frac{4 x}{6}-\frac{3 y}{6}$ = 1
$\Rightarrow \frac{x}{\left(\frac{3}{2}\right)}+\frac{y}{(-2)}$ = 1 ...(1)
इस समी. की तुलना $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}$ = 1 से करने पर,
a = $\frac{3}{2}$, b = -2

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Question 101 Mark

3x + 2y - 12 = 0 समीकरण को अंतः खंड रूप में रूपांतरित कीजिए और अक्ष पर इनके द्वारा काटे गए अंतः खंड ज्ञात कीजिए।

Answer

3x + 2y - 12 = 0
$\Rightarrow$ 3x + 2y = 12
दोनों ओर 12 से भाग देने पर,
$\frac{3 x}{12}+\frac{2 y}{12} =\frac{12}{12}$
$\Rightarrow \frac{x}{4}+\frac{y}{6}$ = 1 ...(1)
इस समी. की तुलना अंतः खण्ड रूप $\frac{x}{a}+\frac{y}{h}$ = 1 से करने पर, a = 4, b = 6

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Question 111 Mark

y = 0 समीकरण को ढाल-अंतः खंड रूप में रूपांतरित कीजिए और उनके ढाल तथा y-अंतः खंड ज्ञात कीजिए।

Answer

y = 0
$\Rightarrow$ y = 0x + 0 ...(1)
उस समी. की तुलना y = mx + C से करने पर,
m = 0, C = 0

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Question 121 Mark

6x + 3y - 5 = 0 समीकरण को ढाल-अंतः खंड रूप में रूपांतरित कीजिए और उनके ढाल तथा y-अंतः खंड ज्ञात कीजिए।

Answer

6x + 3y - 5 = 0
$\Rightarrow$ 3y = -6x + 5
$\Rightarrow$ y = -2x + $\frac{5}{3}$ ...(1)
इस समीकरण की तुलना y = mx + C से करने पर,
m = -2, C = $\frac{5}{3}$

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Question 131 Mark

x + 7y = 0 समीकरण को ढाल-अंतः खंड रूप में रूपांतरित कीजिए और उनके ढाल तथा y-अंतः खंड ज्ञात कीजिए।

Answer

x + 7y = 0
$\Rightarrow$ 7y = -x
$\Rightarrow$ y = $\frac{-1}{7} $x ...(1)
इस समी. की तुलना y = mx + C से करने पर
ढाल m = $\frac{-1}{7} $ और y-अन्तः खण्ड C = 0

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Question 141 Mark

रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो दिये गये प्रतिबंध को संतुष्ट करता है: बिन्दु $(0, 0)$ से जाने वाली और ढाल m वाली।

Answer

बिन्दु $(0, 0)$ से जाने वाली और ढाल $m$ वाली रेखा।
$y - y_1= m(x - x_1)$
$\Rightarrow y - 0 = m(x - 0)$
$\Rightarrow y = mx$

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Question 151 Mark

रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो दिये गये प्रतिबंध को संतुष्ट करता है: x- और y-अक्षों के समीकरण लिखिए।

Answer

x-अक्ष का समीकरण y = 0
y-अक्ष का समीकरण x = 0

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Question 161 Mark

रेखा का समीकरण लिखिए जिसके लिए tan $\theta=\frac{1}{2}$, जहाँ $\theta$ रेखा का झुकाव है और x-अंतः खंड 4 है।

Answer

यहाँ, m = tan $\theta=\frac{1}{2}$ और d = 4
इसलिए, ढाल-अंतः खंड रूप उपर्युक्त सूत्र (4) से रेखा का समीकरण
y = $\frac{1}{2}$(x - 4) या 2y - x + 4 = 0,
है, जो अभीष्ट समीकरण है।

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Question 171 Mark

रेखा का समीकरण लिखिए जिसके लिए tan $\theta=\frac{1}{2}$, जहाँ $\theta$ रेखा का झुकाव है और y-अंतः खंड -$\frac{3}{2}$ है।

Answer

यहाँ रेखा की ढाल = m = tan $\theta=\frac{1}{2}$ और y-अंतः खंड c = -$\frac{3}{2}$ इसलिए, ढाल-अंतःखंड रूप उपर्युक्त सूत्र (3) से रेखा का समीकरण y = $\frac{1}{2} x-\frac{3}{2}$ या 2y - x + 3 = 0 है, जो अभीष्ट समीकरण है।

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Question 181 Mark

बिंदुओं $(1, -1)$ और $(3, 5)$ से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण लिखिए।

Answer

यहाँ $x_1= 1, y_1= -1, x_2= 3$ और $y_2= 5,$ दो बिंदु रूप सूत्र $(2)$ के प्रयोग से रेखा का समीकरण, हम पाते हैं
$y - (-1) = \frac{5-(-1)}{3-1}(x - 1)$
या $-3x + y + 4 = 0, $ जो अभीष्ट समीकरण है।

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Question 191 Mark

उन रेखा के ढाल ज्ञात कीजिए जो धन $x-$अक्ष से $60^\circ$ का कोण बनाती है।

Answer

यहाँ रेखा का झुकाव $\alpha=60^{\circ}$। इसलिए, रेखा का ढाल m = $\tan 60^{\circ}=\sqrt{3}$ है।

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Question 201 Mark

उन रेखा के ढाल ज्ञात कीजिए जो (3, -2) और (3, 4) बिंदुओं से होकर जाती है।

Answer

(3, -2) और (3, 4) बिंदुओं से जाने वाली रेखा का ढाल m = $\frac{4-(-2)}{3-3}=\frac{6}{0}$, जो कि परिभाषित नहीं है।

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Question 211 Mark

उन रेखा के ढाल ज्ञात कीजिए जो (3, -2) और (7, -2) बिंदुओं से होकर जाती है।

Answer

(3, -2) और (7, -2) बिंदुओं से जाने वाली रेखा का ढाल m = $\frac{-2-(-2)}{7-3}=\frac{0}{4}$ = 0 है।

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Question 221 Mark

उन रेखा के ढाल ज्ञात कीजिए जो (3, -2) और (-1, 4) बिंदुओं से होकर जाती है।

Answer

(3, -2) और (-1, 4) बिंदुओं से जाने वाली रेखा की ढाल m = $\frac{4-(-2)}{-1-3}=\frac{6}{-4}=-\frac{3}{2}$ है।

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