निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर सविस्तर लिखिए : [5 गुण ]

Question 15 Marks

संवेग क्या है? इसका SI मात्रक लिखिए। संवेग के पदों में बल की व्याख्या कीजिए। निम्नलिखित का ग्राफीय निरूपण कीजिए-

वेग के साथ संवेग में परिवर्तन जबकि द्रव्यमान नियत है
द्रव्यमान के साथ संवेग में परिवर्तन जबकि वेग नियत है

Answer

संवेग को 'द्रव्यमान में गति' से परिभाषित किया जा सकता है। सभी वस्तुओं में द्रव्यमान है, अतः यदि कोई वस्तु गतिमान है तो उसमें संवेग है। दूसरे शब्दों में, किसी वस्तु का संवेग, उसके द्रव्यमान एवं वेग का गुणनफल होता है। संवेग का SI मात्रक $kg ms^{-1}$ है।
गणितीय रूप में,
संवेग = द्रव्यमान $\times$ वेग
P = m $\times$ v
यही समीकरण व्याख्या करती है कि संवेग किसी वस्तु के द्रव्यमान तथा उस वस्तु के वेग के समानुपाती होता है।
जैसा कि हमें ज्ञात है, न्यूटन के गति विषयक द्वितीय नियम से
$F = ma ...$ गति का द्वितीय नियम संवेग परिवर्तन की दर लगाए गए बल के बराबर होती है।
$P = mv ...$ वस्तु का संवेग
$\Delta$P = m$\cdot$$\Delta$v
F = ma = $m \cdot \frac{\Delta \mathrm{V}}{\Delta t}$
$\therefore$ F = $\frac{\Delta \mathrm{P}}{\Delta t}$

जब द्रव्यमान नियत हो तब वेग के साथ संवेग में परिवर्तन,
P = mv से,
P $\propto$ v
$\therefore$ वेग के साथ संवेग में परिवर्तन का ग्राफ मूल बिंदु से गजरती हई एक सरल रेखा होगी $($यदि $v = 0$ तो $P = 0)$
जब वेग नियत हो द्रव्यमान के साथ संवेग में परिवर्तन,
$P = mv$
यदि विभिन्न द्रव्यमानों के लिए वेग नियत हो तो
$P$ $\propto$ $m$

अतः, द्रव्यमान के साथ संवेग में परिवर्तन का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरती हुई एक सरल रेखा होगी।
$($यदि $m = 0$ यदि $P = 0)$

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Question 25 Marks

गति के दूसरे नियम का उपयोग करके बल का मात्रक व्युत्पन्न कीजिए। $5\ N$ का कोई बल द्रव्यमान $m_1$ पर कार्य करके उसमें $8\ ms^{-2}$ का त्वरण तथा द्रव्यमान $m_2$ पर कार्य करके उसमें $24\ m\ s^{-2}$ का त्वरण उत्पन्न करता है। यदि दोनों द्रव्यमानों को बाँध दें, तो यही बल कितना त्वरण उत्पन्न करेगा?

Answer

जैसा कि हमें ज्ञात है कि,
द्रव्यमान का SI मात्रक, $m = 1\ kg$
त्वरण का SI मात्रक, $a = 1\ m/s^2$
न्यूटन के गति विषयक द्वितीय नियम से
$F = m\cdot a$
बल का SI मात्रक, $F = 1\ kg \times 1\ m/S^2$
$= 1 kg\ m/s^2$
तथा, 1 न्यूटन $= 1 kg\ m/s^2$
अतः प्रथम स्थिति के लिए, दिया गया है,
$F_1 = 5 N$
$a = 8 ms^{-2}$
$m_1=$ पहली वस्तु का द्रव्यमान
न्यूटन के गति विषयक द्वितीय नियम से -
$F = ma$
मान रखने पर,
$5 = m_1 \times 8$
$\therefore m_1= \frac{5}{8}kg$
द्वितीय स्थिति के लिए, दिया गया है,
$F_2= 5 N$
$a_2= 24 ms^{-2}$
$m_2=$ दूसरी वस्तु का द्रव्यमान
पुनः, न्यूटन के गति विषयक द्वितीय नियम से,
$F = m\cdot a$
मान रखने पर,
$5 = m_2 \times 24$
$\therefore m_2= \frac{5}{24}kg$
दोनों द्रव्यमानों का योगफल
$m_1 + m_2 = \frac{5}{8}+\frac{5}{24}$
$= \frac{15+5}{24}=\frac{20}{24}$
$= \frac{5}{6}$
यदि दोनों द्रव्यमानों को बाँध दें तो उसी बल द्वारा उत्पन्न त्वरण,
F = समान
संयोजित द्रव्यमान, $M = m_1 + m_2$
$a = \frac{\mathrm{F}}{m_{1}+m_{2}}$
$=\frac{\frac{5}{5}}{6}$
$= 6 ms^{-2}$
अतः त्वरण $6 ms^{-2}$ है।

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Question 35 Marks

गति के दूसरे नियम का उपयोग करके बल तथा त्वरण के बीच संबंध व्युत्पन्न कीजिए। $10\ g$ द्रव्यमान की $10^3 ms^{-1}$ चाल से गतिमान कोई गोली किसी रेत के बोरे से टकराकर उसमें $5\ cm$ तक धंस जाती है। परिकलित कीजिए-

रेत द्वारा गोली पर लगाया गया अवरोधी बल
गोली को विराम में आने में लगा समय

Answer

माना कि m द्रव्यमान की कोई वस्तु $u$ प्रारंभिक वेग से सीध रेखा में चल रही है। t समय तक एक निश्चित बल F लगा पर उस वस्तु का वेग $v$ हो जाता है। तब इसका प्रारंभिक तथा अंतिम संवेग क्रमशः,
$P_1= mu$ और $P_2= mv$ होंगे।
संवेग में परिवर्तन $\propto$ $P_2- P_1$
$\propto$ $mv - mu$
$\propto$ $m(v - u)$
संवेग परिवर्तन की दर $\propto$ $\frac{m(v-u)}{t}$
या लगाया गया बल, F $\propto \frac{m(v-u)}{t}$
$F =$ $\frac{\mathrm{km}(v-u)}{t}$
[यहाँ $\frac{v-u}{t}$ = a]
$= Kma$
$K$ एक आनुपातिक स्थिरांक है, अर्थात् $K = 1$
अतः $F = ma$
दिया गया है,
$m = 10 g =$ $\frac{10}{1000}$kg $= 0.01\ kg$
[$\because$ $1\ kg = 1000\ g]$
$u = 10 ms^{-1}$
$v = 0 ms^{-1}$
तथा तय की गई दूरी, $s = 5\ cm$
= $\frac{5}{100}$ $= 0.05\ m$
[$\because$ $1m = 100\ cm]$

गति विषयक तृतीय समीकरण से,
$v^2 = u^2 + 2as$
या $v^2 - u^2 = 2as$
a = $\frac{v^{2}-u^{2}}{2 s}$
= $\frac{(0)^{2}-\left(10^{3}\right)^{2}}{2 \times 0.05}$
= $\frac{-10^{6}}{0.1}$ $= -10^7 m/s^2$
अब, गोली द्वारा आरोपित बल
$F = ma$
$= 0.01$ $\times$ $(-10^7)$
$= -10^5 N$
[ऋण चिन्ह गति की विपरीत दिशा को दर्शाता है]
रेत द्वारा गोली पर लगाया गया अवरोधी बल $= 10^5N$
गति विषयक प्रथम समीकरण से,
$v = u + at$
$at = v - u$
अब, गोली को विरामावस्था में आने मे लगा समय
t = $\frac{v-u}{a}$
= $\frac{0-10^{3}}{-10^{7}}$
= $\frac{-10^{3}}{-10^{7}}$
= $10^3$ $\times$ $10^{-7}$
$t = 10^{-4} s$
अतः गोली को विरामावस्था में आने में लगा समय
$= 10^{-4}s$

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Question 45 Marks

जैसे ही जल की आपूर्ति आरंभ होती है, घास के मैदान में जल का छिड़काव करने वाला यंत्र घूर्णन करने लगता है। इसके कार्य करने का सिद्धांत स्पष्ट कीजिए।

Answer

जल का छिड़काव करने वाले यंत्र के घूर्णन का वर्णन न्यूटन के तृतीय नियम द्वारा किया जाता है।
जैसे ही छिड़काव करने वाले यंत्र से जल की आपूर्ति आरंभ होती है, जल यंत्र के नोजल पर विपरीत दिशा में बल लगाता है तथा जल का छिड़काव करने वाला यंत्र घूर्णन करना प्रारंभ कर देता है।

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Question 55 Marks

दो मित्र रोलर-स्केटों पर एक दूसरे के सामने 5 m दूरी पर खड़े हैं। इनमें से एक 2 kg की गेंद को दूसरे की ओर फेंकता है जिसे दूसरा अपने स्थान पर ही खड़े हुए लपक लेता है। इस क्रियाकलाप द्वारा दोनों मित्रों की स्थितियों पर क्या प्रभाव पड़ेगा? अपने उत्तर का स्पष्टीकरण कीजिए।

Answer

इस प्रकम में, रोलर-स्केटों पर दोनों मित्रों के बीच दूरी बढ़ जाएगी क्योंकि प्रक्रम प्रारंभ होते समय दोनों मित्र विरामावस्था में थे।
जब एक मित्र गेंद फेंकता है, तब वह विपरीत दिशा में गेंद के संवेग के बराबर संवेग प्राप्त करता है और विपरीत दिशा में गति करता है।
जब दूसरा मित्र गेंद को पकडता है, तब वह गेंद के संवेग के बराबर संवेग प्राप्त करता है और गेंद की गति की दिशा में गति करके अपने मित्र से दूर हट जाता है।

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