उत्तर सविस्तर लिखिए :

Question 13 Marks

दो वस्तुओं के बीच लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल का क्या होगा, यदि

एक वस्तु का द्रव्यमान दोगुना कर दिया जाए?
वस्तुओं के बीच की दूरी दोगुनी अथवा तीन गुनी कर दी जाए?
दोनों वस्तुओं के द्रव्यमान दोगुने कर दिए जाएँ?

Answer

मान लिया वस्तुओं के द्रव्यमान क्रमशः $m_1$ तथा $m_2$ हैं तथा उन दोनों के बीच की दूरी d हो तो दोनों के मध्य गुरुत्वाकर्षण बल F निम्न सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है-
F = $\frac{\mathrm{G} m_{1} m_{2}}{d^{2}}$
जब एक वस्तु के द्रव्यमान को दो गुना कर दिया जाए तो
F = $\frac{\mathrm{G}\left(2 m_{1}\right) m_{2}}{d^{2}}$ = $2 \frac{\text { G. } m_{1} m_{2}}{d^{2}}$
जब एक वस्तु के द्रव्यमान को दो गुना कर दिया जाए तो
F = $\frac{\mathrm{G}\left(m_{1}\right) m_{2}}{(2 d)^{2}}=\frac{1}{4} \frac{\mathrm{G} \cdot m_{1} m_{2}}{d^{2}}$
अत: वस्तुओं के बीच की दूरी दो गुना करने पर गुरुत्वाकर्षण बल $\frac{1}{4}$th (एक चौथाई) हो जाता है।
जब दोनों वस्तुओं का द्रव्यमान 'दो गुना कर दिया जाए तो
F = $\frac{G\left(2 m_{1}\right)\left(2 m_{2}\right)}{d^{2}}$ = $\text { 4. } \frac{\mathrm{Gm}_{1} m_{2}}{d^{2}}$
अत: दोनों वस्तुओं के मध्य लगने वाला बल चार गुना हो जाएगा।

Question 23 Marks

500 g के एक मोहरबंद पैकेट का आयतन $350\ cm^3$ है। पैकेट $1\ g\ cm^{-3}$ घनत्व वाले पानी में तैरेगा या डूबेगा? इस पैकेट द्वारा विस्थापित पानी का द्रव्यमान कितना होगा?

Answer

पैकेट का द्रव्यमान = 500 g
पैकेट का आयतन $= 350\ cm^3$
पिकेट का घनत्व =

= $\frac{500 \mathrm{~g}}{350 \mathrm{~cm}^{3}} = 1.43\ g\ cm^{-3}$
जल का घनत्व $= 1\ g/cm^3$
पैकेट का घनल्व जल से अधिक होने के कारण वह डूब जायेगा।

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Question 33 Marks

ऊर्ध्वाधर दिशा में ऊपर की ओर फेंकी गई एक गेंद 6 s पश्चात् फेंकने वाले के पास लौट आती है। ज्ञात कीजिए

यह किस वेग से ऊपर फेंकी गई;
गेंद द्वारा पहुँची गई अधिकतम ऊँचाई; तथा
4 s पश्चात् गेंद की स्थिति।

Answer

$u = ?, v = 0, t = 6 s,$
$g = -9.8 ms^{-2}, h = ?$

गेंद द्वारा ऊपर जाने तथा वापस आने में लिया गया कुल समय = 6 s
गेंद द्वारा अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में लिया गया
समय $t = \frac{6}{2} = 3 s$
गेंद का अधिकतम ऊँचाई पर वेग v = 0
मान लिया गेंद का प्रारंभिक वेग = u
गुरुत्वीय त्वरण $g = -9.8 m/ s^2$
हम जानते हैं कि,
$v = u + g t$
$0 = u - 9.8 \times 3$
$u = 29.4 m/s$
अतः वस्तु को 29.4 m/s के वेग से ऊपर की ओर फेंका गया।
मान लिया गेंद द्वारा तय की गई अधिकतम ऊँचाई = h
जहाँ $u = 29.4 m/s, t = 3$ सेकण्ड$h = ut + \frac {1}{2}gt^2$
$= 29.4 \times 3 - \frac {1}{2} \times 9.8 \times (3)^2$
$= 88.2 - 4.9 \times 9$
$= 88.2 - 44.1 = 44.1 m$
मान लिया 4 s के पश्चात् गेंद की ऊँचाई $= h$
$u = 29.4 m/s, t = 4 s, g = -9.8 m/s^2$
$h = ut + \frac {1}{2}gt^2$
$= 29.4 \times 4 - \frac {1}{2} \times 9.8 \times (4)^2$
$= 117.6 - 78.4 = 39.2 m$

अतः गेंद पृथ्वी तल से 39.2 m की ऊँचाई पर होगी।

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Question 43 Marks

कोई पत्थर 100 m ऊँची किसी मीनार की चोटी से गिराया गया और उसी समय कोई दूसरा पत्थर 25 m/s के वेग से ऊर्ध्वाधर दिशा में ऊपर की ओर फेंका गया। परिकलन कीजिए कि दोनों पत्थर कब और कहाँ मिलेंगे।

Answer

माना पत्थर $t$ सेकण्ड पश्चात् मिलेंगे।
पहले पत्थर द्वारा t सेकण्ड में चली गई दूरी,
$ S_1=u t+\frac{1}{2} g t^2 $
$ u=0, a=10 m^{-2}$
इसलिए, $\mathrm{S}_1=0 \times \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$
अथवा $S_1=5 t^2 \ldots$ (i)
दूसरे पत्थर के लिए,
$\mathrm{S}_2=\mathrm{ut}+\frac{1}{2} \mathrm{gt}^2$
$u=25 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, \mathrm{g}=-10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$
इसलिए, $\mathrm{S}_2=25 \mathrm{t}+\frac{1}{2} \times(-10) \times \mathrm{t}^2$
अथवा $S_2=25 t-5 t^2 \ldots$ (ii)
समीकरण (i) एवं (ii) को जोड़ने पर,
$S_1+S_2=5 t^2+25 t-5 t^2$
अथवा $100=4 \mathrm{t}$
अथवा $t=\frac{100}{25}=4$ सेकण्ड
दोनों पत्थर 4 s के पश्चात् मिलेंगे
समीकरण (ii) से
$\mathrm{S}_2=25 \times 4-5 \times(4)^2$
$=100-5 \times 16$
$=100-80=20 \mathrm{~m}$
दोनों पत्थर पृथ्वी तल से 20 m की ऊँचाई पर मिलेंगे।

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Question 53 Marks

एक गेंद ऊर्ध्वाधर दिशा में ऊपर की ओर 49 m/s के वेग से फेंकी जाती है। परिकलन कीजिए

अधिकतम ऊँचाई जहाँ तक कि गेंद पहुँचती है।
पृथ्वी की सतह पर वापस लौटने में लिया गया कुल समय।

Answer

वस्तु का आरंभिक वेग, u = 49 m/s
अधिकतम ऊँचाई पर वस्तु का वेग, v = 0
गुरुत्वीय त्वरण, $g = – 9.8 m/s^2$
मान लिया गेंद द्वारा तय की गई अधिकतम ऊँचाई = h
हम जानते हैं कि,
$v_2 - u_2 = 2gh$
$0 - (49)^2 = 2 \times$ (9.8) $\times$ h
या h = $\frac{(49)^{2}}{2 \times 9.8}$
h = $\frac{49 \times 49}{2 \times 9.8}$ = 122.5 m
मान लिया अधिकतम ऊँचाई पर पहुँचने में लिया गया समय = t
$u = 49 m/s, v = 0, g = -9.8 m/s^2$
$v = u + gt$
$0 = 49 + (-9.8)t$
t = $\frac{49}{9.8}$ = 5 सेकण्ड

गेंद द्वारा जितना समय अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में लिया जाता है उतना ही समय वापस पृथ्वी तल पर लौटने में लिया जाएगा।
अतः गेंद द्वारा लिया गया कुल समय = 5 + 5 = 10 सेकण्ड

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Question 63 Marks

एक वस्तु को ऊर्ध्वाधर दिशा में ऊपर की ओर फेंका जाता है और यह 10 m की ऊँचाई तक पहुँचती है। परिकलन कीजिए

वस्तु कितने वेग से ऊपर फेंकी गई तथा
वस्तु द्वारा उच्चतम बिंदु तक पहुँचने में लिया गया समय।

Answer

तय की गई दूरी, $s = 10 m$
अंतिम वेग, $v = 0 ms^{-1}$
गुरुत्वीय त्वरण, $g = 9.8 ms^{-2}$
वस्तु का त्वरण, $a = -9.8 ms^{-2}$ (ऊर्ध्वमुखी)

$v^2 = u^2 + 2as$
$0 = u^2 + 2 \times (-9.8 ms^{-2}) \times 10 m$
$-u^2 = -2 \times 9.8 \times 10 m^2s^{-2}$
$u = \sqrt{196} ms^{-1}$
$u = 14 ms^{-1}$
$v = u + a t$
$0 = 14 ms^{-1} - 9.8 ms^{-2} \times t$
$t = 1.43 s$

अतः

प्रारंभिक वेग u$ = 14 ms^{-1}$ तथा
लिया गया समय $t = 1.43 s$

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Question 73 Marks

एक कार किसी कगार से गिर कर 0.5 s में धरती पर आ गिरती है। परिकलन में सरलता के लिए g का मान $10\ ms^{-2}$ लीजिए।

धरती पर टकराते समय कार की चाल क्या होगी?
0.5 s के दौरान इसकी औसत चाल क्या होगी?
धरती से कगार कितनी ऊँचाई पर है?

Answer

समय, $t = 0.5 s$
प्रारंभिक वेग, $u = 0 ms^{-1}$
गुरुत्वीय त्वरण, $g = 10 ms^{-2}$
कार का त्वरण, $a = +10 ms^{-2}$ (अधोमुखी)

चाल $v = at$
$v = 10 ms^{-2} \times 0.5 s$
$= 5 ms^{-1}$
औसत चाल $= \frac{u+v}{2}$
$= \frac {(0 \ m \ s^{-1}+5 \ m \ s^{-1})}{2}$
$= 2.5 ms^{-1}$
तय की गई दूरी,$ s = \frac {1}{2}at^2$
$= \frac {1}{2} \times 10 ms^{-2} \times (0.5 s)^2$
$=\frac {1}{2} \times 10 ms^{-2} \times (0.25 s)^2$
$= 1.25 m$

अतः

धरती पर टकराते समय इसकी चाल$= 5 ms^{-1}$
0.5 सेकंड के दौरान इसकी औसत चाल$= 2.5 ms^{-1}$
धरती से कगार की ऊँचाई$= 1.25 m$

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Question 83 Marks

पृथ्वी का द्रव्यमान $ 6 \times 10^{24}$ kg है तथा चंद्रमा का द्रव्यमान $7.4 \times 10^{22}$ kg है। यदि पृथ्वी तथा चंद्रमा के बीच की दूरी $3.84 \times 10^5$ km है तो पृथ्वी द्वारा चंद्रमा पर लगाए गए बल का परिकलन कीजिए। G = 6.7 $\times$ $10^{-11}\ N\ m^2\ kg^{-2}$)

Answer

पृथ्वी का द्रव्यमान,
$M=6 \times 10^{24} \mathrm{~kg}$
चंद्रमा का द्रव्यमान, $\mathrm{m}=7.4 \times 10^{22} \mathrm{~kg}$,
पृथ्वी तथा चंद्रमा के बीच की दूरी,
$\mathrm{d}=3.84 \times 10^5 \mathrm{~km}$
$ =3.84 \times 10^5 \times 1000 \mathrm{~m} $
$ =3.84 \times 10^8 \mathrm{~m} $
$ \mathrm{G}=6.7 \times 10^{-11} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^2 \mathrm{~kg}^{-2}$
पृथ्वी द्वारा चंद्रमा पर लगाया गया बल,
समीकरण F = $\mathrm{G} \frac{M \times m}{d^{2}}$
= $\frac{6.7 \times 10^{-11} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{2} \mathrm{~kg}^{-2} \times 6 \times 10^{24} \mathrm{~kg} \times 7.4 \times 10^{22} \mathrm{~kg}}{\left(3.84 \times 10^{8} \mathrm{~m}\right)^{2}}$
$=2.02 \times 10^{20} \mathrm{~N}$
अतः पृथ्वी द्वारा चंद्रमा पर लगाया गया बल $ 2.02 \times 10^{20}\ N$ है।

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विज्ञान उत्तर सविस्तर लिखिए :

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