प्रश्नों के उत्तर लिखिए। (प्रत्येक प्रश्न 3 अंक का हे)

Question 13 Marks

5 पुरुषों और 4 महिलाओं को एक पंक्ति में इस प्रकार बैठाया जाता है कि महिलाएँ सम स्थानों पर बैठती हैं। इस प्रकार के कितने विन्यास संभव हैं?

Answer

(Odd) सम (Odd) सम (Odd) सम (Odd) सम (Odd)
5 पुरूषों और 4 महिलाओं को एक पंक्ति में बैठाने पर 9 स्थानों में 5 स्थान विषम (odd) और 4 स्थान सम (even) होते हैं।
अब 4 सम स्थानों पर 4 महिलाओं को बैठाने के तरीके = 4!
और शेष 5 विषम स्थानों पर 5 पुरूषों को बैठाने के तरीके = 5!
$\therefore$ कुल तरीके = 4! $\times$ 5!
= 24 $\times$ 120 = 2880

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Question 23 Marks

52 पत्तों की एक गड्डी में से 5 पत्तों के संचय की संख्या निर्धारित कीजिए, यदि 5 पत्तों के प्रत्येक चयन (संचय) में तथ्यतः एक बादशाह है।

Answer

$\because$ 52 पत्तों में 4 बादशाह और 48 अन्य पत्ते होते हैं।
तब 5 पत्तों के चुनाव जिसमें 1 बादशाह और 4 अन्य पत्ते लेने के तरीके
= ${ }^{4} C_{1} \times{ }^{48} C_{4}$
= 4 $\times \frac{48 \times 47 \times 46 \times 45}{4!}$
= 778320

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Question 33 Marks

किसी परीक्षा के एक प्रश्नपत्र में 12 प्रश्न हैं जो क्रमशः 5 तथा 7 प्रश्नों वाले दो खंडों में विभक्त हैं अर्थात् खंड I और खंड II एक विद्यार्थी को प्रत्येक खंड से न्यूनतम 3 प्रश्नों का चयन करते हुए कुल 8 प्रश्नों को हल करना है। एक विद्यार्थी कितने प्रकार से प्रश्नों का चयन कर सकता है?

Answer

	खंड-I	खंड-II
दिए गये प्रश्नों की संख्या	5	7	संचय
8 प्रश्नों के चयन करने की विधियां
(i)	3	5	= ${ }^{5} C_{3} \times{ }^{7} C_{5}$
(ii)	4	4	= ${ }^{5} C_{4} \times{ }^{7} C_{4}$
(iii)	5	3	= ${ }^{5} C_{5} \times{ }^{7} C_{3}$

अतः प्रश्नों के चयन की कुल विधियां = ${^5}{C_3}{ \times ^7}{C_5}{ + ^5}{C_4}{ \times ^7}{C_4}{ + ^5}{C_5}{ \times ^7}{C_3}$
= $\frac{5 \times 4}{2!} \times \frac{7 \times 6}{2!}$ + 5 $\times \frac{7 \times 6 \times 5}{3!}+1 \times \frac{7 \times 6 \times 5}{3!}$
= 210 + 175 + 35
= 420

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Question 43 Marks

अंग्रेज़ी वर्णमाला में $5$ स्वर तथा $21$ व्यंजन हैं। इस वर्णमाला से $2$ भिन्न स्वरों और $2$ भिन्न व्यंजनो वाले कितने शब्दों की रचना की जा सकती है?

Answer

$5$ स्वरों में से $2$ स्वर लेने के तरीके $=\ ^5C_2$
तथा $21$ व्यंजनों में से $2$ व्यंजन लेने के तरीके $^{21}C_2$
$\therefore$ चयन के कुल तरीके $= { }^{5} C_{2} \times{ }^{21} C_{2}$
किन्तु ये चार अक्षर $(2 $ स्वर, $2$ व्यंजन$)$ परस्पर $4!$ प्रकार से व्यवस्थित किये जा सकते हैं।
$\therefore$ बनने वाले सभी शब्दों की संख्या $= { }^{5} C_{2} \times{ }^{21} C_{2} \times\ 4!$
$= \frac{5 \times 4}{2!} \times \frac{21 \times 20}{2!} \times 4!$
$= 50400$

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Question 53 Marks

$0, 1, 3, 5, 7$ तथा $9$ अंकों से, $10$ से विभाजित होने वाली और बिना पुनरावृत्ति किए कितनी $6$ अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?

Answer

दिये गये अंक $0, 1, 3, 5, 7,$ और $9$ से सभी छः अंकों को लेकर बनी संख्या
$\therefore$ संख्या $10$ से विभाज्य है अतः इकाई के स्थान पर शून्य को 1 प्रकार से भरते हैं।
इसके बाद पांच रिक्त स्थानों पर शेष पांच अंकों को $^5P_5$ प्रकार से भरा जा सकता है।
$\therefore$ कुल संख्याऐं $= 1 \times{ }^{5} P_{5}=1 \times 5! = 120$

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Question 63 Marks

यदि शब्द EXAMINATION के सभी अक्षरों से बने विभिन्न क्रमचयों को शब्दकोष की तरह सूचीबद्ध किया जाता है, तो E से प्रारंभ होने वाले प्रथम शब्द से पूर्व कितने शब्द हैं?

Answer

$\because$ शब्द कोश में शब्दों को वर्णमाला के क्रम में रखा जाता है।
$\therefore$ E से प्रारम्भ होने वाले शब्द से पहले के सभी शब्द A से प्रारम्भ होगें।
इस प्रकार A से प्रारम्भ होने वाले शब्दों में A का स्थान नियत हो जाने के बाद शेष 10 अक्षरों में I 2 बार और N 2 बार और शेष 6 अक्षर भिन्न हैं।
$\therefore$ कुल शब्द = $\frac{10!}{2! 2!}$ = 907200

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Question 73 Marks

EQUATION शब्द के अक्षरों से कितने, अर्थपूर्ण या अर्थहीन, शब्दों की रचना की जा सकती है, जबकि स्वर तथा व्यंजक एक साथ रहते हैं?

Answer

EUAIO, QTN
$\because$ स्वर और व्यंजन एक साथ रहते हैं इन्हें एक-एक अक्षर मान लेते हैं तब इन दो अक्षरों को आपस में 2! प्रकार से व्यवस्थित कर सकते हैं।
अब स्वर परस्पर 5! प्रकार और व्यंजन 3! प्रकार से व्यवस्थित किये जा सकते हैं।
$\therefore$ कुल विन्यासों की संख्या = 2! $\times 5! \times$ 3!
= 2 $\times 120 \times$ 6 = 1440

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Question 83 Marks

ASSASSINATION शब्द के अक्षरों के कितने विन्यास बनाए जा सकते हैं, जबकि सभी S एक साथ रहें?

Answer

SSSS, A, A, I, N, A, T, I, O, N
चारों S को एक अक्षर मानते हुए कुल 10 अक्षरों को जिनमें A 3 बार, N 2 दो बार तथा I 2 बार है को व्यवस्थित करने के तरीके
= $\frac{10!}{3! 2! 2!}$
तथा चारों S परस्पर 1 प्रकार से व्यवस्थित किये जा सकते हैं।
$\therefore$ कुल तरीके = $\frac{10!}{3! 2! 2!} \times$ 1
= $\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{2 \times 2}$ = 151200

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Question 93 Marks

$25$ विद्यार्थियों की एक कक्षा से, $10$ का चयन एक भ्रमण-दल के लिए किया जाता है। $3$ विद्यार्थी ऐसे हैं, जिन्होंने यह निर्णय लिया है कि या तो वे तीनों दल में शमिल होंगे या उनमें से कोई भी दल में शामिल नहीं होगा। भ्रमण-दल का चयन कितने प्रकार से किया जा सकता है?

Answer

कुल विद्यार्थियों की संख्या $= 25$
इनमें $10 $ छात्रों का चयन की निम्न दो विधियां है:

3 विशेष विद्यार्थी दल में सम्मिलित होंगे।
$\therefore$ शेष $22$ छात्रों में से $7$ छात्रों को चुनने के तरीके $=\ ^{22}C_7$
3 विशेष विद्यार्थी दल में सम्मिलित नहीं होगें।
$\therefore$ शेष $22$ छात्रों में से 10 छात्रों को चुनने के तरीके $=\ ^{22}C_{10}$
अतः कुल विधियां $= ^{22}C_7+\ ^{22}C_{10}$

$= 170544 + 646646 = 817190$

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Question 103 Marks

$DAUGHTER$ शब्द के अक्षरों से, कितने अर्थपूर्ण या अर्थहीन शब्दों की रचना की जा सकती है, जबकि प्रत्येक शब्द में $2$ स्वर तथा $3$ व्यंजन हों?

Answer

$DAUGHTER$ में
स्वर $A, U, E$
व्यंजन $D, G, H, T, R$
तीन स्वरों में से $2$ स्वर चुनने के तरीके $= \ ^3C_2$
और पांच व्यंजनों में से $3$ व्यंजन चुनने के तरीके $=\ ^5C_3$
$\therefore$ चुनने के कुल तरीके $^3C_2 \times\ ^5C_3$
किन्तु ये चयनित पांचों अक्षर $5!$ प्रकार से व्यवस्थित किये जा सकते हैं।
अतः बनने वाले शब्दों की कुल संख्या
$= { }^{3} C_{2} \times{ }^{5} C_{3} \times 5!$
$= \frac{3 \times 2}{2!} \times \frac{5 \times 4 \times 3}{3!} \times 5!$
$= 3 \times 10 \times 5!$
$= 30\times 120 = 3600$

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Question 113 Marks

$6$ लाल रंग की, $5$ सफेद रंग की और $5$ नीले रंग की गेंदों में से $9$ गेंदों के चुनने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए, यदि प्रत्येक संग्रह में प्रत्येक रंग की 3 गेंदें हैं।

Answer

$6$ लाल गेंदों से $3$ गेंद चुनने के तरीके $=\ ^6C_3$
$5$ सफेद गेंदों से $3$ गेंद चुनने के तरीके $=\ ^5C_3$
और $5$ नीले गेंदों से $3$ गेंद चुनने के तरीके $=\ ^5C_3$
$\therefore$ कुल संग्रहों की संख्या $=\ ^6C_3 \times{ }^{5} C_{3} \times{ }^{5} C_{3}$
$= \frac{6!}{3!} \times \frac{5!}{3!} \times \frac{2!}{3! 2!}$
$= \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \times \frac{5 \times 4}{2 \times 1}$
$= 20 \times 10 \times 10 = 2000$

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Question 123 Marks

PERMUTATIONS शब्द के अक्षरों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है, यदि चयनित शब्द में P तथा S के मध्य सदैव 4 अक्षर हों?

Answer

PERMUTATIONS शब्द में कुल 12 अक्षर हैं।
P_ _ _ S _ _ _ _ _ _ _ _
_ P _ _ _ S _ _ _ _ _ _ _
_ _ P _ _ _ S _ _ _ _ _ _
_ _ _ P _ _ _ S _ _ _ _ _
_ _ _ _ P _ _ _ S _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ P _ _ _ S _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ P _ _ _ S
स्पष्ट है कि P और S के मध्य में सदैव 4 अक्षर रहते है तब P की 7 स्थितियां सम्भव है।
किन्तु P और S परस्पर 2! प्रकार से अपनी स्थिति बदल सकत हैं। तथा शेष 10 अक्षरों को $\frac{10!}{2!}$ प्रकार से व्यवस्थित कर सकते हैं।
इस प्रकार अभीष्ट विन्यास = 7 $\times 2! \times \frac{10!}{2!}=7 \times$ 10! = 25401600

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Question 133 Marks

MISSISSIPPI शब्द के अक्षरों से बने भिन्न-भिन्न क्रमचयों में से कितनों में चारों I एक साथ नहीं आते हैं?

Answer

MISSISSIPPI शब्द में कुल अक्षर = 11
जिसमें S 4 बार, I 4 बार और P दो बार तथा एक भिन्न अक्षर M है।
$\therefore$ कुल शब्द = $\frac{11!}{4!4!2!}=\frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1}$ = 34650
चारों I एक साथ रहने पर इन चरो $\begin{array}{|l|} \hline \text { I I I I } \\ \hline \end{array}$ एक अक्षर मान लेते हैं। इस प्रकार $\begin{array}{|l|} \hline \text { I I I I } \\ \hline \end{array}$, M, S, S, S, S, P, P आठ अक्षरों से बने शब्दों की संख्या = $\frac{8!}{4! \times 2!}$
किन्तु I I I I आपस में एक ही प्रकार से व्यवस्थित हो सकती है।
$\therefore$ कुल शब्द (जिनमें चारों I I I I एक साथ हैं) की संख्या
= $\frac{8!}{4! \times 2!} \times 1=\frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{2}$
= 840
$\therefore$ अभीष्ट विन्यासों की संख्या जिनमें चारों I एक साथ न हो।
= 34650 - 840 = 33810

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गणित प्रश्नों के उत्तर लिखिए। (प्रत्येक प्रश्न 3 अंक का हे)

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