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गणित प्रश्नों के उत्तर लिखिए। (प्रत्येक प्रश्न 1 अंक का हे)

प्रायिकता · Jharkhand Board (JAC) कक्षा 11 साइन्स (Jharkhand - Hindi Medium). 112 questions.

Questions

प्रश्नों के उत्तर लिखिए। (प्रत्येक प्रश्न 1 अंक का हे)

Take a timed test

112 questions · self-marked practice — reveal the answer and mark yourself.

Question 11 Mark
यदि 0, 1, 3, 5 और 7 अंकों द्वारा 5000 से बड़ी चार अंकों की संख्या का यादृच्छया निर्माण किया गया हो तो पाँच से भाज्य संख्या के निर्माण की क्या प्रायिकता है जब, अंकों की पुनरावृत्ति की जाए?
Answer
अंकों की पुनरावृत्ति नहीं हो, दिये गए अंक 0, 1, 3, 5, 7

$\therefore$ n(S) = 2 $\times 4 \times 3 \times$ 2 = 48
E = 5 से भाज्य संख्या

$\therefore$ n(E) = 12 + 6 = 18
अतः P(E) = $\frac {n(E)}{n(S)} = \frac {18}{48} = \frac 38$
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Question 21 Mark
यदि 0, 1, 3, 5 और 7 अंकों द्वारा 5000 से बड़ी चार अंकों की संख्या का यादृच्छया निर्माण किया गया हो तो पाँच से भाज्य संख्या के निर्माण की क्या प्रायिकता है जब, अंकों की पुनरावृत्ति नहीं की जाए?
Answer
दिये गये अंक 0, 1, 3, 5, 7

5000 से बड़ी चार अंकों की संख्या में हजारवें स्थान को अंकों 5 या 7 से दो प्रकार से भरा जा सकता है और इसके बाद प्रत्येक सैकड़ा, दहाई, और इकाई के स्थानों को 5, 5, 5 प्रकार से भरा जा सकता है।
$\therefore$ n(S) = 2 $\times 5 \times 5 \times$ 5 = 250
E = अंकों की पुनरावृत्ति हो और संख्या 5 से भाज्य हो।

$\therefore$ n(E) = 100
अतः P(E) = $\frac {n(E)}{n(S)} = \frac {100}{250}= \frac 25$
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Question 31 Mark
A और B दो घटनाएँ इस प्रकार हैं कि P(A) = 0.54, P(B) = 0.69 और P(A $\cap$ B) = 0.35 ज्ञात कीजिए:
  1. P(A $\cup$ B)
  2. P(A' $\cap$ B')
  3. P(A $\cap$ B')
  4. P(B $\cap$ A')
Answer
P(A) = 0.54, P(B) = 0.69, P(A $\cap$ B) = 0.35
  1. P(A $\cup$ B) = P(A) + P(B) - P(A $\cap$ B)
    = 0.54 + 0.69 - 0.35
    = 0.88
  2. P(A' $\cap$ B') = P(A $\cup$ B)'
    = 1 - P(A $\cup$ B)
    = 1 - 0.88 = 0.12
  3. P(A $\cap$ B') = P(A) - P(A $\cap$ B)
    = 0.54 - 0.35 = 0.19
  4. P(B $\cap$ A') = P(B) - P(A $\cap$ B)
    = 0.69 - 0.35 = 0.34
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Question 41 Mark
एक लाटरी में $10000$ टिकट बेचे गए जिनमें दस समान इनाम दिए जाने हैं। कोई भी ईनाम न मिलने की प्रायिकता क्या है यदि आप $10$ टिकट खरीदते हैं?
Answer
$n(S) =\ ^{10000}C_{10}$
और $n(E) =\ ^{9990}C_{10}$
$\therefore P(E) = \frac{{ }^{9990} C_{10}}{{ }^{10000} C_{10}}$
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Question 51 Mark
एक लाटरी में $10000$ टिकट बेचे गए जिनमें दस समान इनाम दिए जाने हैं। कोई भी ईनाम न मिलने की प्रायिकता क्या है यदि आप दो टिकट खरीदते हैं?
Answer
$n(S) =\ ^{10000}C_2$
$n(E) =\ ^{9990}C_2$
$\therefore  P(E) = \frac{{ }^{9990} C_{2}}{{ }^{10000} C_{2}}$
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Question 61 Mark
एक लाटरी में $10000$ टिकट बेचे गए जिनमें दस समान इनाम दिए जाने हैं। कोई भी ईनाम न मिलने की प्रायिकता क्या है यदि आप एक टिकट खरीदते हैं?
Answer
$n(S) =\ ^{10000}C_1= 10000$
$\because 10000$ लाटरी के टिकटों में से $10$ टिकटों पर इनाम हैं तो $10000 - 10 = 9990$ टिकटों पर इनाम नहीं है।
$\because E =$ इनाम न मिलने की घटना
$n(E) = 9990$
अतः $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}=\frac{9990}{10000}=\frac{999}{1000}$
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Question 71 Mark
एक पासे के दो फलकों में से प्रत्येक पर संख्या 1 अंकित है, तीन फलकों में प्रत्येक पर संख्या 2 अंकित है और एक फलक पर संख्या 3 अंकित है। यदि पासा एक बार फेंका जाता है, तो P(3-नहीं) ज्ञात कीजिए।
Answer
पासे के फलकों पर अंकित संख्याऐं
1, 1, 2, 2, 2, 3
$\therefore$ n(S) = 6
P(3-नहीं) = P(1) + P(2)
= $\frac{2}{6}+\frac{3}{6}=\frac{5}{6}$
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Question 81 Mark
एक पासे के दो फलकों में से प्रत्येक पर संख्या 1 अंकित है, तीन फलकों में प्रत्येक पर संख्या 2 अंकित है और एक फलक पर संख्या 3 अंकित है। यदि पासा एक बार फेंका जाता है, तो P(1 या 3) ज्ञात कीजिए।
Answer
पासे के फलकों पर अंकित संख्याऐं
1, 1, 2, 2, 2, 3
$\therefore$ n(S) = 6
P(1 या 3) = P(1) + P(3)
= $\frac 26 + \frac 16 = \frac 12$
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Question 91 Mark
एक पासे के दो फलकों में से प्रत्येक पर संख्या 1 अंकित है, तीन फलकों में प्रत्येक पर संख्या 2 अंकित है और एक फलक पर संख्या 3 अंकित है। यदि पासा एक बार फेंका जाता है, तो P(2) ज्ञात कीजिए।
Answer
पासे के फलकों पर अंकित संख्याऐं
1, 1, 2, 2, 2, 3
$\therefore$ n(S) = 6
P(2) = $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
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Question 101 Mark
एक डिब्बे में $10$ लाल, $20$ नीली व $30$ हरी गोलियाँ रखी हैं। डिब्बे से 5 गोलियाँ यादृच्छया निकाली जाती हैं। प्रायिकता क्या है कि कम से कम एक गोली हरी है?
Answer
$10$ लाल, $20$ नीली और $30$ हरी गोलियों की कुल संख्या $= 10 + 20 + 30 = 60$
इनमें से 5 गोलियां चुनने के तरीके
$n(S) =\ ^{60}C_5$ 
E = कम से कम एक गोली हरी है।
$\therefore$ अभीष्ट प्रायिकता $= 1 -$ किसी भी गोली के हरी न होने की प्रायिकता
$= 1 - \frac{{ }^{30} C_{5}}{{ }^{60} C_{5}}$
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Question 111 Mark
एक डिब्बे में $10 $ लाल, $20$ नीली व $30$ हरी गोलियाँ रखी हैं। डिब्बे से 5 गोलियाँ यादृच्छया निकाली जाती हैं। प्रायिकता क्या है कि सभी गोलियाँ नीली हैं?
Answer
$10$ लाल, $20$ नीली और $30$ हरी गोलियों की कुल संख्या $= 10 + 20 + 30 = 60$
इनमें से 5 गोलियाँ चुनने के तरीके
$n(S) =\ ^{60}C_5$ 
$E =$ सभी गोलियां नीली हैं।
$n(E) =\ ^{20}C_5$ 
$\therefore P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}=\frac{{ }^{20} C_{5}}{{ }^{60} C_{5}}$
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Question 121 Mark
यदि किसी घटना A की प्रायिकता $\frac{2}{11}$ है तो घटना A - नहीं की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer
P(A) = $\frac{2}{11}$
$\therefore$ P(A - नहीं) = P(A') = 1 - P(A)
= 1 - $\frac{2}{11}$
= $\frac{9}{11}$
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Question 131 Mark
तीन सिक्के एक बार उछाले जाते हैं। अधिकतम 2 पट् प्रकट होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer
तीन सिक्कों को उछालने पर प्राप्त प्रतिदर्श समष्टि
S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}
$\therefore$ n(S) = 8
E = अधिकतम 2 पट् प्रकट होना।
= {TTH, THT, HTT, THH, HTH, HHT, HHH}
n(E) = 7
$\therefore$ P(E) = $\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{7}{8}$
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Question 141 Mark
तीन सिक्के एक बार उछाले जाते हैं। कोई भी पट् न प्रकट होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer
तीन सिक्कों को उछालने पर प्राप्त प्रतिदर्श समष्टि
S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}
$\therefore$ n(S) = 8
E = कोई भी पट् न प्रकट होना।
= {HHH}
n(E) = 1
$\therefore$ P(E) = $\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{1}{8}$
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Question 151 Mark
तीन सिक्के एक बार उछाले जाते हैं। तथ्यतः 2 पट् प्रकट होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer
तीन सिक्कों को उछालने पर प्राप्त प्रतिदर्श समष्टि
S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}
$\therefore$ n(S) = 8
E = तथ्यतः 2 पट् प्रकट होना।
= {TTH, THT, HTT}
n(E) = 3
$\therefore$ P(E) = $\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{3}{8}$
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Question 161 Mark
तीन सिक्के एक बार उछाले जाते हैं। 3 पट् प्रकट होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer
तीन सिक्कों को उछालने पर प्राप्त प्रतिदर्श समष्टि
S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}
$\therefore$ n(S) = 8
E = 3 पट् प्रकट होना।
= {TTT}
$\therefore$ P(E) = $\frac{1}{8}$
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Question 171 Mark
तीन सिक्के एक बार उछाले जाते हैं। एक भी चित्त प्रकट न होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer
तीन सिक्कों को उछालने पर प्राप्त प्रतिदर्श समष्टि
S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}
$\therefore$ n(S) = 8
E = एक भी चित्त प्रकट न होना
= {TTT}
n(E) = 1
$\therefore$ P(E) = $\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{1}{8}$
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Question 181 Mark
तीन सिक्के एक बार उछाले जाते हैं। अधिकतम 2 चित्त प्रकट होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer
तीन सिक्कों को उछालने पर प्राप्त प्रतिदर्श समष्टि
S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}
$\therefore$ n(S) = 8
E = अधिकतम 2 चित्त प्रकट होना।
= {HHT, HTH, THH, TTH, THT, HTT, TTT}
n(E) = 1
$\therefore$ P(E) = $\frac{n(E)}{n(S)}=\frac 78$
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Question 191 Mark
तीन सिक्के एक बार उछाले जाते हैं। न्यूनतम 2 चित्त प्रकट होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer
तीन सिक्कों को उछालने पर प्राप्त प्रतिदर्श समष्टि
S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}
$\therefore$ n(S) = 8
E = न्यूनतम 2 चित्त प्रकट होना।
= {HHH, HTH, THH, HHH}
n(E) = 4
$\therefore$ P(E) = $\frac{n(E)}{n(S)}=\frac 4 8 =\frac 1 2$
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Question 201 Mark
तीन सिक्के एक बार उछाले जाते हैं। 2 चित्त प्रकट होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer
तीन सिक्कों को उछालने पर प्राप्त प्रतिदर्श समष्टि
S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}
$\therefore$ n(S) = 8
E = 2 चित्त प्रकट होना।
= {HHH, HTH, THH}
n(E) = 3
$\therefore$ P(E) = $\frac{n(E)}{n(S)}=\frac 38$
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Question 211 Mark
तीन सिक्के एक बार उछाले जाते हैं। तीन चित्त प्रकट होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer
तीन सिक्कों को उछालने पर प्राप्त प्रतिदर्श समष्टि
S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}
$\therefore$ n(S) = 8
E = तीन चित्त प्रकट होना।
= {HHH}
$\therefore$ n(E) = 1
अतः P(E) = $\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{1}{8}$
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Question 221 Mark
नगर परिषद् में चार पुरुष व छः स्त्रियाँ हैं। यदि एक समिति के लिए यादृच्छया एक परिषद् सदस्य चुना गया है तो एक स्त्री के चुने जाने की कितनी संभावना है?
Answer
चार पुरुष और 6 स्त्रियों में से किसी एक व्यक्ति के चुनने के प्रकार $=\ ^{10}C_1 = 10$
$\therefore n(S) = 10$
और $6$ स्त्रियों में से एक स्त्री को चुने जाने के प्रकार
$=\ ^6C_1 = 6$
$\therefore n(E) = 6$
$\Rightarrow P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(S)}} = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}$
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Question 231 Mark
एक अनभिनत (unbiased) सिक्का जिसके एक तल पर 1 और दूसरे तल पर 6 अंकित है तथा एक अनभिनत पासा दोनों को उछाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि प्रकट संख्याओं का योग 12 है।
Answer
एक सिक्का और एक पांसे को उछालने पर प्रतिदर्श समष्टि $S$ में कुल बिन्दुओं की सं.
n(S) = 2 $\times$ 6 = 12
E = प्राप्त संख्याओं का योग 12 हो।
E = {(6, 6)}, n(E) = 1
$\therefore$ P(E) = $\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{1}{12}$
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Question 241 Mark
एक अनभिनत (unbiased) सिक्का जिसके एक तल पर 1 और दूसरे तल पर 6 अंकित है तथा एक अनभिनत पासा दोनों को उछाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि प्रकट संख्याओं का योग 3 है।
Answer
एक सिक्का और एक पांसे को उछालने पर प्रतिदर्श समष्टि S में कुल बिन्दुओं की सं.
n(S) = 2 $\times$ 6 = 12
E = प्राप्त संस्थाओं का योग 3 हो।
= {(1, 2)} {$\because$ प्रथम संख्या सिक्के पर द्वितीय संख्या पांसे पर प्राप्त होती है।}
= n(E) = 1
$\therefore$ P(E) = $\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{1}{12}$
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Question 251 Mark
ताश की गड़ी के 52 पत्तों में से एक पत्ता यादृच्छया निकाला गया है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पत्ता
  1. इक्का है
  2. काले रंग का है।
Answer
$\because$ ताश की गड्डी में कुल पत्तों की संख्या 52
  1. E = इक्का होना
    n(E) = 4
    $\therefore$ P(E) = $\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}$
  2. E = पत्ता काले रंग का है।
    $\because$ 13 पत्ते हुकुम और 13 पत्ते चिड़ी के काले होते हैं।
    $\therefore$ n(E) = 13 + 13 = 26
    अतः P(E) = $\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{26}{52}=\frac{1}{2}$
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Question 261 Mark
ताश की गड़ी के 52 पत्तों में से एक पत्ता यादृच्छया निकाला गया है। पत्ते का हुकुम का इक्का होने की प्रायिकता क्या है?
Answer
$\because$ ताश की गड्डी में कुल पत्तों की संख्या 52
E = हुकुम का पत्ता निकलना
n(E) = 13
$\therefore$ P(E) = $\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}$
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Question 271 Mark
ताश की गड़ी के 52 पत्तों में से एक पत्ता यादृच्छया निकाला गया है। प्रतिदर्श समष्टि में कितने बिंदु हैं?
Answer
$\because$ ताश की गड्डी में कुल पत्तों की संख्या 52
$\therefore$ प्रतिदर्श समष्टि में कुल बिन्दु = n(S) = 52
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Question 281 Mark
एक पासा फेंका जाता है। छः से छोटी संख्या प्रकट होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer
पासे की फेंक में,
प्रतिदर्श समाष्टि S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6
E= छः से छोटी संख्या प्रकट होना।
= {1, 2, 3, 4, 5}, n(E) = 5
$\therefore$ P(E) = $\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{5}{6}$
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Question 291 Mark
एक पासा फेंका जाता है। छः से बड़ी संख्या प्रकट होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer
पासे की फेंक में,
प्रतिदर्श समाष्टि S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6
E = छः से बड़ी संख्या प्रकट होना।
= $\phi$, n(E) = 0
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Question 301 Mark
एक पासा फेंका जाता है। 1 या 1 से बड़ी संख्या प्रकट होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer
पांसे की फेंक में,
प्रतिदर्श समाष्टि S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6
E = 1 या 1 से छोटी संख्या आना।
= {1}, n(E) = 1
$\therefore P(E) =\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{1}{6}$
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Question 311 Mark
एक पासा फेंका जाता है। 3 या 3 से बड़ी संख्या प्रकट होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer
पासे की फेंक में,
प्रतिदर्श समाष्टि S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6
E = 3 या 3 से बड़ी संख्या आना
= {3, 4, 5, 6}, n(E) = 4
$\therefore P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$
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Question 321 Mark
एक पासा फेंका जाता है। एक अभाज्य संख्या प्रकट होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer
पासे की फेंक में,
प्रतिदर्श समाष्टि S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6
E = अभाज्य संख्या आना
= {2, 3, 5}, n(E) = 3
$\therefore$ P(E) = $\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
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Question 331 Mark
एक सिक्का दो बार उछाला जाता है। कम से कम एक पट् प्राप्त होने की क्या प्रायिकता है?
Answer
एक सिक्के को दो बार उछालने पर,
प्रतिदर्श समष्टि S = {HH, HT, TH, TT}
घटना E = कम से कम एक पट् प्राप्त होना
= {HT, TH, TT}
$\because$ n(S) = 4, n(E) = 3
और P(E) = $\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{3}{4}$
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Question 341 Mark
घटनाएँ E और F इस प्रकार हैं कि P(E-नहीं या F-नहीं) = 0.25, बताइए कि E और F परस्पर अपवर्जी हैं या नहीं?
Answer
माना A = पहले परीक्षणों में उत्तीर्ण होने की घटना
B = दूसरे परीक्षणों में उत्तीर्ण होने की घटना
P(A) = 0.8, P(B) = 0.7
P(A $\cup$ B) = 0.95
$\because$ P(A $\cup$ B) = P(A) + P(B) - P(A $\cap$ B)
$\Rightarrow$ 0.95 = 0.8 + 0.7 - P(A $\cap$ B)
$\Rightarrow$ P(A $\cap$ B) = 1.5 - 0.95
= 0.55
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Question 351 Mark
प्रतिदर्श समष्टि S = $\left\{\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}, \omega_{4}, \omega_{5}, \omega_{6}, \omega_{7}\right\}$ के परिणाम के लिए निम्नलिखित में कौन-सी प्रायिकता निर्धारण वैध नहीं है:
परिणाम $\omega_{1}$ $\omega_2$ $\omega_3$ $\omega_4$ $\omega_5$ $\omega_6$ $\omega_7$
$\frac 1{14}$ $\frac 2{14}$ $\frac 3{14}$ $\frac 4{14}$ $\frac 5{14}$ $\frac 6{14}$ $\frac {15}{14}$
Answer
$\because$ P$\left(\omega_{7}\right)=\frac{15}{14}$ > 1
$\therefore$ यह निर्धारण वैध नहीं है।
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Question 361 Mark
P(A) = $\frac{3}{5}$ और P(B) = $\frac{1}{5}$, दिया गया है। यदि A और B परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं, तो P(A या B), ज्ञात कीजिए।
Answer
P(A) = 0.42, P(B) = 0.48
P(A $\cap$ B) = 0.16
  1. P(A-नहीं) = P(A')
    = 1 - P(A)
    = 1 - 0.42
    = 0.58
  2. P(B-नहीं) = P(B')
    = 1 - P(B)
    = 1 - 0.48
    = 0.52
  3. P(A या B) = P(A $\cup$ B) = P(A) + P(B) - P(A $\cap$ B)
    = 0.42 + 0.48 - 0.16
    = 0.90 - 0.16
    = 0.74
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Question 371 Mark
प्रतिदर्श समष्टि $S =\left\{\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}, \omega_{4}, \omega_{5}, \omega_{6}, \omega_{7}\right\}$ के परिणाम के लिए निम्नलिखित में कौन$-$सी प्रायिकता निर्धारण वैध नहीं है$:$
परिणाम $\omega_{1}$ $\omega_2$ $\omega_3$ $\omega_4$ $\omega_5$ $\omega_6$ $\omega_7$
  $-0.1$ $0.2$ $0.3$ $0.4$ $-0.2$ $0.1$ $0.3$
Answer
$\left.\begin{array}{l}p\left(\omega_{1}\right)=-0.1 \\ p\left(\omega_{5}\right)=-0.2\end{array}\right\}$ ऋणात्मक हैं।
$\therefore$ यह निर्धारण वैध नहीं है।
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Question 381 Mark
P(A) P(B) P(A $\cap$ B) P(A $\cup$ B)
0.5 0.35 ________ 0.6
Answer
P(E-नहीं या F-नहीं) = 0.25
$\Rightarrow$ P(E' $\cup$ F') = 0.25
$\Rightarrow$ P(E $\cap$ F)' = 0.25
$\Rightarrow$ 1 - P(E $\cap$ F) = 0.25
$\therefore$ P(E $\cap$ F) = 1 - 0.25 = 0.75 $\neq$ 0
$\therefore$ E और F परस्पर अपवर्जी नहीं हैं।
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Question 391 Mark
P(A) P(B) P(A$\cap$B) P(A$\cup$B)
0.35 ________ 0.25 0.6
Answer
P(E) = $\frac{1}{4}$, P(F) = $\frac{1}{2}$
P(E और F) = P(E $\cap$ F) = $\frac{1}{8}$,
  1. P(E या F) = P(E $\cup$ F) = P(E) + P(F) - P(E $\cap$ F)
    = $\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{8}$
    = $\frac{2+4-1}{8}=\frac{5}{8}$
  2. P(E-नहीं और F-नहीं)
    = P(E' $\cap$ F')
    = P(E $\cup$ F)'
    = 1 - P(E $\cup$ F) = 1 - $\frac{5}{8}=\frac{3}{8}$
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Question 401 Mark
P(A) P(B) P(A$\cap$B) P(A$\cup$B)
$\frac 13$ $\frac 15$ $\frac 1{15}$ ________
Answer
$\because$ A और B परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं।
$\therefore$ P(A या B) = P(A $\cup$ B) = P(A) + P(B)
= $\frac{3}{5}+\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$
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Question 411 Mark
प्रतिदर्श समष्टि S = $\left\{\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}, \omega_{4}, \omega_{5}, \omega_{6}, \omega_{7}\right\}$ के परिणाम के लिए निम्नलिखित में कौन-सी प्रायिकता निर्धारण वैध नहीं है:
परिणाम $\omega_{1}$ $\omega_2$ $\omega_3$ $\omega_4$ $\omega_5$ $\omega_6$ $\omega_7$
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
Answer
$\because$ $\Sigma$P = 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 + 0.5 + 0.6 + 0.7
= 2.8 $\neq$ 1
$\therefore$ यह निर्धारण वैध नहीं है।
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Question 421 Mark
जाँच कीजिए कि निम्न प्रायिकताएँ P(A) और P(B) युक्ति संगत (consistently) परिभाषित की गई हैं:
P(A) = 0.5, P(B) = 0.4, P(A $\cap$ B) = 0.8
Answer
P(A) = 0.5, P(B) = 0.4, P(A $\cap$ B) = 0.8
$\because$ P(A $\cup$ B) = P(A) + P(B) - P(A $\cap$ B)
0.8 = 0.5 + 0.4 - P(A $\cap$ B)
$\Rightarrow$ P(A $\cap$ B) = 0.1 < P(A), P(B)
$\therefore$ दी गई प्रायिकताएँ युक्ति संगत हैं।
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Question 431 Mark
जाँच कीजिए कि निम्न प्रायिकताएँ P(A) और P(B) युक्ति संगत (consistently) परिभाषित की गई हैं:
P(A) = 0.5, P(B) = 0.7, P(A $\cap$ B) = 0.6
Answer
P(A) = 0.5, P(B) = 0.7
P(A $\cap$ B) = 0.6
$\because A \cap B \subseteq A$
$\therefore P(A \cap B) \leq P(A)$ ...(1)
किन्तु यहाँ 0.6 > 0.5
P(A $\cap$ B) > P(A)
जोकि समी. (1) से गलत है।
अतः दी गई प्रायिकताऐं युक्ति संगत नहीं हैं।
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Question 441 Mark
प्रतिदर्श समष्टि S = $\left\{\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}, \omega_{4}, \omega_{5}, \omega_{6}, \omega_{7}\right\}$ के परिणाम के लिए निम्नलिखित में कौन-सी प्रायिकता निर्धारण वैध नहीं है:
परिणाम $\omega_{1}$ $\omega_2$ $\omega_3$ $\omega_4$ $\omega_5$ $\omega_6$ $\omega_7$
$\frac 17$ $\frac 17$ $\frac 17$ $\frac 17$ $\frac 17$ $\frac 17$ $\frac 17$
Answer
$\because$ प्रत्येक प्रायिकता p, 0 < P < 1
और
$\Sigma$P = $\frac{1}{7}+\frac{1}{7}+\frac{1}{7}+\frac{1}{7}+\frac{1}{7}+\frac{1}{7}+\frac{1}{7}=\frac{7}{7}$ = 1
$\therefore$ यह निर्धारण वैध है।
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Question 451 Mark
एक लाटरी में एक व्यक्ति $1$ से $20$ तक की संख्याओं में से छः भिन्न-भिन्न संख्याएँ यादृच्छया चुनता है और यदि ये चुनी गई छः संख्याएँ उन छः संख्याओं से मेल खाती हैं, जिन्हें लाटरी समिति ने पूर्वनिर्धारित कर रखा है, तो वह व्यक्ति इनाम जीत जाता है। लाटरी के खेल में इनाम जीतने की प्रायिकता क्या है$?$
Answer
$1$ से $20$ तक संख्याओं में से 6 संख्याएँ चुनने के प्रकार
$n(S) =\ ^{20}C_6= 38760$ और $n(E) = 1$
$\therefore$ अभीष्ट प्रायिकता P(E) = $\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{1}{38760}$
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Question 461 Mark
प्रतिदर्श समष्टि S = $\left\{\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}, \omega_{4}, \omega_{5}, \omega_{6}, \omega_{7}\right\}$ के परिणाम के लिए निम्नलिखित में कौन-सी प्रायिकता निर्धारण वैध नहीं है:
परिणाम $\omega_{1}$ $\omega_2$ $\omega_3$ $\omega_4$ $\omega_5$ $\omega_6$ $\omega_7$
0.1 0.01 0.05 0.03 0.01 0.2 0.6
Answer
प्रत्येक प्रायिकता धनात्मक और 1 से छोटी है। तथा सभी प्रायिकताओं का योग
$\Sigma$P = 0.1 + 0.01 + 0.05 + 0.03 + 0.01 + 0.2 + 0.6
= 1
$\therefore$ यह निर्धारण वैध है।
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Question 471 Mark
शब्द ASSASSINATION से एक अक्षर यादृच्छया चुना जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि चुना गया अक्षर एक व्यंजन (consonant) है।
Answer
ASSASSINATION शब्द में कुल अक्षर 13 हैं।
$\therefore$ n(S) = 13
व्यंजन SSSNTN
7 व्यंजन है।
$\therefore$ n(E) = 7
$\therefore$ P(E) = $\frac 7{13}$
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Question 481 Mark
शब्द ASSASSINATION से एक अक्षर यादृच्छया चुना जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि चुना गया अक्षर एक स्वर (vowel) है।
Answer
ASSASSINATION शब्द में कुल अक्षर 13 हैं।
$\therefore$ n(S) = 13
स्वर A, A, 1A, 1, 0, 6 स्वर हैं।
$\therefore$ n(E) = 6
$\therefore$ P(E) = $\frac 6{13}$
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Question 491 Mark
दो पासे फेंके जाते हैं। घटनाएँ A, B और C निम्नलिखित प्रकार से हैं:
A: पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त होना
B: पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त होना
C: पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग $\leq$ 5 होना
अब नीचे दिए कथन में सत्य या असत्य बताइए (अपने उत्तर का कारण दीजिए):
A', B', C परस्पर अपवर्जी और निःशेष घटनाएँ हैं।
Answer
असत्य
$\because B^{\prime} \cap C=A \cap C$ = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 1)} $\ne \phi$
$\Rightarrow$ B' और C अपवर्जी घटनाऐं नहीं है।
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Question 501 Mark
दो पासे फेंके जाते हैं। घटनाएँ A, B और C निम्नलिखित प्रकार से हैं:
A: पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त होना
B: पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त होना
C: पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग $\leq$ 5 होना
अब नीचे दिए कथन में सत्य या असत्य बताइए (अपने उत्तर का कारण दीजिए):
A और B' परस्पर अपवर्जी हैं।
Answer
असत्य, क्योंकि A $\cap$ B' = A $\cap$ A = A $\ne \phi$
$\therefore$ A और B' अपवर्जी नहीं हैं।
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Question 511 Mark
दो पासे फेंके जाते हैं। घटनाएँ A, B और C निम्नलिखित प्रकार से हैं:
A: पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त होना
B: पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त होना
C: पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग $\leq$ 5 होना
अब नीचे दिए कथन में सत्य या असत्य बताइए (अपने उत्तर का कारण दीजिए):
A और C परस्पर अपवर्जी हैं।
Answer
असत्य, क्योंकि A $\cap$ C = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 1)} $\ne \phi$
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Question 521 Mark
दो पासे फेंके जाते हैं। घटनाएँ A, B और C निम्नलिखित प्रकार से हैं:
A: पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त होना
B: पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त होना
C: पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग $\leq$ 5 होना
नीचे दिए कथन में सत्य या असत्य बताइए (अपने उत्तर का कारण दीजिए):
A = B'
Answer
सत्य, A = B' ($\because$ A और B परस्पर अनन्य हैं}
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Question 531 Mark
दो पासे फेंके जाते हैं। घटनाएँ A, B और C निम्नलिखित प्रकार से हैं:
A: पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त होना
B: पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त होना
C: पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग $\leq$ 5 होना
नीचे दिए कथन में सत्य या असत्य बताइए (अपने उत्तर का कारण दीजिए):
A और B पर अपवर्जी और निःशेष हैं।
Answer
सत्य, क्योंकि A $\cap$ B = $\phi$; A $\cup$ B = S
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Question 541 Mark
दो पासे फेंके जाते हैं। घटनाएँ A, B और C निम्नलिखित प्रकार से हैं:
A: पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त होना
B: पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त होना
C: पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग $\leq$ 5 होना
नीचे दिए कथन में सत्य या असत्य बताइए (अपने उत्तर का कारण दीजिए):
A और B परस्पर अपवर्जी हैं।
Answer
सत्य, क्योंकि A $\cap$ B = $\phi$
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Question 551 Mark
दो पासे फेंके जाते हैं। घटनाएँ A, B और C निम्नलिखित प्रकार से हैं:
A: पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त होना
B: पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त होना
C: पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग $\leq$ 5 होना
घटना A $\cap$ B' $\cap$ C' का वर्णन कीजिए।
Answer
दो पासों की फेंक में,
प्रतिदर्श समष्टि
S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
A = पहले पासे पर सम संख्या प्रकट होना।
= {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2,6), (4,1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
B = पहले पासे पर विषम संख्या पप्राप्त होना।
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)}
और C = पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग $\leq$ 5
= संख्याओं का योग 5, 4, 3, 2
= {(1, 1),(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1)}
A $\cap$ B' $\cap$ C' = (A $\cap$ B') $\cap$ C'
= (A $\cap$ A) $\cap$ C'
= A $\cap$ C'
= A - C
= {(2, 4), (2, 5), (2,6), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
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Question 561 Mark
दो पासे फेंके जाते हैं। घटनाएँ A, B और C निम्नलिखित प्रकार से हैं:
A: पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त होना
B: पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त होना
C: पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग $\leq$ 5 होना
घटना B और C का वर्णन कीजिए।
Answer
दो पासों की फेंक में,
प्रतिदर्श समष्टि
S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
A = पहले पासे पर सम संख्या प्रकट होना।
= {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2,6), (4,1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
B = पहले पासे पर विषम संख्या पप्राप्त होना।
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)}
और C = पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग $\leq$ 5
= संख्याओं का योग 5, 4, 3, 2
= {(1, 1),(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1)}
B और C = B $\cap$ C
= {(1, 1),(1, 2), (3, 1), (1, 3), (3, 2), (1, 4)}
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Question 571 Mark
दो पासे फेंके जाते हैं। घटनाएँ A, B और C निम्नलिखित प्रकार से हैं:
A: पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त होना
B: पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त होना
C: पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग $\leq$ 5 होना
घटना B या C का वर्णन कीजिए।
Answer
दो पासों की फेंक में,
प्रतिदर्श समष्टि
S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
A = पहले पासे पर सम संख्या प्रकट होना।
= {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2,6), (4,1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
B = पहले पासे पर विषम संख्या पप्राप्त होना।
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)}
और C = पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग $\leq$ 5
= संख्याओं का योग 5, 4, 3, 2
= {(1, 1),(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1)}
B या C = B $\cup$ C
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (2, 1), (2, 2), (4, 1), (2, 3)}
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Question 581 Mark
दो पासे फेंके जाते हैं। घटनाएँ A, B और C निम्नलिखित प्रकार से हैं:
A: पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त होना
B: पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त होना
C: पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग $\leq$ 5 होना
घटना A किंतु C नहीं का वर्णन कीजिए।
Answer
दो पासों की फेंक में,
प्रतिदर्श समष्टि
S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
A = पहले पासे पर सम संख्या प्रकट होना।
= {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2,6), (4,1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
B = पहले पासे पर विषम संख्या पप्राप्त होना।
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)}
और C = पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग $\leq$ 5
= संख्याओं का योग 5, 4, 3, 2
= {(1, 1),(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1)}
A किंतु C नहीं = A $\cap$ C' = A - C
= {(2, 4), (2, 5), (2,6), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
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Question 591 Mark
दो पासे फेंके जाते हैं। घटनाएँ A, B और C निम्नलिखित प्रकार से हैं:
A: पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त होना
B: पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त होना
C: पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग $\leq$ 5 होना
घटना A और B का वर्णन कीजिए।
Answer
दो पासों की फेंक में,
प्रतिदर्श समष्टि
S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
A = पहले पासे पर सम संख्या प्रकट होना।
= {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2,6), (4,1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
B = पहले पासे पर विषम संख्या पप्राप्त होना।
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)}
और C = पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग $\leq$ 5
= संख्याओं का योग 5, 4, 3, 2
= {(1, 1),(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1)}
A और B = A $\cap$ B = $\phi$
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Question 601 Mark
दो पासे फेंके जाते हैं। घटनाएँ A, B और C निम्नलिखित प्रकार से हैं:
A: पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त होना
B: पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त होना
C: पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग $\leq$ 5 होना
घटना A या B का वर्णन कीजिए।
Answer
दो पासों की फेंक में,
प्रतिदर्श समष्टि
S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
A = पहले पासे पर सम संख्या प्रकट होना।
= {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2,6), (4,1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
B = पहले पासे पर विषम संख्या पप्राप्त होना।
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)}
और C = पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग $\leq$ 5
= संख्याओं का योग 5, 4, 3, 2
= {(1, 1),(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1)}
A या B = A $\cup$ B = S
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Question 611 Mark
दो पासे फेंके जाते हैं। घटनाएँ A, B और C निम्नलिखित प्रकार से हैं:
A: पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त होना
B: पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त होना
C: पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग $\leq$ 5 होना
घटना B - नहीं का वर्णन कीजिए।
Answer
दो पासों की फेंक में,
प्रतिदर्श समष्टि
S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
A = पहले पासे पर सम संख्या प्रकट होना।
= {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2,6), (4,1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
B = पहले पासे पर विषम संख्या पप्राप्त होना।
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)}
और C = पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग $\leq$ 5
= संख्याओं का योग 5, 4, 3, 2
= {(1, 1),(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1)}
B - नहीं = B' = S - B = A
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Question 621 Mark
दो पासे फेंके जाते हैं। घटनाएँ A, B और C निम्नलिखित प्रकार से हैं:
A: पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त होना
B: पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त होना
C: पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग $\leq$ 5 होना
घटना A' का वर्णन कीजिए।
Answer
दो पासों की फेंक में,
प्रतिदर्श समष्टि
S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
A = पहले पासे पर सम संख्या प्रकट होना।
= {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2,6), (4,1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
B = पहले पासे पर विषम संख्या पप्राप्त होना।
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)}
और C = पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग $\leq$ 5
= संख्याओं का योग 5, 4, 3, 2
= {(1, 1),(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1)}
A' = S - A
= B
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Question 631 Mark
तीन सिक्के एक बार उछाले जाते हैं। वर्णन कीजिए। तीन घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जी हैं किंतु निःशेष नहीं हैं।
Answer
तीन सिक्कों की उछाल में,
प्रतिदर्श समष्टि
S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}
A = एक चित प्रकट होना।
B = दो चित प्रकट होना।
और C = तीन चित प्रकट होना।​
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Question 641 Mark
तीन सिक्के एक बार उछाले जाते हैं। वर्णन कीजिए। दो घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जी हैं किंतु निःशेष नहीं हैं।
Answer
तीन सिक्कों की उछाल में,
प्रतिदर्श समष्टि
S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}
A = एक चित प्रकट होना।
B = दो चित प्रकट होना।
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Question 651 Mark
तीन सिक्के एक बार उछाले जाते हैं। वर्णन कीजिए। दो घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जी नहीं हैं।
Answer
तीन सिक्कों की उछाल में,
प्रतिदर्श समष्टि
S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}
A = अधिकतम दो पट
B = दो चित
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Question 661 Mark
तीन सिक्के एक बार उछाले जाते हैं। वर्णन कीजिए। तीन घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जी और निःशेष हैं।
Answer
तीन सिक्कों की उछाल में,
प्रतिदर्श समष्टि
S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}
A = अधिक एक चित प्रकट होना।
B = दो चित प्रकट होना।
और C = तीन चित प्रकट होना।
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Question 671 Mark
तीन सिक्के एक बार उछाले जाते हैं। वर्णन कीजिए। दो घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जी हैं।
Answer
तीन सिक्कों की उछाल में,
प्रतिदर्श समष्टि
S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}
A = कम से कम दो चित
B = कम से कम दो पट
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Question 681 Mark
तीन सिक्कों को एक बार उछाला जाता है। मान लीजिए कि घटना तीन चित्त दिखना को A से, घटना दो चित्त और एक पट् दिखना को B से, घटना तीन पट् दिखना को C और घटना पहले सिक्के पर चित्त दिखना को D से निरूपित किया गया है। बताइए कि इनमें से कौन-सी घटनाएँ मिश्र हैं?
Answer
तीन सिक्कों को उछालने पर
प्रतिदर्श समष्टि
S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}
$\therefore$ A = तीन चित = {HHH}
B = दो चित, एक पट् = {HHT, HTH, THH}
C = तीन पट् = {TTT}
और D = पहले सिक्के पर चित देखना
= {HHH, HHT, HTH, HTT}
A $\cap$ B = $\phi$, B $\cap$ C = $\phi$, A $\cap$ C = $\phi$
A $\cap$ D = {HHH} $\neq \phi$, B $\cap$ D = {HHT, HTH} $\neq \phi$
C $\cap$ D = $\phi$
$\therefore$ मिश्र घटनायें B, D
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Question 691 Mark
तीन सिक्कों को एक बार उछाला जाता है। मान लीजिए कि घटना तीन चित्त दिखना को A से, घटना दो चित्त और एक पट् दिखना को B से, घटना तीन पट् दिखना को C और घटना पहले सिक्के पर चित्त दिखना को D से निरूपित किया गया है। बताइए कि इनमें से कौन-सी घटनाएँ सरल हैं?
Answer
तीन सिक्कों को उछालने पर
प्रतिदर्श समष्टि
S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}
$\therefore$ A = तीन चित = {HHH}
B = दो चित, एक पट् = {HHT, HTH, THH}
C = तीन पट् = {TTT}
और D = पहले सिक्के पर चित देखना
= {HHH, HHT, HTH, HTT}
A $\cap$ B = $\phi$, B $\cap$ C = $\phi$, A $\cap$ C= $\phi$
A $\cap$ D = {HHH} $\neq \phi$, B $\cap$ D = {HHT, HTH} $\neq \phi$
C $\cap$ D = $\phi$
$\therefore$ सरल घटनायें A, C
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Question 701 Mark
तीन सिक्कों को एक बार उछाला जाता है। मान लीजिए कि घटना तीन चित्त दिखना को A से, घटना दो चित्त और एक पट् दिखना को B से, घटना तीन पट् दिखना को C और घटना पहले सिक्के पर चित्त दिखना को D से निरूपित किया गया है। बताइए कि इनमें से कौन-सी घटनाएँ परस्पर अपवर्जी हैं?
Answer
तीन सिक्कों को उछालने पर
प्रतिदर्श समष्टि
S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}
$\therefore$ A = तीन चित = {HHH}
B = दो चित, एक पट् = {HHT, HTH, THH}
C = तीन पट् = {TTT}
और D = पहले सिक्के पर चित देखना
= {HHH, HHT, HTH, HTT}
A $\cap$ B = $\phi$, B $\cap$ C = $\phi$, A $\cap$ C= $\phi$
A $\cap$ D = {HHH} $\neq \phi$, B $\cap$ D = {HHT, HTH} $\neq \phi$
C $\cap$ D = $\phi$
$\therefore$ परस्पर अपवर्जी घटनाओं के युग्म है: (A, B), (B, C), (A, C), (C, D)
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Question 711 Mark
एक परीक्षण में पासें के एक जोड़े को फेंकते हैं और उन पर प्रकट संख्याओं को लिखते हैं।
निम्नलिखित घटनाओं का वर्णन कीजिए:
A: प्राप्त संख्याओं का योग 8 से अधिक है।
B: दोनों पासों पर संख्या 2 प्रकट होती है।
C: प्रकट संख्याओं का योग कम से कम 7 है और 3 का गुणज है।
इन घटनाओं के कौन-कौन से युग्म परस्पर अपवर्जी हैं?
Answer
पासे के एक जोड़े की फेंक में प्रतिदर्श समष्टि
S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
$\therefore$ A = प्राप्त संख्याओं को योग 8 से अधिक है।
= प्राप्त संख्याओं का योग 9, 10, 11 और 12 है।
= {(3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
B = दोनों पासों पर संख्या 2 प्रकट होती है।
= {(2, 2)}
C = प्रकट संख्याओं का योग कम से कम 7 है और 3 का गुणज है।
= संख्याओं का योग 9, 12 है।
= {(3, 6), (6, 3), (5, 4), (4, 5), (6, 6)}
$\therefore \style{font-size:28px}{A\cap B=\phi} \Rightarrow$ A और B परस्पर अपवर्जी है।
${B\cap C=\phi} \Rightarrow$ B और C परस्पर अपवर्जी है।
${C \cap A\ne \phi} \Rightarrow$ C और A परस्पर अपवर्जी नहीं है।
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Question 721 Mark
एक पासा फेंका जाता है। निम्नलिखित घटनाओं का वर्णन कीजिए:

  1. A: संख्या 7 से कम है।
  2. B: संख्या 7 से बड़ी है।
  3. C: संख्या 3 का गुणज है।
  4. D: संख्या 4 से कम है।
  5. E: 4 से बड़ी सम संख्या है।
  6. F: संख्या 3 से कम नहीं है।

A $\cup$ B, A $\cap$ B, B $\cup$ C, E $\cap$ F, D $\cap$ E, A - C, D - E, E $\cap$ F', F' भी ज्ञात कीजिए।

Answer
एक पासे की फेंक में प्रतिदर्श समष्टि S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
  1. A = संख्या 7 से कम है।
    = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
  2. B: संख्या 7 से बड़ी है।
    = $\phi$
  3. C: संख्या 3 का गुणज है।
    = {3, 6}
  4. D: संख्या 4 से कम है।
    = {1, 2, 3}
  5. E: 4 से बड़ी सम संख्या है।
    = {6}
  6. F: संख्या 3 से कम नहीं है।
    = {3, 4, 5, 6}
    $\therefore$ A $\cup$ B} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} $\cup \phi$= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
    A $\cap$ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} $\cap \phi=\phi $
    B $\cup$ C = $\phi \cup${3, 6} = {3, 6}
    E $\cap$ F = {6} $\cap$ {3, 4, 5, 6} = {6}
    D $\cap$ E = {1, 2, 3} $\cap$ {6} = $\phi$
    A - C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} - {3, 6} = {1, 2, 4, 5}
    D - E = {1, 2, 3} - {6} = {1, 2, 3}
    E $\cap$ F' = E - F = {6} - {3, 4, 5, 6} = $\phi $
    और F' = S - F
    = {1, 2, 3, 4, 5, 6} - {3, 4, 5, 6}
    = {1, 2}
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Question 731 Mark
एक पासा फेंका जाता है। मान लीजिए घटना E पासे पर संख्या 4 दर्शाता है और घटना F पासे पर सम संख्या दर्शाता है। क्या E और F परस्पर अपवर्जी हैं?
Answer
E = पासे पर संख्या 4 आना = {4}
और F = पासे पर संख्या आना = {2, 4, 6}
$\because E \cap F = \{4\} \ne \phi$
$\Rightarrow$ E और F परस्पर अपवर्जी घटनाऐं नहीं हैं।
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Question 741 Mark
एक डिब्बे में 1 लाल और एक जैसी 3 सफेद गेंद रखी गई हैं। दो गेंद उत्तरोतर (in succession) बिना प्रतिस्थापित किए यादृच्छया निकाली जाती है। इस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि ज्ञात कीजिए।
Answer
1 लाल (Red) और 3 सफेद (White) गेंदों में से दो गेंद उत्तरोत्तर बिना प्रतिस्थापन के निकाली जाती है। तब प्रतिदर्श समष्टि
S = {RW, WR, WW}
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Question 751 Mark
एक परीक्षण में 2 बच्चों वाले परिवारों में से लड़के-लड़कियों की संख्याओं को लिखा जाता है। यदि हमारी रुचि किसी परिवार में लड़कियों की संख्या जानने में है तो प्रतिदर्श समष्टि क्या होगी?
Answer
$\because$ दो बच्चों के परिवार में या तो एक भी बच्चा लड़की नहीं है या 1 बच्चा लड़की है या फिर दोनों बच्चे लड़की हैं।
तब लड़कियों की संख्या को व्यक्त करने के लिए अभीष्ट प्रतिदर्श समष्टि
S = {0, 1, 2}
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Question 761 Mark
एक परीक्षण में $2$ बच्चों वाले परिवारों में से लड़के-लड़कियों की संख्याओं को लिखा जाता है। यदि हमारी रुचि इस बात को जानने में है कि जन्म के क्रम में बच्चा लड़का या लड़की है तो प्रतिदर्श समष्टि क्या होगी?
Answer
दो बच्चों के परिवार में लड़के को B और लड़की को G से निरूपित करें। तो प्रतिदर्श समष्टि
$S = \{B_1B_2, B_1G_2, G_1B_2, G_1G_2\}$
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Question 771 Mark
एक पासा लाल रंग का, एक सफ़ेद रंग का और एक अन्य पासा नीले रंग का एक थैले में रखे हैं। एक पासा यादृच्छया चुना गया और उसे फेंका गया है, पासे का रंग और इसके ऊपर के फलक पर प्राप्त संख्या को लिखा गया है। प्रतिदर्श समष्टि का वर्णन कीजिए।
Answer
पासे तीन रंगों लाल (R), सफेद (W) और नीले (B) रंग के हैं।
एक पासे को चुना जाता है और उसके ऊपर प्राप्त संख्या और पासे को रंग को लिखा जाता है।
$\therefore$ प्रतिदर्श समष्टि
S = {R1, R2, R3, R4, R5, R6, W1, W2, W3, W4, W5, W6, B1, B2, B3, B4, B5, B6}
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Question 781 Mark
$X$ कमरे में $2$ लड़के और $2$ लड़कियाँ हैं तथा $Y$ कमरे में $1$ लड़का और $3$ लड़कियाँ हैं। उस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि ज्ञात कीजिए जिसमें पहले एक कमरा चुना जाता है फिर एक बच्चा चुना जाता है। निर्दिष्ट परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि ज्ञात कीजिए।
Answer
$X$ कमरे में $2$ लड़के और $2$ लड़कियाँ है।
और $Y$ कमरे में $1$ लड़का और $3$ लड़कियाँ है।
$\because$ पहले कमरा चुना जाता है। और फिर एक बच्चा चुना जाता है।
$\therefore$ प्रतिदर्श समष्टि
$S = \{XB_1, XB_2, XG_1, XG_2, YB_3, YG_3, YG_4, YG_5\}$
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Question 791 Mark
एक सिक्का उछाला गया है और केवल उस दशा में, जब सिक्के पर चित्त प्रकट होता है एक पासा फेंका जाता है। निर्दिष्ट परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि ज्ञात कीजिए।
Answer
$\because$ सिक्के पर चित्त (Head) प्रकट होने पर हो पांसा फेंका जाता है।
$\therefore$ प्रतिदर्श समष्टि
S = {H1, H2, H3, H4, H5, H6, T}
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Question 801 Mark
एक सिक्का उछाला गया है और एक पासा फेंका गया है। निर्दिष्ट परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि ज्ञात कीजिए।
Answer
$\because$ पासे के किसी भी अंक 1 से 6 तक के साथ सिक्के पर चित (Head) या पट्ट (tail) आ सकता है।
$\therefore$ प्रतिदर्श समष्टि
S = {1H, 1T, 2H, 2T, 3H, 3T, 4H, 4T, 5H, 5T, 6H, 6T}
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Question 811 Mark
एक सिक्का चार बार उछाला गया है। निर्दिष्ट परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि ज्ञात कीजिए।
Answer
एक सिक्के को चार बार उछालने पर,
प्रतिदर्श समष्टि
S = {HHHH, HHHT, HHTH, HTHH, THHH, HHTT, HTHT, HTTH, THTH, TTHH, THHT, HTTT, THTT, TTHT, TTTH, TTTT}
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Question 821 Mark
एक पासा दो बार फेंका गया है। निर्दिष्ट परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि ज्ञात कीजिए।
Answer
पासे को दो बार फेंका जाता है।
प्रतिदर्श समष्टि
S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6),(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}
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Question 831 Mark
एक परीक्षण में एक सिक्के को उछाला जाता है और यदि उस पर चित्त प्रकट होता है तो उसे पुनः उछाला जाता है। यदि पहली बार उछालने पर पट् प्राप्त होता है तो एक पासा फेंका जाता है। प्रतिदर्श समष्टि ज्ञात कीजिए।
Answer


उपर्युक्त आरेख से स्पष्ट है कि प्रतिदर्श समिष्ट S = {HH, HT, T1, T2, T3, T4, T5, T6}
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Question 841 Mark
एक सिक्के को तीन बार उछाला गया है। निर्दिष्ट परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि ज्ञात कीजिए।
Answer
एक सिक्के को तीन बार उछालने पर प्रतिदर्श समाष्टि
S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}
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Question 851 Mark
मान लीजिए एक प्रतिदर्श समष्टि S =$\left\{\omega_{1}, \omega_{2}, ..., \omega_{6}\right\}$ है। निम्नलिखित परिणाम के लिए कौन-कौन सी प्रायिकता निर्धारण वैध हैं?
परिणाम $\omega_{1}$ $\omega_2$ $\omega_3$ $\omega_4$ $\omega_5$ $\omega_6$
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
Answer
क्योंकि प्रायिकताओं का योग = 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 + 0.5 + 0.6 = 2.1 है इसलिए, यह प्रायिकता निर्धारण वैध नहीं है।
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Question 861 Mark
मान लीजिए एक प्रतिदर्श समष्टि S =$\left\{\omega_{1}, \omega_{2}, ..., \omega_{6}\right\}$ है। निम्नलिखित परिणाम के लिए कौन-कौन सी प्रायिकता निर्धारण वैध हैं?
परिणाम $\omega_{1}$ $\omega_2$ $\omega_3$ $\omega_4$ $\omega_5$ $\omega_6$
$\frac 1{12}$ $\frac 1{12}$ $\frac 16$ $\frac 16$ $\frac 16$ $\frac 32$
Answer
क्योंकि p$\left(\omega_{6}\right)=\frac{3}{2}$ > 1, इसलिए यह प्रायिकता निर्धारण वैध नहीं है।
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Question 871 Mark
मान लीजिए एक प्रतिदर्श समष्टि S =$\left\{\omega_{1}, \omega_{2}, ..., \omega_{6}\right\}$ है। निम्नलिखित परिणाम के लिए कौन-कौन सी प्रायिकता निर्धारण वैध हैं?
परिणाम $\omega_{1}$ $\omega_2$ $\omega_3$ $\omega_4$ $\omega_5$ $\omega_6$
$\frac 18$ $\frac 23$ $\frac 13$ $\frac 13$ -$\frac 14$ -$\frac 13$
Answer
प्रतिबंध (i): दो प्रायिकताएँ p$\left(\omega_{5}\right)$ और p$\left(\omega_{6}\right)$ ऋणात्मक हैं। इसलिए यह निर्धारण वैध नहीं है।
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Question 881 Mark
मान लीजिए एक प्रतिदर्श समष्टि S =$\left\{\omega_{1}, \omega_{2}, ..., \omega_{6}\right\}$ है। निम्नलिखित परिणाम के लिए कौन-कौन सी प्रायिकता निर्धारण वैध हैं?
परिणाम $\omega_{1}$ $\omega_2$ $\omega_3$ $\omega_4$ $\omega_5$ $\omega_6$
1 0 0 0 0 0
Answer
प्रतिबंध (i): प्रत्येक संख्या p$\left(\omega_{i}\right)$ या तो 0 है या 1 है।
प्रतिबंध (ii): प्रायिकताओं का योग = 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 1
इसलिए यह निर्धारण वैध है।
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Question 891 Mark
मान लीजिए एक प्रतिदर्श समष्टि S =$\left\{\omega_{1}, \omega_{2}, ..., \omega_{6}\right\}$ है। निम्नलिखित परिणाम के लिए कौन-कौन सी प्रायिकता निर्धारण वैध हैं?
परिणाम $\omega_{1}$ $\omega_2$ $\omega_3$ $\omega_4$ $\omega_5$ $\omega_6$
$\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$
Answer
प्रतिबंध (i): प्रत्येक संख्या p$\left(\omega_{i}\right)$ धनात्मक है और एक से छोटी है।
प्रतिबंध (ii): प्रायिकताओं का योग
= $\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}$ = 1
इसलिए यह प्रायिकता निर्धारण वैध है।
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Question 901 Mark
एक ऐसे परीक्षण पर विचार कीजिए जिसमें एक सिक्के को बार-बार तब तक उछालते रहते हैं जब तक उस पर चित्त प्रकट न हो जाए। इसकी प्रतिदर्श समष्टि का वर्णन कीजिए।
Answer
इस परीक्षण में चित्त प्रथम उछाल या द्वितीय उछाल या तृतीय उछाल इत्यादि में से किसी में भी प्रकट हो सकता है।
अतः, वांछित प्रतिदर्श समष्टि S = {H, TH, TTH, TTTH, TTTTH, ...} है।
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Question 911 Mark
एक सिक्का उछाला जाता है। यदि उस पर चित्त प्रकट हो तो हम एक थैली, जिसमें $3$ नीली एवं $4$ सफ़ेद गेंद हैं, में से एक गेंद निकालते हैं। यदि सिक्के पर पट् प्रकट होता है तो हम एक पासा फेंकते हैं। इस परीक्षण के प्रतिदर्श समष्टि का वर्णन कीजिए।
Answer
मान लीजिए हम नीली गेंदों को $B_1, B_2, B_3 $ और सफ़ेद गेंदों को $W_1, W_2, W_3, W_4 $ से निरूपित करते हैं। इस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि
$S = \{HB_1, HB_2, HB_3, HW_1, HW_2, HW_3, HW_4, T_1, T_2, T_3, T_4, T_5, T_6\}$ है।
यहाँ $HB_i $ का अर्थ है कि सिक्के पर चित्त है और गेंद B_i निकाली गई है। $HW_i $ का अर्थ है कि सिक्के पर चित्त है और गेंद $W_i $ निकाली गई है। इसी प्रकार $T_i $का अर्थ है कि सिक्के पर पट् और पासे पर संख्या i प्रकट हुई है।
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Question 921 Mark
एक व्यक्ति किसी व्यस्त राजमार्ग पर एक वर्ष में होने वाली दुर्घटनाओं की संख्या लिखता है। परीक्षण के लिए उपयुक्त प्रतिदर्श समष्टि का उल्लेख कीजिए।
Answer
किसी व्यस्त राजमार्ग पर दुर्घटनाओं की संख्या 0 (किसी दुर्घटना के न होने पर) या 1 या 2, या कोई भी धन पूर्णांक हो सकता है।
अतः इस परीक्षण के लिए प्रतिदर्श समष्टि S = {0, 1, 2, ...} है:
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Question 931 Mark
एक बालक की जेब में एक ₹1, एक ₹2 व एक ₹5 के सिक्के हैं। वह अपनी जेब से एक के बाद एक दो सिक्के निकालता है। परीक्षण के लिए उपयुक्त प्रतिदर्श समष्टि का उल्लेख कीजिए।
Answer
मान लीजिए ₹1 का सिक्का Q से, ₹2 का सिक्का H से तथा ₹5 का सिक्का R से निरूपित होते हैं। उसके द्वारा जेब से निकाला गया पहला सिक्का तीन सिक्कों में से कोई भी एक सिक्का Q, H या R हो सकता है। पहले सिक्के Q के संगत दूसरी बार निकाला गया सिक्का H या R हो सकता है। अतः दो सिक्के निकालने का परिणाम QH या QR हो सकता है। इसी प्रकार, H के संगत दूसरी बार निकाला गया सिक्का Q या R हो सकता है। इसलिए, परिणाम HQ या HR हो सकता है। अंततः R के संगत दूसरी बार निकाला गया सिक्का H या Q हो सकता है। इसलिए परिणाम RH या RQ होगा।
अतः प्रतिदर्श समष्टि S = QH, QR, HQ, HR, RH, RQ है।
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Question 941 Mark
एक रिले दौड़ (relay race) में पाँच टीमों $A, B, C, D$ और $E$ ने भाग लिया। $A, B$ और $C$ के पहले तीन स्थानों (किसी भी क्रम) पर रहने की क्या प्रायिकता है? (मान लीजिए कि सभी अंतिम क्रम सम संभाव्य हैं।)
Answer
यदि हम पहले तीन स्थानों के लिए अंतिम क्रमों के प्रतिदर्श समष्टि पर विचार करें तो पाएँगे कि इसमें  $^5P_3,$ i.e., $\frac{5 !}{(5-3) !}=5 \times 4 \times 3 = 60$ प्रतिदर्श बिंदु हैं और प्रत्येक की प्रायिकता $\frac{1}{60}$ है।
$A, B$ और $C$ पहले तीन स्थानों पर हैं। इसके लिए $A, B$ और $C$ के लिए 3! तरीके हैं। इसलिए इस घटना के संगत 3! प्रतिदर्श बिंदु होंगे।
अतः $P(A, B$ और $C$ पहले तीन स्थानों पर रहते हैं$) = \frac{3 !}{60}=\frac{6}{60}=\frac{1}{10}$
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Question 951 Mark
एक रिले दौड़ (relay race) में पाँच टीमों $A, B, C, D$ और $E$ ने भाग लिया। $A, B$ और $C$ के क्रमशः पहला, दूसरा व तीसरा स्थान पाने की क्या प्रायिकता है?
Answer
यदि हम पहले तीन स्थानों के लिए अंतिम क्रमों के प्रतिदर्श समष्टि पर विचार करें तो पाएँगे कि इसमें  $^5P_3,$ i.e., $\frac{5 !}{(5-3) !}=5 \times 4 \times 3 = 60$ प्रतिदर्श बिंदु हैं और प्रत्येक की प्रायिकता $\frac{1}{60}$ है।
$A, B$ और $C$ क्रमशः प्रथम, दूसरे व तीसरे स्थान पर रहते हैं। इसके लिए एक ही अंतिम क्रम है अर्थात् ABC
अतः $P(A, B $ और $C$ क्रमशः प्रथम, दूसरे व तीसरे स्थान पर रहते हैं$) = \frac{1}{60}$
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Question 961 Mark
छुट्टियों में वीना ने चार शहरों A, B, C और D की यादृच्छया क्रम में यात्रा की। क्या प्रायिकता है कि उसने A की यात्रा B से एकदम पहले की?
Answer
वीना द्वारा चार शहरों A, B, C, और D की यात्रा के विभिन्न ढंगों की संख्या 4! अर्थात् 24 है। इसलिए n(S) = 24 क्योंकि प्रयोग की प्रतिदर्श समष्टि के अवयवों की संख्या 24 है। ये सभी परिणाम सम संभाव्य माने गए हैं। इस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि
S = {ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB, BACD, BADC, BDAC, BDCA, BCAD, BCDA, CABD, CADB, CBDA, CBAD, CDAB, CDBA, DABC, DACB, DBCA, DBAC, DCAB, DCBA है।
मान लीजिए घटना 'वीना A की यात्रा B से एकदम पहले करती है,' को G से दर्शाते हैं।
इसलिए G = {ABCD, ABDC, CABD, CDAB, DABC, DCAB}
n(G) = 6
इस प्रकार P(E) = $\frac{n(G)}{n(S)}=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}$
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Question 971 Mark
छुट्टियों में वीना ने चार शहरों A, B, C और D की यादृच्छया क्रम में यात्रा की। क्या प्रायिकता है कि उसने A की या तो सबसे पहले या दूसरे स्थान पर यात्रा की?
Answer
वीना द्वारा चार शहरों A, B, C, और D की यात्रा के विभिन्न ढंगों की संख्या 4! अर्थात् 24 है। इसलिए n(S) = 24 क्योंकि प्रयोग की प्रतिदर्श समष्टि के अवयवों की संख्या 24 है। ये सभी परिणाम सम संभाव्य माने गए हैं। इस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि
S = {ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB, BACD, BADC, BDAC, BDCA, BCAD, BCDA, CABD, CADB, CBDA, CBAD, CDAB, CDBA, DABC, DACB, DBCA, DBAC, DCAB, DCBA है।
मान लीजिए घटना 'वीना A सबसे पहले या दूसरे स्थान पर यात्रा की,' को G से दर्शाते हैं।
इसलिए G = {ABCD, ABDC, ADBC, ACDB, ACBD, ADCB, BACD, BADC, CABD, CADB, DABC, DACB}
n(G) = 12
इस प्रकार P(E) = $\frac{n(G)}{n(S)}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$
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Question 981 Mark
छुट्टियों में वीना ने चार शहरों A, B, C और D की यादृच्छया क्रम में यात्रा की। क्या प्रायिकता है कि उसने A की सबसे पहले और B की सबसे अंत में यात्रा की?
Answer
वीना द्वारा चार शहरों A, B, C, और D की यात्रा के विभिन्न ढंगों की संख्या 4! अर्थात् 24 है। इसलिए n(S) = 24 क्योंकि प्रयोग की प्रतिदर्श समष्टि के अवयवों की संख्या 24 है। ये सभी परिणाम सम संभाव्य माने गए हैं। इस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि
S = {ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB, BACD, BADC, BDAC, BDCA, BCAD, BCDA, CABD, CADB, CBDA, CBAD, CDAB, CDBA, DABC, DACB, DBCA, DBAC, DCAB, DCBA है।
मान लीजिए घटना 'वीना A की सबसे पहले और B की सबसे अंत में करती है, को G से दर्शाते हैं।
इसलिए G = {ACDB, ADCB}
n(G) = 2
इस प्रकार P(E) = $\frac{n(G)}{n(S)}=\frac{2}{24}=\frac{1}{12}$
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Question 991 Mark
छुट्टियों में वीना ने चार शहरों A, B, C और D की यादृच्छया क्रम में यात्रा की। क्या प्रायिकता है कि उसने A की यात्रा B से पहले और B की C से पहले की?
Answer
वीना द्वारा चार शहरों A, B, C, और D की यात्रा के विभिन्न ढंगों की संख्या 4! अर्थात् 24 है। इसलिए n(S) = 24 क्योंकि प्रयोग की प्रतिदर्श समष्टि के अवयवों की संख्या 24 है। ये सभी परिणाम सम संभाव्य माने गए हैं। इस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि
S = {ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB, BACD, BADC, BDAC, BDCA, BCAD, BCDA, CABD, CADB, CBDA, CBAD, CDAB, CDBA, DABC, DACB, DBCA, DBAC, DCAB, DCBA है।
मान लीजिए घटना 'वीना ने A की यात्रा B से पहले और B की यात्रा C से पहले की' को F से दर्शाते हैं।
यहाँ F = {ABCD, DABC, ABDC, ADBC}
इसलिए P(F) = $\frac{n(\mathrm{~F})}{n(\mathrm{~S})}=\frac{4}{24}=\frac{1}{6}$
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Question 1001 Mark
छुट्टियों में वीना ने चार शहरों A, B, C और D की यादृच्छया क्रम में यात्रा की। क्या प्रायिकता है कि उसने A की यात्रा B से पहले की?
Answer
वीना द्वारा चार शहरों A, B, C, और D की यात्रा के विभिन्न ढंगों की संख्या 4! अर्थात् 24 है। इसलिए n(S) = 24 क्योंकि प्रयोग की प्रतिदर्श समष्टि के अवयवों की संख्या 24 है। ये सभी परिणाम सम संभाव्य माने गए हैं। इस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि
S = {ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB, BACD, BADC, BDAC, BDCA, BCAD, BCDA, CABD, CADB, CBDA, CBAD, CDAB, CDBA, DABC, DACB, DBCA, DBAC, DCAB, DCBA है।
मान लीजिए घटना 'वीना A की यात्रा B से पहले करती है,' को E से दर्शाते हैं।
इसलिए E = {ABCD, CABD, DABC, ABDC, CADB, DACB, ACBD, ACDB, ADBC, CDAB, DCAB, ADCB}
इस प्रकार P(E) = $\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$
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Question 1011 Mark
दो पुरुषों व दो स्त्रियों के समूह में से दो व्यक्तियों की एक समिति का गठन करना है। प्रायिकता क्या है कि गठित समिति में दोनों ही पुरुष हों?
Answer
समूह में व्यक्तियों की कुल संख्या $= 2 + 2 = 4 $ इन चार व्यक्तियों में से दो को  $^4C_2$ तरीके से चुना जा सकता है।
दो पुरुषों को $^ 2C_2$ तरीकों से चुना जा सकता है।
अतः $P($दो पुरुष$) = \frac{^2C_2}{^4C_2}=\frac{1}{^4C_2}=\frac{1}{6}$
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Question 1021 Mark
दो पुरुषों व दो स्त्रियों के समूह में से दो व्यक्तियों की एक समिति का गठन करना है। प्रायिकता क्या है कि गठित समिति में एक पुरुष हो?
Answer
समूह में व्यक्तियों की कुल संख्या $= 2 + 2 = 4$ इन चार व्यक्तियों में से दो को $^4C_2$ तरीके से चुना जा सकता है।
समिति में एक पुरुष होने का तात्पर्य है कि इसमें एक स्त्री है 2 पुरुषों में से एक पुरुष चुनने के $^2C_1$ तरीके हैं तथा दो स्त्रियों में से एक चुनने के भी  $^2C_1$ तरीके हैं। दोनों चुनावों को एक साथ करने के $ ^2C_{1 }\times^2C_1$ तरीके हैं।
इसलिए P(एक पुरूष) = $\frac{{ }^{2} C_{1} \times{ }^{2} C_{1}}{{ }^{4} C_{2}}=\frac{2 \times 2}{2 \times 3}=\frac{2}{3}$
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Question 1031 Mark
दो पुरुषों व दो स्त्रियों के समूह में से दो व्यक्तियों की एक समिति का गठन करना है। प्रायिकता क्या है कि गठित समिति में कोई पुरुष न हो?
Answer
समूह में व्यक्तियों की कुल संख्या $= 2 + 2 = 4$ इन चार व्यक्तियों में से दो को  $^4C_2 $ तरीके से चुना जा सकता है।
समिति में कोई पुरुष न होने का अर्थ है कि समिति में दो स्त्रियाँ हैं। दो स्त्रियों में से दोनों के चुनने के $^2C_2= 1$ तरीका है।
इसलिए P (कोई पुरुष नहीं) = $\frac{^2C_2}{^4C_2}=\frac{1 \times 2 \times 1}{4 \times 3}=\frac{1}{6}$
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Question 1041 Mark
दो विद्यार्थियों अनिल और आशिमा एक परीक्षा में प्रविष्ट हुए। अनिल के परीक्षा में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता 0.05 है और आशिमा के परीक्षा में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता 0.10 है। दोनों के परीक्षा में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता 0.02 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि दोनों में से केवल एक परीक्षा में उत्तीर्ण होगा।
Answer
मान लीजिए E तथा F घटनाओं 'अनिल परीक्षा उत्तीर्ण कर लेगा' और 'आशिमा परीक्षा उत्तीर्ण कर लेगी' को क्रमशः दर्शाते हैं।
इसलिए P(E) = 0.05, P(F) = 0.10 और P(E $\cap$ F) = 0.02
तब घटना 'दोनों मे से केवल एक उत्तीर्ण होगा' निम्नलिखित घटना के समरूप है:
'अनिल उत्तीर्ण होगा और आशिमा उत्तीर्ण नहीं होगी'
या 'अनिल उत्तीर्ण नहीं होगा और आशिमा उत्तीर्ण होगी'
अर्थात् E $\cap$ F' या E' $\cap$ F जहाँ E $\cap$ F' और E' $\cap$ F परस्पर अपवर्जी हैं।
इसलिए, P (दोनों में से केवल एक उत्तीर्ण होगा)
= P(E $\cap$ F' या E' $\cap$ F)
= P(E $\cap$ F') + P(E' $\cap$ F) = P(E) - P(E $\cap$ F) + P(F) - P(E $\cap$ F)
= 0.05 - 0.02 + 0.10 - 0.02 = 0.11
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Question 1051 Mark
दो विद्यार्थियों अनिल और आशिमा एक परीक्षा में प्रविष्ट हुए। अनिल के परीक्षा में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता 0.05 है और आशिमा के परीक्षा में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता 0.10 है। दोनों के परीक्षा में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता 0.02 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि दोनों में से कम से कम एक परीक्षा में उत्तीर्ण नहीं होगा।
Answer
मान लीजिए E तथा F घटनाओं 'अनिल परीक्षा उत्तीर्ण कर लेगा' और 'आशिमा परीक्षा उत्तीर्ण कर लेगी' को क्रमशः दर्शाते हैं।
इसलिए P(E) = 0.05, P(F) = 0.10 और P(E $\cap$ F) = 0.02
तब P(दोनों में से कम से कम एक उत्तीर्ण नहीं होगा)
= 1 - P(दोनों उत्तीर्ण होंगे)
= 1 - 0.02 = 0.98
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Question 1061 Mark
दो विद्यार्थियों अनिल और आशिमा एक परीक्षा में प्रविष्ट हुए। अनिल के परीक्षा में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता 0.05 है और आशिमा के परीक्षा में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता 0.10 है। दोनों के परीक्षा में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता 0.02 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि अनिल और आशिमा दोनों परीक्षा में उत्तीर्ण नहीं हो पाएगें।
Answer
मान लीजिए E तथा F घटनाओं 'अनिल परीक्षा उत्तीर्ण कर लेगा' और 'आशिमा परीक्षा उत्तीर्ण कर लेगी' को क्रमशः दर्शाते हैं।
इसलिए P(E) = 0.05, P(F) = 0.10 और P(E $\cap$ F) = 0.02.
तब घटना 'दोनों परीक्षा उर्त्तीण नहीं होंगे' को E' $\cap$ F' से दर्शाया जा सकता है।
क्योंकि E' घटना 'E-नहीं', अर्थात् 'अनिल परीक्षा उत्तीर्ण नहीं करेगा' तथा F' घटना 'F-नहीं', अर्थात् 'आशिमा परीक्षा उत्तीर्ण नहीं करेगी' दर्शाते हैं।
साथ ही E' $\cap$ F' = (E $\cup$ F)' (डी-मोरगन् नियम द्वारा)
अब P(E $\cup$ F) = P(E) + P(F) - P(E $\cap$ F)
या P(E $\cup$ F) = 0.05 + 0.10 - 0.02 = 0.13
इसलिए P(E' $\cap$ F') = P(E $\cup$ F)' = 1 - P(E $\cup$ F) = 1 - 0.13 = 0.87
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Question 1071 Mark
ताश के 52 पत्तों की एक भली-भाँति फेंटी गई गड्डी में से एक पत्ता निकाला गया है। निकाले गए पत्ते की प्रायिकता ज्ञात कीजिए यदि पत्ता काले रंग का नहीं है।
Answer
जब 52 पत्तों की भली-भाँति फेंटी गई गड्डी में एक पत्ता निकाला जाता है तो संभव परिणामों की संख्या 52 है।
घटना निकाला गया पत्ता काले रंग का नहीं है को C' या 'C-नहीं' से दर्शाया जा सकता है।
अब हमें ज्ञात है कि P(C - नहीं ) = 1 - P(C) = 1 - $\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
इसलिए, पत्ता काले रंग का न होने की प्रायिकता = $\frac{1}{2}$
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Question 1081 Mark
ताश के 52 पत्तों की एक भली-भाँति फेंटी गई गड्डी में से एक पत्ता निकाला गया है। निकाले गए पत्ते की प्रायिकता ज्ञात कीजिए यदि पत्ता ईंट का नहीं है।
Answer
जब 52 पत्तों की भली-भाँति फेंटी गई गड्डी में एक पत्ता निकाला जाता है तो संभव परिणामों की संख्या 52 है।
हमने माना है कि घटना निकाला गया पत्ता ईंट का है को A से दर्शाते हैं। इसलिए घटना निकाला गया पत्ता ईंट का नहीं है को A' या A-नहीं' से दर्शाएंगे।
अब P(A - नहीं) = 1 - P(A) = 1 - $\frac 14 = \frac 34$
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Question 1091 Mark
ताश के 52 पत्तों की एक भली-भाँति फेंटी गई गड्डी में से एक पत्ता निकाला गया है। निकाले गए पत्ते की प्रायिकता ज्ञात कीजिए यदि पत्ता काले रंग का है (अर्थात् चिड़ी या हुकुम का)।
Answer
जब 52 पत्तों की भली-भाँति फेंटी गई गड्डी में एक पत्ता निकाला जाता है तो संभव परिणामों की संख्या 52 है।
मान लीजिए घटना निकाला गया पत्ता काले रंग का है को C से दर्शाते हैं। इसलिए समुच्चय C में अवयवों की संख्या = 26
अर्थात् P(C) = $\frac{26}{52}=\frac{1}{2}$
इस प्रकार काले रंग का पत्ता निकालने की प्रायिकता = $\frac{1}{2}$
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Question 1101 Mark
ताश के 52 पत्तों की एक भली-भाँति फेंटी गई गड्डी में से एक पत्ता निकाला गया है। निकाले गए पत्ते की प्रायिकता ज्ञात कीजिए यदि पत्ता इक्का नहीं है।
Answer
जब 52 पत्तों की भली-भाँति फेंटी गई गड्डी में एक पत्ता निकाला जाता है तो संभव परिणामों की संख्या 52 है।
मान लीजिए कि घटना निकाला गया पत्ता इक्का है को B से दर्शाते हैं। इसलिए निकाला गया पत्ता इक्का नहीं है को B' से दर्शाया जाएगा।
अब P(B') = 1 - P(B) = 1 - $\frac{4}{52}$ = 1 - $\frac{1}{13}=\frac{12}{13}$
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Question 1111 Mark
ताश के 52 पत्तों की एक भली-भाँति फेंटी गई गड्डी में से एक पत्ता निकाला गया है। निकाले गए पत्ते की प्रायिकता ज्ञात कीजिए यदि पत्ता ईंट का है।
Answer
जब 52 पत्तों की भली-भाँति फेंटी गई गुड्डी में एक पत्ता निकाला जाता है तो संभव परिणामों की संख्या 52 है।
मान लीजिए घटना निकाला गया पत्ता ईंट का है, को A से दर्शाया गया है। स्पष्टतया A में अवयवों की संख्या 13 है।
इसलिए, P(A) = $\frac{13}{52}=\frac{1}{4}$
अर्थात्, एक ईंट का पत्ता निकालने की प्रायिकता = $\frac{1}{4}$
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Question 1121 Mark
दो सिक्कों (एक ₹ 1 का तथा दूसरा ₹ 2 का) को एक बार उछाला गया है। प्रतिदर्श समष्टि ज्ञात कीजिए।
Answer
स्पष्टतः सिक्के इस अर्थ में विभेद्य हैं कि हम उनको पहला सिक्का और दूसरा सिक्का संबोधित कर सकते हैं क्योंकि दोनों सिक्कों में से किसी पर चित्त (H) या पट् (T) प्रकट हो सकते हैं, इसलिए संभव परिणाम निम्नलिखित हो सकते हैं:
दोनों सिक्कों पर चित्त = (H, H) = HH
पहले सिक्के पर चित्त और दूसरे पर पट् = (H, T) = HT
पहले सिक्के पर पट् और दूसरे पर चित्त = (T, H) = TH
दोनों सिक्कों पर पट् = (T, T) = TT
अतएव, दिए हुए परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि
S = {HH, HT, TH, TT} है।
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