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गणित दीर्घ उत्तरीय प्रश्न : [3M]

बहुपद · MP Board (MPBSE) कक्षा 10 (Madhya Pradesh - हिन्दी माध्यम). 9 questions.

Questions

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न : [3M]

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Question 13 Marks
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिये, जिसके शून्यक 4 तथा 1 हैं।
Answer
माना कि बहुपद $a x^2+b x+c$ है तथा इसके शून्यक
$\alpha$ और $\beta$ है तब
$ \alpha=4, \beta=1 $
$\alpha+\beta=4+1=\frac{5}{1}=-b / a$
तथा $\alpha \beta=4 \times 1=\frac{4}{1}=\frac{c}{a}$
यदि $a =1, b=-5$ तथा $c=4$ हों तो द्विघात बहुपद $x^2=-5 x+4$
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Question 23 Marks
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों का योग तथा गुणनफल क्रमशः 4 और 1 हैं।
Answer
मान लीजिए अभीष्ट द्विघात बहुपद ax2 + bx + c है जिसके शून्यक$\alpha$ एवं$\beta$ हैं, तो हम पाते हैं कि
$\alpha+\beta=-\frac{b}{a}$ = 4 = $-\frac{(-4)}{1}$
और $\alpha \cdot \beta=\frac{c}{a}$ = 1 = $\frac{1}{1}$
$\Rightarrow$ यदि a = 1 तब b = -4 एवं c = 1 होगा।
अतः, एक द्विघात बहुपद जिसमें दी गई शर्ते सन्तुष्ट होती हैं,
 x2 + 1 है एवं अन्य कोई द्विघात बहुपद जो इन शर्तों को सन्तुष्ट करे k (4x2 - 4x + 1) होगा, जहाँ k एक वास्तविक संख्या है।
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Question 33 Marks
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों का योग तथा गुणनफल क्रमशः$-\frac{1}{4}$ और$\frac{1}{4}$ हैं।
Answer
मान लीजिए अभीष्ट द्विघात बहुपद ax2 + bx + c है जिसके शून्यक$\alpha$ एवं β हैं, तो हम पाते हैं कि
$a+\beta=-\frac{b}{a}$ = $-\frac{1}{4}$
और $\alpha \cdot \beta=\frac{c}{a}=\frac{1}{4}$
$\Rightarrow$ यदि a = 4 तब b = 1 एवं c = 1 होगा।
अतः, एक द्विघात बहुपद जिसमें दी गई शर्ते सन्तुष्ट होती हैं, 4x2 + x + 1 है एवं अन्य कोई द्विघात बहुपद जो इन शर्तों को सन्तुष्ट करे k(4x2 + x + 1) होगा, जहाँ k एक वास्तविक संख्या है।
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Question 43 Marks
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों का योग तथा गुणनफल क्रमशः 1 और 1 हैं।
Answer
मान लीजिए अभीष्ट द्विघात बहुपद ax2 + bx + c है जिसके शून्यक$\alpha$ एवं$\beta$ हैं, तो हम पाते हैं कि
$\alpha+\beta=-\frac{b}{a}$ = 1 = $-\frac{(-1)}{1}$
और $\alpha \cdot \beta=\frac{c}{a}$ = 1 = $\frac{1}{1}$
$\Rightarrow$ यदि a = 1 तब b = -1 एवं c = 1 होगा।
अतः एक द्विघात बहुपद जिसमें दी गई शर्ते सन्तुष्ट होती हैं, x2 + x + 1 है एवं अन्य कोई द्विघात बहुपद जो इन शर्तों को सन्तुष्ट करे k(4x2 + x + 1) होगा, जहाँ k एक वास्तविक संख्या है।
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Question 53 Marks
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों का योग तथा गुणनफल क्रमशः 0 और$\sqrt 5$ हैं।
Answer
मान लीजिए अभीष्ट द्विघात बहुपद ax2 + bx + c है जिसमें शून्यक$\alpha$ एवं$\beta$ हैं तो हम पाते हैं कि
$\alpha+\beta=-\frac{b}{a}$ = 0 = $-\frac{0}{1}$
और$\alpha \cdot \beta=\frac{c}{a}$ = $\sqrt{5}=\frac{\sqrt{5}}{1}$
$\Rightarrow$ यदि a = 1 तब b = 0 एवं c = $\sqrt{5}$ होगा।
अतः, एक द्विघात बहुपद जिसमें दी गई शर्ते सन्तुष्ट होती हैं: x2 + 0.x + $\sqrt{5}$ अर्थात् x2 + $\sqrt{5}$ है एवं अन्य कोई द्विघात बहुपद जो इन शर्तों को सन्तुष्ट करे k(x2 + $\sqrt{5}$) होगा, जहाँ k एक वास्तविक संख्या है।
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Question 63 Marks
बहुपद x2 - 3 के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए।
Answer

सर्वसमिका a2 - b2 = (a - b)(a + b) का स्मरण कीजिए। इसे प्रयोग कर, हम लिख सकते हैं:
x2 - 3 = (x -$\sqrt 3$)(x +$\sqrt 3$)
इसलिए, x2 - 3 का मान शून्य होगा, जब x =$\sqrt{3}$ हो या x =$-\sqrt{3}$ हो।
अतः x2 - 3 के शून्यक$\sqrt{3}$ और$-\sqrt{3}$ हैं। अब
शून्यकों का योग = $\sqrt{3}-\sqrt{3}$ = 0 = 
शून्यकों का गुणनफल = $(\sqrt{3})(-\sqrt{3})$ = -3 = $=\frac{-3}{1}$ = 

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Question 73 Marks
द्विघात बहुपद x2 + 7x + 10 के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए।
Answer

हम पाते हैं:
x2 + 7x + 10 = (x + 2)(x + 5)
इसलिए x2 + 7x + 10 का मान शून्य है, जब x + 2 = 0 है या x + 5 = 0 है, अर्थात् जब x = -2 या x = -5 हो। इसलिए, x2 + 7x + 10 के शून्यक -2 और -5 हैं। अब,
शून्यकों का योग = -2 + (-5) = -(7) =$\frac{-(7)}{1}$ = 
शून्यकों का गुणनफल = (-2)$\times$ (-5) = 10 =$\frac{10}{1}$ = 

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Question 83 Marks
यदि बहुपद $f(x)=x^2-5 x+k$ के शून्यक $\alpha$ तथा $\beta$ इस प्रकार हों कि $\alpha-\beta=1$ तो $k$ का मान लिखिये।
Answer
दिया गया है कि $\alpha$ तथा $\beta$ बहुपद $x^2-5 x$ $+k$ के शून्यक हैं। $ \begin{array}{l} \therefore \quad \alpha+\beta=-\left(\frac{-5}{1}\right)=5 \\ \alpha \beta=\frac{k}{1}=k \end{array} $
$\alpha-\beta=1$ या $(\alpha-\beta)^2=1$
या $(\alpha+\beta)^2-4 \alpha \beta=1$
या $\qquad$$25-4 k=1$
$4 k=24 \therefore k=\frac{24}{4}=6$
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Question 93 Marks
यदि बहुपद $k x^2+2 x+3 k$ के शून्यकों का योग उनके गुणनफल के बराबर है, तो $k$ बराबर है।
Answer
\[ \begin{array}{l} \text {शून्यकों का योग }=\frac{-b}{a}=\frac{-2}{k} \\ \text { शून्यकों का गुणनफल }=\frac{c}{a}=\frac{3 k}{k}=3 \end{array} \] प्रश्नानुसार शून्यकों का योग = शून्यकों का गुणनफल \[ \Rightarrow \frac{-2}{k}=3 \therefore k=\frac{-2}{3} \]
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