गणित प्रश्नों के उत्तर लिखिए। (प्रत्येक प्रश्न 3 अंक का हे)

अतः हमको उद्देश्य फलन Z = 3x + 3.5y ...(i)
का निम्नतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
x + 2y $\geq$ 240 ...(ii)
3x + 1.5y $\geq$ 270 ...(iii)
1.5x + 2y $\leq$ 310 ...(iv)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(v)
सर्वप्रथम, रेखा x + 2y = 240 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका x + 2y $\geq$ 240 में रखने पर
0 + 2 $\times$ 0 $\geq$ 240 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 240 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा।
अब, रेखा 3x + 1.5y = 270 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका 3x + 1.5y $\geq$ 270 में रखने पर,
3 $\times$ 0 + 1.5 $\times$ 0 $\geq$ 270 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 270 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिदु के विपरीत ओर होगा।
अब, रेखा 1.5x + 2y = 310 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका 1.5x + 2y $\leq$ 310 में रखने पर,
1.5 $\times$ 0 + 2 $\times$ 0 $\leq$ 310 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 310 (जोकि सत्य हैं)
अतः रेखा 3x + 1.5y = 270 तथा 1.5x + 2y = 310 का प्रतिच्छेद बिंदु B(20, 140), रेखा 1.5x + 2y = 310 तथा x + 2y = 240 का प्रतिच्छेद बिंदु A(140, 50) तथा रेखा x + 2y = 240 तथा 3x + 1.5y = 270 का प्रतिच्छेद बिंदु C(40, 100) है।
चूँकि, x, y $\geq$ 0
अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित होगा।
सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु C(40, 100), A(140, 50) तथा B(20, 140) है। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।

Z का अधिकतम मान बिंदु A(140, 50) पर 595 प्राप्त होता है। अतः बाग में मिलाई गई नाइट्रोजन की अधिकतम मात्रा 595 किग्रा प्राप्त करने के लिए P ब्रांड के 140 थैले तथा Q ब्रांड के 50 थैले प्रयोग करने चाहिए।

(0, 0) असमिका x + y $\leq$ 7000 में रखने पर,
0 + 0 $\leq$ 100 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 7000 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है।
अब, रेखा x = 4500 का ग्राफ खीचते हैं।
(0, 0) असमिका x $\leq$ 4500 में रखने पर,
0 $\leq$ 4500 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतिल मूलबिंदु की ओर है।
अब, रेखा x + y = 3500 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका x + y $\geq$ 3500 में रखने पर,
0 + 0 $\geq$ 3500 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 3500 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा।
अब, रेखा y = 3000 का ग्राफ खींचते हैं।
(0, 0) असमिका y $\leq$ 3000 में रखने पर,
0 $\leq$ 3000 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर होगा।
चूँकि x, y $\geq$ 0
अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में होगा। समीकरणों के प्रतिच्छेद बिंदु C(4500, 2500), D(4500, 3000) तथा E(500, 3000) प्राप्त होते हैं।
$\therefore$ सुसंगत क्षेत्र ABCDEA है।
इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु A(3500, 0), B(4500, 0), C(4500, 2500), D(4500, 3000) तथा E(500, 3000) हैं। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।

अतः Z का निम्नतम मान बिंदु E(500, 3000) पर 4400 प्राप्त होता है। अतः निम्नतम परिवहन लागत प्राप्त करने के लिए डिपो A से 500 लीटर, 3000 लीटर तथा 3500 लीटर पेट्रोल क्रमशः पेट्रोल पंप D, E तथा F को उपलब्ध कराना चाहिए तथा डिपो B से 4000 लीटर 0 लीटर तथा 0 लीटर पेट्रोल क्रमशः पेट्रोल पंप D, E तथा F को उपलब्ध कराना चाहिए।

(0, 0) असमिका x + y $\leq$ 100 में रखने पर,
0 + 0 $\leq$ 100 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 100 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है।
अब, रेखा x = 60 का ग्राफ खींचते है।
(0, 0) असमिका x $\leq$ 60 में रखने पर, 0 $\leq$ 60 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर होगा।
अब; रेखा x + y = 60 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका x + y $\geq$ 60 में रखने पर, 0 + 0 $\geq$ 60 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 60 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरित ओर होगा।
अब, रेखा y = 50 का ग्राफ खींचते हैं।
(0, 0) असमिका y $\leq$ 50 में रखने पर 0 $\leq$ 50 प्राप्त होता है। (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर होगा। चूँकि x, y $\geq$ 0, अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित होगा। समीकरणों के प्रतिच्छेद बिंदु A(60, 0), B(60, 40), C(50, 50) तथा D(10, 50) प्राप्त होते हैं। अतः सुसंगत क्षेत्र ABCDA है।
सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु A(60, 0), B(60, 40), C(50, 50) तथा D(10, 50) हैं। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।

Z का निम्नतम मान बिंदु D(10, 50) पर 510 है। अतः भंडार A से दुकान D, E तथा F को क्रमशः 10 क्विंटल, 50 क्विंटल तथा 40 क्विंटल अन्न उपलब्ध कराया जाता है तथा B से दुकान E तथा F का क्रमशः 50 क्विंटल, 0 क्विंटल तथा 0 क्विंटल अन्न उपलब्ध कराया जाता है, तो निम्नतम लागत ₹ 510 होती है।

अतः हमको उद्देश्य फलन Z = 16x + 20y ...(i)
का निम्नतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
x + 2y $\geq$ 10 ...(ii)
2x + 2y $\geq$ 12 $\Leftrightarrow$ x + y $\geq$ 6 ...(iii)
3x + y $\geq$ 8 ...(iv)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(v)
सर्वप्रथम, x + 2y = 10 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका x + 2y $\geq$ 10 में रखने पर,
0 + 2 $\times$ 0 $\geq$ 10 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 10 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा।
अब, रेखा x + y = 6 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका x + y $\geq$ 6 में रखने पर,
0 + 0 $\geq$ 6 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 6 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा।
अब, रेखा 3x + y = 8 का ग्राफ खींचते हैं,

(0, 0) असमिका x + y $\geq$ 8 में रखने पर,
3 $\times$ 0 + 0 $\geq$ 8 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 8 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा। चूँकि x, y $\geq$ 0 अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में होगा।
समीकरण x + y = 6 तथा x + 2y = 10 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु B(2, 4) प्राप्त होता है।
इसी प्रकार, समीकरण 3x + y = 8 तथा x + y = 6 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु C(1, 5) प्राप्त होता है।
अतः सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु A(10, 0), B(2, 4), C(1, 5) तथा D(0, 8) है। अतः इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।

चूँकि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है। अतः Z का निम्नतम मान 112 हो भी सकता है और नहीं भी हो सकता है। इसके लिए असमिका 16x + 20y < 112 या 4x + 5y < 28 का ग्राफ खींचते हैं और परीश्रण करते हैं कि प्राप्त अर्द्धतल का कोई बिंदु सुसंगत क्षेत्र में उभयनिष्ठ है या नहीं है। स्पष्ट है कि यहाँ कोई बिंदु उभयनिष्ठ नहीं है। अतः Z का निम्नतम मान बिंदु B(2, 4) पर 112 है। अतः निम्नतम लागत 112 प्राप्त करने के लिए भोज्य X के 2 किग्रा तथा भोज्य Y के 4 किग्रा का मिश्रण प्राप्त करना चाहिए।

अतः हमको उद्देश्य फलन Z = 250x + 200y ...(i)
का निम्नतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
3x + 1.5y $\geq$ 18 $\Leftrightarrow$ 2x + y $\geq$ 12 ...(ii)
2.5x + 11.25y $\geq$ 45 $\Leftrightarrow$ 2x + 9y $\geq$ 36 ...(iii)
2x + 3y $\geq$ 24 ...(iv)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(v)
सर्वप्रथम, रेखा 3x + 1.5y = 18 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका 3x + 1.5y $\geq$ 18 में रखने पर,
3 $\times$ 0 + 1.5 $\times$ 0 $\geq$ 18 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 18 (जोकि असत्य है।)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा।
अब, रेखा 2.5x + 11.25y = 45 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका 2.5x + 11.25y $\geq$ 45 में रखने पर
2.5 $\times$ 0 + 11.25 $\times$ 0 $\geq$ 45 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 45 (जोकि असत्य है।)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा।
अब, रेखा 2x + 3y = 24 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका 2x + 3y $\geq$ 24 में रखने पर,
2 $\times$ 0 + 3 $\times$ 0 $\geq$ 24 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 24 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरित ओर होगा। चूँकि x, y $\geq$ 0 है, अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित होगा। समीकरण 3x + 1.5y = 18 तथा 2x + 3y = 24 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु C(3, 6) प्राप्त होता है।
इसी प्रकार, समीकरण 2.5x + 11.25y = 45 तथा 2x + 3y = 24 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु B(9, 2) प्राप्त होता है। इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु A(18, 0), B(9, 2), C(3, 6) तथा D(0, 12) हैं। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न हैं।

चूँकि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है, अतः Z का निम्नतम मान 1950 हो भी सकती है और नहीं भी हो सकता है। इसके लिए असमिका 250x + 200y < 1950 या 5x + 4y < 39 का ग्राफ खीचते हैं। अब परीक्षण करते हैं कि प्राप्त अर्द्धतल का कोई बिंदु सुसंगत क्षेत्र में उभयनिष्ठ है या नहीं है। यहाँ स्पष्ट है कि कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है, अतः Z का निम्नतम मान बिंदु C(3, 6) पर 1950 प्राप्त होता है। अतः न्यूनतम लागत ₹1950 प्राप्त करने के लिए P प्रकार के चारे के 3 थैले, Q प्रकार के चारे के 6 थैले मिश्रण में प्रयोग करने चाहिए।

(0, 0) असमिका x + y $\leq$ 1200 में रखने पर,
0 + 0 $\leq$ 1200 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 1200 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है।
अब, रेखा x - 2y = 0 का ग्राफ खींचते हैं।

(200, 0) असमिका x - 2y $\geq$ 0 में रखने पर,
200 - 2 $\times$ 0 $\geq$ 0 $\Rightarrow$ 200 $\geq$ 0 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल X-अक्ष की ओर है।
अब रेखा x - 3y = 600 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका x - 3y $\leq$ 0 में रखने पर,
0 + 3 $\times$ 0 $\leq$ 600 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 600 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है। चूँकि x, y $\geq$ 0 है, अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित होगा।
रेखा x - 3y = 600 तथा x + y = 1200 का प्रतिच्छेद बिंदु B(1050, 150) तथा रेखा x = 2y तथा x + y = 1200 का प्रतिच्छेद बिंदु C(800, 400) है।
मान लीजिए कुल लाभ Z है, तब Z = 12x + 16y
$\therefore$ सुसंगत क्षेत्र OABCO है।
सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु A(600, 0), B(1050, 150) तथा C(800, 400) है। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z के माना निम्न है।

Z का अधिकतम मान C(800, 400) पर 16000 प्राप्त होता है। अतः अधिकतम लाभ ₹16000 प्राप्त करने के लिए A प्रकार की 800 गुडियों तथा B प्रकार की 400 गुड़ियों का निर्माण करना चाहिए।

अतः हमको उद्देश्य फलन z = 6x + 3y ...(i)
का अधिकतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
12x + 3y $\geq$ 240 $\Leftrightarrow$ 4x + y $\geq$ 80 ...(ii)
4x + 20y $\geq$ 460 $\Leftrightarrow$ x + 5y $\geq$ 115 ...(iii)

6x + 4y $\leq$ 300 $\Leftrightarrow$ 3x + 2y $\leq$ 150 ...(iv)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(v)
सर्वप्रथम, रेखा 4x + y = 80 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका 4x + y $\geq$ 80 में रखने पर, 4 $\times$ 0 + 0 $\geq$ 80 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 80 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा।
अब, रेखा x + 5y = 115 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका x + 5y $\geq$ 115 में रखने पर,
0 + 5 $\times$ 0 $\geq$ 115 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 115 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा।
अब, रेखा 3x + 2y = 150 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका 3x + 2y $\leq$ 150 में रखने पर,
3 $\times$ 0 + 2 $\times$ 0 $\leq$ 150 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 150 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर स्थित है। चूँकि x, y $\geq$ 0, अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थाश में सिथत है। समीकरण 4x + y = 80 तथा x + 5y = 115 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिन्दु A(15, 20) प्राप्त होता है।
इसी प्रकार, समीकरण 3x + 2y = 150 तथा x + 5y = 115 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिन्दु B(40, 15) प्राप्त होता है, अतः सुसंगत क्षेत्र ABCA है।
इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु A(15, 20), B(40, 15) तथा C(2, 72) है। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।

अतः Z का अधिकतम मान बिंदु B(40, 15) पर 285 है। अतः विटामिन A की अधिकतम मात्रा प्राप्त करने के लिए भोज्य P के 40 पैकेज तथा भोज्य Q के 15 पैकेज तैयार करने चाहिए। अतः विटामिन A की अधिकतम मात्रा 285 है।

डेस्कटॉप नमूने की कीमत ₹25000 तथा पोर्टेबल नमूने की कीमत ₹40000 है, जबकि सौदागर अधिकतम ₹70 लाख निवेश कर सकता है।
$\therefore$ 25000x + 40000y $\leq$ 7000000
अतः उद्देश्य फलन Z = 4500x + 5000y ...(i)
का अधिकतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
x + y $\leq$ 250 ...(ii)
25000x + 40000y $\leq$ 7000000 $\Leftrightarrow$ 5x + 8y $\leq$ 1400 ...(iii)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0
सबसे पहले रेखा 5x + 8y = 1400 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका 5x + 8y $\leq$ 1400 में रखने पर,
5 $\times$ 0 + 8 $\times$ 0 $\leq$ 1400 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 1400 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है। चूँकि x, y $\geq$ 0 है, अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित होगा।
अब, रेखा x + y = 250 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका x + y $\leq$ 250 में रखने पर, 0 + 0 $\leq$ 250 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 250 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है।
समीकरण x + y = 250 तथा 5x + 8y = 1400 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु B(200, 50) प्राप्त होता है।
$\therefore$ सुसंगत क्षेत्र OABCO है।
इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु A(250, 0), B(200, 50) तथा C(0, 175) हैं। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।

Z का अधिकतम मान बिंदु B(200, 50) पर 1150000 प्राप्त होता है। अतः Z का अधिकतम मान 1150000 प्राप्त करने के लिए 200 डेस्कटॉप कंप्यूटर तथा 50 पोर्टेबल कंप्यूटर उत्पादित करने चाहिए।

A प्रकार के स्मृति चिह्न पर ₹5 तथा B प्रकार के स्मृति चिह्न पर ₹6 का लाभ प्राप्त होता है।
$\therefore$ हमको उद्देश्य फलन Z = 5x + 6y ...(i)
का अधिकतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
5x + 8y $\leq$ 200 ...(ii)
10x + 8y $\leq$ 240 $\Leftrightarrow$ 5x + 4y $\leq$ 120 ...(iii)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(iv)
सबसे पहले रेखा 5x + 8y = 200 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका 5x + 8y $\leq$ 200 में रखने पर,
5 $\times$ 0 + 8 $\times$ 0 $\leq$ 200 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 200 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर होगा। चूँकि x, y $\geq$ 0, अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित होगा।
अब, रेखा 5x + 4y = 120 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका 5x + 4y $\leq$ 120 में रखने पर,
5 $\times$ 0 + 4 $\times$ 0 $\leq$ 120 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 120 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है।
समीकरण 5x + 8y = 200 तथा 5x + 4y = 120, को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु B(8, 20) प्राप्त होता है।
$\therefore$ सुसंगत क्षेत्र OABCO है।
इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु O(0, 0), A(24, 0), B(8, 20) तथा C(0, 25) हैं। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।

Z का अधिकतम गान बिंदु B(8, 20) पर ₹160 प्राप्त होता है। अतः अधिकतम लाभ ₹160 प्राप्त करने के लिए A प्रकार के स्मृति चिह्न तथा B प्रकार के 20 स्मृति चिह्न उत्पादित करने चाहिए।

लैंप पर ₹5 तथा शेड पर ₹3 का लाभ प्राप्त होता है।
अतः हमको उद्देश्य फलन Z = 5x + 3y ...(i)
का अधिकतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
2x + y $\leq$ 12 ...(ii)
3x + 2y $\leq$ 20 ...(iii)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(iv)
सबसे पहले रेखा 2x + y = 12 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका 2x + y $\leq$ 12 में रखने पर,
2 $\times$ 0 + 0 $\leq$ 12
$\Rightarrow$ 0 $\leq$ 12 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है।
चूँकि x, y $\geq$ 0
अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में होगा।
अब, रेखा 3x + 2y = 20 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका 3x + 2y $\leq$ 20 में रखने पर,
3 $\times$ 0 + 2 $\times$ 0 $\leq$ 20 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 20 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है।
समीकरण 2x + y = 12 तथा 3x + 2y = 20 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु B(4, 4) प्राप्त होता है। अतः सुसंगत क्षेत्र OABCO है।
इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु O(0, 0), A(6, 0), B(4, 4) तथा C(0, 10) हैं। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।

Z का बिंदु B(4, 4) पर अधिकतम मान ₹32 है। अतः अधिकतम लाभ कमाने के लिए निर्माणकर्ता को 4 पैडेस्टल लैंप तथा 4 लकडी के शेड उत्पादित करने चाहिए।

$\therefore$ कुल लागत, Z = 17.5x + 7y अर्थात् हमको उद्देश्य फलन
Z = 17.5x + 7y ...(i)
का अधिकतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
x + 3y $\leq$ 12 ...(ii)
3x + y $\leq$ 12 ...(iii)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(iv)
सर्वप्रथम, रेखा x + 3y = 12 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका x + 3y $\leq$ 12 में रखने पर,
0 + 3 $\times$ 0 $\leq$ 12 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 12 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है। चूँकि x, y $\geq$ 0 है, अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में है। अब, रेखा 3x + y = 12 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका 3x + y $\leq$ 12 में रखने पर,
3 $\times$ 0 + 0 $\leq$ 12 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 12 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है।
समीकरण x + 3y = 12 तथा 3x + y = 12 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु B(3, 3) प्राप्त होता है।
$\therefore$ सुसंगत क्षेत्र OABCO है। इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु O(0, 0), A(4, 0), B(3, 3) तथा C(0, 4) हैं। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।

Z का बिंदु (3, 3) पर अधिकतम मान ₹73.50 है, अतः अधिकतम लाभ ₹73.50 प्राप्त करने के लिए प्रत्येक दिन 3 पैकेट नट तथा 3 पैकेट बोल्ट उत्पाटित किए जाने चाहिए।

42 घंटे से अधिक यांत्रिक समय उपलब्ध नहीं है।
$\therefore$ 1.5x + 3y $\leq$ 42
24 घंटे से अधिक शिल्पकार का समय उपलब्ध नहीं है
$\therefore$ 3x + y $\leq$ 24
रैकेट पर लाभ ₹20 तथा बल्ले पर ₹10 है।
अतः हमको उद्देश्य फलन Z = 20x + 10y ...(i)
का अधिकतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
1.5x + 3y $\leq$ 42 ...(ii)
3x + y $\leq$ 24 ...(iii)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(iv)
सर्वप्रथम, रेखा 1.5x + 3y = 42 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका 1.5x + 3y $\leq$ 42 में रखने पर,
1.5 $\times$ 0 + 3 $\times$ 0 $\leq$ 42 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 42 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है। चूँकि x, y $\geq$ 0
अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में होगा।
अब, रेखा 3x + y = 24 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका 3x + y $\leq$ 24 में रखने पर, 3 $\times$ 0 + 0 $\leq$ 24 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 24 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है।
समीकरण 1.5x + 3y = 42 तथा 3x + y = 24 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु B(4, 12) प्राप्त होता है। अतः सुसंगत क्षेत्र OABCO है।
इस प्रकार-सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु O(0, 0), A(8, 0), B(4, 12) तथा C(0, 14) हैं। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।

अतः अधिकतम लाभ, जबकि कारखाना पूरी क्षमता से कार्य करें, ₹200 है।

(0, 0) असमिका x + 2y $\leq$ 8 में रखने पर,
0 + 0 $\leq$ 8 $\Rightarrow $ 0 $\leq$ 8 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर स्थित है।
चूँकि, x, y $\geq$ 0
अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में है।
अब, रेखा 3x + 2y = 12 का ग्राफ खींचते हैं।

(0, 0) असमिका 3x + 2y $\leq$ 12 में रखने पर,
3 $\times$ 0 $\leq$ 12 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 12 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है।
अतः सुसंगत क्षेत्र OABCO है।
समीकरण x + 2y = 8 तथा 3x + 2y = 12 को हल करने पर, x = 2 तथा y = 3 प्राप्त होता है।
$\therefore$ प्रतिच्छेद बिंदु B(2, 3) है।
इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु O(0, 0), A(4, 0), B(2, 3) तथा (0, 4) है। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।

अतः Z का निम्नतम मान -12 है जोकि बिंदु A(4, 0) पर प्राप्त होता है।

(0, 0) असमिका x - y $\leq$ -1 में रखने पर
0 - 0 $\leq$ -1 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ -1 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा।
अब, रेखा -x + y = 0 का ग्राफ खींचते हैं।

(2, 0) असमिका -x + y $\leq$ 0 में रखने पर,
-2 + 0 $\leq$ 0 $\Rightarrow$ -2 $\leq$ 0 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल x-अक्ष की ओर है। चूँकि x, y $\geq$ 0, अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित होगा।
ग्राफ से स्पष्ट हैं कि दोनो रेखाओं के सुसंगत क्षेत्र में कोई भी क्षेत्र उभयनिष्ठ नहीं है। अतः इस रैखिक प्रोग्रामन समस्या का सुसंगत क्षेत्र विद्यमान नही है, अतः Z का कोई अधिकतम मान नही हैं।

असमिका x + y $\leq$ 4 में (0, 0) रखने पर, 0 + 0 $\leq$ 4 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 4 (जो कि सत्य है)।
अतः अर्द्धसमतल मूलबिंदु की ओर स्थित होगा।
पुनः चूँकि x, y $\geq$ 0, अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित है। अतः सुसंगत क्षेत्र OABO है।

सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु O(0, 0), A(4, 0) तथा B(0, 4) हैं। इन बिंदुओं पर उद्देश्य फलन Z का मान निम्न है।

अतः Z का अधिकतम मान 16 है जोकि बिंदु B(0, 4) पर प्राप्त होता है।

कोनीय बिंदुओं के निर्देशांक क्रमशः (0, 0), (40, 0), (30, 20) और (0, 50) हैं। उद्देश्य फलन Z = 10500x + 9000y का मान इन शीर्षों पर निकालना चाहिए ताकि उस शीर्ष को ज्ञात किया जा सके जिस पर अधिकतम लाभ होता है।
अतः समिति को X फसल के लिए 30 हेक्टयर और Y फसल के 20 हेक्टयर का आबंटन होगा ताकि अधिकतम लाभ ₹4,95,000 का हो सके।

कोनीय बिंदुओं O, A, B और C के निर्देशांक क्रमशः (0, 0), (30, 0), (20, 30) और (0, 50) हैं। अब प्रत्येक कोनीय बिंदु पर Z का मान ज्ञात करते हैं।
अतः बिंदु (30, 0) पर Z का अधिकतम मान 120 है।