Question 15 Marks
दर्शाइए कि अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}+\frac{y^{2}+y+1}{x^{2}+x+1}=0$ का व्यापक हल (x + y + 1) = A(1 - x - y - 2xy) है, जिसमें A एक प्राचल है।
Answerदिया गया अवकल समीकरण
$\frac{d y}{d x}+\frac{y^{2}+y+1}{x^{2}+x+1}=0$ $\Rightarrow \frac{d y}{y^{2}+y+1}+\frac{d x}{x^{2}+x+1}=0$
समाकलन करने पर,
$\int \frac{d y}{y^{2}+y+1}+\int \frac{d x}{x^{2}+x+1}=C$
$\Rightarrow \int \frac{d y}{y^{2}+y+1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}$ $+\int \frac{d x}{x^{2}+x+1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}=c$
$\Rightarrow \int \frac{d y}{\left(y+\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(1-\frac{1}{4}\right)}$ $+\int \frac{d x}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(1-\frac{1}{4}\right)}=C$
$\Rightarrow \int \frac{d y}{\left(y+\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}$ $+\int \frac{d x}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=C$
$\Rightarrow \frac{2}{\sqrt{3}} \tan ^{-1}\left(\frac{y+\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right)$ $+\frac{2}{\sqrt{3}} \tan ^{-1}\left(\frac{x+\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right)=C$ $\left(\because \int \frac{1}{a^{2}+x^{2}} d x=\frac{1}{a} \tan ^{-1} \frac{x}{a}\right)$
$\Rightarrow \tan ^{-1}\left(\frac{2 y+1}{\sqrt{3}}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{2 x+1}{\sqrt{3}}\right)$ $=\frac{\sqrt{3} C}{2}=k$ (माना)
$\Rightarrow \tan ^{-1}\left[\frac{\frac{2 y+1}{\sqrt{3}}+\frac{2 x+1}{\sqrt{3}}}{1-\left(\frac{2 y+1}{\sqrt{3}}\right)\left(\frac{2 x+1}{\sqrt{3}}\right)}\right]=k$ $\left[\because \tan ^{-1} x+\tan ^{-1} y=\tan ^{-1}\left(\frac{x+y}{1-x y}\right)\right]$
$\Rightarrow \tan ^{-1}\left[\frac{\frac{2 y+1+2 x+1}{\sqrt{3}}}{1-\left(\frac{4 x y+2 x+2 y+1}{3}\right)}\right]=k $
$\Rightarrow \frac{2 \sqrt{3}(x+y+1)}{3-(4 x y+2 x+2 y+1)}=\tan k$ $\Rightarrow \frac{2 \sqrt{3}(x+y+1)}{2(1-x-y-2 x y)}=\tan k \\$
$\Rightarrow$ x + y + 1 = $\frac{1}{\sqrt{3}}$ tan k(1 - x - y - 2xy)
मान लीजिए $A = \frac{1}{\sqrt{3}}$tan k जोकि स्वेच्छ अचर है।
$\Rightarrow$ x + y + 1 = A(1 - x - y - 2xy) (यही सिद्ध करना था)
View full question & answer→Question 25 Marks
सिद्ध कीजिए कि $x^2 - y^2 = c(x^2 + y^2)^2$, जहाँ c एक प्राचल है, अवकल समीकरण $(x^3 - 3xy^2)dx = (y^3 - 3x^2y)dy$ का व्यापक हल है।
Answerदिया गया अवकल समीकरण
$\frac{d y}{d x}=\frac{x^{3}-3 x y^{2}}{y^{3}-3 x^{2} y}$ ...(i)
जोकि समघातीय अवकल समीकरण है अतः y = vx रखने पर,
$\Rightarrow \frac{d}{d x}(y)=\frac{d}{d x}(v x)$ $\Rightarrow \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}$
समी. (i) से,
$v+x \frac{d v}{d x} =\frac{x^{3}-3 x(v x)^{2}}{(v x)^{3}-3 x^{2}(v x)}$ $\Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=\frac{1-3 v^{2}}{v^{3}-3 v}$
$\Rightarrow x \frac{d v}{d x} =\frac{1-3 v^{2}}{v^{3}-3 v}-v$
$\Rightarrow x \frac{d v}{d x} =\frac{1-3 v^{2}-v^{4}+3 v^{2}}{v^{3}-3 v}$ $\Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{1-v^{4}}{v^{3}-3 v}$
$\Rightarrow \left(\frac{v^{3}-3 v}{1-v^{4}}\right) d v =\frac{d x}{x}$
समाकलन करने पर,
$\int\left(\frac{v^{3}-3 v}{1-v^{4}}\right) d v=\int \frac{d x}{x}$ $\Rightarrow \int\left(\frac{v^{3}-3 v}{1-v^{4}}\right) d v$ = log x + log C ...(ii)
अब, $\int\left(\frac{v^{3}-3 v}{1-v^{4}}\right) d v$ $=\int \frac{v^{3}}{1-v^{4}} d v-3 \int \frac{v}{1-v^{4}} d v$
$\Rightarrow\int\left(\frac{v^{3}-3 v}{1-v^{4}}\right) d v = l_1 - 3l_2$ ....(iii)
जहाँ, $I_{1}=\int \frac{v^{3}}{1-v^{4}} d v$ तथा $I_{2}=\int \frac{v}{1-v^{4}} d v$
मान लीजिए $1 - v^4 = t \Rightarrow -4v^3 = \frac{d t}{d v}$ $\Rightarrow v^3dv = -\frac{d t}{4}$
$\therefore l_{1}=\int \frac{-d t}{4 t}$ $=-\frac{1}{4} \log t=-\frac{1}{4} \log \left(1-v^{4}\right)$
तथा $I_{2}=\int \frac{v d v}{1-v^{4}}=\int \frac{v d v}{1-\left(v^{2}\right)^{2}}$
पुनः, मान लीजिए $v^2 = z \Rightarrow v d v=\frac{d z}{2}$
$\Rightarrow I_{2}=\frac{1}{2} \int \frac{d z}{1-z^{2}}$ $=\frac{1}{2 \times 2} \log \left|\frac{1+z}{1-z}\right|$ $=\frac{1}{4} \log \left|\frac{1+v^{2}}{1-v^{2}}\right|$ ($\because z = v^2) \left(\because \int \frac{d x}{a^{2}-x^{2}}=\frac{1}{2 a} \log \left|\frac{a+x}{a-x}\right|\right)$
$l_1$ तथा $I_2$ का मान समी. (iii) में रखने पर,
$\int\left(\frac{v^{3}-3 v}{1-v^{4}}\right) d v$ $=-\frac{1}{4} \log \left(1-v^{4}\right)-\frac{3}{4} \log \left|\frac{1+v^{2}}{1-v^{2}}\right|$
अतः समी (ii) से,
$-\frac{1}{4} \log \left(1-v^{4}\right)-\frac{3}{4} \log \left|\frac{1+v^{2}}{1-v^{2}}\right|$ = log x + log C
$\Rightarrow -\frac{1}{4} \log \left[\left(1-v^{4}\right)\left(\frac{1+v^{2}}{1-v^{2}}\right)^{3}\right]$ = log Cx
$\Rightarrow -\frac{1}{4} \log \left[\left(1-v^{2}\right)\left(1+v^{2}\right) \times \frac{\left(1+v^{2}\right)^{3}}{\left(1-v^{2}\right)^{3}}\right]$ = log Cx
$\Rightarrow \log \left[\frac{\left(1+v^{2}\right)^{4}}{\left(1-v^{2}\right)^{2}}\right]^{-\frac{1}{4}}$ = log Cx $\Rightarrow\left[\frac{\left(1+v^{2}\right)^{4}}{\left(1-v^{2}\right)^{2}}\right]^{-\frac{1}{4}}$ = Cx
$\Rightarrow \frac{\left(1+v^{2}\right)^{4}}{\left(1-v^{2}\right)^{2}} = (Cx)^{-4} \Rightarrow \frac{\left(1+\frac{y^{2}}{x^{2}}\right)^{4}}{\left(1-\frac{y^{2}}{x^{2}}\right)^{2}}=\frac{1}{C^{4} x^{4}}$
$\Rightarrow \frac{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{4}}{x^{4}\left(x^{2}-y^{2}\right)^{2}}=\frac{1}{C^{4} x^{4}}$ ($\because$ v = $\frac{y}{x}$)
$\Rightarrow (x^2 - y^2) = C^2(x^2 + y^2)^2$
$\Rightarrow x^2 + y^2 = C(x^2 + y^2)^2$ जहाँ, $C = C^2$(सही सिद्ध करना था)
View full question & answer→Question 35 Marks
किसी गाँव की जनसंख्या की वृद्धि की दर किसी भी समय उस गाँव के निवासियों की संख्या के समानुपाती है। यदि सन् 1999 में गाँव की जनसंख्या 20,000 थी और सन् 2004 में 25,000 थी, तो ज्ञात कीजिए कि सन् 2009 मे गाँव की जनसंख्या क्या होगी?
Answerमान लीजिए समय t पर जनसंख्या P है, तब $\frac{d y}{d t} \propto y$
$\Rightarrow \frac{d y}{d t}$ = ky, जहाँ k एक अचर है। $\Rightarrow \frac{d y}{y}$ = kdt
समाकलन करने पर, log y = kt + C ...(i)
वर्ष 1999 में, t = 0, y = 20000
$\therefore$ समी. (i) से, log 20000 = k(0) + C $\Rightarrow$ log 20000 = C ...(ii)
वर्ष 2004 में, t = 5, y = 25000
अतः समी. (i) से,
log 250000 = k5 + C $\Rightarrow$ log 25000 = 5k + log 20000 [समी. (iii) से]
$\Rightarrow$ 5k = log $\left(\frac{25000}{20000}\right)$ $= \log \left(\frac{5}{4}\right)$ $\Rightarrow k=\frac{1}{5} \log \frac{5}{4}$
वर्ष 2009 के लिए, t = 10 वर्ष
अब, t, k तथा C का मान समी. (i) में रखने पर,
log y $= 10 \times \frac{1}{5} \log \left(\frac{5}{4}\right)$ + log (20000)
$\Rightarrow$ log y = $log \left[20000 \times\left(\frac{5}{4}\right)^{2}\right]$ ($\because$ log m + log n = log mn)
$\Rightarrow$ y = 20000 $\times \frac{5}{4} \times \frac{5}{4}$ $\Rightarrow$ y = 31250
अतः वर्ष 2009 में गाँव की जनसंख्या 31250 होगी।
View full question & answer→Question 45 Marks
अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}$ + y cot x = 4x cosec x (x $\neq$ 0) एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए, दिया हुआ है कि y = 0 यदि x = $\frac{\pi}{2}$
Answerदिया गया अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}$ + y cot x = 4x cosec x ...(i)
अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}$ + Py = Q से तुलना करने पर,
P = cot x, Q = 4x cosec x तथा IF = $e^{\int P d x}$
$\therefore$ (समाकलन गुणांक) |F = $e^{\int \cot x d x}$ $\Rightarrow IF = e^{\log |\sin x|} = \sin x$
अतः दिए गए अवकल समीकरण का व्यापक हल
$y \cdot \mathrm{IF}=\int Q \times \mathrm{IF} d x+C$ $\Rightarrow y \sin x=\int 4 x \operatorname{cosec} x \sin x d x+C$
$\Rightarrow y \sin x=\int 4 x d x+C$ $\Rightarrow y \sin x=4 \cdot \frac{x^{2}}{2}+C$
$\Rightarrow y sin x = 2x^2 + C$ ...(ii)
अब, $x = \frac{\pi}{2}$ तथा y = 0
$\therefore0 \times \sin \frac{\pi}{2}=2\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2}+C$ $\Rightarrow C=-\frac{\pi^{2}}{2}$
C का मान समी. (ii) में रखने पर, $y \sin\ x = 2x^2 - \frac{\pi^{2}}{2}$
View full question & answer→Question 55 Marks
अवकल समीकरण (x - y)(dx + dy) = dx - dy का एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए, दिया हुआ है कि y = -1 यदि x = 0.
Answerदिया गया अवकल समीकरण है (x - y)(dx + dy) = dx - dy
$\Rightarrow d x+d y=\frac{d x-d y}{x-y} $
समाकलन करने पर, $\int(d x+d y)=\int \frac{d x-d y}{x-y}+C$
मान लीजिए x - y = t $\Rightarrow$ dx - dy = dt
$\therefore \int d x+d y-C=\int \frac{d x-d y}{x-y}$ $=\int \frac{a t}{t}$ = log t = log |x - y|
$\Rightarrow$ x + y = log |x - y| + C ...(i)
दिया है, जब x = 0, तब y = -1
$\therefore$ 0 + (-1) = log(0 + 1) + C $\Rightarrow$ C = -1
यह मान समी. (i) में रखने पर,
x + y = log |x - y| - 1 $\Rightarrow$ log |x - y| = x + y + 1
जोकि अभीष्ट विशिष्ट हल है।
View full question & answer→Question 65 Marks
अवकल समीकरण $x\frac{d y}{d x}+ y - x + xy \cot x = 0 (x \ne 0)$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
Answerदिया है, $x \frac{d y}{d x} + y - x + xy \cot x = 0 \Rightarrow x \frac{d y}{d x} + y(1 + x \cot x) = x$
अवकल समीकरण में $x$ से भाग करने पर, $\frac{d y}{d x}+\frac{y(1+x \cot x)}{x}=1$
अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x} + Py = Q$ से तुलना करने पर,
$\therefore P=\frac{1+x \cot x}{x}$ तथा $Q = 1$
$\therefore ($समाकलन गुणांक$) IF = e^{\int P d x}=e^{\int \left(\frac{1}{x}+\cot x\right) d x} = e^{\log x + \log |\sin x|} = e^{\log (x \sin x)}$
$\Rightarrow IF = x \sin x (e^{\log a x} = ax) ...(i)$
अतः दिए गए अवकल समीकरण का हल
$y \cdot {IF}=\int Q \times {IF} d x+C \Rightarrow y(x\sin x) = \int {\mathop x\limits_{\text{I}} } \mathop {\sin x}\limits_{{\text{II}}} dx + C$
$\Rightarrow y(x \sin x) = -x \cos x + \int \cos x d x+C ($खण्डशः समाकलन करने पर$)$
$\Rightarrow y(x \sin x) = -x \cos x + \sin x + C$
$\Rightarrow y = \frac{-x \cos x}{x \sin x}+\frac{\sin x}{x \sin x}+\frac{C}{x \sin x} \Rightarrow y=\frac{1}{x}-\cot x+\frac{C}{x \sin x}$
View full question & answer→Question 75 Marks
अवकल समीकरण $(1 + x^2) dy + 2xy\ dx = \cot x\ dx (x \ne 0)$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
Answerदिया है, $(1 + x^2)dy + 2xy dx = \cot x dx$
$\Rightarrow (1 + x^2)dy = dx(cot x - 2xy) \Rightarrow \frac{d y}{d x}+\frac{2 x y}{1+x^{2}}=\frac{\cot x}{1+x^{2}}$
$\Rightarrow$ $\frac{d y}{d x}+\frac{2 x y}{1+x^{2}}=\frac{\cot x}{1+x^{2}}$
अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}+P y=Q$ से तुलना करने पर,
$\therefore P=\frac{2 x}{1+x^{2}} $ तथा $Q=\frac{\cot x}{1+x^{2}}$
$\therefore$ (समाकलन गुणांक) IF $=e^{\int P d x}=e^{\int \frac{2 x}{1+x^{2}} d x}$
मान लीजिए $1 + x^2 = t \Rightarrow 2 x=\frac{d t}{d x} \Rightarrow d x=\frac{d t}{2 x}$
$\therefore$ IF $=e^{\int \frac{2 x}{t} \times \frac{d t}{2 x}}$ $\Rightarrow IF = e^{\log |t|} = t = 1 + x^2$
दिए गए अवकल समीकरण का हल
$y \cdot IF=\int Q \times {IF} d x+C$ $\Rightarrow\left(1+x^{2}\right) y=\int\left[\left(1+x^{2}\right) \frac{\cot x}{\left(1+x^{2}\right)}\right] d x+C$
$\Rightarrow (1 + x^2)y = log |sin x| + C $
$\Rightarrow y = log |sin x| (1 + x^2)^{-1} + C(1 + x^2)^{-1}$
View full question & answer→Question 85 Marks
अवकल समीकरण xlog x$\frac{d y}{d x}$ + y = $\frac{2}{x} \log x$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
Answerदिया है, $x \log x \frac{d y}{d x}+y=\frac{2}{x} \log x$
x log x से भाग करने पर, $\frac{d y}{d x}+\frac{y}{x \log x}=\frac{2}{x^{2}}$
अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}$ + Py = Q से तुलना करने पर,
$P = \frac{1}{x \log x}$ तथा $Q=\frac{2}{x^{2}}$
$\therefore$ (समाकलन गुणांक) $IF = \mathrm{e}^{\int P d x}=\mathrm{e}^{\int \frac{1 d x}{x \log x}}$
मान लीजिए log x = t $\Rightarrow \frac{1}{x}=\frac{d t}{d x} \Rightarrow d x=x d t$
$\therefore $ IF = $e^{\int_{t}^{1}-d t} = e^{\log |t|} = t = log x (\because t = log x)$
दिए गए अवकल समीकरण का हल
$y \cdot IF=\int Q\ IF d x+C$
$\Rightarrow y \cdot \log x=\int \frac{2}{x^{2}} \log x d x+C$
$\Rightarrow y\log x = 2\int {\left( {\mathop {\log x}\limits_{\text{I}} \cdot \mathop {\frac{1}{{{x^2}}}}\limits_{{\text{II}}} } \right)} dx + C$
$=2\left[\log x \int \frac{1}{x^{2}} d x-\int\left\{\frac{d}{d x}(\log x) \int \frac{1}{x^{2}} d x\right\} d x\right]+C$ (खण्डशः समाकलन से)
$=2\left[\log x\left(-\frac{1}{x}\right)-\int\left\{\frac{1}{x} \cdot\left(-\frac{1}{x}\right)\right\} d x\right]+C$
$=2\left(-\frac{\log x}{x}+\int \frac{1}{x^{2}} d x\right)+C$ = $2\left(-\frac{\log x}{x}-\frac{1}{x}\right)+C$
$\Rightarrow y \log x=-\frac{2}{x}(1+\log x)+C$
View full question & answer→Question 95 Marks
अवकल समीकरण $x \frac{d y}{d x} + 2y = x^2 \log x$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
Answerदिया है, $x \frac{d y}{d x} + 2y = x^2log x$
x से दोनों तरफ भाग करने पर,
$\frac{d y}{d x}+2 \frac{y}{x}$ = x log x
अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}$ + Py = Q से तुलना करने पर,
$P=\frac{2}{x}$ तथा Q = x log x
$\therefore$ (समाकलन गुणांक) IF = $e^{\int P d x}=e^{2 J \frac{1}{x} d x}$
$\Rightarrow$ IF = $e^{2\log |x|} = x^2$
दिए गए अवकल समीकरण का हल
$y \cdot {IF}=\int Q \times {IF} d x+C$ $\Rightarrow x^{2} y=\int x^{2} \cdot x \log x d x+C$
$\Rightarrow {x^2}y = \int {\mathop {{x^3}}\limits_{\text{I}} } \mathop {\log x}\limits_{{\text{II}}} dx + C$
$\Rightarrow x^2y =\log x \cdot \int x^{3}-\int\left[\frac{d}{d x} \log x \int x^{3} d x\right] d x+C$
खण्डशः समाकलन करने पर $\int {\mathop u\limits_{\text{I}} \cdot \mathop {vdx}\limits_{{\text{II}}} }$ $= u \int v d x-\int\left[\frac{d}{d x}(u) \int v d x\right] d x$
$\Rightarrow x^{2} y=\log x \cdot \frac{x^{4}}{4}$ $-\int\left[\frac{d}{d x} \log x \int x^{3} d x\right] d x+C$
$\Rightarrow x^{2} y=\log x \cdot \frac{x^{4}}{4}$ $-\int\left(\frac{1}{x} \times \frac{x^{4}}{4}\right) d x+C$
$\Rightarrow x^{2} y=\log x \cdot \frac{x^{4}}{4}$ $-\int \frac{x^{3}}{4} d x+C$
$\Rightarrow x^{2} y=\frac{x^{4}}{4} \log x-\frac{x^{4}}{16}+C$ $\Rightarrow y=\frac{x^{2}}{16}(4 \log x-1)+C x^{-2}$
View full question & answer→Question 105 Marks
अवकल समीकरण $\cos ^{2} x \frac{d y}{d x}+y=\tan x\left(0 \leq x<\frac{\pi}{2}\right)$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
Answerदिया है, $\cos ^{2} x \frac{d y}{d x}+y$ = tan x
$\cos^2x$ से दोनों तरफ भाग करने पर,
$\frac{d y}{d x} + y sec^2x = \tan x sec^2x$
अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}$ + Py = Q से तुलना करने पर,
$P = sec^2x$ तथा $Q = tan x sec^2x$
$\therefore$ (समाकलन गुणांक) IF = $e^{\int P d x} \Rightarrow e^{\int \sec ^{2} x d x} = F = e^{\tan x}$ ...(i)
अतः दिए गए अवकल समीकरण का व्यापक हल
$y \cdot {IF}=\int Q \times {IF} d x+C$
$\Rightarrow y e^{\tan x} = \int e^{\tan x} \cdot tan x sec^2x dx$
मान लीजिए tan $x = t \Rightarrow sec^2x = \frac{d t}{d x}$
$\Rightarrow d x=\frac{d t}{\sec ^{2} x}$
$\therefore y e^{\tan x}=\int e^{t} \cdot t \sec ^{2} x \frac{d t}{\sec ^{2} x}$
$\Rightarrow y e^{\tan x}=\int e^{t} \cdot t d t$
$\Rightarrow y e^{\tan x}=e^{t} \cdot t-\int\left[\frac{d}{d t}(t) \cdot \int e^{t} d t\right] d t$
$\Rightarrow y e^{\tan x}=e^{t} \cdot t-\int e^{t} d t$
$ \Rightarrow ye^{\tan x} = e^t t - e^t + C$
$\Rightarrow ye^{\tan x} = (\tan x - 1) e^{\tan x} + C$
$\Rightarrow y = \tan x - 1 + Ce^{-\tan x}$
View full question & answer→Question 115 Marks
बिंदु $(0, 2)$ से गुजरने वाले वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि इस वक्र के किसी बिंदु के निर्देशांकों का योग उस बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखा की प्रवणता के परिमाण से $5$ अधिक है।
Answerप्रश्नानुसार, $x+y=\frac{d y}{d x}+5$
$\Rightarrow \frac{d y}{d x} + (-1) y = x - 5 ...(i)$
अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x} + Py = Q$ से तुलना करने पर,
$\therefore P = -1$ तथा $Q = x - 5$ तथा $($समाकलन गुर्णांक$) IF = e^{\int P d x} \Rightarrow IF = e^{\int(-1) d x} \Rightarrow IF = e^{-x}$
अतः दिए गए अवकल समीकरण का हल
$y \cdot {IF}=\int Q \times {IF} d x+C \Rightarrow y \cdot e^{-x}=\int(x-5) e^{-x} d x+C$
$\Rightarrow y \cdot e^{-x}=(x-5) \int e^{-x} d x -\int\left[\frac{d}{d x}(x-5) \cdot \int e^{-x} d x\right] d x+C$
$\Rightarrow y \cdot e^{-x} = (x - 5)(-e^{-x}) - \int\left(-e^{-x}\right) d x+C$
$\Rightarrow y \cdot e^{-x} = (5 - x)e^{-x} - e^{-x} + C ...(ii)$
चूँकि वक्र बिंदु $(0, 2)$ से होकर जाता है। अतः
$2 e^{-0} = (5 - 0)e^{-0} - e^0 + C \Rightarrow 2 = 5 - 1 + C \Rightarrow C = 2 - 4 = -2$
$C$ का मान समी. $(ii)$ में रखने पर,
$e^{-x}y = (5 - x)e^{-x} - 2 \Rightarrow y = 4 - x - 2e^x$
जोकि बक्र का अभीष्ट समीकरण है।
View full question & answer→Question 125 Marks
मूलबिंदु से गुजरने वाले एक वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि इस वक्र के किसी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बिंदु के निर्देशांकों के योग के बराबर है।
Answerप्रश्नानुसार, अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x} = x + y \Rightarrow \frac{d y}{d x} - y = x$
अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}+ Py = Q$ से तुलना करने पर,
$P = -1$ तथा $Q = x$
$\therefore ($समाकलन गुणांक$) IF = e^{-\int1 d x} \Rightarrow IF = e^{-x}$
दिए गए अवकल समीकरण का हल
$y \cdot {I F}=\int Q \times {I F} d x+C \Rightarrow y{e^{ - x}} = \int {\mathop {{e^{ - x}}}\limits_{{\text{II}}} } \mathop x\limits_{\text{I}} dx + C$
$\Rightarrow y e^{-x}=x \int e^{-x} d x -\int\left[\frac{d}{d x}(x) \int e^{-x} d x\right] d x+C [$खण्डशः समाकलन से$]$
$\Rightarrow y \cdot e^{-x}=-x e^{-x}+\int e^{-x} d x+C$
$\Rightarrow e^{-x}y = -xe^{-x} - e^{-x} + C ...(i)$
चूँकि वक्र बिंदु $(0, 0)$ से होकर जाता है। अतः
$(0)e^{-0} = -0(e^{-0}) - e^{-0} + C \Rightarrow C = 1$
$C$ का मान समी. $(ii) $ में रखने पर,
$\Rightarrow e^{-x}y = -xe^{-x} - e^{-x} + 1$
$\Rightarrow y = -x - 1 + e^x \Rightarrow x + y + 1 = e^x$
जोकि वक्र का अभीष्ट समीकरण है।
View full question & answer→Question 135 Marks
अवकल समीकरण $(x + y)\frac{d y}{d x} = 1$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
Answer$(x+y) \frac{d y}{d x}=1$ $\Rightarrow \frac{d x}{d y}=(x+y) \Rightarrow \frac{d x}{d y}-x=y$
अवकल समीकरण $\frac{d x}{d y}$ + Px = Q से तुलना करने पर,
P = -1, Q = y
$\therefore$ (समाकलन गुणांक) IF = $e^{\int P dy }=e^{-\int 1 d y}$ $\Rightarrow IF = e^{-y}$ ...(i)
दिए गए अवकल समीकरण का हल
$x \cdot {IF}=\int Q \times {IF} d y+C$ $\Rightarrow x \cdot {e^{ - y}} = \int {\mathop {{e^{ - y}}}\limits_{{\text{II}}} } \cdot \mathop y\limits_{\text{I}} dy + C$
$\Rightarrow xe^{-y} = y \int e^{-y} d y-\int \left(\frac{d}{d y} y \int e^{-y} d y\right) d y+C$ (खण्डशः समाकलन करने पर)
$\Rightarrow xe^{-y} = -y(e^{-y}) + \int e^{-y} d y+C$
$\Rightarrow xe^{-y} = -ye^{-y} - e^{-y} + C $
$\Rightarrow x = -y - 1 + e^yC$
$\Rightarrow x + y + 1 = Ce^y$
View full question & answer→Question 145 Marks
अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x} + 2y = sin\ x$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
Answerदिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}$ + 2y = sin x रैखिक है।
अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}$ + Py = Q से तुलना करने पर,
अतः P = 2 तथा Q = sin x $ \therefore$ IF (समाकलन गुणांक) = $e^{\int P d x} \Rightarrow e^{2 \int1 d x}$ $\Rightarrow$ IF = $e^{2x}$
अतः $y \cdot I F=\int Q \times I F d x+C$ $\Rightarrow y \times e^{2 x}=\int{\sin x \cdot e^{2 x}} d x=I$ (माना) ...(i)
$\therefore I=\sin x \int e^{2 x} d x$ $-\int\left[\frac{d}{d x} \sin x \int e^{2 x} d x\right] d x$ (खण्डशः समाकलन करने पर)
$\Rightarrow I=\sin x \frac{e^{2 x}}{2}-\frac{1}{2} \int \cos x e^{2 x} d x$
$\Rightarrow I=\sin x \frac{e^{2 x}}{2}-\frac{1}{2} \cos x \frac{e^{2 x}}{2}$ $+\frac{1}{2} \int\left(\frac{d}{d x} \cos x \int e^{2 x} d x\right) d x$
$\Rightarrow I=\sin x \frac{e^{2 x}}{2}-\frac{1}{4} \cos x e^{2 x}$ $+\frac{1}{4} \int(-\sin x) e^{2 x} d x$
$\Rightarrow I=\sin x \frac{e^{2 x}}{2}-\frac{1}{4} \cos x e^{2 x}+C$ $-\frac{1}{4} I+C $
$\Rightarrow\frac{5 I}{4}=\frac{e^{2 x}}{4}(2 \sin x-\cos x)+C$ $\Rightarrow I=\frac{e^{2 x}}{5}(2 \sin x-\cos x)+C$
अतः समी (i) से,
$y \times e^{2x} =\frac{e^{2 x}}{5}(2 \sin x - \cos x) + C$
$\Rightarrow y=\frac{1}{5}(2 \sin x - \cos x) + e^{-2x} C$
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दर्शाइए कि अवकल समीकरण y dx + x log $\left(\frac{y}{x}\right)$dy - 2x dy = 0 समघातीय है और इसका हल ज्ञात कीजिए।
Answerदिया है, ydx + x log $\left(\frac{y}{x}\right)$ dy - 2x dy = 0
$\Rightarrow\frac{y}{x}+\log \left(\frac{y}{x}\right) \frac{d y}{d x}-2 \frac{d y}{d x}=0$ $\Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{\frac{y}{x}}{2-\log \frac{y}{x}}$ ...(i)
अतः दिया गया अवकल समीकरण समघातीय है।
अतः $\frac{y}{x}=v$ रखने पर,
$\Rightarrow$ y = vx $\Rightarrow \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}$
समी. (i) से, $v+x \frac{d v}{d x}=\frac{v}{2-\log v} \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{v}{2-\log v}-v$
$\Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{v-2 v+v \log v}{2-\log v}$
$\Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{v \log v-v}{2-\log v}$ $\Rightarrow \frac{2-\log v}{v \log v-v} d v=\frac{1}{x} d x$
$\Rightarrow\frac{1-(\log v-1)}{v(\log v-1)} d v$ $= \frac{1}{x} d x$
$\Rightarrow \left[\frac{1}{v(\log v-1)}-\frac{(\log v-1)}{v(\log v-1)}\right] d v$ $=\frac{1}{x} d x$
समाकलन करने पर, $\int\left[\frac{1}{v(\log v-1)}-\frac{1}{v}\right] d v$ $=\int \frac{d x}{x}$
$\Rightarrow \int \frac{1}{v(\log v-1)} d v-\int \frac{1}{v} d v=\int \frac{d x}{x}$
मान लीजिए log v - 1 = t $\Rightarrow \frac{1}{v}$ dv = dt
$\therefore\int \frac{d t}{t}-\int \frac{1}{v} d v=\int \frac{d x}{x}$
$\Rightarrow$ log |t| - log |v| = log |x| + log C
$\Rightarrow$ log |log v - 1| - log |v| = log |x| + log C ($\because$ t = log v - 1)
$\Rightarrow$ log |log v - 1| - log |v| - log |x| = log C
$\Rightarrow \log \left|\frac{\log v-1}{v x}\right|=\log C$ ($\because \log \frac{m}{n}$ = log m - log n)
$\Rightarrow \left|\frac{\mid \log v-1}{v x}\right|=C$ $\Rightarrow \frac{\log v-1}{v x}=C$ $\Rightarrow \frac{\log \left(\frac{y}{x}\right)-1}{y}=C$ ($\because$ v = $\frac y x$)
$\Rightarrow\log \left(\frac{y}{x}\right)-1=C y$
जोकि अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।
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दर्शाइए कि अवकल समीकरण $x \frac{d y}{d x}-y+x \sin \left(\frac{y}{x}\right)=0$ समघातीय है और इसका हल ज्ञात कीजिए।
Answerदिया है, $\frac{d y}{d x}=\frac{y}{x}-\sin \frac{y}{x} ...(i)$
अतः दिया गया अवकल समीकरण समघातीय है।
अतः $\frac{y}{x}=v$ रखने पर,
$\Rightarrow y = vx \Rightarrow \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}$
समी. $(i)$ से, $v + x \frac{d v}{d x} = v - \sin v \Rightarrow \operatorname{cosec} v dv = -\frac{1}{x} d x$
समाकलन करने पर, $\int \operatorname{\operatorname{cosec}} v d v=-\int \frac{d x}{x}$
$\Rightarrow \log |\operatorname{cosec} v - \cot v| = -\log |x| + A (\because \int\operatorname{cosec} x dx = \log |\operatorname{cosec} x - \cot x|)$
$\Rightarrow \log |(\operatorname{cosec} v - \cot v)| + \log |x| = A \Rightarrow \log |(\operatorname{cosec} v - \cot v) x| = A$
$\Rightarrow |x(\operatorname{cosec} v - \cot v)| = e^A \Rightarrow x\left(\frac{1}{\sin v}-\frac{\cos v}{\sin v}\right)=e^{A}$
$\Rightarrow x\left(\frac{1-\cos v}{\sin v}\right)=e^{A} \Rightarrow x(1 - \cos v) = e^A \sin v$
$\Rightarrow x\left[1-\cos \left(\frac{y}{x}\right)\right]=C \sin \left(\frac{y}{x}\right) (C = e^A $ तथा $v = \frac{y}{x}$ रखने पर$)$
जो दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।
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दर्शाइए कि अवकल समीकरण $\left\{x \cos \left(\frac{y}{x}\right)+y \sin \left(\frac{y}{x}\right)\right\} y d x$ $=\left\{y \sin \left(\frac{y}{x}\right)-x \cos \left(\frac{y}{x}\right)\right\} x d y$ समघातीय है और इसका हल ज्ञात कीजिए।
Answerदिया है, $\left\{x \cos \left(\frac{y}{x}\right)+y \sin \left(\frac{y}{x}\right)\right\} y d x =\left\{y \sin \left(\frac{y}{x}\right)-x \cos \left(\frac{y}{x}\right)\right\} x d y$
$\Rightarrow\frac{d y}{d x}=\frac{y\left\{x \cos \frac{y}{x}+y \sin \frac{y}{x}\right\}}{x\left\{y \sin \frac{y}{x}-x \cos \frac{y}{x}\right\}} ...(i)$
अतः दिया गया अवकल समीकरण समघातीय है।
अतः $y = bx$ रखने पर,
$\Rightarrow\frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}$
$\therefore v+x \frac{d v}{d x}=\frac{v x(x \cos v+v x \sin v)}{x(v x \sin v-x \cos v)} \Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=\frac{v(\cos v+v \sin v)}{v \sin v-\cos v}$
$\Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{v \cos v+v^{2} \sin v}{v \sin v-\cos v}-v$
$\Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{v \cos v+v^{2} \sin v-v^{2} \sin v+v \cos v}{v \sin v-\cos v}$
$\Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{2 v \cos v}{v \sin v-\cos v} \Rightarrow\left(\frac{v \sin v-\cos v}{v \cos v}\right) d v=\frac{2}{x} d x$
$\Rightarrow \left(\tan v-\frac{1}{v}\right) d v=\frac{2}{x} d x$
समाकलन करने पर, $\int\left(\tan v-\frac{1}{v}\right) d v=\int \frac{2 d x}{x}$
$\Rightarrow\int \tan v d v-\int \frac{1}{v} d v=2 \int \frac{1}{x} d x$
$\Rightarrow -\log |\cos \cdot v| - \log |v| = 2 \log |x| + C$
$\Rightarrow \log |v \cos v| + 2 \log |x| = -C (\because \log m + \log n = \log mn)$
$\Rightarrow \log[(v \cos v) x^2] = -C$
$\Rightarrow (v \cos v)x^2 = e^{-C} (\because log_ex = m \Rightarrow e^m = x)$
$\Rightarrow x^2v \cos v = A ($जहाँ, $A = e^{-C})$
$\Rightarrow x^{2} \frac{y}{x} \cos \frac{y}{x}=A\left(\because v=\frac{y}{x}\right)$
$\Rightarrow xy \cos \frac{y}{x} = A$
जोकि दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।
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दर्शाइए कि अवकल समीकरण xdy - ydx = $\sqrt{x^{2}+y^{2}} d x$ समघातीय है और इसका हल ज्ञात कीजिए।
Answerदिया है, xdy = ydx + $\sqrt{x^{2}+y^{2}} d x$
$\Rightarrow\frac{d y}{d x}=\frac{y+\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x}$ ...(i)
अतः दिया गया अवकल समीकरण समघातीय है।
अतः समी. (i) में y = vx रखने पर,
$\Rightarrow\frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}$,
समी. (i) से, $v+x \frac{d v}{d x}=\frac{v x+\sqrt{x^{2}+x^{2} v^{2}}}{x}$
$\Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=\frac{x\left(v+\sqrt{1+v^{2}}\right)}{x}$ $\Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=v+\sqrt{1+v^{2}}$
$\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{1+v^{2}}} d v=\frac{1}{x} d x$
समाकलन करने पर,
$\int \frac{1}{\sqrt{1+v^{2}}} d v=\int \frac{d x}{x}$ $\Rightarrow \log \left(v+\sqrt{1+v^{2}}\right)$ = log x + C $\left(\because \int\frac{d x}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}=\log \left|x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\right|+C\right)$
$\Rightarrow\log \left[\frac{y}{x}+\sqrt{1+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}}\right]$ = log x + log C ($v=\frac{y}{x}$ रखने पर)
$\Rightarrow\log \left[\frac{y}{x}+\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}}}\right]$ = log xC ($\because$ log m + log n = log mn)
$\Rightarrow\frac{y}{x}+\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x}=C x$ ($\because$ log m + log n $\Rightarrow$ log mn)
$\Rightarrow y+\sqrt{x^{2}+y^{2}}=C x^{2}$
जोकि दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।
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दर्शाइए कि अवकल समीकरण $x^{2} \frac{d y}{d x} = x^2 - 2y^2 + xy$ समघातीय है और इसका हल ज्ञात कीजिए।
Answerदिया है, $\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}-2 y^{2}+x y}{x^{2}}$ ...(i)
अतः दिया गया अवकल समीकरण समघातीय है।
अतः y = vx रखने पर,
$\Rightarrow \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}$
समी. (i) से, $v+x \frac{d v}{d x}$ $=\frac{x^{2}-2 x^{2} v^{2}+x^{2} v}{x^{2}}$
$\Rightarrow v+x \frac{d v}{d x} = 1 - 2v^2 + v $
$\Rightarrow x \frac{d v}{d x} = 1 - 2v^2$
$\Rightarrow \frac{1}{1-2 v^{2}} d v=\frac{1}{x} d x$
समाकलन करने पर, $\int \frac{1}{1-2 v^{2}} d v=\int \frac{d x}{x}$ $\Rightarrow \frac{1}{2} \int \frac{1}{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}-v^{2}} d v=\int \frac{d x}{x}$
$\Rightarrow\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}} \log \left|\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}+v}{\frac{1}{\sqrt{2}}-v}\right| $ = log|x| + C $\left(\because \int \frac{d x}{a^{2}-x^{2}}=\frac{1}{2 a} \log \left|\frac{a+x}{a-x}\right|+C\right)$
$\Rightarrow\frac{1}{2 \sqrt{2}} \log \left|\frac{1+\sqrt{2} v}{1-\sqrt{2 v}}\right|$ = log |x| + C
$\Rightarrow\frac{1}{2 \sqrt{2}} \log \left|\frac{1+\sqrt{2} \frac{y}{x}}{1-\sqrt{2} \frac{y}{x}}\right|$ = log |x| + C (v = $\frac{y}{x}$ रखने पर)
$\Rightarrow\frac{1}{2 \sqrt{2}} \log \left|\frac{x+\sqrt{2} y}{x-\sqrt{2} y}\right|$ = log |x| + C
जोकि दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।
View full question & answer→Question 205 Marks
दर्शाइए कि अवकल समीकरण $(x^2 - y^2)dx + 2xy dy = 0$ समघातीय है और इसका हल ज्ञात कीजिए।
Answerदिया है, $(x^2 - y^2)dx + 2xy\ dy =^0$
$\Rightarrow 2xy dy = (y^2 - x^2)dx \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{y^{2}-x^{2}}{2 x y} ...(i)$
अतः दिया गया अवकल समीकरण समघातीय है।
अतः $y = vx$ रखने पर,
$\Rightarrow \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}$
समी $(i)$ से, $v+x \frac{d v}{d x}=\frac{v^{2} x^{2}-x^{2}}{2 x^{2} v} \Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=\frac{v^{2}-1}{2 v}$
$\Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{v^{2}-1}{2 v}-v \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{-1-v^{2}}{2 v} \Rightarrow \frac{2 v}{v^{2}+1} d v=-\frac{d x}{x}$
समाकलन करने पर, $\int \frac{2 v}{v^{2}+1} d v+\int \frac{d x}{x}=0$
मान लीजिए $v^2 + 1 = t \Rightarrow 2 v=\frac{d t}{d v} \Rightarrow d v=\frac{d t}{2 v}$
$\therefore \int \frac{2 v}{t} \times \frac{d t}{2 v}+\int \frac{d x}{x}=0$
$\Rightarrow \log |t| + \log |x| = \log C \Rightarrow \log |(v^2 + 1)x| = \log C (\because t = 1 + v^2)$
$\Rightarrow \log \left[\left(\frac{y^{2}+x^{2}}{x^{2}}\right) x\right]=\log C \Rightarrow \frac{y^{2}+x^{2}}{x}=C (\because v = \frac{y}{x})$
$\Rightarrow x^2 + y^2 = Cx$
जो दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।
View full question & answer→Question 215 Marks
दर्शाइए कि अवकल समीकरण $(x - y)dy - (x + y)dx = 0$ समघातीय है और इसका हल ज्ञात कीजिए।
Answerदिया है, $(x - y)dy - (x + y)dx = 0$
$\Rightarrow (x - y)dy = (x + y)dx \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{x+y}{x-y} ...(i)$
अतः दिया गया अवकल समीकरण समघातीय है।
अतः $y = vx$ रखने पर,
$\Rightarrow\frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}$
$y$ तथा $\frac{d y}{d x} $ का मान समी. $(i)$ में रखने पर,
$v+x \frac{d v}{d x} =\frac{x+v x}{x-v x} \Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=\frac{1+v}{1-v}$
$\Rightarrow x \frac{d v}{d x} =\frac{1+v}{1-v}-v \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{1+v-v+v^{2}}{1-v} \Rightarrow \frac{1-v}{1+v^{2}} d v=\frac{d x}{x}$
समाकलन करने पर,
$\int \frac{1-v}{1+v^{2}} d v=\int \frac{d x}{x} \Rightarrow \int \frac{1}{1+v^{2}} d v-\int \frac{v}{1+v^{2}} d x = \log |x| + C$
मान लीजिए $1 + v^2 = t \Rightarrow 2 v=\frac{d t}{d v} \Rightarrow d v=\frac{d t}{2 v}$
$\therefore \tan ^{-1} v-\int \frac{v}{t} \times \frac{d t}{2 v} = \log |x| + C$
$\Rightarrow \tan^{-1}v -\frac{1}{2} \log |t| = \log |x| + C$
$\Rightarrow 2 \tan^{-1}v - [\log (1 + v^2) + 2 \log (x)] = 2C (t = 1 + v^2$ रखने पर$)$
$\Rightarrow 2 \tan^{-1}v - \log [(1 + v^2)x^2] = 2C$
$\Rightarrow 2 \tan ^{-1} \frac{y}{x}-\log \left[\left(\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}}\right) x^{2}\right]=2 C (v = \frac{y}{x}$ रखने पर$)$
$\Rightarrow 2tan^{-1}\frac{y}{x} - \log (x^2 + y^2) = 2C \Rightarrow \tan^{-1} \frac{y}{x}-\frac{1}{2}\log (x^2 + y^2) = C$
जो दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।
View full question & answer→Question 225 Marks
दर्शाइए कि अवकल समीकरण $y^{\prime}=\frac{x+y}{x}$ समघातीय है और इसका हल ज्ञात कीजिए।
Answerदिया है, $y^{\prime}=\frac{d y}{d x}=\frac{x+y}{x}$ ...(i)
यहाँ, दिया गया अवकल समीकरण समघातीय है।
अतः y = vx रखने पर,
$\Rightarrow\frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}$
y तथा $\frac{d y}{d x}$ का मान समी. (i) में रखने पर,
$\therefore v+x \frac{d v}{d x}=\frac{x+v x}{x}$ $\Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}$ = 1 + v $\Rightarrow \frac{d v}{d x}=\frac{1}{x} \Rightarrow d v=\frac{d x}{x}$
समाकलन करने पर,
$\int d v =\int \frac{1}{x} d x $ $\Rightarrow$ v = log |x| + C $\Rightarrow \frac{y}{x}$ = log |x| + C ($\because$ v = $\frac y x$)
$\Rightarrow$ y = x log |x| + Cx
जोकि दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।
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अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए:
$2xy + y^2 - 2x^2 \frac{d y}{d x} = 0, y = 2$ जब $x = 1$
Answerदिया है, $2 x^{2} \frac{d y}{d x} = 2xy + y^2$
$\Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{2 x y+y^{2}}{2 x^{2}}$ ...(i)
अतः दिया गया अवकल समीकरण समघातीय है।
अतः $\frac{y}{x}=v$ रखने पर,
y = vx $\Rightarrow \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}$
समी (i) से, $v+x \frac{d v}{d x}=\frac{2 x^{2} v+x^{2} v^{2}}{2 x^{2}} $
$\Rightarrow v+x \frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}\left(2 v+v^{2}\right)}{2 x^{2}} $ $\Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=v+\frac{1}{2} v^{2}$
$\Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{1}{2} v^{2}$ $\Rightarrow\frac{2}{v^{2}} d v=\frac{1}{x} d x$
समाकलन करने पर,
$2 \int v^{-2} d v =\int \frac{d x}{x}$ $\Rightarrow 2\left(\frac{v^{-2+1}}{-2+1}\right)$ = log |x| + C
$\Rightarrow 2\left(\frac{v^{-1}}{-1}\right) $ = log |x| + C $\Rightarrow-\frac{2}{v}$ = log |x| + C
$\Rightarrow-\frac{2 x}{y}$ = log |x| + C $\left(\because v=\frac{y}{x}\right)$ ...(ii)
जब x = 1, तो y = 2, अतः $\frac{-2 \times 1}{2}$ = log 1 + C $\Rightarrow$ -1 = 0 + C
C का मान समी. (ii) में रखने पर,
$-\frac{2 x}{y}$ = log |x| - 1 $\Rightarrow y=\frac{2 x}{1-\log |x|} $
View full question & answer→Question 245 Marks
अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए:
$\frac{d y}{d x}-\frac{y}{x}+\operatorname{cosec}\left(\frac{y}{x}\right)=0$, y = 0 जब x = 1
Answerदिया है, $\frac{d y}{d x}=\frac{y}{x}-\operatorname{cosec}\left(\frac{y}{x}\right)$ ...(i)
अतः दिया गया अवकल समीकरण समघातीय है।
अतः $\frac{y}{x}=v$ रखने पर,
y = vx $\Rightarrow \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}$
समी. (i) से, v + x $\frac{d v}{d x}$ = v - cosec v $\Rightarrow x \frac{d v}{d x}$ = -cosec v
$\Rightarrow\sin v d v=-\frac{1}{x} d x$
समाकलन करने पर, $\int \sin v d v=-\int \frac{d x}{x}$ $\Rightarrow$ -cos v = -log |x| + C
$\Rightarrow$ log |x| - cos $\left(\frac{y}{x}\right)$ = C ...(ii)
जब x = 1, तो y = 0, अतः log 1 - cos 0 = C $\Rightarrow$ C = 0 - 1 = -1
C का मान समी. (ii) में रखने पर, log |x| - cos $\left(\frac{y}{x}\right)$ = -1
$\Rightarrow$ log |x| + 1 = cos $\frac{y}{x}$ $\Rightarrow$ log |x| + log e = cos $\left(\frac{y}{x}\right)$ ($\because$ log e = 1)
$\Rightarrow\log |e x|=\cos \left(\frac{y}{x}\right)$
जोकि दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।
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अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए:
$\left[x \sin ^{2}\left(\frac{y}{x}\right)-y\right] dx + x\ dy = 0, y = \frac{\pi}{4}$ जब $x = 1$
Answerदिया है, $\sin ^{2}\left(\frac{y}{x}\right)-\frac{y}{x}+\frac{d y}{d x}=0$
$\Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{y}{x}-\sin ^{2}\left(\frac{y}{x}\right)$ ...(i)
अतः दिया गया अवकल समीकरण समघातीय है।
अतः $\frac{y}{x}=v$ रखने पर,
अर्थात् y = vx $\Rightarrow \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}$
समी. (i) से, v + x$ \frac{d v}{d x} = v - \sin^2v$
$\Rightarrow x \frac{d v}{d x} = -\sin^2v$
$\Rightarrow cosec^2v dv = -\frac{1}{x}dx$
समाकलन करने पर,
$\int \operatorname{cosec}^{2} v d v=-\int \frac{d x}{x} $ $\Rightarrow$ -cot v = -log |x| + C
$\Rightarrow$ log |x| - cot v = C $\Rightarrow$ log |x| - cot $\left(\frac{y}{x}\right)$ = C (v = $\frac{y}{x}$ रखने पर)
जब x = 1, तो y = $\frac{\pi}{4}$, अतः log |1| - cot $\frac{\pi}{4}$ = C $\Rightarrow$ C = 0 - 1 = -1
C का मान समी (ii) में रखने पर,
log |x| - cot $\left(\frac{y}{x}\right)$ = -1 $\Rightarrow$ log |x| - cot $\left(\frac{y}{x}\right)$ = -log e ($\because 1 = log_e$)
$\Rightarrow\cot \left(\frac{y}{x}\right)$ = log |ex| ($\because$ log m + log n = log mn)
जोकि दिए गए समीकरण का अभीष्ट हल है।
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अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए:
$x^2dy + (xy + y^2) dx = 0; y = 1$ यदि $x = 1$
Answerदिया है, $x^2 dy = -(xy + y^2)dx \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{x y+y^{2}}{x^{2}}$ ...(i)
अतः दिया गया अवकल समीकरण समघातीय है।
अतः $\frac{y}{x}=v$ अर्थात् y = vx रखने पर, $\Rightarrow \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}$
तब, समी. (i) से, $v+x \frac{d v}{d x}=-\frac{x^{2} v+x^{2} v^{2}}{x^{2}}$
$\Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=-\frac{x^{2}\left(v+v^{2}\right)}{x^{2}}$ $\Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=-\left(v+v^{2}\right)$
$\Rightarrow x \frac{d v}{d x}=-\left(2 v+v^{2}\right)$ $\Rightarrow\frac{d v}{v^{2}+2 v}=-\frac{1}{x} d x$
समाकलन करने पर, $\int \frac{d v}{v^{2}+2 v}=-\int \frac{d x}{x}$
$\Rightarrow\int \frac{1}{v^{2}+2 v+1-1} d v=-\int \frac{d x}{x}$ $\Rightarrow \int \frac{1}{(v+1)^{2}-1} d v=-\int \frac{d x}{x}$
मान लीजिए v + 1 = t $\Rightarrow$ dv = dt
$\therefore\int \frac{1}{t^{2}-1} d t=-\int \frac{d x}{x}$
$\Rightarrow\frac{1}{2} \log \left|\frac{t-1}{t+1}\right|$ = -log |x| + C $\left(\because \int \frac{d x}{x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2 a} \log \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C\right)$
$\Rightarrow\frac{1}{2} \log \left|\frac{v+1-1}{v+1+1}\right|$ = -log |x| + log C ($\because$ t = v + 1)
$\Rightarrow\frac{1}{2} \log \left|\frac{v}{v+2}\right|$ + log |x| = log C
$\Rightarrow\log \left|\frac{v}{v+2}\right|+2 \log |x|$ = 2 log C $\Rightarrow \log \mid \left(\frac{v}{v+2}\right) x^{2} \mid = log\ C^2$
$\Rightarrow\log\left|\left(\frac{\frac yx}{\frac yx+2}\right)x^2\right|=\log C^2$ (v = $\frac{y}{x}$ रखने पर)
$\Rightarrow\frac{x^{2} y}{2 x+y}=A$ ...(ii) (मान लीजिए $C^2$ = A तथा log m = log n $\Rightarrow$ m = n)
y = 1 जब x = 1 $\therefore\frac{1}{2+1}=A \Rightarrow A=\frac{1}{3}$
A का मान समी. (ii) में रखने पर,
$\frac{x^{2} y}{2 x+y}=\frac{1}{3}$
$\Rightarrow 3x^2y = 2x + y$
जो दिए गए समीकरण का अभीष्ट हल है।
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अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए:
$(x + y)dy + (x - y)dx = 0, y = 1$ जब $x = 1$
Answerदिया है, $(x + y)dy = (y - x)dx \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{y-x}{x+y}$
अतः दिया गया अवकल समीकरण समघातीय है।
अतः $\frac{y}{x}=v$ अर्थात् $y = vx$ रखंने पर,
$\Rightarrow\frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}$
समी. (i) से, $v + x \frac{d v}{d x}=\frac{v x-x}{x+v x}$
$\Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=\frac{x(v-1)}{x(1+v)} \Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=\frac{v-1}{1+v}$
$\Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{v-1}{1+v}-v \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{v-1-v-v^{2}}{1+v}$
$\Rightarrow -x \frac{d v}{d x}=\frac{1+v^{2}}{1+v} \Rightarrow \frac{(v+1)}{1+v^{2}} d v=-\frac{1}{x} d x$
समाकलन करने पर,
$\int \frac{(v+1)}{1+v^{2}} d v=-\int \frac{d x}{x} \Rightarrow \int \frac{v}{1+v^{2}} d v+\int \frac{1}{1+v^{2}} d v=-\int \frac{d x}{x}$
प्रथम समाकलन में मान लीजिए $v^2 + 1 = t \Rightarrow 2 v=\frac{d t}{d v} \Rightarrow d v=\frac{d t}{2 v}$
$\therefore\int \frac{v}{t} \times \frac{d t}{2 v}+\int \frac{1}{1+v^{2}} d v=-\int \frac{d x}{x}$
$\Rightarrow\frac{1}{2} \int \frac{1}{t} d t+\int \frac{1}{1+v^{2}} d v=-\int \frac{d x}{x}$
$\Rightarrow\frac{1}{2} \log |t| + \tan^{-1}v = -\log |x| + C \left(\because \int \frac{1}{1+x^{2}} d x=\tan ^{-1} x\right)$
$\Rightarrow\frac{1}{2} \log |v^2 +1| + \tan^{-1}v = -\log |x| + C (\because t = v^2 + 1)$
$\Rightarrow\frac{1}{2} \log \left(\frac{y^{2}+x^{2}}{x^{2}}\right) + \log |x| + \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = C (\frac{y}{x}$ रखने पर$)$
$\Rightarrow\log \left(\frac{y^{2}+x^{2}}{x^{2}}\right)+2 \log |x|+2 \tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)=2 C$
$\Rightarrow\log \left(\frac{y^{2}+x^{2}}{x^{2}}\right)+\log x^{2}+2 \tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)=2 C$
$\Rightarrow \log \frac{\left(y^{2}+x^{2}\right) x^{2}}{x^{2}}+2 \tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)=2 C$
$\Rightarrow \log(x^2 + y^2) + 2 \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = A (2C = A$ रखने पर$) ...(ii)$
दिया है, $x = 1, y = 1$
$\therefore \log 2+\left(2 \times \frac{\pi}{4}\right)=A \left[\because \tan ^{-1}(1)=\frac{\pi}{4}\right]$
समी. $(ii)$ में $A$ का मान रखने पर,
$\log(x^2 + y2) + 2 \tan^{-1}(\frac{y}{x}) = \frac{\pi}{2} + \log 2$
जोकि दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।
View full question & answer→Question 285 Marks
दर्शाइए कि अवकल समीकरण $\left(1+e^{\frac{x}{y}}\right) d x+e^{\frac{x}{y}}\left(1-\frac{x}{y}\right) d y= 0$ समघातीय है और इसका हल ज्ञात कीजिए।
Answerदिया है, $\left(1+e^{\frac{x}{y}}\right) d x=e^{\frac{x}{y}}\left(\frac{x}{y}-1\right) d y \Rightarrow \frac{d x}{d y}=\frac{e^{\frac x y}\left(\frac{x}{y}-1\right)}{e^{\frac x y}+1} ...(i)$
अतः दिया गया अवकल समीकरण समघातीय है।
अतः $\frac{x}{y}=v$ अर्थात् $x = vy$ रखने पर,
$\Rightarrow\frac{d x}{d y}=v+y \frac{d v}{d y}$
समी. $(i)$ से, $v+y \frac{d v}{d y}=\frac{e^{v}(v-1)}{e^{v}+1} \Rightarrow y \frac{d v}{d y}=\frac{e^{v}(v-1)}{e^{v}+1}-v$
$\Rightarrow y \frac{d v}{d y}=\frac{v e^{v}-e^{v}-v e^{v}-v}{e^{v}+1}$
$\Rightarrow y \frac{d v}{d y}=\frac{v e^{v}-e^{v}}{e^{v}}$
$\Rightarrow\frac{e^{v}+1}{e^{v}+v} d v=-\frac{1}{y} d y$
समाकलन करने पर, $\int \frac{e^{v}+1}{e^{v}+v} d v=-\int \frac{1}{y} d y$
अब, $e^v + v = t$ रखने पर,
$\Rightarrow e^{v}+1=\frac{d t}{d v} \Rightarrow d v=\frac{d t}{e^{v}+1}$
$\therefore\int \frac{e^{v}+1}{t} \frac{d t}{e^{v}+1} = -\log |y| + \log C$
$\Rightarrow \log |t| + \log |y| = \log C$
$\Rightarrow \log |e^v + v| + \log |y| = \log C (\because t = e^v + v)$
$\Rightarrow \log |(e^v + v)y| = \log C \Rightarrow |(e^v + v)y| = C \Rightarrow (e^v + v)y = C$
जो दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।
View full question & answer→Question 295 Marks
दर्शाइए कि अवकल समीकरण $(x^2 + xy)dy = (x^2 + y^2)dx$ समघातीय है और इसका हल ज्ञात कीजिए।
Answerदिया गया अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+x y} ..(I)$
यहाँ अंश तथा हर दोनों $2$ घात के बहुपद हैं। अतः दिया गया अवकल समीकरण समघातीय है।
मान लीजिए $y = vx \Rightarrow \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}$
अब, समी. (i) में y तथा $\frac{d y}{d x}$ का मान रखने पर,
$v+x \frac{d v}{d x}=\frac{x^{2}+x^{2} v^{2}}{x^{2}+c x^{2}} \Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=\frac{x^{2}\left(1+v^{2}\right)}{x^{2}(1+v)}$
$\Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{1+v^{2}}{1+v}-v \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{1+v^{2}-v-v^{2}}{1+v}=\frac{1-v}{1+v}$
$\Rightarrow\frac{1+v}{1-v} d v=\frac{d x}{x} \Rightarrow \frac{2-1+v}{1-v} d v=\frac{d x}{x}$
$\Rightarrow\left(\frac{2}{1-v}-\frac{1-v}{1-v}\right) d v=\frac{d x}{x} \Rightarrow\left(\frac{2}{1-v}-1\right) d v=\frac{d x}{x}$
समाकलन करने पर,$ \int \frac{2}{1-v} d v-\int 1 d v=\int \frac{1}{x} d x$
$\Rightarrow -2 \log (1 - v) - v = \log x - \log C$
$\Rightarrow -v - 2 \log(1 - v) - \log x = -\log C$
$\Rightarrow v + 2 \log(1 - v) + \log x = \log C$
$v=\frac{y}{x}$ रखने पर,
$\Rightarrow\frac{y}{x}+2 \log \left(1-\frac{y}{x}\right) + \log x = \log C$
$\Rightarrow\frac{y}{x}+\log \left(\frac{x-y}{x}\right)^{2} + \log x = \log C$
$\Rightarrow\frac{y}{x} + \log (x - y)^2 - \log x^2 + \log x = \log C$
$\Rightarrow\frac{y}{x} + \log (x - y)^2 - 2 \log x + \log x = \log C$
$\Rightarrow\frac{y}{x} + \log (x - y)^2 - \log x = \log C$
$\Rightarrow\frac{y}{x}+\log \frac{(x-y)^{2}}{x}-\log C=0 \Rightarrow \log \left[\frac{(x-y)^{2}}{x} \cdot \frac{1}{C}\right]=-\frac{y}{x}$
$\Rightarrow (x - y)^2 = Cxe^{-\frac{y}{x}}$
जोकि दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।
View full question & answer→Question 305 Marks
किसी जीवाणु समूह में जीवाणुओं की संख्या 1,00,000 है। 2 घंटों में इनकी संख्या में 10% की वृद्धि होती है। कितने घंटों में जीवाणुओं की संख्या 2,00,000 हो जाएगी, यदि जीवाणुओं के वृद्धि की दर उनके उपस्थित संख्या के समानुपाती है।
Answerमाना t समय पर जीवाणुओं की संख्या y है, तब
$\frac{d y}{d t} \propto y \Rightarrow \frac{d y}{d t}=k y$
जहाँ, k समानुपातीक अचर है।
चरों के पृथक्करण से, $\frac{d y}{y}=k d t$
समाकलन करने पर, $\int \frac{d y}{y}=\int k d t$
$\Rightarrow$ log |y| = kt + C ...(i)
प्रारम्भ में जब t = 0, y = 100000, तो log 100000 = C ...(ii)
जब t = 2, y = 110000, तो log 110000 = 2k + C ...(iii)
समी. (iii) से समी. (ii) को घटाने पर,
log 110000 - log 100000 = 2k $\Rightarrow \log \frac{110000}{100000}=2 k$
$\Rightarrow$ $k =\frac{1}{2} \log \left(\frac{11}{10}\right)$
k तथा C का मान समी. (i) में रखने पर,
log y $=\frac{1}{2} \log \left(\frac{11}{10}\right) t$ + log 100000
जब y = 200000 हो, तो log 200000 = $\frac{1}{2} \log \left(\frac{11}{10}\right)$ t + log 100000
$\Rightarrow \log \left(\frac{200000}{100000}\right) $ $=\frac{1}{2} \log \left(\frac{11}{10}\right) t$
$\Rightarrow$ 2 log(2) $= \log \left(\frac{11}{10}\right) t$
$\Rightarrow t =\frac{2 \log 2}{\log \left(\frac{11}{10}\right)}$
अतः $\frac{2 \log 2}{\log \left(\frac{11}{10}\right)}$ समय में जीवाणुओं की संख्या 100000 से बढ़कर 200000 हो जाती है।
View full question & answer→Question 315 Marks
एक गोलाकार गुब्बारे का आयतन, जिसे हवा भरकर फुलाया जा रहा है, स्थिर गति से बदल रहा है यदि आरंभ में इस गुब्बारे की त्रिज्या $3$ इकाई है और $3$ सेकेंड बाद 6 इकाई है, तो $t$ सेकेंड बाद उस गुब्बारे की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Answerमाना गुब्बारे के आयतन परिवर्तन की दर अचर k है।
तब, $\frac{d}{d t}($आयतन$) =$ अचर
$\Rightarrow \frac{d}{d t}\left(\frac{4}{3} \pi r^{3}\right)=k (\because$ गोले का आयतन $=\frac{4}{3} \pi r^{3})$
$\Rightarrow \left(\frac{4}{3} \pi\right)\left(3 r^{2} \frac{d r}{d t}\right)=k$
चरों के पृथक्करण से, $4\pi r^2dr = k dt ...(i)$
समाकलन करने पर, $4\pi \int r^{2} d r=k \int d t$
$\Rightarrow 4 \pi \frac{r^{3}}{3} = kt + C \Rightarrow 4 \pi r^{3} = 3(kt + C) ...(ii)$
प्रारम्भ में, जब $t = 0$, तो $r = 3$
$\therefore 4 \pi(3)^{3} = 3(k \times 0 + C) \Rightarrow 108 \pi = 3C \Rightarrow C=36 \pi$
पुनः जब $t = 3 $, तो $r = 6,$ तब समी. $(ii)$ से,
$4 \pi(6)^3 = 3(k \times 3 + C) \Rightarrow 864 \pi = 3(3k + 36 \pi)$
$\Rightarrow 3k = 288 \pi - 36 \pi = 252 \pi \Rightarrow k = 84 \pi$
$k$ तथा $C$ का मान समी. $(ii)$ में रखने पर,
$4 \pi r^{3} =3(84 \pi t+36 \pi) \Rightarrow 4 \pi r^{3}=4 \pi(63t + 27)$
$\Rightarrow r^3 = 63t +27 \Rightarrow r = (63t + 27)^{1/3}$
जो कि समय $t$ पर गुब्बारे की अभीष्ट त्रिज्या है।
View full question & answer→Question 325 Marks
अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए:
$(x^2 - 1)\frac{d y}{d x} = 1$ जहाँ $y = 0$ तथा $x = 2$
Answerदिया है, $(x^2 - 1)\frac{d y}{d x} = 1$
चरों का पृथक्करण करने पर, $d y=\frac{1}{x\left(x^{2}-1\right)} d x \Rightarrow d y=\frac{1}{x(x-1)(x+1)} d x$
समाकलन करने पर, $\int d y=\int \frac{1}{x(x-1)(x+1)} d x ...(i)$
माना $\frac{1}{x(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+1} ($आंशिक भिन्न द्वारा$) ...(ii)$
$\Rightarrow \frac{1}{x(x-1)(x+1)} =\frac{A(x-1)(x+1)+B x(x+1)+C x(x-1)}{x(x-1)(x+1)} $
$\therefore 1 = A(x^2 - 1) + B(x)(x + 1) + C(x)(x - 1)$
$\Rightarrow 1 = Ax^2 - A + Bx^2 + Bx + Cx^2 - Cx$
$\Rightarrow 1 = x^2(A + B + C) + x(B - C) + (-A)$
दोनों ओर अचर पद, $ x$ तथा $x^2 $ के गुणांकों की तुलना करने पर,
$A + B + C = 0 ...(iii)$
$B - C = 0 ...(iv)$
तथा $-A = 1 ...(v)$
$A$ का मान समी. $(iii)$ में रखने पर,
$B + C = 1 ...(vi)$
समी. $(iv)$ तथा $(vi)$ को जोड़ने पर, $2B = 1 \Rightarrow B = \frac12$
तब, समी. $(iv) $ से, $C=\frac{1}{2}$ तथा $B=\frac{1}{2}$
$A, B$ तथा $C$ के मान समी. $(ii)$ में रखने पर,
$\frac{1}{x(x-1)(x+1)} =-\frac{1}{x}+\frac{1}{2(x-1)}+\frac{1}{2(x+1)}$
$\Rightarrow\int d y=-\int \frac{1}{x} d x+\frac{1}{2} \int \frac{1}{x-1} d x +\frac{1}{2} \int \frac{1}{x+1} d x$
अब समी. $(i)$ से, $y = -\log |x| + \frac{1}{2}\log |(x - 1)| + \frac{1}{2}\log |(x + 1)| + C$
$\Rightarrow y = -\frac{1}{2}\log (x^2) + \frac{1}{2}\log |(x - 1)| + \frac{1}{2} \log |(x + 1)| + C$
$\Rightarrow y=\frac{1}{2}\left[\log \left(\frac{(x-1)(x+1)}{x^{2}}\right)\right]+C (\because \log l + \log m - \log n = \log \frac{{lm}}{n})$
$\Rightarrow y=\frac{1}{2}\left[\log \left|\left(\frac{x^{2}-1}{x^{2}}\right)\right|\right]+C ...(vii)$
$y = 0$ तथा $x = 2$ समी. $(vii)$ रखने पर,
$\therefore0=\frac{1}{2}\left[\log \left|\left(\frac{2^{2}-1}{2^{2}}\right)\right|\right]+C$
$\Rightarrow C=-\frac{1}{2} \log \left(\frac{3}{4}\right)$
$C$ का मान समी. $(vii)$ में रखने पर,
$y=\frac{1}{2} \log \left|\left(\frac{x^{2}-1}{x^{2}}\right)\right|-\frac{1}{2} \log \left(\frac{3}{4}\right)$
जोकि अभीष्ट विशिष्ट हल है।
View full question & answer→Question 335 Marks
अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए:
$(x^3 + x^2 + x + 1) \frac{d y}{d x} = 2x^2 + x; y = 1$ यदि $x = 0$
Answerदिया है, $(x^3 + x^2 + x + 1)\frac{d y}{d x} = 2x^2 + x$
चरों का पृथक्करण करने पर, $d y=\frac{2 x^{2}+x}{\left(x^{3}+x^{2}+x+1\right)} d x$
समाकलन करने पर, $\int d y=\int \frac{2 x^{2}+x}{\left(x^{3}+x^{2}+x+1\right)} d x \Rightarrow \int d y=\int \frac{2 x^{2}+x}{x^{2}(x+1)+1(x+1)} d x$
$ \Rightarrow \int d y=\int \frac{2 x^{2}+x}{(x+1)\left(x^{2}+1\right)} d x \Rightarrow y=\int \frac{2 x^{2}+x}{(x+1)\left(x^{2}+1\right)} d x ...(i)$
माना $\frac{2 x^{2}+x}{(x+1)\left(x^{2}+1\right)}=\frac{A}{(x+1)}+\frac{B x+C}{\left(x^{2}+1\right)} ($आंशिक भिन्न द्वारा$) ...(ii)$
$\Rightarrow \frac{2 x^{2}+x}{(x+1)\left(x^{2}+1\right)} = \frac{A\left(x^{2}+1\right)+(B x+C)(x+1)}{(x+1)\left(x^{2}+1\right)}$
$\Rightarrow 2x^2 + x = Ax^2 + A + Bx^2 + Bx + Cx + C$
$\Rightarrow 2x^2 + x = x^2(A + B) + x(B + C) + (A + C)$
दोनों ओर अचर पद, $x$ तथा $x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर,
$A + B = 2, B + C = 1$ तथा $A + C = 0$
समीकरणों को हल करने पर, $A=\frac{1}{2}, B=\frac{3}{2}$ तथा $C=-\frac{1}{2}$
$A, B$ तथा $C$ के मान समी. $(ii)$ में रखने पर,
$\frac{2 x^{2}+x}{(x+1)\left(x^{2}+1\right)} =\frac{1}{2(x+1)}+\frac{\frac{3}{2} x-\frac{1}{2}}{x^{2}+1}$
$\therefore\int \frac{2 x^{2}+x}{\left(x^{2}+1\right)(x+1)} d x =\frac{1}{2} \int \frac{1}{(x+1)} d x+\int \frac{\frac{3}{2} x-\frac{1}{2}}{\left(x^{2}+1\right)} d x$
तब, समी. (i) से,
$y=\frac{1}{2} \log |x+1|+\frac{3}{2} \int \frac{x}{\left(x^{2}+1\right)} d x -\frac{1}{2} \int \frac{1}{\left(x^{2}+1\right)} d x$
$\Rightarrow y=\frac{1}{2} \log |x+1|+\frac{3}{2} \int \frac{x}{\left(x^{2}+1\right)} d x -\frac{1}{2} \tan ^{-1} x$
माना $x^2 + 1 = t \Rightarrow 2 x=\frac{d t}{d x}=d x=\frac{d t}{2 x}$
$\therefore y=\frac{1}{2} \log |x+1| +\frac{3}{2} \int \frac{x}{t} \frac{d t}{2 x}-\frac{1}{2} \tan ^{-1} x$
$\Rightarrow y=\frac{1}{2} \log |x+1| +\frac{3}{4} \int \frac{1}{t} d t-\frac{1}{2} \tan ^{-1} x$
$\Rightarrow y=\frac{1}{2} \log |x+1| +\frac{3}{4} \log |t|-\frac{1}{2} \tan ^{-1} x+C$
$\Rightarrow y=\frac{1}{2} \log |x+1| +\frac{3}{4} \log \left|x^{2}+1\right|-\frac{1}{2} \tan ^{-1} x+C$
$\Rightarrow y=\frac{1}{4}\left[2 \log |x+1|+3 \log \left|x^{2}+1\right|\right] -\frac{1}{2} \tan ^{-1} x+C$
$\Rightarrow y=\frac{1}{4}\left[\log \left\{(x+1)^{2}\left(x^{2}+1\right)^{3}\right\}\right] -\frac{1}{2} \tan ^{-1} x+C ...(iii) (\because \log m^n = n \log m)$
जब $x = 0 ,$ तब $y = 1$ समी. $(iii)$ में रखने पर,
$1=\frac{1}{4} \log (1)-\frac{1}{2} \tan ^{-1}(0)+C \Rightarrow 1=\frac{1}{4} \times 0-\frac{1}{2} \times 0+C \Rightarrow C=1$
$C = 1 $ में समी. $(iii)$ में रखने पर,$ y=\frac{1}{4} [\log {(x + 1)^2(x^2 + 1)^3}] - \frac{1}{2} \tan^{-1}x + 1$
जोकि अभीष्ट व्यापक हल है।
View full question & answer→Question 345 Marks
x-अक्ष को मूल बिंदु पर स्पर्श करने वाले वृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answerमान लीजिए, x-अक्ष को मूल बिंदु पर स्पर्श करने वाले वृत्तों के कुल को C से निर्दिष्ट किया जाता है। (0, a) उस कुल के किसी सदस्य के केंद्र बिंदु के निर्देशांक हैं (आकृति देखिए)।
इसलिए कुल C का समीकरण है:
$x^2 + (y - a)^2 = a^2$ अथवा $x^2 + y^2 = 2ay$ ...(i)
जिसमें a एक स्वेच्छ अचर है। समीकरण (i) के दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर प्राप्त करते हैं:
$2 x+2 y \frac{d y}{d x}=2 a \frac{d y}{d x}$
अथवा $x+y \frac{d y}{d x}=a \frac{d y}{d x}$
अथवा $a=\frac{x+y \frac{d y}{d x}}{\frac{d y}{d x}}$ ...(ii)
समीकरण (ii) से a का मान समीकरण (i) में रखने पर प्राप्त करते हैं:
$x^2 + y^2 =2 y \frac{\left[x+y \frac{d y}{d x}\right]}{\frac{d y}{d x}}$
अथवा $\frac{d y}{d x}\left(x^{2}+y^{2}\right)=2 x y+2 y^{2} \frac{d y}{d x}$
अथवा $\frac{d y}{d x}=\frac{2 x y}{x^{2}-y^{2}}$
यह दिए हुए वृत्तों के कुल का अभीष्ट अवकल समीकरण है। View full question & answer→Question 355 Marks
अवकल समीकरण $(\tan^{-1}y - x)dy = (1 + y^2)dx$ का हल ज्ञात कीजिए।
Answerदिया हुआ अवकल समीकरण निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है:
$\frac{d x}{d y}+\frac{x}{1+y^{2}}=\frac{\tan ^{-1} y}{1+y^{2}}$ ...(i)
समीकरण (i), $\frac{d x}{d y}+\mathrm{P}_{1}x = Q_1$, के रूप का रैखिक अवकल समीकरण है। यहाँ
$\mathrm{P}_{1}=\frac{1}{1+y^{2}}$ एवं $\mathrm{Q}_{1}=\frac{\tan ^{-1} y}{1+y^{2}}$ है। इसलिए
I.F. $= e^{\int \frac{1}{1+y^{2}} d y}=e^{\tan ^{-1} y}$
इसलिए दिए हुए अवकल समीकरण का हल है:
$x e^{\tan ^{-1} y}=\int\left(\frac{\tan ^{-1} y}{1+y^{2}}\right) e^{\tan ^{-1} y} d y+\mathrm{C}$ ...(ii)
मान लीजिए $ \mathrm{I}=\int\left(\frac{\tan ^{-1} y}{1+y^{2}}\right) e^{\tan ^{-1} y} d y$
$\tan^{-1}y = t$ प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं कि $\left(\frac{1}{1+y^{2}}\right) d y=d t$
अतः $\mathrm{I}=\int t e^{t} d t$, $\mathrm{I}=t e^{t}-\int 1 \cdot e^{t} e t, I = t e^t - e^t = e^t(t - 1)$
अथवा I = $e^{\tan ^{-1} y}(\tan^{-1}y - 1)$
समीकरण (ii) में I का मान प्रतिस्थापित करने पर हम
$x \cdot e^{\tan ^{-1} y}=e^{\tan ^{-1} y}(\tan^{-1}y - 1) + C$ पाते हैं
अथवा $x = (\tan^{-1}y - 1) + C e^{-\tan ^{-1} y}$
यह दिए हुए अवकल समीकरण का व्यापक हल है।
View full question & answer→Question 365 Marks
अवकल समीकरण (x dy - y dx)y sin $\left(\frac{y}{x}\right)$ = (y dx + x dy)x cos $\left(\frac{y}{x}\right)$ को हल कीजिए।
Answerदिया हुआ अवकल समीकरण निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है।
$\left[x y \sin \left(\frac{y}{x}\right)-x^{2} \cos \left(\frac{y}{x}\right)\right] d y$ $=\left[x y \cos \left(\frac{y}{x}\right)+y^{2} \sin \left(\frac{y}{x}\right)\right] d x$
अथवा $\frac{d y}{d x}=\frac{x y \cos \left(\frac{y}{x}\right)+y^{2} \sin \left(\frac{y}{x}\right)}{x y \sin \left(\frac{y}{x}\right)-x^{2} \cos \left(\frac{y}{x}\right)}$
दायें पक्ष पर अंश एवं हर दोनों को x^{2} से भाग देने पर हम पाते हैं:
$\frac{d y}{d x}=\frac{\frac{y}{x} \cos \left(\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y^{2}}{x^{2}}\right) \sin \left(\frac{y}{x}\right)}{\frac{y}{x} \sin \left(\frac{y}{x}\right)-\cos \left(\frac{y}{x}\right)}$ ...(i)
स्पष्टतः समीकरण (i), $\frac{d y}{d x}=g\left(\frac{y}{x}\right)$ के रूप का समघातीय अवकल समीकरण है, इसलिए इस समीकरण को हल करने के लिए हम
y = vx ...(ii)
प्रतिस्थापित करते हैं।
अथवा $\frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}$
अथवा $v+x \frac{d v}{d x}=\frac{v \cos v+v^{2} \sin v}{v \sin v-\cos v}$ [समीकरण (i) और (ii) का प्रयोग करने पर]
अथवा $x \frac{d v}{d x}=\frac{2 v \cos v}{v \sin v-\cos v}$
अथवा $\left(\frac{v \sin v-\cos v}{v \cos v}\right) d v=\frac{2 d x}{x}$
इसलिए $\int\left(\frac{v \sin v-\cos v}{v \cos v}\right) d v=2 \int \frac{1}{x} d x$
अथवा $\int \tan v d v-\int \frac{1}{v} d v=2 \int \frac{1}{x} d x$
अथवा $log |sec v| - log |v| = 2 log |x| + \log |C_1|$
अथवा $\log \left|\frac{\sec v}{v x^{2}}\right| = \log |C_1|$
अथवा $\frac{\sec v}{v x^{2}}=\pm \mathrm{C}_{1}$ ...(iii)
समीकरण (iii) में v को $\frac{y}{x}$ से प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं कि
$\frac{\sec \left(\frac{y}{x}\right)}{\left(\frac{y}{x}\right)\left(x^{2}\right)}=\mathrm{C}$, जहाँ C = $\pm C_1$
अथवा $\sec \left(\frac{y}{x}\right)$ = C xy
यह दिए हुए अवकल समीकरण का व्यापक हल है।
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सत्यापित कीजिए कि फलन $y = c_1e^{ax} \cos bx + c_2e^{ax} \sin bx,$ जहाँ $c_1, c_2$ स्वेच्छ अचर है, अवकल समीकरण $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 a \frac{d y}{d x}+ (a^2 + b^2)y = 0$ का हल है।
Answerदिया हुआ फलन है:
$y = e^{ax}[c_1 \cos bx + c_2 \sin bx] ...(i)$
समीकरण $(i)$ के दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर हम पाते हैं कि
$\frac{d y}{d x} = e^{ax}[-bc_1sin bx + bc_2cos bx] + [c_1cos bx + c_2sin bx]e^{ax} \cdot a$
अथवा $\frac{d y}{d x} = e^{ax}[(bc_2 + ac_1) \cos bx + (ac_2 - bc_1)\sin bx] ...(ii)$
समीकरण $(ii)$ के दोनों पक्षों का $x$, के सापेक्ष अवकलन करने पर हम पाते हैं कि
$\frac{d^2 y}{d x^2} = e^{ax}[(bc_2 + ac_1)(-\sin bx.b) + (ac_2 - bc_1)(\cos bx.b)] + [(bc_2 + ac_1)\cos bx + (ac_2 - bc_1)\sin bx]e^{ax}.a$
$= e^{ax}[(a_2c_2 - 2abc_1 - b_2c_2)\sin bx + (a_2c_1 + 2abc_2 - b_2c_1)\cos bx]$
दिए गए अवकल समीकरण में $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}, \frac{d y}{d x}$ एवं $y$ का मान प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं:
बायाँ पक्ष $= e^{ax}[a^2c_2 - 2abc_1 - b^2c_2)\sin bx + (a^2c_1 + 2abc_2 - b^2c_1)\cos bx] - 2ae^{ax}[(bc_2 + ac_1)\cos bx + (ac_2 - bc_1)sinbx] + (a_2 + b_2)e^{ax}[c_1cos bx + c_2sin bx]$
$= e^{ax}[(a^2c^2 - 2abc_1 - b^2c_2 - 2a^2c_2 + 2abc_1 + a^2c_2 + b^2c_2)\sin bx + (a^2c_1 + 2abc_2 - b^2c_1 - 2abc_2 - 2a^2c_1 + a^2c_1 + b^2c_1)\cos bx]$
$= e^{ax}[0 \times \sin bx + 0 \cos bx] = e^{ax} \times 0 = 0 =$ दायाँ पक्ष
इसलिए दिया हुआ फलन दिए हुए अवकल समीकरण का हल है।
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बिन्दु $(0, 1)$ से गुजरने वाले एक वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए, यदि इस वक्र के किसी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता, उस बिंदु के $x$ निर्देशांक (भुज) तथा $x$ निर्देशांक और $y$ निर्देशांक (कोटि) के गुणनफल के योग के बराबर है।
Answerहम जानते हैं कि वक्र की स्पर्श रेखा की प्रवणता $\frac{d y}{d x}$ के बराबर होती है। इसलिए
$\frac{d y}{d x}$ = x + xy
अथवा $\frac{d y}{d x}$ - xy = x ...(i)
समीकरण (i), $\frac{d y}{d x}$ + Py = Q के रूप का रैखिक अवकल समीकरण है। यहाँ P = -x एवं Q = x है। इसलिए
I.F. = $e^{\int-x d x}=e^{\frac{-x^{2}}{2}}$
अतः दिए हुए समीकरण का हल है:
$y \cdot e^{\frac{-x^{2}}{2}}=\int(x)\left(e^{\frac{-x^{2}}{2}}\right) d x+\mathrm{C}$ ...(ii)
मान लीजिए $\mathrm{I}=\int(x) e^{\frac{-x^{2}}{2}} d x$
मान लीजिए $\frac{-x^{2}}{2}=t$, तब -x dx = dt या x dx = -dt
इसलिए I $= -\int e^{t} d t=-e^{t}=-e^{\frac{-x^{2}}{2}}$
समीकरण (ii) में I का मान प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं:
$y e^{\frac{-x^{2}}{2}}=-e^{\frac{-x^{2}}{2}}+\mathrm{C}$
अथवा $y=-1+\mathrm{C} e^{\frac{x^{2}}{2}}$ ...(iii)
समीकरण (iii) वक्रों के कुल का समीकरण है परंतु हम इस कुल के ऐसे सदस्य का समीकरण ज्ञात करना चाहते हैं जो बिंदु (0, 1) से गुजरता हो। समीकरण (iii) में x = 0 एवं y = 1 प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं:
$1 = -1 + C \cdot e^0$ अथवा $C = 2$
समीकरण (iii) में C का मान प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं:
$y=-1+2 e^{\frac{x^{2}}{2}}$
यह वक्र का अभीष्ट समीकरण है।
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अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}+ y \cot x = 2x + x^2 \cot x(x \neq 0)$ का विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए, दिया हुआ है कि $y = 0$ यदि $ x = \frac{\pi}{2}$
Answerदिया हुआ अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x} + Py = Q,$ के रूप का रैखिक अवकल समीकरण है। यहाँ $P = \cot x$ और $Q = 2x + x^2 \cot x$ है। इसलिए
$I.F. =e^{\int \cot x d x} = e^{\log \sin x} = \sin x$
अतः अवकल समीकरण का हल है:
$y \cdot \sin x = \int\left(2 x+x^{2} \cot x\right) \sin x dx + C$
अथवा $y \sin x = \int 2 x \sin x d x+\int x^{2} \cos x d x+\mathrm{C}$
अथवा $y \sin x = \sin x\left(\frac{2 x^{2}}{2}\right)-\int \cos x\left(\frac{2 x^{2}}{2}\right) d x +\int x^{2} \cos x d x+\mathrm{C}$
अथवा $y \sin x = x^2 \sin x - \int x^{2} \cos x d x+\int x^{2} \cos x d x+\mathrm{C}$
अथवा $y \sin x = x^2 \sin x + C ...(i)$
समीकरण $(i)$ में $y = 0$ एवं $x = \frac{\pi}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं:
$0=\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2} \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)+C$
अथवा $C=\frac{-\pi^{2}}{4}$
समीकरण $(i)$ में $C$ का मान प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं:
$y \sin x = x^2 \sin x - \frac{\pi^{2}}{4}$
अथवा $y = x^2 - \frac{\pi^{2}}{4 \sin x}(\sin x \neq 0)$
यह दिए हुए अवकल समीकरण का विशिष्ट हल है।
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अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}- y = \cos x$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
Answerदिया हुआ अवकल समीकरण
$\frac{d y}{d x}+\mathrm{P} y=\mathrm{Q}$ है, जहाँ $P = -1$ और $Q = \cos x$
इसलिए $I.F. =e^{\int-1 d x}=e^{-x}$
समीकरण के दोनों पक्षों को $I.F.$ से गुणा करने पर हम प्राप्त करते हैं:
$e^{-x} \frac{d y}{d x}-e^{-x} y = e^{-x} \cos x$
अथवा $\frac{d}{d x}(ye^{-x}) = e^{-x} \cos x$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर हम प्राप्त करते हैं:
$ye^{-x} = \int e^{-x} \cos x d x+\mathrm{C} ...(i)$
मान लीजिए कि $\mathrm{I} =\int e^{-x} \cos x d x$
$=\cos x\left(\frac{e^{-x}}{-1}\right)-\int(-\sin x)\left(-e^{-x}\right) d x$
$=-\cos x e^{-x}-\int \sin x e^{-x} d x$
$=-\cos x e^{-x}-\left[\sin x\left(-e^{-x}\right)-\int \cos x\left(-e^{-x}\right) d x\right]$
$=-\cos x e^{-x}+\sin x e^{-x}-\int \cos x e^{-x} d x$
अथवा $I = -e^{-x} \cos x + \sin x e^{-x} - I$
अथवा $2I = (\sin x - \cos x) e^{-x}$
अथवा $\mathrm{I} =\frac{(\sin x-\cos x) e^{-x}}{2}$
समीकरण $(i)$ में I का मान प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं:
$y e^{-x}=\left(\frac{\sin x-\cos x}{2}\right) e^{-x}+\mathrm{C}$
अथवा $y=\frac{\sin x-\cos x}{2}+\mathrm{C} e^{x}$
यह दिए हुए अवकल समीकरण का व्यापक हल है।
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दर्शाइए कि वक्रों का कुल, जिनके किसी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $\frac{x^{2}+y^{2}}{2 x y}$ है, $x^2 - y^2 = cx$ द्वारा प्रदत्त है।
Answerहम जानते हैं कि एक वक्र के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $\frac{d y}{d x}$ के बराबर होती है।
इसलिए $\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}+y^{2}}{2 x y}$ या $\frac{d y}{d x}=\frac{1+\frac{y^{2}}{x^{2}}}{\frac{2 y}{x}} ...(i)$
स्पष्टतः समीकरण $(i)$ समघातीय अवकल समीकरण है।
इसको हल करने के लिए हम $y = vx$ प्रतिस्थापन करते हैं।
$y = vx$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर हम पाते हैं:
$\frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}$ या $v+x \frac{d v}{d x}=\frac{1+v^{2}}{2 v}$
अतः $x \frac{d v}{d x}=\frac{1-v^{2}}{2 v}$ या $\frac{2 v}{1-v^{2}} d v=\frac{d x}{x}$ या $\frac{2 v}{v^{2}-1} d v=-\frac{d x}{x}$
इसलिए $\int \frac{2 v}{v^{2}-1} d v=-\int \frac{1}{x} d x$
अथवा l$og |v^2 - 1| = -\log |x| + \log |C_1|$
अथवा $\log |(v^2 - 1)(x)| = \log |C_1|$
अथवा $(v^2 - 1)x = \pm C_1$
$v$ को$ \frac{y}{x}$ से प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं:
$\left(\frac{y^{2}}{x^{2}}-1\right) x=\pm \mathrm{C}_{1}$
अथवा $(y^2 - x^2) = \pm C_1 x$ या $x^2 - y^2 = Cx$
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दर्शाइए कि अवकल समीकरण $2ye^{\frac{x}{y}}dx + (y - 2x e^{\frac{x}{y}})dy = 0$ समघातीय है और यदि, $x = 0$ जब $y = 1$ दिया हुआ हो तो इस समीकरण का विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।
Answerदिया हुआ अवकल समीकरण निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है:
$\frac{d x}{d y}=\frac{2 x e^{\frac{x}{y}}-y}{2 y e^{\frac{x}{y}}} ...(i)$
मान लीजिए $F(x, y) =\frac{2 x e^{\frac{x}{y}}-y}{2 y e^{\frac{x}{y}}}$ तब $\mathrm{F}(\lambda x, \lambda y) =\frac{\lambda\left(2 x e^{\frac{x}{y}}-y\right)}{\lambda\left(2 y e^{\frac{x}{y}}\right)}=\lambda^{\circ}[F(x, y)]$
अतः $F(x, y)$ शून्य घात वाला समघातीय फलन है।
इसलिए, दिया हुआ अवकल समीकरण एक समघातीय अवकल समीकरण है।
इसका हल ज्ञात करने के लिए, हम $x = vy ...(ii)$ प्रतिस्थापन करते हैं।
समीकरण $(ii)$ का $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर हम प्राप्त करते हैं:
$\frac{d x}{d y}=v+y \frac{d v}{d y}$
समीकरण $(i)$ में $x$ एवं $\frac{d x}{d y}$ का मान प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं:
$v+y \frac{d v}{d y}=\frac{2 v e^{v}-1}{2 e^{v}}$
अथवा $y \frac{d v}{d y}=\frac{2 v e^{v}-1}{2 e^{v}}-v$
अथवा $y \frac{d v}{d y}=-\frac{1}{2 e^{v}}$
अथवा $2 e^{v} d v=\frac{-d y}{y}$
अथवा $\int 2 e^{v} \cdot d v=-\int \frac{d y}{y}$
अथवा $2e^v = -\log |y| + C$
$v$ को $\frac{x}{y}$ से प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं:
$2e^{\frac{x}{y}} + \log |y| = C ...(iii)$
समीकरण $(iii)$ में, $x = 0$ एवं $y = 1$ प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं:
$2e^0 + \log |1| = C \Rightarrow C = 2$
$C$ का मान समीकरण $(iii)$ में प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं:
$2e^{\frac{x}{y}} + \log |y| = 2$
यह दिए हुए अवकल समीकरण का एक विशिष्ट हल है।
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दर्शाइए कि अवकल समीकरण $x \cos \left(\frac{y}{x}\right) \frac{d y}{d x}=y \cos \left(\frac{y}{x}\right)+x$ समघातीय है और इसका हल ज्ञात कीजिए।
Answerदिया हुआ अवकल समीकरण निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है:
$\frac{d y}{d x}=\frac{y \cos \left(\frac{y}{x}\right)+x}{x \cos \left(\frac{y}{x}\right)}$ ...(i)
यहाँ $\frac{d y}{d x}$ = F(x, y) के रूप का अवकल समीकरण है।
यहाँ F(x, y) $=\frac{y \cos \left(\frac{y}{x}\right)+x}{x \cos \left(\frac{y}{x}\right)}$ है।
x को $\lambda x$ से एवं y को $\lambda y$ से प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं:
$\mathrm{F}(\lambda x, \lambda y)$ $=\frac{\lambda\left[y \cos \left(\frac{y}{x}\right)+x\right]}{\lambda\left(x \cos \frac{y}{x}\right)}=\lambda^{0}$[F(x, y)]
F(x, y) शून्य घात वाला समघातीय फलन है, इसलिए दिया हुआ अवकल समीकरण एक समघातीय अवकल समीकरण है। इसको हल करने के लिए हम प्रतिस्थापन करते हैं:
y = vx ...(ii)
समीकरण (ii) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर हम प्राप्त करते हैं:
$\frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}$ ...(iii)
समीकरण (i) में y एवं $\frac{d y}{d x}$ का मान प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं:
$v+x \frac{d v}{d x}=\frac{v \cos v+1}{\cos v}$
अथवा $x \frac{d v}{d x}=\frac{v \cos v+}{\cos v}$
अथवा $x \frac{d v}{d x}=\frac{1}{\cos v}$
अथवा cos v dv $=\frac{d x}{x}$
इसलिए $\int \cos v d v=\int \frac{1}{x} d x$
अथवा sin v = log |x| + log |C|
अथवा sin v = log |Cx|
v को $\frac{y}{x}$ प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं।
sin $\left(\frac{y}{x}\right)$ = log |Cx|
यह अवकल समीकरण (i) का व्यापक हल है।
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दर्शाइए कि अवकल समीकरण (x - y) $\frac{d y}{d x}$ = x + 2y समघातीय है और इसका हल ज्ञात कीजिए।
Answerदिए गए अवकल समीकरण को निम्नलिखित रूप में अभिव्यक्त किया जा सकता है:
$\frac{d y}{d x}=\frac{x+2 y}{x-y}$ ...(i)
मान लीजिए F(x, y) = $\frac{x+2 y}{x-y}$
अब $\mathrm{F}(\lambda x, \lambda y)=\frac{\lambda(x+2 y)}{\lambda(x-y)}=\lambda^{\circ} \cdot$ F(x, y)
इसलिए F(x, y) शून्य घात वाला समघातीय फलन है।
अतः दिया हुआ अवकल समीकरण एक समघातीय अवकल समीकरण है।
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किसी बैंक में मूलधन की वृद्धि $5\%$ वार्षिक की दर से होती है। कितने वर्षों में ₹$1000$ की राशि दुगुनी हो जाएगी?
Answerमान लीजिए किसी समय t पर मूलधन P है। दी हुई समस्या के अनुसार
$\frac{d \mathrm{P}}{d t}=\left(\frac{5}{100}\right) \times \mathrm{P} $
अथवा $\frac{d \mathrm{P}}{d t}=\frac{\mathrm{P}}{20} $ ...(i)
समीकरण (i) में चरों को पृथक् करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
$\frac{d \mathrm{P}}{\mathrm{P}}=\frac{d t}{20} $ ...(ii)
समीकरण (ii) के दोनों पक्षों का समाकलन करने पर हम प्राप्त करते हैं:
$\log \mathrm{P}=\frac{t}{20}+\mathrm{C}_{1}$
अथवा $ \mathrm{P}=e^{\frac{t}{20}} \cdot e^{c_{1}}$
अथवा $\mathrm{P}=\mathrm{C} e^{\frac{t}{20}} $ (जहाँ $e^{\mathrm{C}_{1}}$ = C) ...(iii)
अब P = 1000, जब t = 0
P और t का मान समीकरण (iii) में रखने पर हम C = 1000 प्राप्त करते हैं।
इसलिए समीकरण (iii) से हम प्राप्त करते हैं:
P = 1000$e^{\frac{t}{20}}$
मान लीजिए t वर्षों में मूलधन दुगुना हो जाता है, तब
2000 = 1000 $e^{\frac{t}{20}}$
$\Rightarrow t = 20 \log_e2$
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