प्रश्नों के उत्तर लिखिए। (प्रत्येक प्रश्न 2 अंक का हे)

Question 12 Marks

$\tan ^{1}\left[2 \cos \left(2 \sin ^{1} \frac{1}{2}\right)\right]$ में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए।

Answer

$\tan ^{-1}\left[2 \cos \left(2 \sin ^{-1} \frac{1}{2}\right)\right]$ = $\tan ^{-1}\left[2 \cos \left\{2 \sin ^{-1}\left(\sin \frac{\pi}{6}\right)\right\}\right]$ $\left(\because \sin \frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\right)$
= $\tan ^{-1}\left[2 \cos \left(2 \times \frac{\pi}{6}\right)\right]$ = $\tan ^{-1}\left(2 \cos \frac{\pi}{3}\right)$
= $\tan ^{-1}\left(2 \times \frac{1}{2}\right)$ = $\tan ^{-1}(1) $ $\left(\because \cos \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\right)$
= $\tan ^{-1}\left(\tan \frac{\pi}{4}\right)$ = $\frac{\pi}{4}$ $\left(\because \tan \frac{\pi}{4}=1\right)$

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Question 22 Marks

फलन को सरलतम रूप में लिखिए: $\tan ^{-1}\left(\frac{3 a^{2} x-x^{3}}{a^{3}-3 a x^{2}}\right), a > 0; \frac{-a}{\sqrt{3}}< x < \frac{a}{\sqrt{3}}$

Answer

मान लीजिए $x = a \tan \theta \Rightarrow \frac{x}{a} = \tan \theta \Rightarrow \theta = \tan^{-1 }\left(\frac{x}{a}\right) ...(i)$
$\therefore \tan ^{-1}\left(\frac{3 a^{2} x-x^{3}}{a^{3}-3 a x^{2}}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{3 a^{2}(a \tan \theta)-(a \tan \theta)^{3}}{a^{3}-3 a(a \tan \theta)^{2}}\right)= \tan ^{-1}\left[\frac{a^{3}\left(3 \tan \theta-\tan ^{3} \theta\right)}{a^{3}\left(1-3 \tan ^{2} \theta\right)}\right]$
$\tan ^{-1}\left(\frac{3 \tan \theta-\tan ^{3} \theta}{1-3 \tan ^{2} \theta}\right)= \tan ^{-1}(\tan 3 \theta) \left(\because \tan 3 \theta=\frac{3 \tan \theta-\tan ^{3} \theta}{1-3 \tan ^{2} \theta}\right)$
$= 3 \theta = 3tan ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) [$समी $(i)$ से$]$

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Question 32 Marks

फलन को सरलतम रूप में लिखिए: $\tan ^{-1} \frac{x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}},|x| < a$

Answer

मान लीजिए $x = a \sin \theta \Rightarrow \frac{x}{a} = \sin \theta \Rightarrow \sin^{-1} \left(\frac{x}{a}\right)=\theta ...(i)$
$\therefore \tan ^{-1} \frac{x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} = \tan ^{-1}\left(\frac{a}{\sqrt{a^{2}-a^{2} \sin ^{2} \theta}}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{a \sin \theta}{a \sqrt{1-\sin ^{2} \theta}}\right) $
$= \tan ^{-1}\left(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\right) [\because \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \Rightarrow \cos x = \sqrt{1-\sin ^{2} x}]$
$= \tan ^{-1}(\tan \theta) = \theta = \sin ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) [$समी $(i)$ से$]$

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Question 42 Marks

फलन को सरलतम रूप में लिखिए: $\tan ^{-1}\left(\frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}\right)$, $ \frac{-\pi}{4} < x < \frac{3 \pi}{4}$

Answer

$tan ^{-1}\left(\frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}\right)$ = $ \tan ^{-1}\left(\frac{\frac{\cos x}{\cos x}-\frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{\cos x}{\cos x}+\frac{\sin x}{\cos x}}\right)$
कोष्ठक के भीतर अंश तथा हर को cos x द्वारा भाग देने पर,
= $\tan ^{-1}\left(\frac{1-\tan x}{1+\tan x}\right)$ = $\tan ^{-1}\left[\tan \left(\frac{\pi}{4}-x\right)\right] $ $\left[\because \tan \left(\frac{\pi}{4}-x\right)=\frac{\tan \frac{\pi}{4}-\tan x}{1+\tan \frac{\pi}{4} \cdot \tan x}=\frac{1-\tan x}{1+\tan x}\right]$
$=\frac{\pi}{4}-x$

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Question 52 Marks

फलन को सरलतम रूप में लिखिए: $\tan ^{-1}\left(\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\right),0 < x<\pi$

Answer

$\tan ^{-1}\left(\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\right) = \tan ^{-1}\left(\sqrt{\frac{2 \sin ^{2}(x / 2)}{2 \cos ^{2}(x / 2)}}\right) [\therefore 1 - \cos x = 2 \sin^{2 }(\frac{x}{2}) तथा 1 + \cos x = 2 \cos ^2(\frac{x}{2})]$
$= \tan ^{-1}\left(\sqrt{\tan ^{2} \frac{x}{2}}\right)= \tan ^{-1}\left(\tan \frac{x}{2}\right) = \frac{x}{2}$
नोट $\sqrt{\tan ^{2} \frac{x}{2}} = \tan \frac{x}{2}$ यदि $x$ धनात्मक है अथवा $\sqrt{\tan ^{2} \frac{x}{2}} = -\tan \frac{x}{2}$ यदि $x$ ऋणात्मक है।

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Question 62 Marks

फलन को सरलतम रूप में लिखिए: $\tan ^{-1} \frac{\sqrt{1+x^{2}}-1}{x}, x \neq 0$

Answer

मान लीजिए $x = \tan \theta$, तब $\theta = \tan^{-1} x ...(i)$
$\therefore \tan ^{-1} \frac{\sqrt{1+x^{2}}-1}{x} = \tan ^{-1} \frac{\sqrt{1+\tan ^{2} \theta}-1}{\tan \theta} = \tan ^{-1} \frac{\sqrt{\sec ^{2} \theta}-1}{\tan \theta} = \tan ^{-1}\left(\frac{\sec \theta-1}{\tan \theta}\right) \left(\because 1+\tan ^{2} \theta=\sec ^{2} \theta\right)$
$= \tan ^{-1}\left(\frac{\frac{1}{\cos \theta}-1}{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}\right)= \tan ^{-1}\left(\frac{2 \sin ^{2} \frac{\theta}{2}}{2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}\right)(\because 1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ तथा $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2})$
$= \tan ^{-1}\left(\frac{2 \sin \frac{\theta}{2}}{2 \cos \frac{\theta}{2}}\right) = \tan ^{-1}\left(\tan \frac{\theta}{2}\right) = \frac{\theta}{2} \frac{\tan ^{-1} x}{2} [$समी $(i)$ से$]$
$\therefore \tan ^{-1} \frac{\sqrt{1+x^{2}}-1}{x}= \frac{1}{2} \tan ^{-1} x$

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Question 72 Marks

सिद्ध कीजिए: $3 \cos^{-1} x = \cos ^{-1} \left(4 x^{3}-3 x\right), x \in\left[\frac{1}{2}, 1\right]$

Answer

मान लीजिए $x = \cos \theta$
बायाँ पक्ष $= 3 \cos^{-1 }x = 3 \cos^{-1} (\cos \theta) = 3 \theta$
दायाँ पक्ष $= \cos^{-1} \left(4 x^{3}-3 x\right) $
$= \cos^{-1} \left(4 \cos ^{3} \theta-3 \cos \theta\right)$
$= \cos^{-1} (\cos 3 \theta)=3 \theta \left(\because \cos 3 \theta=4 \cos ^{3} \theta-3 \cos \theta\right)$
बायाँ पक्ष $=$ दायाँ पक्ष इति सिद्धम्

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Question 82 Marks

$\tan \left(\sin ^{-1} \frac{3}{5}+\cot ^{-1} \frac{3}{2}\right)$ व्यंजक की गणना कीजिए।

Answer

$\tan \left(\sin ^{-1} \frac{3}{5}+\cot ^{-1} \frac{3}{2}\right) $ $\Rightarrow $ $\tan \left[\tan ^{-1} \frac{\frac{3}{5}}{\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^{2}}}+\tan ^{-1} \frac{2}{3}\right]$
($\because$ $\sin ^{-1} x=\tan ^{-1} \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}$ तथा $cot ^{-1} \frac{x}{y}=\tan ^{-1} \frac{y}{x}$)
= $\tan \left(\tan ^{-1} \frac{3}{4}+\tan ^{-1} \frac{2}{3}\right)$ = tan $\left[\tan ^{-1} \frac{\left(\frac{3}{4}+\frac{2}{3}\right)}{1-\frac{3}{4} \times \frac{2}{3}}\right]$ = $\tan \left(\tan ^{-1} \frac{\frac{17}{12}}{\frac{1}{2}}\right)$ $\left[\because \tan ^{-1} x+\tan ^{-1} y=\tan ^{-1}\left(\frac{x+y}{1-x y}\right)\right]$
= $\tan \left(\tan ^{-1} \frac{17}{6}\right)$ = $\frac{17}{6}$

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Question 92 Marks

सिद्ध कीजिए: $3 \sin ^{-1} x=\sin ^{-1} \left(3 x-4 x^{3}\right), x \in\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$

Answer

मान लीजिए $\sin^{-1} x = \theta$
$\Rightarrow x = \sin \theta$, तब
बायाँ पक्ष $= 3 \sin^{-1} x = 3 \sin^{-1 }(\sin \theta) = 3 \theta$
दायाँ पक्ष $= \sin^{-1} \left(3 x-4 x^{3}\right) = \sin^{-1} \left(3 \sin \theta-4 \sin ^{3} \theta\right)$
$\left(3 \sin \theta-4 \sin ^{3} \theta\right) \left[\because \sin 3 \theta=3 \sin \theta-4 \sin ^{3} \theta\right]$
बायाँ पक्ष $=$ दायाँ पक्ष इति सिद्धम्

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Question 102 Marks

$\tan ^{-1} \frac{\cos x}{1-\cos x}, \quad \frac{-3 \pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ को सरलतम रूप में व्यक्त कीजिए।

Answer

सूत्रों का उपयोग करते हुए: $\cos x=1-2 \sin ^2(x / 2)$ और $\sin x=2 \sin (x / 2) \cos (x / 2)$.
$\tan ^{-1}\left(\frac{\cos x}{1-\cos x}\right)$ त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके इसे हल करना थोड़ा जटिल हो सकता है, लेकिन सरलतम रूप के लिए हम $\cos x$ और $1-\cos x$ को $\sin$ और $\cos$ के आधे कोण के रूप में बदलते हैं। अंतिम सरलतम रूप सीमा $(-3 \pi / 2

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गणित प्रश्नों के उत्तर लिखिए। (प्रत्येक प्रश्न 2 अंक का हे)

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