प्रश्नों के उत्तर लिखिए। (प्रत्येक प्रश्न 3 अंक का हे)

Question 13 Marks

30 वृत्ताकार प्लेटों को जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या 14 cm और मोटाई 3 cm है, एक के ऊपर एक रखकर एक बेलनाकार ठोस बनाया जाता है। इस प्रकार बने बेलन का ज्ञात कीजिए :

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल,
आयतन

Answer

बेलन की ऊँचाई (h) = 3 $\times$ 30 = 90 cm तथा त्रिज्या (r) = 14 cm

बेलन का वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल = 2$\pi$rh + 2$\pi r^2$
= 2 $\times$ $\frac{22}{7}$ $\times$ 14 $\times$ 90 + 2 $\times$ $\frac{22}{7}$ $\times (14)^2$
$= 7920 + 1232 = 9152 cm^2$
बेलन का आयतन = $\pi r^2h =\frac{22}{7}$ $\times$ 14 $\times$ 14 $\times$ $90 = 55440 cm^3$

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Question 23 Marks

एक ही त्रिज्या वाले एक गोले और एक लंब वृत्तीय बेलन के आयतन बराबर हैं। बेलन का व्यास उसकी ऊँचाई से कितने प्रतिशत अधिक है?

Answer

माना गोले की त्रिज्या = r
दिया है, बेलन का आयतन = एक गोले का आयतन
$\Rightarrow$ $\pi r^2h =$ $\frac{4}{3} \pi r^3$ $\Rightarrow$ h = $\frac{4}{3} $r
$\because$ व्यास = 2r
$\therefore$ बेलन का व्यास उसकी ऊँचाई से अधिक है = 2r - $\frac{4 r}{3}=\frac{2 r}{3}$
अतः प्रतिशत वृद्धि = $\frac{\frac{2 r}{3} \times 100}{\frac{4}{3} r}$ = 50%

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Question 33 Marks

4 cm भुजा वाले एक घन के अंदर एक गोला है जो उसकी भुजाओं को स्पर्श करता है। इन दोनों के बीच में रिक्त स्थान का आयतन ज्ञात कीजिए।

Answer

रिक्त स्थान का आयतन = घन का आयतन - गोले का आयतन
$ =(4)^3-\frac{4}{3} \pi(2)^3(\because$ घन की भुजा $=$ गोले का व्यास)
$ =\left(64-\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 8\right)=(64-33.52)=30.48 \mathrm{~cm}^2$

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Question 43 Marks

दो गोलों के आयतनों का अनुपात 64 : 27 है। इनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

Answer

माना दो गोलों की त्रिज्याएँ $r_1$ तथा $r_2$ हैं।
दिया है, $\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{64}{27} \Rightarrow \frac{\frac{4}{3} \pi r_{1}^{3}}{\frac{4}{3} \pi r_{2}^{3}}=\frac{64}{27}$
$\Rightarrow \left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{3}=\left(\frac{4}{3}\right)^{3} \Rightarrow \frac{r_{1}}{r_{2}}=\frac{4}{3}$
माना पृष्ठीय क्षेत्रफल $S_1$ तथा $S_2$ हैं।
$\therefore \frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{4 \pi r_{1}^{2}}{4 \pi r_{2}^{2}}=\left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{2}$
$\Rightarrow S_1: S_2= $ $\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{16}{9} = 16 : 9$

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Question 53 Marks

किसी फैक्ट्री के लिए पानी एक अर्धगोलाकार टंकी में संचरित किया जाता है जिसका आंतरिक व्यास 14 मी है। इस टंकी में 50 किलोलीटर पानी है। इस टंकी को पूरा भरने के लिए पानी पंप द्वारा भरा जाता है। टंकी में पंप द्वारा भरे गए पानी का आयतन ज्ञात कीजिए।

Answer

दिया है, व्यास = 14 मी $\Rightarrow$ r = 7 मी
$\because$ टंकी में पानी की मात्रा = 50000 लीटर ($\because$ 50 किलोलीटर = 50000 लीटर)

= 50 मी$^3$($\because$ 1 मी$^3$= 1000 लीटर)
$\therefore$ अर्द्धगोलीय टंकी का आयतन = $\frac{2}{3} \pi r^{3}=\frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times$$ (7)^3$
$=\frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times$ 7 $\times$ 7 $\times$ 7 = 718.66 मी$^3$

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Question 63 Marks

$165\ m^2$ क्षेत्रफल वाले एक कपड़े को 5 m त्रिज्या वाले एक शंक्वाकार तंबू के रूप में बनाया जाता है।

इस तंबू में कितने विद्यार्थी बैठ सकते हैं, यदि औसतन एक विद्यार्थी भूमि पर $\frac{5}{7}m^2$ स्थान घेरता है?
इस शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए।

Answer

शंक्वाकार तम्बू के आधार का क्षेत्रफल = $\pi(5)^2= 25\pi$
$\therefore$ अभीष्ट विद्यार्थियों की संख्या = $\frac{25 \pi}{(\frac{5}{7})}=\frac{25}{5} \times \frac{22}{7} \times$ 7 = 110
अब, $\pi$rl = 165 ($\because$ शंकु का वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल = $\pi$rl)
$\Rightarrow$ l = $\frac{165 \times 7}{22 \times 5}$ = 10.5 m
$\therefore$ h = $\sqrt{1^{2}-r^{2}}$ ($\because$ l = $\sqrt{r^{2}+h^{2}}$ = तिर्यक ऊँचाई)
$=\sqrt{110.25-25} = 9.23 m$
$\therefore$ शंकु का आयतन = $\frac{1}{3} \pi r^2h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times$ 25 $\times$ 9.23
$= 241.7 m^3$

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Question 73 Marks

28 सेमी व्यास वाली एक अर्धवृत्ताकार धातु की चादर को मोड़कर एक शंकु के आकार का खुला कप बनाया गया है। इस कप की धारिता ज्ञात कीजिए।

Answer

शंकु की परिधि = अर्द्धवृत्त की परिधि

2$\pi$r = $\pi$ (त्रिज्या)
$\Rightarrow$ 2$\pi$r = $\pi$ $\times$ 14 $\Rightarrow$ r = 7 सेमी
अब, h = $\sqrt{1^{2}-r^{2}}=\sqrt{14^{2}-7^{2}}$ $\left(\because l^2=h^2+r^2\right)$
$=\sqrt{196-49}=\sqrt{147}$ = 12.12 सेमी
$\therefore$ शंक्वाकार कप की धारिता = $\frac{1}{3}$ $\pi r^2h = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times$ 7 $\times$ 7 $\times$ 12.12
$= 622.16$ सेमी$^3$

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Question 83 Marks

दोनों ओर से खुली एक बेलनाकार ट्यूब एक लोहे की चादर की बनी है जिसकी मोटाई 2 cm है। यदि इसका व्यास 16 cm और लंबाई 100 cm है तो ज्ञात कीजिए कि इस ट्यूब के बनाने में कितने $cm^3$ लोहे का प्रयोग किया गया है।

Answer

दिया है, बाहरी व्यास $d = 16 cm$
$\therefore$ $r_1=$ बाहरी त्रिज्या = 8 cm ($\because$ d = 16 cm)
$r_2=$ आन्तरिक त्रिज्या $= (r_1$- मोटाई$)$
$= (8 - 2) = 6 cm$
तथा h$ = 100 cm$

$\therefore$ प्रयोग हुए लोहे का आयतन = बाहरी आयतन - आन्तरिक आयतन
$=\pi r_{1}^{2} h-\pi r_{2}^{2} h=\pi h\left(r_{1}^{2}-r_{2}^{2}\right)$
= $\frac{22}{7}$ $\times$ $100 (8^2- 6^2) = $ $\frac{22}{7}$ $\times 100 (8 + 6) (8 - 6)$
= $\frac{22}{7}$ $\times$ 100 $\times$ 14 $\times 2$
$= 2200 \times4 = 8800 cm^3$
अतः इस ट्यूब को बनाने में $8800 cm^3$ लोहे का प्रयोग किया गया है।

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Question 93 Marks

वर्षा के पानी को, जो 6 m लंबाई और 4 m चौड़ाई के एक सपाट आयताकार पृष्ठ पर गिरता है, एक आंतरिक त्रिज्या 20 cm वाले एक बेलनाकार बर्तन में स्थानांतरित कर लिया जाता है। यदि वर्षा 1 cm हुई है, तो बेलनाकार बर्तन में पानी कितनी ऊँचाई तक भर जाएगा? अपना उत्तर निकटतम पूर्णांक तक दीजिए। ($\pi$ = 3.14 लीजिए।)

Answer

मान लीजिए कि बेलनाकार बर्तन में पानी का स्तर h cm है।
अतः वर्षा के पानी का आयतन $=600 \times 400 \times 1 \mathrm{~cm}^3$
बेलनाकार बर्तन में पानी का आयतन $=\pi(20)^2 \times \mathrm{h} \mathrm{cm}^3$
प्रश्नानुसार,
600 $\times$ 400 $\times$ 1 = $\pi (20)^2\times h$
या h = $\frac{600}{3.14}cm = 191 cm$

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गणित प्रश्नों के उत्तर लिखिए। (प्रत्येक प्रश्न 3 अंक का हे)

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