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गणित प्रश्नों के उत्तर लिखिए। (प्रत्येक प्रश्न 3 अंक का हे)

त्रिभुज · Rajasthan Board (RBSE) कक्षा 9 (Rajasthan - हिन्दी माध्यम). 23 questions.

Questions

प्रश्नों के उत्तर लिखिए। (प्रत्येक प्रश्न 3 अंक का हे)

Take a timed test

23 questions · self-marked practice — reveal the answer and mark yourself.

Question 13 Marks
ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें AC = BC है। AD और BE क्रमशः BC और AC पर शीर्षलंब हैं। सिद्ध कीजिए कि AE = BD है।
Answer

में $\triangle$ADC तथा $\triangle$BEC हमारे पास
AC = BC [दिया गया है] ...(i)
$\angle $ADC = $\angle $BEC [प्रत्येक = $90^\circ$]
$\angle $ACD = $\angle $BCE [आम कोण]
$\therefore \triangle$ADC $​​\cong \triangle$BEC [SSS सर्वांगसमता नियम द्वारा]
$\therefore$ CE = CD ...(ii) [CPCT]
(i) से (ii) घटाने पर, हमें प्राप्त होता है
AC - CE = BC - CD
$\Rightarrow$ AE = BD
इसलिए, सिद्ध हुआ।
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Question 23 Marks
ABC और DBC एक ही आधार BC पर स्थित दो त्रिभुज इस प्रकार हैं कि बिंदु A और D आधार BC के विपरीत ओर स्थित हैं, AB = AC और DB = DC है। दर्शाइए कि AD रेखाखंड BC का लंब समद्विभाजक है।
Answer

दिया गया: $\triangle$ABC तथा $\triangle$DBC एक ही आधार BC पर हैं।
दिया गया है, AB = AC और BD = DC ...(i)
सिद्ध करना: AD, BC का लम्ब समद्विभाजक है।
यानी, AD $\perp$ BC और OB = OC
सिद्ध करना है, $\triangle$BAD तथा $\triangle$CAD,
 AB = AC [(i) से ]
BD = CD [(i) से ]
AD = AD [उभयनिष्ठ पक्ष]
अतः त्रिभुजों की सर्वांगसमता के SSS मानदंड से हमें प्राप्त होता है
$\triangle$BAD $\cong \triangle$CAD
$\Rightarrow \angle$DAB = $\angle$ DAC [CPCT]
$\therefore \angle$1 = $\angle$2 ...(ii)
 $\triangle$BAO तथा $\triangle$CAO में,
 [AB = AC [(i) से ]
$\angle$1 = $\angle$2 [(ii) से ]
AO = AO [सामान्य पक्ष]
अतः त्रिभुजों की सर्वांगसमता की SAS कसौटी के अनुसार, हमें प्राप्त होता है
$\triangle$BAO $\cong \triangle$CAO
$\therefore$BO = CO [CPCT] ...(iii)
और, $\angle$AOB = $\angle$AOC [CPCT]
$\Rightarrow \angle$3 = $\angle$4 ...(iv)
परंतु, $ \angle 3+\angle 4=180^{\circ}$[एक ही रेखा पर कोण]
$ \Rightarrow \angle 3+\angle 3=180^{\circ}$ [(iv) से ]
$ \Rightarrow 2 \angle 3=180^{\circ} $
$ \Rightarrow \angle 3=\frac{180^{\circ}}{2}=90^{\circ}$
$\Rightarrow$ AD $\perp$ BC ...(v)
इसलिए, (iii) और (v) से
AD, BC का लंब समद्विभाजक है [$\because$ BO = CO और AD $\perp$ BC]
इसलिए सिद्ध किया।
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Question 33 Marks
O एक वर्ग ABCD के अभ्यंतर में स्थित बिंदु इस प्रकार है कि OAB एक समबाहु त्रिभुज है। सिद्ध कीजिए कि $\triangle$OCD एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
Answer

दिया गया है: ABCD एक वर्ग है और O एक आंतरिक बिंदु है। OAB एक समबाहु त्रिभुज है।
अतः OA = OB = AB ...(i)
इसलिए, $\angle$OAB = $\angle$OBA
$\Rightarrow \angle$3 = $\angle$4 ...(ii)
सिद्ध करना है: $\triangle$OCD एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
प्रमाण: वर्ग ABCD में,
$\angle$1 = $\angle$2 ...(iii)
[$\because$ प्रत्येक $90^\circ$ बराबर]
अभी इसमें, $\triangle$OAB
$\angle$3 = $\angle$4 ...(iv) [से (ii)]
(i) से (ii) घटाने पर, हम प्राप्त करते हैं
$\angle$1 - $\angle$3 = $\angle$2 - $\angle$4
$\Rightarrow \angle$5 = $\angle$6 [आंकड़ा देखें] ...(v)
 $\triangle$DAO तथा $\triangle$CBO में,
AD = BC [वर्ग की भुजाएँ]
$\triangle$5 = $\triangle$6 [से (v)]
OA = OB [से (i)]
अतः त्रिभुजों की सर्वांगसमता की SAS कसौटी के अनुसार, हमें प्राप्त होता है
$\triangle$DAO $\cong \triangle$CBO
$\therefore$ OD = OC
$\Rightarrow \triangle$OCD एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
इसलिए सिद्ध किया।
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Question 43 Marks
ABC एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें AB = AC है। $\angle$A का समद्विभाजक BC से D पर मिलता है। सिद्ध कीजिए कि BC = 2AD है।
Answer

AB = AC (दिया है)
$\Rightarrow \angle$B = $\angle$C ($\because$ समान भुजाओं के सम्भुख कोण समान होते है)
अब, समकोण $\triangle$ABC में, दिया है,
$ \because \angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ} $ (त्रिभुज के गुण द्वारा)
$ \Rightarrow 90^{\circ}+\angle B+\angle B=180^{\circ} $
$ \Rightarrow \angle B=45^{\circ}$
$ \Rightarrow \angle B=\angle C=45^{\circ} $
$\Rightarrow \angle 3=\angle 4=45^{\circ}$
अब, $ \angle 1=\angle 2=45^{\circ}(\because A D, \angle A $ का समद्विभाजक है)
$\therefore \angle$1 = $\angle$3, $\angle$2 = $\angle$4
BD = AD, AD = DC ...(i)
($\because$ समान कोणों की सम्मुख भुजा समान होती है)
अतः BC = BD + CD = AD + AD
$\Rightarrow$ BC = 2AD [समी (i) से]
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Question 53 Marks
ABCD एक चतुर्भुज है, जिसमें AB = BC और AD = CD है। दर्शाइए कि BD दोनों कोणों ABC और ADC को समद्विभाजित करता है।
Answer


दिया है, AB = BC
$\Rightarrow \angle$1 = $\angle$2 ...(i)
($\because$ समान भुजाओं के सम्मुख कोण समान होते हैं)
तथा AD = CD (दिया है)
$\Rightarrow \angle$3 = $\angle$4 ...(ii)
($\because$ समान भुजाओं के सम्मुख कोण समान होते हैं)
समीकाण (i) तथा (ii) को जोड़ने पर,
$\angle$1 + $\angle$3 = $\angle$2 + $\angle$4
$\Rightarrow \angle$BAD = $\angle$BCD ...(iii)
अब, $\triangle$BAD तथा $\triangle$BCD में,
AB = BC (दिया है)
$\angle$BAD = $\angle$BCD [समी (iii) से]
तथा AD = CD (दिया है)
$\therefore \triangle$BAD $\cong \triangle$BCD (SAS सर्वांगसमता नियम द्वारा)
इस प्रकार, BD, $\angle$ABC तथा $\angle$ADC दोनों को समद्विभाजित करती है। (CPCT द्वारा)

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Question 63 Marks
P कोण ABC के समद्विभाजक पर स्थित कोई बिंदु है। यदि P से होकर BA के समांतर खींची गई रेखा BC से Q पर मिलती है, तो सिद्ध कीजिए कि BPQ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
Answer


दिया है, $\angle$1 = $\angle$2 [$\because$ BP, $\angle$B का समद्विभाजक (दिया है)]
अब, $\angle$1 = $\angle$3 [$\because$ PQ || AB (एकान्तर कोण)]
इस प्रकार, $\angle$2 = $\angle$3
$\Rightarrow$ PQ = BQ ($\because$ समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं)
अतः $\triangle$BPQ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

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Question 73 Marks
AB = AC वाला ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है तथा D भुजा BC पर इस प्रकार स्थित है कि AD $\perp$ BC है (आकृति)।

$\angle$BAD = $\angle$CAD सिद्ध करने के लिए, किसी विद्यार्थी ने निम्नलिखित प्रक्रिया अपनाई:
$\triangle$ABD और $\triangle$ACD में,
AB = AC (दिया है)
$\angle$B = $\angle$C (क्योंकि AB = AC)
तथा $\angle$ADB = $\angle$ADC (प्रत्येक $90^\circ$)
अतः, $\triangle$ABD $\cong \triangle$ACD (AAS)
इसलिए, $\angle$BAD = $\angle$CAD (CPCT)
उपरोक्त तर्कणों में क्या कमी है?
Answer

कमी है, $\angle$ABD = $\angle$ACD
AB = AC (दिया है)
$\angle$B = $\angle$C ($\because$ समान भुजाओं के सम्मुख कोण समान होते है)
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Question 83 Marks
सिद्ध कीजिए कि एक समबाहु त्रिभुज को छोड़कर, किसी त्रिभुज में सबसे लंबी भुजा का सम्मुख कोण एक समकोण के $\frac{2}{3}$ भाग से बड़ा होता है।
Answer


माना $\triangle$ABC एक त्रिभुज है जिसमें AC सबसे लंबी भुजा है।
सबसे बड़ी भुजा का सम्मुख कोण सबसे बड़ा होता है।
अतः, $\angle$B सबसे बड़ा कोण है
$\Rightarrow$ $\angle$B > $\angle$A ...(i)
और $\angle$B > $\angle$C ...(ii) 
(i) और (ii) को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है
 $\angle$B + $\angle$B > $\angle$A + $\angle$C
$\Rightarrow$ 2$\angle$B > $\angle$A + $\angle$C
$\Rightarrow$ 2$\angle$B+ $\angle$B > $\angle$A+ $\angle$B+ $\angle$C (दोनों भुजाओं में $\angle B $ जोड़ने पर)
$\Rightarrow$ 3$\angle$B > 180° (त्रिभुज का कोण योग गुण)
$\Rightarrow$ $\angle$B > 60°
$\Rightarrow$ $\angle$B > $\frac{2}{3}$ $\times$ 90°
इसलिए, सबसे बड़ा कोण समकोण के $\frac 23$से बड़ा होता है। इसलिए सिद्ध हुआ। 

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Question 93 Marks
एक समतल दर्पण LM के सम्मुख स्थित बिंदु A पर रखी किसी वस्तु का प्रतिबिम्ब एक प्रेक्षक D से बिंदु B पर देखता है, जैसा कि आकृति  में दर्शाया गया है। सिद्ध कीजिए कि यह प्रतिबिम्ब दर्पण के पीछे उतनी ही दूरी पर है जितनी दूरी पर वह वस्तु दर्पण के सम्मुख है।
Answer
मान लीजिए AB, LM को O पर काटता है। हमें सिद्ध करना है कि AO = BO है।

$\triangle$OBC तथा $\triangle$OAC में, दिया है,
$\angle$1 = $\angle$2 (प्रत्येक $90^\circ$, है)
$\angle$i = $\angle$r ($\because$ आपतन कोण = परावर्तन कोण)
तब, $90^\circ- \angle i = 90^\circ- \angle r$
$\Rightarrow \angle$ACO = $\angle$BCO
$\Rightarrow$ OC = OC (उभयनिष्ठ)
$\therefore$ $\triangle$OBC $\cong \triangle$OAC (ASA सर्वांगसमता नियम द्वारा)
$\Rightarrow$ OB = OA (CPCT द्वारा)
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Question 103 Marks
AB और CD क्रमशः एक चतुर्भुज ABCD की सबसे छोटी और सबसे बड़ी भुजाएँ हैं। $\angle$B और $\angle$D में से निश्चित कीजिए कि कौन बड़ा है।
Answer

दिया गया है: एक चतुर्भुज ABCD जिसमें AB और CD चतुर्भुज ABCD की सबसे छोटी और सबसे बड़ी भुजाएँ हैं।

रचना: BD
दिया है, $\triangle$ABD,
$\Rightarrow$ AB < AD [$\because$ AB चतुर्भुज ABCD की सबसे छोटी भुजा है]
$\Rightarrow \angle$ABD > $\angle$ADB ...(i) [$\because$ सबसे लंबी भुजा का सम्मुख कोण बड़ा होता है]
दिया है, $\triangle$CBD,
CD > BC [$\because$ CD चतुर्भुज ABCD की सबसे लंबी भुजा है]
$\Rightarrow \angle$CBD > $\angle$BDC ...(ii) [$\because$ सबसे लंबी भुजा का सम्मुख कोण बड़ा होता है]
(i) और (ii) को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है
$\angle$ABD + $\angle$CBD > $\angle$ADB + $\angle$BDC
$\Rightarrow \angle$ABC > $\angle$ADC
$\Rightarrow \angle$B > $\angle$D

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Question 113 Marks
ABC एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें AB = AC है तथा $\angle$C का समद्विभाजक भुजा AB को D पर प्रतिच्छेद करता है। सिद्ध कीजिए कि AC + AD = BC है।
Answer
दिया गया है: ABC एक समकोण है कि AB = AC और CD का कोणीय समद्विभाजक है $\angle$C

सिद्ध करने के लिए: AC + AD = BC
रचना: DE $\perp$ BC
उपपत्ति: समकोण त्रिभुज ABC में, हमें AB = AC प्राप्त होता है। [दिया गया]
$\therefore$ BC कर्ण है ($\because$ कर्ण सबसे बड़ी भुजा है)
$\Rightarrow \angle A = 90^\circ$ (कर्ण के सम्मुख कोण $90^\circ$ है)
दिया है, $\triangle$DAC तथा $\triangle$DEC,
$\angle $A = $\angle $3 [$\because$ प्रत्येक $90^\circ$ के बराबर]
$\angle$1 = $\angle$2 [क्योंकि, CD का कोणीय समद्विभाजक है $\angle$C]
DC = DC [उभयनिष्ठ पक्षा]
तो, त्रिभुजों की सर्वांगसमता के AAS मानदंड से, हमारे पास है:
$\triangle$DAC $\cong \triangle$DEC
$\therefore$ DA = DE ...(i) [CPCT]
और, CA = CE ...(ii) [CPCT]
दिया है, $\triangle$BAC,
AB = AC [दिया गया]
$\Rightarrow \angle$C = $\angle$B [$\because$ त्रिभुज की समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं]
अब, $\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{C}=180^{\circ}$ [एक त्रिभुज के कोणों का योग गुण]
$\Rightarrow 90^{\circ}+\angle B+\angle B=180^{\circ}[\because \angle B=\angle C]$
$ \Rightarrow 2 \angle B=90^{\circ} $
$ \Rightarrow \angle B=\frac{90^{\circ}}{2}=45^{\circ}$
अभी इसमें $\angle $BED अपने पास:
$\Rightarrow \angle 4+\angle 5+\angle B=180^{\circ} $ [एक त्रिभुज के कोणों का योग गुण]
$\Rightarrow 90^{\circ}+\angle 5+\angle 45=180^{\circ}$[अतः, $\angle$B = $45^\circ$]
$\Rightarrow \angle 5=180^{\circ}-135^{\circ} $
$ \Rightarrow \angle 5=45^{\circ} $
$\Rightarrow \angle$B = $\angle$5
$\Rightarrow$ DE = BE ...(iii) [क्योंकि, त्रिभुज के समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं]
(i) और (iii) से, हमें प्राप्त होता है
DA = DE = BE ...(iv)
अब, BC = CE + BE
$\Rightarrow$ BC = AC + AD [से (ii), (iii) और (iv)]
$\Rightarrow$ AC + AD = BC
इसलिए सिद्ध हुआ।
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Question 123 Marks
ABCD एक चतुर्भुज इस प्रकार है कि विकर्ण AC दोनों कोणों A और C का समद्विभाजक है। सिद्ध कीजिए कि AB = AD और CB = CD है।
Answer


दिया गया है: एक चतुर्भुज ABCD ऐसा है कि $\angle$1 = $\angle$2 तथा $\angle$3 = $\angle$4
सिद्ध करने के लिए: AB = AD और CB = CD
प्रमाण: $\triangle$ABC तथा $\triangle$ADC,
$\angle$1 = $\angle$2 [दिया गया]
AC = AC [सामान्य पक्ष]
$\angle$3 = $\angle$4 [दिया है ]
तो, सर्वांगसमता के SAS मानदंड से, हमारे पास है
$\triangle$ABC $\cong \triangle$ADC
$\therefore$  AB = AD [CPCT]
और CB = CD [CPCT]
इसलिए, सिद्ध हुआ।

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Question 133 Marks
एक समलंब ABCD की क्रमशः समांतर भुजाओं AB और DC के मध्य-बिंदुओं M और N को मिलाने वाला रेखाखंड दोनों भुजाओं AB और DC पर लंब है। सिद्ध कीजिए कि AD = BC है।
Answer

AM = MB ($\because$ M, AB का मध्य-बिन्दु है)
अब, $\triangle$AMN तथा $\triangle$BMN में,
AM = MB (उपरोक्त से)
$\angle$3 = $\angle$4 (प्रत्येक $90^\circ$ है)
MN = MN (उभयनिष्ठ)
इस प्रकार, $\triangle$AMN $\cong \triangle$BMN (SAS सर्वांगसमता नियम द्वारा)
$\therefore \angle$ 1 = $\angle$2 (CPCT द्वारा)
तब, $90^\circ-$ $\angle$1 = $90^\circ$ - $\angle$2 $\Rightarrow \angle$AND = $\angle$BNC ...(i)
अब, $\triangle$ADN तथा $\triangle$BCN में,
$\angle$AND  = $\angle$BNC [समीकरण (i) से]
AN = BN ($\because \triangle$AMN $\cong \triangle$BMN)
DN = NC [$\because$ N, CD का मध्य-बिन्दु है (दिया है)]
$\therefore \triangle$ADN $\cong \triangle$BCN (SAS सर्वांगसमता नियम द्वारा)
अतः AD = BC (CPCT द्वारा)
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Question 143 Marks
दो रेखाएँ l और m बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं तथा P बिंदु O से होकर जाने वाली रेखा n पर स्थित कोई बिंदु इस प्रकार है कि P रेखाओं l और m से समदूरस्थ है। सिद्ध कीजिए कि n रेखाओं l और m के बीच बनने वाले कोण का समद्विभाजक है।
Answer
दिया गया है: रेखाएँ, l, m और n बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। P रेखा n पर एक बिंदु है और ऐसा है कि P, l और n से समान दूरी पर है।
इसलिए, PQ = PR, उसी के अनुसार नीचे चित्र बनाया गया है।

सिद्ध करना: रेखा n का समद्विभाजक है $\angle$QOR
दिया है: $\triangle$OQP तथा $\triangle$ORP
$\angle$1 = $\angle$2 [$\because$ प्रत्येक $90^\circ$ के बराबर]
OP = OP [सामान्य पक्ष]
PQ = PR [क्योकिं, P रेखा l और m से समान दूरी पर है]
अतः सर्वांगसमता के RHS मानदंड से, हमें प्राप्त है
$\triangle$OQP $\cong\triangle$ORP
$\therefore \angle$3 = $\angle$4
अतः रेखा n का समद्विभाजक है इसलिए सिद्ध किया।
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Question 153 Marks
एक समकोण त्रिभुज में, सिद्ध कीजिए कि कर्ण के मध्य-बिंदु को उसके सम्मुख शीर्ष से मिलाने वाला रेखाखंड कर्ण का आधा होता है।
Answer

ABC एक समकोण त्रिभुज है, B पर समकोण है और D, AC का मध्य-बिंदु है।
सिद्ध करना, BD = $\frac 12$AC
अब, BD को E में इस प्रकार बढ़ाइए कि BD = DE हो
दिया है, $\triangle$ADB तथा $\triangle$CDE
AD = CD [$\because$ D, AC का मध्य-बिंदु है]
$\angle$ADB = $\angle$CDE [उर्ध्वाधर विपरीत $\angle$s]
BD = DE 
$\triangle$ADB $\cong \triangle$CDE [सर्वांगसमता के SAS मानदंड द्वारा]
$\therefore$ AB = EC [CPCT]
और $\angle$1 = $\angle$2 [CPCT]
लेकिन, $\angle$1 तथा $\angle$2 वैकल्पिक कोण हैं।
$\therefore$ EC || BA
अब, EC = BA के समानांतर है और BC ट्रांसवर्सल है
$\therefore \angle A B C+\angle B C E=180^{\circ}$
$ \Rightarrow 90^{\circ}+\angle B C E=180^{\circ} $
$ \Rightarrow \angle B C E=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ} $ में $ \triangle A B C $ तथा $\triangle E B C$हमारे पास }
BC = BC [उभयनिष्ठ पक्ष]
AB = EC [ऊपर सिद्ध किया गया है]
$\angle$CBA = $\angle$BCE [$\because$ प्रत्येक = $90^\circ$]
$\triangle$ABC $\cong \triangle$ EBC [सर्वांगसमता के SAS मानदंड द्वारा]
$\therefore$ AC = EB [CPCT]
$\Rightarrow \frac{1}{2}$ AC = $\frac{1}{2}$ EB $\Rightarrow \frac{1}{2}$ AC = BD
अत, BD = $\frac 12$AC
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Question 163 Marks
एक त्रिभुज ABC में, D भुजा AC का मध्य-बिंदु है ताकि BD = $\frac{1}{2}$AC है। दर्शाइए कि ABC एक समकोण है।
Answer

सिद्ध करना है,$ ABC = 90^\circ$ है।
क्योकिं D, AC का मध्य-बिंदु है,
अत: AD = DC
BD = $\frac{1}{2}$ AC = AD [$\because$ D, AC का मध्य-बिंदु है]
$\because$ BD = AD = DC
दिया है, $\triangle$ABD
BD = AD
$\therefore \angle$1 = $\angle$2 ...(i) [$\therefore$ समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं]
दिया है, $\triangle$BCD
BD = DC,
$\therefore \angle$3 = $\angle$4 ...(ii) [$\therefore$ समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं]
दिया है, $\triangle$ABC,
$\angle$1 + $\angle$ABC + $\angle$4 = $180^\circ$
$\Rightarrow \angle$1 + $\angle$2 + $\angle$3 + $\angle$4 = $180^\circ$ [$\because \angle$ABC + $\angle$3 + $\angle$2]
$\Rightarrow$ 2($\angle$2 + $\angle$) = $180^\circ$
$\Rightarrow \angle$ 2 + $\angle$3 = $90^\circ$ [द्वारा (i) और (ii)]
$\Rightarrow \angle$ABC = $90^\circ$​​​​​​​
इसलिए सिद्ध हुआ।
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Question 173 Marks
दर्शाइए कि एक चतुर्भुज ABCD में, AB + BC + CD + DA > AC + BD होता है।
Answer


दिया गया है: एक चतुर्भुज ABCD
सिद्ध करने के लिए: AB + BC + CD + DA > AC + BD
प्रमाण: $\triangle$ABC में,
AB + BC > AC ...(i) [$\because$ किसी त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं की लंबाई का योग तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए]
दिया है, $\triangle$BCD में,
BC + CD > BD ...(ii) 
दिया है, $\triangle$CDA में,
CD + DA > AC ...(iii) 
दिया है, $\triangle$ DAB में,
AD + AB > BD ...(iv) 
(i), (ii), (iii) और (iv) को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है
AB + BC + BC + CD + CD + DA + AD + AB > AC + BD + AC + BD
$\Rightarrow$ 2AB + 2BC + 2CD + 2DA > 2AC + 2BD
$\Rightarrow$ 2(AB + BC + CD + DA) > 2(AC + BD)
$\Rightarrow$ AB + BC + CD + DA > AC + BD
इसलिए, सिद्ध हुआ।

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Question 183 Marks
दर्शाइए कि एक चतुर्भुज ABCD में, AB + BC + CD + DA < 2(BD + AC) होता है।
Answer

दिया गया है: एक चतुर्भुज ABCD जिसमें AB, BC, CD और DA इसकी भुजाएँ हैं।

सिद्ध करने के लिए: AB + BC + CD + DA < 2(BD + AC)
प्रमाण:  OA + OB > AB …(i) [$\because$ किसी त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं की लंबाई का योग तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए]
दिया है, $\triangle$BOC में,
OB + OC > BC …(ii) 
दिया है, $\triangle$COD में,
OC + OD > CD…(iii) 
दिया है, $\triangle$DOA में,
OD + OA > DA …(iv) 
(i), (ii), (iii) और (iv) को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है
OA + OB + OB + OC + OC + OD + OD + OA > AB + BC + CD + DA
$\Rightarrow$ 2(OA + OB + OC + OD) > AB + BC + CD + DA
$\Rightarrow$ 2(OA + OC) + (OB + OD) > AB + BC + CD + DA
$\Rightarrow$ 2(AC + BD) > AB + BC + CD + DA
$\Rightarrow$ AB + BC + CD + DA < 2(BD + AC)
इसलिए, सिद्ध हुआ।

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Question 193 Marks
सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा की संगत माध्यिका के दोगुने से बड़ा होता है।
Answer


दिया गया है: AD, $\triangle$ABC के माध्यिका है
सिद्ध करना हैं: AB + AC > 2AD
रचना: AD को E से इस प्रकार बढ़ाइए कि AD = DE हो।
EC को मिलाइए:
 त्रिभुज ADB में 
AD = DE ...(i) (निर्माण द्वारा)
BD = DC ($\because$ AD माध्यिका है)
और, $\angle$ADB = $\angle$EDC (ऊर्ध्वाधर विपरीत कोण)
$\therefore \triangle$ ADB $\cong \triangle$EDC (SAS सर्वांगसमता मानदंड)
$\Rightarrow$ AB = EC (CPCT) ...(ii)
क्योकिं, त्रिभुज की दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है।
इसलिए, $\triangle$AEC में,
दिया, AC + EC > AE
$\Rightarrow$ AC + AB > AE [(ii) से] ...(iii)
साथ ही, AE = 2AD [(i) से] ...(iv)
अब, (iii)  और (iv) से 
AC + AB > 2AD
 अतः सिद्ध हुआ।

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Question 203 Marks
एक समबाहु त्रिभुज के सभी कोण ज्ञात कीजिए।
Answer

माना, ABC एक समबाहु त्रिभुज इस प्रकार है कि
AB = BC = CA (समबाहु त्रिभुज के प्रगुण से)
दिया है, AB = AC
$\Rightarrow\angle$C = $\angle $B ($\because$ समान भुजाओं के सम्मुख कोण समान होते हैं)
माना $\angle $C = $\angle B = x^\circ...(i)$
अब, दिया है, BC = BA
$\Rightarrow\angle$A = $\angle $C ...(ii)
($\because$ समान भुजाओं के सम्मुख कोण समान होते है)
समी (i) तथा (ii) से,
$\angle $A = $\angle $B = $\angle C = x^\circ$
अब, $\triangle$ABC में, दिया है,
$\because$ $\angle $A + $\angle $B + $\angle C = 180^\circ$(त्रिभुज के गुण द्वारा)
$\Rightarrow$ x° + x° + x° = 180°
$\Rightarrow$ 3x° = 180°
$\Rightarrow$ x° = 60°
$\therefore$ $\angle $A = $\angle $B = $\angle $C = 60°
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Question 213 Marks
यदि एक त्रिभुज के किसी कोण का समद्विभाजक उसकी सम्मुख भुजा को भी समद्विभाजित करे, तो सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज समद्विबाहु होगा।
Answer


हमें एक $\triangle$ABC की भुजा BC पर एक बिंदु D इस प्रकार प्राप्त है कि $\triangle$BAD = $\triangle$CAD और BD = CD है (देखिए आकृति)। हमें सिद्ध करना है कि AB = AC है।
AD को एक बिंदु E तक इस प्रकार बढ़ाइए कि AD = DE हो। अब CE को मिलाइए।
अब, $\triangle$ABD और $\triangle$ECD में, हमें प्राप्त है
BD = CD (दिया है)
AD = ED(रचना से)
तथा $\angle$ADB = $\angle$EDC (शीर्षाभिमुख कोण)
अतः, $\triangle$ABD $\cong \triangle$ECD (SA)
इसलिए, AB = EC (CPCT) ...(i)
और $\angle$BAD = $\angle$CED CPCT) ...(ii)
साथ ही, $\angle$BAD = $\angle$CAD (दिया है)
अतः, $\angle$CAD = $\angle$CED [(ii) से]
इसलिए, AC = EC [बराबर कोणों की सम्मुख भुजाएँ] ...(iii)
अतः, AB = AC [(i) और (iii) से]

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Question 223 Marks
सिद्ध कीजिए कि यदि दो त्रिभुजों में, एक त्रिभुज के दो कोण और उनकी अंतर्गत भुजा दूसरे त्रिभुज के दो कोणों और उनकी अंतर्गत भुजा के बराबर हों, तो दोनों त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।
Answer
दिया गया है: दो त्रिभुज $\triangle$ABC और $\triangle$DEF
ऐसे ही $\angle$B = $\angle$E, $\angle$C = $\angle$F और BC = EF
सिद्ध करना: ABC $\cong$DEF
हम निम्नलिखित दो स्थतियों में परिणाम सिद्ध करते हैं
स्थिति I: यदि AB = DE है तो
$\triangle$ABC और $\triangle$DEF, में
AB = DE [मान लीजिए]
BC = EF (दिया गया)
और $\angle$B = $\angle$E [दिया]
इस प्रकार, $\triangle$ABC $\cong \triangle$DEF [SAS मानदंड]
स्थिति ॥: यदि $\angle$AB = $\angle$DE
ED पर एक बिंदु G इस प्रकार लें कि EG = AB हो।
GF में शामिल हों।
ABC और GEF, में
AB = GE [मान लीजिए]
BC = EF (दिया गया)
और $\angle$B = $\angle$E [दिया]
इस प्रकार, $\triangle$ABC $\cong \triangle$GEF [SAS मानदंड]
$\angle$ACB = $\angle$GFE [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं]
परन्तु, $\angle$ACB = $\angle$DAF (दिया गया)
इसलिए, $\angle$GEF = $\angle$DFE,
यह तभी संभव है जब FG, FD के साथ संपाती हो या G, D के साथ संपाती हो।
AB, DE के बराबर होना चाहिए और इसलिए, $\triangle$ABC $\cong \triangle$DEF [SAS द्वारा]
स्थिति III: यदि AB > ED
एक समान तर्क के साथ (जैसा कि मामले ॥ में) है, तो हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि
$\triangle$ABC $\cong \triangle$DEF [SAS द्वारा]
सिद्ध किया: ABC $\cong$DEF
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Question 233 Marks
आकृति में, ABC एक समकोण त्रिभुज है, जिसका कोण B समकोण इस प्रकार है कि $\angle$BCA = 2$\angle$BAC है। दर्शाइए कि कर्ण AC = 2 BC है।
Answer
CB को बिंदु D तक इस प्रकार बढ़ाइए कि BC = BD हो तथा AD को मिलाइए।
$\triangle$ABC और $\triangle$ABD,
BC = BD (रचना से)
AB = AB (एक ही भुजा)
$\angle$ABC = $\angle$ABD (प्रत्येक $90^\circ$ है)
$\therefore \triangle$ABC $\cong \Delta$ABD (SAS)
अतः $\angle$CAB = $\angle$DAB (CPCT) ...(i)
और AC = AD (CPCT) ...(ii)
इस प्रकार, $\angle$CAD = $\angle$CAB + $\angle$BAD = x + x = 2x [(i) से] ...(iii)
तथा $\angle$ACD = $\angle$ADB = 2x [(ii) से, AC = AD] ...(iv)
अर्थात् $\triangle$ACD एक समबाहु त्रिभुज है। [(iii) और (iv) से]
AC = CD, अर्थात्, AC = 2BC (क्योंकि BC = BD)
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