गणित प्रश्नों के उत्तर लिखिए। (प्रत्येक प्रश्न 4 अंक का हे)

ज्ञात है: ABCD एक समलम्ब है जिसमें AB || CD और AD = BC है। AB < CD भी है।

सिद्ध करना है: ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है।
रचना: AM $\perp$ CD और BN $\perp$ CD खींचों।
प्रमाण: $\triangle$AMD और $\triangle$BNC में,
AD = BC (ज्ञात है)
AM = BN [दो समांतर रेखाओं के बीच की दूरी]
$\angle$AMD = $\angle$BNC (रचना से प्रत्येक = 90°)
अब, $\triangle$AMD $\cong$ $\triangle$BNC [RHS नियम]
इस प्रकार $\angle$C = $\angle$D
परन्तु दो समांतर रेखाओं को प्रतिच्छेद करने वाली तिर्यक रेखा के एक ही ओर कोण संपूरक होते हैं।
$\therefore$ $\angle$BAD + $\angle$D = 180°
$\angle$BAD + $\angle$C = 180°
परन्तु $\angle$BAD और $\angle$C चतुर्भुज के सम्मुख कोण हैं। अत: चतुर्भुज ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है।

ज्ञात है: एक चक्रीय चतुर्भुज ABCD जिसमें विकर्ण परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं। O वृत्त का केंद्र भी है।
सिद्ध करना है: ABCD एक आयत है।

प्रमाण: $\angle$ADB = 90°, $\angle$ABC = 90° [अर्धवृत्त में बना कोण]
$\angle$BCD = 90°, $\angle$CDA = 90° [अर्धवृत्त में बना कोण]
अतः ABCD एक आयत है।

ज्ञात है: ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है। भाग I में $\angle$DBC = 70°, $\angle$BAC = 30°
ज्ञात करना है: $\angle$BCD का मान।

चूँकि $\angle$DBC = $\angle$DAC [एक ही वृत्तखंड में बने कोण]
परन्तु $\angle$DBC = 70° (ज्ञात है)
$\therefore$ $\angle$DAC = 70°
अब, $\angle$BAD = 30° + 70° = 100
$\angle$BAD और $\angle$BCD एक चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण हैं।
इस प्रकार $\angle$BAD + $\angle$BCD = 180°
या 100° + $\angle$BCD = 180°
या $\angle$BCD = 180° - 100° = 80°
भाग 2: AB = BC
हल: $\angle$ECD ज्ञात करना है।
$\triangle$ABC में, AB = DC (ज्ञात है)
$\therefore$ $\angle$BAC = $\angle$BCA [समान भुजाओं के सम्मुख कोण समान हैं]
परन्तु $\angle$BAC = 30°
इस प्रकार, $\angle$BCA = 30°
हम पहले ही सिद्ध कर चुके हैं।
$\angle$BCD = 80°
परन्तु $\angle$BCD = $\angle$BCA + $\angle$ECD
या 80° + 30° + $\angle$ECD
या $\angle$ECD = 80° - 30° = 50°
अतः $\angle$BCD = 80° और $\angle$ECD = 50°

यह ज्ञात है की एक वृत्त, जिसका केंद्र O है। आकृति में दर्शाये गए अनुसार P, Q और R वृत्त पर स्थित हैं। चाप PQR केंद्र पर $\angle$POR और $\angle$PQR शेष भाग में अंतरित करती हैं।
$\therefore$ प्रतिवर्ती $\angle$POR = 2$\angle$PQR
= 2 $\times$ 100° = 200°
अब $\angle$POR = 360° - 200° = 160°
$\triangle$OPR में, OP = OR [एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ]
$\therefore$ $\angle$OPR = $\angle$ORP [समान भुजाओं के सम्मुख कोण]
अब, $\angle$OPR + $\angle$ORP + $\angle$POR = 180°
या 2$\angle$OPR + 160° = 180°
या 2$\angle$OPR = 20°
अतः $\angle$OPR = 10°

ज्ञात है: एक वृत्त, जिसका केंद्र O है, जिसमें जीवा AB = वृत्त की त्रिज्या।
ज्ञात करना है: $\angle$APB और $\angle$AQB.

हल के पद: $\triangle$AOB में,
OA = OB = AB
$\therefore$ $\triangle$AOB एक समबाहु त्रिभुज है।
$\therefore$ $\angle$AOB = 60°
दीर्घ चाप AQB के लिए, चाप AB, केंद्र पर $\angle$AOB = 60°और शेष भाग में $\angle$AQB अंतरित करती है।
$\therefore$ $\angle$OQB = $\frac{1}{2}$$\angle$AOB = $\frac{1}{2}$ $\times$ 60° = 30°
इसी प्रकार लघु चाप AB केंद्र पर बृहत् कोण $\angle$AOB शेष भाग में $\angle$APB अंतरित करती है।
$\therefore$ $\angle$APB = $\frac{1}{2}$ $\times$ $\angle$AOB
= $\frac{1}{2}$ $\times$ (360°- 60°)
= $\frac{1}{2}$ $\times$ 300°= 150°
अतः $\angle$APB = 150°और $\angle$AQB = 30°

ज्ञात है: एक त्रिभुज ACD जिसमें AC और AD को व्यास मानकर दो वृत्त खींचे गए हैं। CB और BD को मिलाइए।

सिद्ध करना है: B, C और D संरेख हैं।
प्रमाण: वृत्त - I का AC एक व्यास है।
$\therefore$ $\angle$ABC = 90° ...(i) [अर्धवृत में बना कोण]
वृत्त - II में AD एक व्यास है।
$\therefore$ $\angle$ABD = 90° [अर्धवृत में बना कोण]
(i) और (ii) से
$\angle$ABC + $\angle$ABD = 90° + 90° = 180°
इसलिए $\angle$ABC और $\angle$ABD एक रैखिक युग्म है।
अतः B, C और D संरेख हैं अर्थात् बिंदु B भुजा CD पर स्थित हैं।

माना KR = x m
ar($\triangle$ORS) = ar($\triangle$ORK) + ar($\triangle$SRK)
$=\frac{(\mathrm{OK})(\mathrm{KR})}{2}+\frac{(\mathrm{KS})(\mathrm{KR})}{2}$
$=\frac{(\mathrm{K} R)(\mathrm{OK}+\mathrm{KS})}{2}=\frac{(\mathrm{KR})(\mathrm{OS})}{2}$
$=\frac{(\mathrm{x})(5)}{2}$ ...(i)

दोबारा, ar ($\triangle$ORS)
$=\frac{\mathrm{RS} \times \mathrm{OL}}{2}=\frac{6 \times \mathrm{OL}}{3}$
$=\frac{6 \times \sqrt{O R^{2}-R L^{2}}}{2}$ [पाइथागोरस प्रमेय के प्रयोग से]
$=\frac{6 \times \sqrt{(5)^{2}-\left(\frac{R S}{2}\right)^{2}}}{2}$
$=\frac{6 \times \sqrt{(5)^{2}-\left(\frac{6}{2}\right)^{2}}}{2}$
$=\frac{6 \times \sqrt{25-9}}{2}$
$=\frac{6 \times 4}{2}$ = 12 ...(ii)
समीकरण (i) तथा (ii) के प्रयोग से:
$\frac{(x)(5)}{2}=12 \Rightarrow x=\frac{12 \times 2}{5}=\frac{24}{5}=4.8 \mathrm{~m}$
$\Rightarrow$ KR = 4.8 m
$\therefore$ RM = 2KR = 2 $\times$ (4.8) = 9.6 m
अतः रेशमा और मनदीप के बीच की दूरी 9.6 m है।

ज्ञात है: एक वृत्त, जिसका केंद्र O है, में जीवा AB = जीवा CD जो कि E पर प्रतिच्छेद करती हैं। OE को मिलाया गया है।
सिद्ध करना है: $\angle$OEA = $\angle$OED
रचना: OP $\perp$ AB और OQ $\perp$ CD खींचो।
प्रमाण: $\triangle$OPE और $\triangle$OQE में,
OE = OE (उभयनिष्ठ)
OP = OQ
(समान जीवाएँ केंद्र से सम दूरस्थ होती है)

$\angle$OPE = $\angle$OQE
(प्रत्येक = 90° रचना से)
इस प्रकार, $\triangle \mathrm{OPE} \cong \triangle \mathrm{OQE}$ (RHS नियम)
अतः $\angle O E P \cong \angle O E Q$
या $\angle$OEA = OED

ज्ञात है: एक वृत्त, जिसका केंद्र O है। जीवा AB = जीवा CD है जो कि E पर प्रतिच्छेद करती हैं। OM $\perp$ AB, ON $\perp$ CD और OE को मिलाया गया है।

सिद्ध करना है: AE = DE और CE = BE.
प्रमाण: $\triangle$OME और $\triangle$ONE में
OE = OE (उभयनिष्ठ)
OM = ON
(समान जीवाएँ केंद्र से सम दूरस्थ होती हैं)
$\angle$OME = $\angle$ONE (प्रत्येक = 90°, ज्ञात है)
इस प्रकार $\triangle O M E \cong \triangle O N E$ (R.H.S. नियम)
इसलिए ME = NE ...(i) (CPCT)
अब, AM = $\frac{1}{2}$AB
और DN = $\frac{1}{2}$CD
(केंद्र से जीवा पर लम्ब, जीवा को समद्विभाजित करता है)
परन्तु AB = CD (ज्ञात है)
$\therefore$ AM = DN ...(ii)
(i) और (ii) को जोड़ने पर,
ME + AM = NE + DN
अतः AE = DE
इस प्रकार, CE = BE

ज्ञात है: दो सर्वांगसम वृत्त जिनके केंद्र A और B हैं। दो जीवाएँ PQ और RS इस प्रकार हैं कि
$\angle$PAQ = $\angle$RBS
सिद्ध करना है:
जीवा PQ = जीवा RS
प्रमाण: $\triangle$PAQ और $\triangle$RBS में
AP = BR (एक ही वृत्त की जीवाएँ)
AQ = BS (एक ही वृत्त की जीवाएँ)
$\angle$PAQ = $\angle$RBS (ज्ञात है)
इस प्रकार,
$\triangle \mathrm{PAQ} \cong \triangle \mathrm{RBS}$ (SAS नियम)
अतः PQ = RS (CPCT)

ज्ञात है: दो सर्वांगसम वृत्त जिनके केंद्र A और B तथा जीवा PQ = जीवा RS
सिद्ध करना है: $\angle$PAQ = $\angle$RBS
प्रमाण: $\triangle$APQ और $\triangle$BRS में,
AP = BR (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
AQ = BS (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
PQ = RS (ज्ञात है)

$\therefore \triangle \mathrm{APQ} \cong \triangle \mathrm{BRS}$ [SSS नियम द्वारा]
अतः $\angle$PAQ = $\angle$RBS [CPCT]

दिया है कि एक वृत्त, जिसका केन्द्र O है, की दो जीवाएँ AB और CD बिन्दु E पर प्रतिच्छेद करती हैं। E से जाने वाला PQ एक ऐसा व्यास है कि $\angle$AEQ = $\angle$DEQ है (देखिए आकृति)। आपको सिद्ध करना है कि AB=CD है। जीवाओं AB और CD पर क्रमशः OL तथा OM लम्ब खींचिए।

अब,
$\angle$LOE = 180° - 90° - $\angle$LEO = 90° - $\angle$LEO (त्रिभुज के कोणों के योग का गुण)
= 90° - $\angle$AEQ = 90° - $\angle$DEQ
= 90° - $\angle$MEQ = $\angle$MOE
त्रिभुजों OLE तथा OME में,
$\angle$LEO = $\angle$MEO (दिया है)
$\angle$LOE = $\angle$MOE (ऊपर सिद्ध किया है)
EO = EO (उभयनिष्ठ)
अतः, $\triangle$OLE $\cong$ $\triangle$OME
इससे प्राप्त होता है: OL = OM (CPCT)
इसलिए, AB = CD