Question 14 Marks
सिद्ध कीजिए कि एक दिए हुए रेखाखंड पर एक समबाहु त्रिभुज की रचना की जा सकती है।
Answer
View full question & answer→उपरोक्त कथन में, एक दी हुई लम्बाई का एक रेखाखंड, मान लीजिए, AB दिया है [देखिए आकृति (i)]।
यहाँ आपको कुछ रचना करने की आवश्यकता है। यूक्लिड की अभिधारणा (iii) का प्रयोग करके, आप बिंदु A को केन्द्र और AB त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींच सकते हैं [देखिए आकृति (ii)]। इसी प्रकार, B को केन्द्र मानकर और BA त्रिज्या लेकर एक अन्य वृत्त खींचा जा सकता है। ये दोनों वृत्त मान लीजिए बिंदु C पर मिलते हैं। अब रेखाखंडों AC और BC खींच कर $\triangle$ABC बनाइए [देखिए आकृति (iii)]।
इसलिए, आपको सिद्ध करना है कि यह त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है; अर्थात् AB = AC = BC है।
अब, AB = AC है, क्योंकि ये एक वृत्त की त्रिज्याएँ हैं। (i)
इसी प्रकार, AB = BC (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ) (ii)
उपरोक्त दोनों तथ्यों और यूक्लिड के पहले अभिगृहीत ( वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु के बराबर होती हैं एक दूसरे के बराबर होती हैं) से आप निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि AB = BC = AC है।
अतः, $\triangle$ABC एक समबाहु त्रिभुज है।
ध्यान दीजिए कि यहाँ यूक्लिड ने, बिना कहीं बताए, यह मान लिया है कि केन्द्रों A और B को लेकर खींचे गए वृत्त परस्पर एक बिंदु पर मिलेंगे।
अब हम एक प्रमेय सिद्ध करेंगे जो विभिन्न परिणामों में अनेक बार अधिकांशतः प्रयोग की जाती है:
यहाँ आपको कुछ रचना करने की आवश्यकता है। यूक्लिड की अभिधारणा (iii) का प्रयोग करके, आप बिंदु A को केन्द्र और AB त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींच सकते हैं [देखिए आकृति (ii)]। इसी प्रकार, B को केन्द्र मानकर और BA त्रिज्या लेकर एक अन्य वृत्त खींचा जा सकता है। ये दोनों वृत्त मान लीजिए बिंदु C पर मिलते हैं। अब रेखाखंडों AC और BC खींच कर $\triangle$ABC बनाइए [देखिए आकृति (iii)]।
इसलिए, आपको सिद्ध करना है कि यह त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है; अर्थात् AB = AC = BC है।
अब, AB = AC है, क्योंकि ये एक वृत्त की त्रिज्याएँ हैं। (i)
इसी प्रकार, AB = BC (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ) (ii)
उपरोक्त दोनों तथ्यों और यूक्लिड के पहले अभिगृहीत ( वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु के बराबर होती हैं एक दूसरे के बराबर होती हैं) से आप निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि AB = BC = AC है।
अतः, $\triangle$ABC एक समबाहु त्रिभुज है।
ध्यान दीजिए कि यहाँ यूक्लिड ने, बिना कहीं बताए, यह मान लिया है कि केन्द्रों A और B को लेकर खींचे गए वृत्त परस्पर एक बिंदु पर मिलेंगे।
अब हम एक प्रमेय सिद्ध करेंगे जो विभिन्न परिणामों में अनेक बार अधिकांशतः प्रयोग की जाती है: