Questions

प्रश्नों के उत्तर लिखिए। (प्रत्येक प्रश्न 3 अंक का हे)

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Question 13 Marks
निम्नलिखित अभिगृहीतों को पढ़िए:

  1. वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु के बराबर हों, परस्पर बराबर होती हैं
  2. यदि बराबर को बराबरों में जोड़ा जाए, तो पूर्ण बराबर होते हैं
  3. वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु की दोगुनी हों, परस्पर बराबर होती है

जाँच कीजिए कि क्या अभिगृहीतों का यह निकाय संगत है या असंगत है।

Answer
यूक्लिड के कुछ अभिगृहीत हैं:

  1. जो चीजें एक ही चीज के बराबर होती हैं वे एक दूसरे के बराबर होती हैं।
  2. यदि बराबर को बराबर में जोड़ा जाए, तो पूर्ण बराबर होते हैं।
  3. जो वस्तुएँ एक ही वस्तु की दुगुनी होती हैं वे एक दूसरे के बराबर होती हैं।

इसलिए, दिए गए तीन अभिगृहीत यूक्लिड के अभिगृहीत हैं। इसलिए, यहाँ हम इन अभिगृहीतों से कोई ऐसा कथन नहीं निकाल सकते जो किसी अभिगृहीत का खंडन करता हो। इसलिए, अभिगृहीतों की दी गई प्रणाली सुसंगत है।

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Question 23 Marks
निम्नलिखित कथनों को अभिगृहीत माना गया है:

  1. यदि दो रेखाएँ परस्पर प्रतिच्छेद करें तो शीर्षाभिमुख कोण बराबर नहीं होते हैं।
  2. यदि एक किरण एक रेखा पर खड़ी हो तो इस प्रकार प्राप्त दोनों आसन्न कोणों का योग 180° होता है।

क्या अभिगृहीतों का यह निकाय संगत है?

Answer
यह ज्ञात है कि यदि दो रेखाएँ एक दूसरे को काटती हैं, तो शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं। यह एक प्रमेय है, इसलिए, दिया गया कथन I गलत है और स्वयंसिद्ध नहीं है।
साथ ही, हम जानते हैं कि यदि कोई किरण एक रेखा पर खड़ी हो, तो इस प्रकार बने दो आसन्न कोणों का योग 180° के बराबर होता है। यह एक स्वयंसिद्ध है। इसलिए, दिया गया कथन समानांतर सत्य है और एक अभिगृहीत है।
इस प्रकार, दिए गए कथनों में, पहला असत्य है और दूसरा एक अभिगृहीत है। इसलिए, अभिगृहीतों की दी गई प्रणाली सुसंगत नहीं है।
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Question 33 Marks
निम्नलिखित कथनों को अभिगृहीत माना गया है:

  1. यदि एक तिर्यक रेखा दो समांतर रेखाओं को प्रतिच्छेद करती है तो संगत कोण आवश्यक रूप से बराबर नहीं होते हैं।
  2. यदि एक तिर्यक रेखा दो समांतर रेखाओं को प्रतिच्छेद करती है तो एकांतर अंतः कोण बराबर होते हैं।

क्या अभिगृहीतों का यह निकाय संगत (अविरोधी) है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।

Answer
  1. अभिगृहीत की एक प्रणाली को सुसंगत कहा जाता है यदि कोई ऐसा कथन नहीं है जिसे इन स्वयंसिद्धों से इस तरह से निकाला जा सकता है कि यह किसी भी स्वयंसिद्ध का खंडन करता है। यह ज्ञात है कि, यदि एक तिर्यक रेखा दो समानांतर रेखाओं को काटती है, तो संगत कोणों का प्रत्येक युग्म बराबर होता है, जो एक प्रमेय है। इसलिए, कथन I गलत है और यह एक स्वयंसिद्ध नहीं है।
  2. यह ज्ञात है कि, यदि एक तिर्यक रेखा दो समानांतर रेखाओं को काटती है, तो एकांतर अंतः कोणों का प्रत्येक युग्म बराबर होता है। यह भी एक प्रमेय है। तो, कथन समानांतर सत्य है और एक अभिगृहीत है। इसलिए, दिए गए कथन में, पहला असत्य है और दूसरा एक अभिगृहीत है।
    इसलिए, अभिगृहीतों की दी गई प्रणाली सुसंगत नहीं है।
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Question 43 Marks
निम्नलिखित कथन का अध्ययन कीजिए:
दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ एक ही रेखा पर लंब नहीं हो सकती हैं।
जाँच कीजिए कि क्या यह कथन यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा का समतुल्य रूपांतरण है।
Answer
दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ एक ही रेखा पर लंब हो सकती हैं। अतः दिया गया कथन असत्य है तथा दिया गया कथन यूक्लिड की पाँचर्वीं अवधारणा के समतुल्य रूपान्तरण नहीं है।
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Question 53 Marks
निम्नलिखित कथन को पढ़िए:
एक समबाहु त्रिभुज तीन रेखाखंडों से बना एक बहुभुज है जिनमें से दो रेखाखंड तीसरे रेखाखंड के बराबर हैं तथा इसका प्रत्येक कोण 60° का है।
इस परिभाषा में, उन पदों को परिभाषित कीजिए जिन्हें आप आवश्यक समझते हैं। क्या इसमें कोई अपरिभाषित पद है? क्या आप इसका औचित्य दे सकते हैं कि एक समबाहु त्रिभुज के सभी कोण और सभी भुजाएँ बराबर होती हैं।
Answer
परिभाषित किए जाने वाले पद निम्न हैं
बहुभुज तीन या तीन से अधिक रेखाखण्डों से बनी एक सरल बन्द आकृति।
रेखाखण्ड रेखा का वह भाग जिसके दो अन्तः बिन्दु हों।
रेखा अपरिभाषित पद।
बिन्दु अपरिभाषित पद।
कोण उभयनिष्ठ शीर्ष वाली दो किरणों से बनी आकृति।
किरण रेखा का वह भाग जिसका अन्त बिन्दु हो।
न्यून कोण वह कोण, जिसका मापन 0° से 90° के मध्य होता है।
समबाहु त्रिभुज में सभी कोणों का मापन 60° होता है तथा सभी भुजाएँ भी बराबर होती हैं।
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Question 63 Marks
निम्नलिखित कथन को पढ़िए:
एक वर्ग चार रेखाखंडों से बना एक बहुभुज है, जिसमें से तीन रेखाखंडों की लंबाइयाँ चौथे रेखाखंड की लंबाई के बराबर है तथा इसके सभी कोण समकोण हैं।
इस परिभाषा में, उन पदों को परिभाषित कीजिए जिन्हें आप आवश्यक अनुभव करते हैं। क्या इनमें कुछ अपरिभाषित पद हैं? क्या आप इसका औचित्य दे सकते हैं कि एक वर्ग के सभी कोण और भुजाएँ बराबर होती हैं?
Answer
परिभाषित किए जाने वाले पद हैं:
बहुभुज: तीन या अधिक रेखाखंड से बनी एक सरल बंद आकृति
रेखाखंड: रेखा का वह भाग जिसके दो अंत बिंदु हों
रेखा: अपरिभाषित पद
बिंदु: अपरिभाषित पद
कोण: उभयनिष्ठ शीर्ष वाली दो किरणों से बनी आकृति
किरण: रेखा का वह भाग जिसका एक अंत बिंदु हो
समकोण: कोण जिसकी माप 90° है।
यूक्लिड की चौथी अभिधारणा कहती है कि "सभी समकोण एक दूसरे के बराबर होते हैं।"
एक वर्ग में सभी कोण समकोण होते हैं। अतः चारों कोण बराबर हैं। (यूक्लिड की चौथी अभिधारणा से)
तीन रेखाखंड चौथे रेखाखंड के बराबर हैं। (दिया है)
अतः वर्ग की सभी चारों भुजाएँ बराबर होंगी। (यूक्लिड की प्रथम अभिगृहीत से "वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु के बराबर हों, परस्पर बराबर होती हैं।")
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