MATHS M.C.Q (1 Marks)

2. $\text{T}_{4}$

Solution:

Suppose T_r+1 is the term in the given expression that is independent of x.

Thus, we have

$\text{T}_{\text{r}+1}={^\text{9}}\text{C}_{\text{r}}\ \text{x}^{9-\text{r}}\Big(\frac{-1}{3\text{x}^{2}}\Big)^{\text{r}}$

$=(-1)^{\text{r}}\ {^\text{9}}\text{C}_{\text{r}}\frac{1}{3^{\text{r}}}\ \text{x}^{9-\text{r}-2\text{r}}$

For this term to be independent of x, we must have

$9-3\text{r}=0$

$\Rightarrow\text{r}=3$

Hence, the required term is the 4^th term i.e. $\text{T}_{4}$

4. 101

Solution:

The general term T_r+1 in the given expansion is given by ${^\text{600}}\text{C}_{\text{r}}(17^{\frac{1}{3}})^{600-\text{r}}\Big(35^{\frac{1}{2}}\text{x}\Big)^{\text{r}}$

$={^\text{600}}\text{C}_{\text{r}}(17^{\frac{1}{3}})^{200-\frac{\text{r}}{3}}\times\Big(35^{\frac{\text{r}}{2}}\text{x}\Big)^{\text{r}}$

Now, T_r+1 is an integer if $\frac{\text{r}}{2}$ and $\frac{\text{r}}{2}$ are integers for all $0\leq\text{r}\leq600$

Thus, we have

r = 0, 6, 12, ....600

Since, It is an A.P

So, $600 = 0 + (\text{n} - 1)6$

$\Rightarrow \text{n}=101$

Hence, there are 101 terms with integral coefficients.

3. 9

Solution:

Coefficients of the rth and (r + 4)th terms in the given expansion are ${^\text{20}}\text{C}_{\text{r}-1}$ and ${^\text{20}}\text{C}_{\text{r}}.$

Here,

${^\text{20}}\text{C}_{\text{r}-1}={^\text{20}}\text{C}_{\text{r}+3}$

$\Rightarrow \text{r}-1+\text{r}+3=20$

$\Rightarrow \text{r}=2$ or $2\text{r}=18$

$\Rightarrow \text{r}=9$

1. 1120

Solution:

Suppose (r + 1)^th term in the given expansion is independent of x.

Then, we have

$\text{T}_{\text{r}+1}={^\text{n}}\text{C}_{\text{r}}(2\text{x})^{\text{n}-\text{r}}\Big(\frac{1}{\text{x}}\Big)^{\text{r}}$

$={^\text{n}}\text{C}_{\text{r}}(2)^{\text{n}-\text{r}}\text{x}^{\text{n}-2\text{r}}$

For this term to be independent of x, we must have

$\text{n}-2\text{r}=0$

$\Rightarrow \text{r}=\frac{\text{n}}{2}$

$\therefore$ Required term $={^\text{n}}\text{C}_{\frac{\text{n}}{2}}\ 2^{\text{n}-\frac{\text{n}}{2}}=\frac{\text{n!}}{\big[(\frac{\text{n}}{2})\big]}\ 2^{\frac{\text{n}}{2}}$

We know,

Sum of the given expansion = 256

Thus, we have

$2^{\text{n}}.1^{\text{n}}=256$

$\Rightarrow \text{n}=8$

$\therefore$ Required term $=\frac{8!}{(4)!(4)!}2^{4}=1120$

1. 7

Solution:

Coefficients of 2^nd, 3^rd and 4^th terms in the expansion of are ${^\text{n}}\text{C}_{\text{1}},{^\text{n}}\text{C}_{\text{2}}, {^\text{n}}\text{C}_{\text{3}}.$

we have,

$2\times{^\text{n}}\text{C}_{\text{2}}={^\text{n}}\text{C}_{\text{1}}+{^\text{n}}\text{C}_{\text{3}}$

Dividing both sides by ⁿC₂, we get

$2=\frac{{^\text{n}}\text{C}_{\text{1}}}{{^\text{n}}\text{C}_{\text{2}}}+\frac{{^\text{n}}\text{C}_{\text{3}}}{{^\text{n}}\text{C}_{\text{2}}}$

$\Rightarrow 2=\frac{2}{\text{n}-1}+\frac{\text{n}-2}{3}$

$\Rightarrow 6\text{n}-6=6+\text{n}^{2}+2-3\text{n}$

$\Rightarrow \text{n}^{2}-9\text{n}+14=0$

$\Rightarrow \text{n}=7$

1. A² - B²

Solution:

If A and B denote respectively the sums of odd terms and even terms in the expansion $(\text{x}+\text{a})^{\text{n}}.$

Then,

$(\text{x}+\text{a})^{\text{n}}=\text{A}+\text{B}\ ...(\text{i})$

$(\text{x}-\text{a})^{\text{n}}=\text{A}-\text{B}\ ...(\text{ii})$

Multplying both the equations we get,

$(\text{x}+\text{a})^{\text{n}}(\text{x}-\text{a})^{\text{n}}=\text{A}^{2}-\text{B}^{2}$

$\Rightarrow (\text{x}-\text{a})^{\text{n}}=\text{A}^{2}-\text{B}^{2}$

3. 5

Solution:

Coefficients of the 2nd and 3rd terms in $\Big(\text{a}+\text{b}\Big)^{\text{n}}$ are ${^\text{n}}\text{C}_{\text{}1}$ and ${^\text{n}}\text{C}_{\text{}2}$

Coefficients of the 2nd and 3rd terms in $\Big(\text{a}+\text{b}\Big)^{\text{n}+3}$ are ${^\text{n+3}}\text{C}_{\text{}2}$ and ${^\text{n+3}}\text{C}_{\text{}3}$

Thus, we have

$\frac{{^\text{n}}\text{C}_{\text{}1}}{{^\text{n}}\text{C}_{\text{}2}}=\frac{{^\text{n+3}}\text{C}_{\text{}1}}{{^\text{n+3}}\text{C}_{\text{}3}}$

$\Rightarrow \frac{2}{\text{n}-1}=\frac{3}{\text{n}+1}$

$\Rightarrow 2\text{n}+2=3\text{n}-3$

$\Rightarrow \text{n}=5$

3. ${^\text{31}}\text{C}_{\text{6}}-{^\text{21}}\text{C}_{\text{6}}$

Solution:

we have,

$(1+\text{x})^{21}+(1+\text{x})^{22}+...+(1+\text{x})^{30}$

$=(1+\text{x})^{21}\Big[\frac{(1+\text{x})^{10}-1}{(1+\text{x})+1}\Big]$

$=\frac{1}{\text{x}}\Big[(1+\text{x})^{31}-(1+\text{x})^{21}\Big]$

Coefficient of x⁵ in the given expansion = Coefficient of x⁵ in $=\frac{1}{\text{x}}\Big[(1+\text{x})^{31}-(1+\text{x})^{21}\Big]$

= Coefficient of x⁶ in $\Big[(1+\text{x})^{31}-(1+\text{x})^{21}\Big]$

$={^\text{31}}\text{C}_{\text{6}}-{^\text{21}}\text{C}_{\text{6}}$

4. 7920

Solution:

Suppose the (r + 1)^th term in the given expansion is independent of x.

Then, we have,

$\text{T}_{\text{r}+1}={^\text{12}}\text{C}_{\text{r}}(2\text{x})^{12-\text{r}}\Big(\frac{-1}{2\text{x}^{2}}\Big)^{\text{r}}$

$=(-1)^{\text{r}}\ {^\text{12}}\text{C}_{\text{r}}\ 2^{12-2\text{r}}\ \text{x}^{12-\text{r}-2\text{r}}$

For this term to be independent of x, we must have:

 $=12-3\text{r}=0$

$\Rightarrow\text{r}=4 $

$\therefore$ Required term,

$(-1)^{4}\ {^\text{12}}\text{C}_{\text{4}}\ 2^{12-8}$

$=\frac{12\times11\times10\times9}{4\times3\times2}\times16$

$=7920$

4. -330m⁷

Solution:

Let x^-3 occur at (r + 1)^th term in the given expansion.

Then, we have

$\text{T}_{r+1}={^\text{11}}\text{C}_{\text{r}}\ \text{x}^{11-\text{r}}\ \Big(\frac{-\text{m}}{\text{x}}\Big)^{\text{r}}$

$=(-1)^{\text{r}}\times{^\text{11}}\text{C}_{\text{r}}\ \text{m}^{\text{r}}\ \text{x}^{11-\text{r}-\text{r}}$

For this term to contain x^-3, we must have

$=11-2\text{r}=-3$

$\Rightarrow \text{r}=7$

Required coefficient $=(-1)^{7}\ {^\text{11}}\text{C}_{\text{7}}\ \text{m}^{7}$

$=-\frac{11\times10\times9\times8}{4\times3\times2}\ \text{m}^{7}$

$=-330\text{m}^{7}$

3. -252

Solution:

Suppose (r + 1)^th term is the constant term in the given expansion.

Then, we have

$\text{T}_{\text{r}+1}={^\text{10}}\text{C}_{\text{r}}\ \text{x}^{10-\text{r}}\ \Big(\frac{\text{1}}{\text{x}}\Big)^{\text{r}}$ 

$={^\text{10}}\text{C}_{\text{r}} (-1)^{\text{r}}\ \text{x}^{10-\text{r}-\text{r}}$

For this term to be constant, we must have

$10-2\text{r}=0$

$\Rightarrow \text{r}=5$

Required term $={^\text{10}}\text{C}_{\text{5}}=-252$

3. 5

Solution:

In the expansion $(\text{a}+\text{b})^{\text{n}},$ we have

$\frac{\text{T}_{2}}{\text{T}_{3}}=\frac{{^\text{n}}\text{C}_{\text{1}}\text{a}^{\text{n}-1}\times\text{b}^{1}}{{^\text{n}}\text{C}_{\text{2}}\text{a}^{\text{n}-2}\times\text{b}^{2}}$

In the expansion $(\text{a}+\text{b})^{\text{n}+3},$ we have

$\frac{\text{T}_{3}}{\text{T}_{4}}=\frac{{^\text{n+3}}\text{C}_{\text{2}}\text{a}^{\text{n}+1}\times\text{b}^{2}}{{^\text{n+3}}\text{C}_{\text{3}}\text{a}^{\text{n}}\times\text{b}^{3}}$

Thus, we have

$\frac{\text{T}_{2}}{\text{T}_{3}}=\frac{\text{T}_{3}}{\text{T}_{4}}$

$\Rightarrow \frac{{^\text{n}}\text{C}_{\text{1}}\ \text{a}}{{^\text{n}}\text{C}_{\text{2}}\ \text{b}}=\frac{{^\text{n+3}}\text{C}_{\text{2}}\ \text{a}}{{^\text{n+3}}\text{C}_{\text{3}}\ \text{b}}$

$\Rightarrow \frac{2}{\text{n}-1}=\frac{3}{\text{n}+1}$

$\Rightarrow 2\text{n}+2=3\text{n}-3$

$\Rightarrow \text{n}=5$

3. $\frac{28}{243}$

Solution:

Suppose the (r + 1)^th term in the given expansion is independent of x.

Then, we have

$\text{T}_{\text{r}+1}={^\text{9}}\text{C}_{\text{r}}(\text{x}^{2})^{9-\text{r}}\Big(\frac{-1}{3\text{x}}\Big)^{\text{r}}$

$=(-1)^{\text{r}}\ {^\text{9}}\text{C}_{\text{r}}\frac{1}{3\text{r}}\ \text{x}^{18-2\text{r}-\text{r}}$

For this term to be independent of x, we must have

$18-3\text{r}=0$

$\Rightarrow \text{r}=6$ 

$\therefore$ Required term $=(-1)^{6}\ {^\text{9}}\text{C}_{\text{6}}\ \frac{1}{3^{6}}=\frac{9\times8\times7}{3\times2}\times\frac{1}{3^{6}}=\frac{28}{243}$

1. $\frac{405}{256}$

Solution:

Suppose x⁴ occurs at the (r + 1)^th term in the given expansion.

Then, we have

$\text{T}_{\text{r}+1}={^\text{10}}\text{C}_{\text{r}}\Big(\frac{\text{x}}{2}\Big)^{10-\text{r}}\Big(\frac{-3}{2\text{x}^{2}}\Big)$

$=(-1)^{\text{r}}\ {^\text{10}}\text{C}_{\text{r}}\frac{3^{\text{r}}}{2^{10-\text{r}}}\text{x}^{10-\text{r}-2\text{r}}$

For this term to contain x⁴, we must have

$10-3\text{r}=4$

$\Rightarrow \text{r}=2$

$\therefore$ Required coefficient $={^\text{10}}\text{C}_{\text{2}}\frac{3^{2}}{2^{8}}=\frac{10\times9\times9}{2\times2^{8}}=\frac{405}{256}$

4. 4AB

Solution:

If A and B denote respectively the sums of odd terms and even terms in the expansion $(\text{x}+\text{a})^{\text{n}}$

Then, $(\text{x}+\text{a})^{\text{n}}=\text{A}+\text{B}\ ...(\text{i})$

$(\text{x}-\text{a})^{\text{n}}=\text{A}-\text{B}\ ...(\text{ii})$

Squaring and subtraction equation (ii) from(i) we get,

$ (\text{x}+\text{a})^{2\text{n}}-(\text{x}-\text{a})^{2\text{n}}=(\text{A}+\text{B})^{2}-(\text{A}-\text{B})^{2}$

$\Rightarrow (\text{x}+\text{a})^{2\text{n}}-(\text{x}-\text{a})^{2\text{n}}=4\text{AB}$

3. 10

Solution:

$\text{T}_{5}=\text{T}_{4+1}$

$={^\text{n}}\text{C}_{\text{4}}\big(\text{a}^{\frac{2}{3}}\big)^{\text{n-4}}(\text{a}^{-1})^{4}$

$={^\text{n}}\text{C}_{\text{4}}\ \text{a}^{\big(\frac{2\text{n}-8}{3}-4\big)}$

For this term to be independent of a, we must have

$\frac{2\text{n}-8}{3}-4=0$

$\Rightarrow 2\text{n}-20=0$

$\Rightarrow \text{n}=10$

2. 51

Solution:

Here, n i.e. 100 is even.

$\therefore$ Total number of terms in the expansion $=\frac{\text{n}}{2}+1=\frac{100}{2}+1=51$​​​​​​​

3. $-{^\text{20}}\text{C}_{\text{7}}\ \text{x}\ 2^{-13}$

Solution:

Here, n is even,

So, The middle term in the given expansion is $\Big(\frac{20}{2}+1\Big)^{\text{th}}=11^{\text{th}}$

Therefore, (r + 3)^th term is the 14^th term

$\text{T}_{14}={^\text{20}}\text{C}_{\text{13}}(\text{x}^{2})^{20-13}\ \Big(\frac{-1}{2\text{x}}\Big)$

$=(-1)^{13}\ {^\text{20}}\text{C}_{\text{13}}\ \frac{\text{x}^{14-3}}{2^{13}}$

$=-{^\text{20}}\text{C}_{\text{7}}\ \text{x}\ 2^{-13}$

3. r = 12

Solution:

Here,

$\text{T}^{\text{r}}={^\text{15}}\text{C}_{\text{r}-1}(\text{x}^{4})^{15-\text{r}+1}\Big(\frac{-1}{\text{x}^{3}}\Big)^{\text{r}-1}$

$=(-1)^{\text{r}}\times{^\text{15}}\text{C}_{\text{r}-1}\ \text{x}^{64-4\text{r}-3\text{r}+3}$

For this term to contain x^-17, we must have

$67-7\text{r}=-17$

$\Rightarrow \text{r}=12 $

1. ${^\text{18}}\text{C}_{\text{8}}$

Solution:

Suppose (r + 1)^th term in the given expansion is independent of x.

Then, we have

$\text{T}_{\text{r}+1}={^\text{18}}\text{C}_{\text{r}}(\text{x})^{18-\text{r}}\ \text{y}^{\text{r}}$

For this term to be independent of x, we must have

$\text{r}=10$

Hence, the required coefficient is ${^\text{18}}\text{C}_{\text{10}}$ or ${^\text{18}}\text{C}_{\text{8}}$

2. $(-1)\ {^\text{2n}}\text{C}_{\text{n}}\ \text{x}^{-\text{n}}$

Solution:

Here, n is even,

Middle term in the given expansion $=\Big(\frac{2\text{n}}{2}+1\Big)^{\text{th}}=(\text{n}+1)$

$={^\text{2n}}\text{C}_{\text{n}}\Big(\frac{2\text{x}}{3}\Big)^{2\text{n}-\text{n}}\ \Big(\frac{-3}{2\text{x}^{2}}\Big)^{\text{n}}$

$(-1)\ {^\text{2n}}\text{C}_{\text{n}}\ \text{x}^{-\text{n}}$

3. $\frac{14!}{(7!)^{2}}\ \text{a}^{7}\ \text{b}^{7}$

Solution:

Suppose (r + 1)^th term in the given expansion is independent of x.

Then, we have

$\text{T}_{\text{r}+1}={^\text{14}}\text{C}_{\text{r}}(\text{ax})^{14-\text{x}}\ \Big(\frac{\text{b}}{\text{a}}\Big)^{\text{r}}$

$={^\text{14}}\text{C}_{\text{r}}\ \text{a}^{14-\text{r}}\ \text{b}^{\text{r}}\ \text{x}^{14-2\text{r}}$

For this term to be independent of x, we must have

$=14-2\text{r}=0$

$\Rightarrow \text{r}=7$

Required term $= {^\text{14}}\text{C}_{\text{7}}\ \text{a}^{14-7}\ \text{b}^{7}=\frac{14!}{(7)!}\ \text{a}^{7}\ \text{b}^{7}$

2. 252

Solution:

Hence, n, i.e., 10, is an even number.

$\therefore$ Middle term $=\Big(\frac{10}{2}+1\Big)^{\text{th}}$ term = 6^th term

Thus, we have

$\text{T}_{6}=\text{T}_{5+1}$

$={^\text{10}}\text{C}_{\text{5}}\Big(\frac{2\text{x}^{2}}{3}\Big)^{10-5}\Big(\frac{3}{2\text{x}^{2}}\Big)^{5}$

$=\frac{10\times9\times8\times7\times6}{5\times4\times3\times2}\times\frac{2^{5}}{3^{5}}\times\frac{3^{5}}{2^{5}}$

$=252$

3. 9

Solution:

Coefficient of (r + 1)^th term = Coefficient of (n + 3)^th

Then, we have

${^\text{20}}\text{C}_{\text{n}}={^\text{20}}\text{C}_{\text{n}+2}$

$\Rightarrow 2\text{n}+2=20$

$\Rightarrow \text{n}=9$

1. 5

Solution:

Coefficients of $(2\text{r}+3)^{\text{th}}$ and $(\text{r}-1)^{\text{th}}$ terms in the given expansion are ${^\text{15}}\text{C}_{\text{2r}+2}$ and ${^\text{15}}\text{C}_{\text{2r}-2}.$

Then, we have

${^\text{15}}\text{C}_{\text{2r}+2}={^\text{15}}\text{C}_{\text{r}-2}$

$\Rightarrow 2\text{r}+2=\text{r}-2$ or $2\text{r}+2+\text{r}-2=15$

$\Rightarrow \text{r}=-4$ or $\text{r}=5$

Neglecting the negative value, We have

$\text{r}=5$

1. 3

Solution:

The coefficient of x in the given expansion where x occurs at the (r + 1)^th term.

We have,

${^\text{15}}\text{C}_{\text{r}}(\text{x}^{2})^{5-\text{r}}\ \Big(\frac{\lambda}{\text{x}}\Big)^{\text{r}}$

$={^\text{15}}\text{C}_{\text{r}}\ \lambda^{\text{r}}\ \text{x}^{10-2\text{r}-\text{r}}$

For it to contain x, we must have

$10-3\text{r}=1$

$\Rightarrow \text{r}=3$

Coefficient of x in the given expansion,

$={^\text{15}}\text{C}_{\text{3}}\ \lambda^{\text{3}}=10\lambda^{3}$

Now, we have

$10\lambda^{3}=270$

$\Rightarrow \lambda^{3}=27$

$\Rightarrow \lambda=3$

2. $\frac{(\text{2n})!}{\big[(\text{n}-1)!(\text{n}+1)!\big]}$

Solution:

Coefficient of $\frac{1}{\text{x}}$ in the given expansion = Coefficient of 1 in $(1+\text{x})^{\text{n}}$ × Coefficient of $\frac{1}{\text{x}}$

$={^\text{n}}\text{C}_{\text{0}}\times{^\text{n}}\text{C}_{\text{1}}+{^\text{n}}\text{C}_{\text{1}}\times{^\text{n}}\text{C}_{\text{2}}$

$=\text{n}+\text{n}\times\frac{\text{n}!}{2(\text{n}-2)!}$

$=\text{n}+\text{n}\frac{\text{n}(\text{n}-1)}{2}$

2. -1365

Solution:

Suppose the (r + 1)^th term in the given expansion contains the coefficient of x⁻¹⁷.

Then, we have

$\text{T}_{\text{r}+1}={^\text{15}}\text{C}_{\text{r}}(\text{x}^{4})^{15-\text{r}}\Big(\frac{-1}{\text{x}^{3}}\Big)^{\text{r}}$ 

$\Rightarrow (1)^{\text{r}}\ {^\text{15}}\text{C}_{\text{r}-1}\ \text{x}^{60-4\text{r}-3\text{r}}$

For this term to contain x^-17, we mst have

$60-7\text{r}=-17$

$\Rightarrow 7\text{r}=77$

$\Rightarrow \text{r}=11$

 $\therefore$ Required coefficient $=(-1)^{11}\ {^\text{15}}\text{C}_{\text{11}}=-\frac{15\times14\times13\times12}{4\times3\times2}=-1365$

2. $\text{T}_{6}$

Solution:

Suppose the (r + 1)^th term in the given expansion is independent of x.

Thus, we have

$\text{T}_{\text{r}+1}={^\text{8}}\text{C}_{\text{r}}\Big(\frac{1}{2}\text{x}^{\frac{1}{3}}\Big)^{8-\text{r}}\Big(\text{x}^{\frac{-1}{5}}\Big)^{\text{r}}$

$={^\text{8}}\text{C}_{\text{r}}\frac{1}{2^{8-\text{r}}}\ \text{x}^{\frac{8-\text{r}}{3}-\frac{\text{r}}{5}}$

For this term to be independent of x, we must have

$\frac{8-\text{r}}{3}-\frac{\text{r}}{5}=0$

$\Rightarrow 40-5\text{r}-3\text{r}=0$

$\Rightarrow \text{r}=5$

Hence, the required term is the 6th term, i.e. $\text{T}_{6}$

4. $\frac{9}{7}$

Solution:

Coefficients of x² = Coefficients of x³

${^\text{9}}\text{C}_{\text{2}}\times3^{9-2}\text{a}^{2}={^\text{9}}\text{C}_{\text{3}}\times3^{9-3}\ \text{a}^{3}$

$\Rightarrow \text{a}=\frac{{^\text{9}}\text{C}_{\text{2}}}{{^\text{9}}\text{C}_{\text{3}}}\times3$

$=\frac{9!\times3!\times6!\times3}{2!\times7!\times9!}$

$=\frac{9}{7}$

3. 41

Solution:

The general term T_r+1 in the given expansion is given by ${^\text{45}}\text{C}_{\text{r}}\Big(4^{\frac{1}{5}}\Big)^{45-\text{r}}\Big(7^{\frac{1}{10}}\Big)^{\text{r}}$

For T_r+1 to be an integer, we must have $\frac{\text{r}}{5}$ and $\frac{\text{r}}{10}$ as integers i.e. $0\leq\text{r}\leq45$

$\therefore \text{r}=0,10,20,30,40$

Hence, there are 5 rational and 41, i.e. 46 - 5, irrational terms.

3. 9

Solution:

rth term in the given expansion is ${^\text{20}}\text{C}_{\text{r}-1}\Big(2\text{x}^{2}\Big)^{12-\text{r}+1}\Big(\frac{-1}{\text{x}}\Big)^{\text{r}-1}$

$=(-1)^{\text{r}-1}\ {^\text{20}}\text{C}_{\text{r}-1}\ 2^{13-\text{r}}\ \text{x}^{26-2\text{r}-\text{r}+1}$

For this term to be independent of x, we must have,

$27-3\text{r}=0$

$\Rightarrow \text{r}=9$

Hence, the term in the expansion is independent.

2. 7, 14

Solution:

Coefficients of the 5^th, 6^th and 7^th terms in the given expansion are ${^\text{n}}\text{C}_{\text{4}},{^\text{n}}\text{C}_{\text{5}}$ and ${^\text{n}}\text{C}_{\text{6}}.$

These coefficients are in AP.

Thus, we have

$2\ {^\text{n}}\text{C}_{\text{5}}={^\text{n}}\text{C}_{\text{4}}+{^\text{n}}\text{C}_{\text{6}}$

On dividing both sides by ${^\text{n}}\text{C}_{\text{5}},$ we get

$2=\frac{{^\text{n}}\text{C}_{\text{4}}}{{^\text{n}}\text{C}_{\text{5}}}+\frac{{^\text{n}}\text{C}_{\text{6}}}{{^\text{n}}\text{C}_{\text{5}}}$

$\Rightarrow 2=\frac{5}{\text{n}-4}+\frac{\text{n}-5}{6}$

$\Rightarrow 12\text{n}-48=30+\text{n}^{2}-4\text{n}-5\text{n}+20$

$\Rightarrow \text{n}^{2}-21\text{n}+98=0$

$\Rightarrow (\text{n}-14)(\text{n}-7)=0$

$\Rightarrow \text{n}=7,14$