MATHS M.C.Q (1 Marks)

1. $\text{e}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

Solution:

According to the question, the distance between the foci is equal to the length of the latus rectum.

$\frac{2\text{b}^2}{\text{a}}=2\text{ae}$

$\Rightarrow\text{b}^2=\text{a}^2\text{e}$

Now, $\text{e}=\sqrt{1-\frac{\text{b}^2}{\text{a}^2}}$

$\Rightarrow\text{e}=\sqrt{1-\frac{\text{a}^2\text{e}}{\text{a}^2}}$

$\Rightarrow\text{e}=\sqrt{1-\text{e}}$

On squaring both sides, we get:

$\text{e}^2\text{e}-1=0$

$\Rightarrow\text{e}=\frac{-1\pm\sqrt{1+4}}{2}$

$\Rightarrow\text{e}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ $(\because\text{e}\text{ cannot be negative}\big)$ 

2. $\frac{4}{5}$

 $9\text{x}^2+25\text{y}^2=225$

Solution:

$\Rightarrow\frac{\text{x}^2}{25}+\frac{\text{y}^2}{9}=1$

Comparing it with $\Rightarrow\frac{\text{x}^2}{\text{a}^2}+\frac{\text{y}^2}{\text{b}^2}=1,$ we get:

$\text{a}=5$ and $\text{b}=3$

Here, a > b, so the major and the minor axes of the ellipse are along the x−axis and y−axis, respectively.

Now, $\text{e}=\sqrt{1-\frac{\text{b}^2}{\text{a}^2}}$

$\Rightarrow\text{e}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}$

$\Rightarrow\text{e}=\sqrt{\frac{16}{25}}$

$\Rightarrow\text{e}=\frac{4}{5}$

4. 2ae²

Solution:

 Length of the latus rectum $=\frac{2\text{b}^2}{\text{a}}$

and $\text{e}=\sqrt{1-\frac{\text{b}^2}{\text{a}^2}}$

$\text{a}^2\text{e}^2=\text{a}^2-\text{b}^2$

$\Rightarrow\text{b}^2=\text{a}^2-\text{a}^2\text{e}^2$

$\Rightarrow\text{b}^2=\text{a}^2(1-\text{e}^2)$

$\therefore\ $Length of the latus rectum $=\frac{2\text{a}^2(1-\text{e}^2)}{\text{a}}=2\text{a}(1-\text{e}^2)$

Length of the major axis = 2a

Difference between length of latus rectum and length of major axis $=2\text{a}-2\text{a}(1-\text{e}^2)$

$\\=2\text{a}-2\text{a}+2\text{ae}^2\\=2\text{ae}^2$

4. x + y = 5, y = 3

 $9\text{x}^2+16\text{y}^2=144$

Solution:

$\Rightarrow\frac{\text{x}^2}{16}+\frac{\text{y}^2}{9}=1$

Equation of the tangent in case of an ellipse is given by 

$\text{y}=\text{mx}+\sqrt{\text{a}^2\text{m}^2+\text{b}^2}$

$\Rightarrow\text{y}=\text{mx}+\sqrt{16\text{m}^2+9}\ \dots(1)$

Substituting x = 2 and y = 3, we get:

$3=2\text{m}\pm\sqrt{16\text{m}^2+9}$

$\Rightarrow3-2\text{m}=\sqrt{16\text{m}^2+9}$

On squaring both sides, we get: 

$(3-2\text{m})^2=(16\text{m}^2+9)$

$\Rightarrow9+4\text{m}^2-12\text{m}=(16\text{m}^2+9)$

$\Rightarrow12\text{m}^2+12\text{m}=0$

$\Rightarrow12\text{m}(\text{m+1})=0$

$\Rightarrow\text{m}=0,-1$

Substituting values of m in eq. (1), we get: 

For $\text{m}=0,\ \text{y}=3$

For $\text{m}=-1,\ \text{y}=-\text{x}+5$ or $\text{x}+\text{y}=5$

2. $\text{e}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Solution: 

According to the question, the latus rectum is half its minor axis.

i.e. $\frac{2\text{b}^2}{\text{a}}=\frac{1}{2}\times2\text{b}$

$\Rightarrow2\text{b}^2=\text{ab}$

$\Rightarrow\text{a}=2\text{b}$

Now, $\text{e}\sqrt{1-\frac{\text{b}^2}{\text{a}^2}}$

$\Rightarrow\text{e}=\sqrt{1-\frac{\text{b}^2}{4\text{b}^2}}$

$\Rightarrow\text{e}=\sqrt{1-\frac{1}{4}}$

$\Rightarrow\text{e}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

4. $\text{x}^2+\text{y}^2=\text{a}^2-\text{b}^2$

solution: 

We have $\text{r}=\text{ae}$

Let the equation of the circle be  $\text{x}^2+\text{y}^2=\text{r}^2.$

Now, $\text{x}^2+\text{y}^2=\text{a}^2\text{e}^2$ $(\because\text{r}=\text{ae})$

$\Rightarrow\text{x}^2+\text{y}^2=\text{a}^2\Big(1-\frac{\text{b}^2}{\text{a}^2}\Big)$ $\bigg(\because\text{e}=\sqrt{1-\frac{\text{b}^2}{\text{a}^2}}\bigg)$

$\Rightarrow\text{x}^2+\text{y}^2=\text{a}^2-\text{b}^2$

$\therefore\ $The required equation of the circle $\text{x}^2+\text{y}^2=\text{a}^2-\text{b}^2.$

3. $\frac{1}{\sqrt{2}}$

Solution:

 According to the question, the minor axis is equal to the distance between the foci.

i.e. $2\text{b}=2\text{ae}$

$\text{e}=\frac{\text{b}}{\text{a}}\ \dots(1)$

Now, $\text{e}=\sqrt{1-\frac{\text{b}^2}{\text{a}^2}}$

$\Rightarrow\text{e}=\sqrt{1-\text{e}^2}$ $\Big[\text{From}\ (1)\Big]$ 

On squaring both sides, we get:

$\text{e}^2=1-\text{e}^2$

$\Rightarrow2\text{e}^2=1$

$\Rightarrow\text{e}^2=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow\text{e}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

1. $3$

 $3\text{x}^2+4\text{y}^2-6\text{x}+8\text{y}-5=0$

Solution:

$\Rightarrow3(\text{x}^2-2\text{x})+4(\text{y}^2+2\text{y})=5$

$\Rightarrow3(\text{x}^2-2\text{x}+1)+4(\text{y}^2+2\text{y}+1)=5+3+4$

$\Rightarrow3(\text{x}-1)^2+4(\text{y}+1)^2=12$

$\frac{(\text{x-1})^2}{4}+\frac{(\text{y}+1)^2}{3}=1$

So, $\text{a}=2$ and $\text{b}=\sqrt{3}$

$\therefore\ $Latus rectum $=\frac{2\text{b}^2}{\text{a}}$

$\\=2\frac{\big[\sqrt{3}\big]^2}{2}\\=3$

2. $7\text{x}^2+7\text{y}^2+2\text{xy}-10\text{y}+10\text{x}+7=0$

Solution:

Let P(x,y) be any point on the ellipse whose focus and eccentricity are S(-1,1) and $\text{e}=\frac{1}{2},$respectively.Let PM be the perpendicular from P on the directrix.

Then $\text{SP}=\text{e}\times\text{PM}$

$\Rightarrow\text{SP}=\frac{1}{2}\times\text{PM}$

$\Rightarrow2\text{SP}=\text{PM}$

$\Rightarrow4(\text{SP})^2=\text{PM}^2$

$\Rightarrow4\Big[(\text{x}+1)^2+(\text{y}-1)^2\Big]=\bigg(\frac{\text{x}-\text{y}+3}{\sqrt{1^2+}(-1)^2}\bigg)^2$

$\Rightarrow4\big[\text{x}^2+1+2\text{x}+\text{y}^2+1-2\text{y}\big]\\=\frac{{\text{x}^2+\text{y}^2+9-2\text{xy}-6\text{y}+6\text{x}}}{2}$

$\Rightarrow8\text{x}^2+8+16\text{x}+8\text{y}^2+8-16\text{y}\\=\text{x}^2+\text{y}62+9-2\text{xy}-6\text{y}+6\text{x}$

$\therefore7\text{x}^2+7\text{y}^2+2\text{xy}-10\text{y}+10\text{x}+7=0$

This is the required equation of the ellipse.