Question 12 Marks
x = 7 द्वारा निरूपित रेखा x - अक्ष के समांतर है।
Answer
आकृति से, रेखा x = 7, y-अक्ष के समानांतर है न कि x-अक्ष के।
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Questions
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Question 22 Marks
x = 7 द्वारा निरूपित रेखा x - अक्ष के समांतर है।
Answer
आकृति से, रेखा x = 7, y-अक्ष के समानांतर है न कि x-अक्ष के।
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Question 32 Marks
c के सभी वास्तविक मानों के लिए, समीकरण-युग्म x - 2y = 8; 5x - 10y = c का एक अद्वितीय हल है। औचित्य के साथ उत्तर दीजिए कि यह सत्य है या असत्य।
Answer
View full question & answer→दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म
$x-2 y-8=0$
और $5 x -10 y - c =0$
$a x+b y+c=0$ से तुलना करने पर;
यहाँ, $a_1=1, b_1=-2, c_1=-8$;
और $a_2=5, b_2=-10, c_2=-c$
$\frac{a_{1}}{a_{2}}$ = $\frac{1}{5}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}}$ = $\frac{1}{5}$
$ \frac{c_{1}}{c_{2}}$ = $\frac{8}{c}$
लेकिन अगर C = 40 (वास्तविक मूल्य), तो अनुपात $ \frac{c_{1}}{c_{2}}$ = $\frac{1}{5}$ हो जाता है और तब रैखिक समीकरणों के निकाय के अपरिमित रूप से अनेक हल होते हैं।
इसलिए, c = 40 पर, रैखिक समीकरणों के निकाय का एक अद्वितीय हल नहीं होता है।
$x-2 y-8=0$
और $5 x -10 y - c =0$
$a x+b y+c=0$ से तुलना करने पर;
यहाँ, $a_1=1, b_1=-2, c_1=-8$;
और $a_2=5, b_2=-10, c_2=-c$
$\frac{a_{1}}{a_{2}}$ = $\frac{1}{5}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}}$ = $\frac{1}{5}$
$ \frac{c_{1}}{c_{2}}$ = $\frac{8}{c}$
लेकिन अगर C = 40 (वास्तविक मूल्य), तो अनुपात $ \frac{c_{1}}{c_{2}}$ = $\frac{1}{5}$ हो जाता है और तब रैखिक समीकरणों के निकाय के अपरिमित रूप से अनेक हल होते हैं।
इसलिए, c = 40 पर, रैखिक समीकरणों के निकाय का एक अद्वितीय हल नहीं होता है।
Question 42 Marks
c के सभी वास्तविक मानों के लिए, समीकरण-युग्म x - 2y = 8; 5x - 10y = c का एक अद्वितीय हल है। औचित्य के साथ उत्तर दीजिए कि यह सत्य है या असत्य।
Answer
View full question & answer→दिए गए रैखिक समीकरणों का युग्म
$x-2 y-8=0$
और $5 x-10 y-c=0$
$a x+b y+c=0$ से तुलना करने पर;
यहाँ, $a_1=1, b_1=-2, c_1=-8$
और $a_2=5, b_2=-10, c_2=-c ;$
$\frac{a_{1}}{a_{2}}$ = $\frac{1}{5}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}}$ = $\frac{1}{5}$
$ \frac{c_{1}}{c_{2}}$ = $\frac{8}{c}$
लेकिन अगर C = 40 (वास्तविक मूल्य), तो अनुपात $ \frac{c_{1}}{c_{2}}$ = $\frac{1}{5}$ हो जाता है और तब रैखिक समीकरणों के निकाय के अपरिमित रूप से अनेक हल होते हैं।
इसलिए, c = 40 पर, रैखिक समीकरणों के निकाय का एक अद्वितीय हल नहीं होता है।
$x-2 y-8=0$
और $5 x-10 y-c=0$
$a x+b y+c=0$ से तुलना करने पर;
यहाँ, $a_1=1, b_1=-2, c_1=-8$
और $a_2=5, b_2=-10, c_2=-c ;$
$\frac{a_{1}}{a_{2}}$ = $\frac{1}{5}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}}$ = $\frac{1}{5}$
$ \frac{c_{1}}{c_{2}}$ = $\frac{8}{c}$
लेकिन अगर C = 40 (वास्तविक मूल्य), तो अनुपात $ \frac{c_{1}}{c_{2}}$ = $\frac{1}{5}$ हो जाता है और तब रैखिक समीकरणों के निकाय के अपरिमित रूप से अनेक हल होते हैं।
इसलिए, c = 40 पर, रैखिक समीकरणों के निकाय का एक अद्वितीय हल नहीं होता है।
Question 52 Marks
समीकरण $\lambda x$ + 3y = -7; 2x + 6y = 14 के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होने के लिए, $\lambda$ का मान 1 होना चाहिए। क्या यह कथन सत्य है? कारण दीजिए।
Answer
View full question & answer→रैखिक समीकरणों का दिया गया युग्म
$\lambda x+3 y=-7$ और $2 x+6 y-14=0$
यहाँ, $a x+b y+c=0$ से तुलना करने पर
यहाँ, $a_1=\lambda, b_1=3, c_1=7$;
और $a_2=2, b_2=6, c_2=-14$;
$\frac{a_1}{a_2}=\frac{\lambda}{2}$
$\frac{b_1}{b_2}=\frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2}=\frac{-1}{2}$
यदि $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$, तो असीम रूप से कई समाधान।
इसलिए $\frac{\lambda}{2}=\frac{1}{2}$
$\lambda=1$
भी $\frac{\lambda}{2}=\frac{-1}{2}$
$\lambda=-1$
चूंकि, $\lambda$ अद्वितीय मूल्य नहीं है।
तो, बिना किसी मूल्य के $\lambda$ दिए गए रैखिक समीकरण युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।
$\lambda x+3 y=-7$ और $2 x+6 y-14=0$
यहाँ, $a x+b y+c=0$ से तुलना करने पर
यहाँ, $a_1=\lambda, b_1=3, c_1=7$;
और $a_2=2, b_2=6, c_2=-14$;
$\frac{a_1}{a_2}=\frac{\lambda}{2}$
$\frac{b_1}{b_2}=\frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2}=\frac{-1}{2}$
यदि $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$, तो असीम रूप से कई समाधान।
इसलिए $\frac{\lambda}{2}=\frac{1}{2}$
$\lambda=1$
भी $\frac{\lambda}{2}=\frac{-1}{2}$
$\lambda=-1$
चूंकि, $\lambda$ अद्वितीय मूल्य नहीं है।
तो, बिना किसी मूल्य के $\lambda$ दिए गए रैखिक समीकरण युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।
Question 62 Marks
समीकरण $\lambda x+3 y=-7 ; 2 x+6 y=14$ के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होने के लिए, $\lambda$ का मान 1 होना चाहिए। क्या यह कथन सत्य है? कारण दीजिए।
Answer
View full question & answer→रैखिक समीकरणों का दिया गया युग्म
$\lambda x+3 y=-7$ और $2 x+6 y-14=0$
यहाँ, $a x+b y+c=0$ से तुलना करने पर
यहाँ, $a_1=\lambda, b_1=3, c_1=7$;
और $a_2=2, b_2=6, c_2=-14$;
$\frac{a_1}{a_2}=\frac{\lambda}{2}$
$\frac{b_1}{b_2}=\frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2}=\frac{-1}{2}$
यदि $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$, तो असीम रूप से कई समाधान।
इसलिए $\frac{\lambda}{2}=\frac{1}{2}$
$\lambda=1$
भी $\frac{\lambda}{2}=\frac{-1}{2}$
$\lambda=-1$
चूंकि, $\lambda$ अद्वितीय मूल्य नहीं है।
तो, बिना किसी मूल्य के $\lambda$ दिए गए रैखिक समीकरण युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।
$\lambda x+3 y=-7$ और $2 x+6 y-14=0$
यहाँ, $a x+b y+c=0$ से तुलना करने पर
यहाँ, $a_1=\lambda, b_1=3, c_1=7$;
और $a_2=2, b_2=6, c_2=-14$;
$\frac{a_1}{a_2}=\frac{\lambda}{2}$
$\frac{b_1}{b_2}=\frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2}=\frac{-1}{2}$
यदि $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$, तो असीम रूप से कई समाधान।
इसलिए $\frac{\lambda}{2}=\frac{1}{2}$
$\lambda=1$
भी $\frac{\lambda}{2}=\frac{-1}{2}$
$\lambda=-1$
चूंकि, $\lambda$ अद्वितीय मूल्य नहीं है।
तो, बिना किसी मूल्य के $\lambda$ दिए गए रैखिक समीकरण युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।
Question 72 Marks
क्या रैखिक समीकरणों के निम्नलिखित युग्म संगत हैं? अपने उत्तरों का औचित्य दीजिए।
$x + 3y = 11; 2 (2x + 6y) = 22$
$x + 3y = 11; 2 (2x + 6y) = 22$
Answer
View full question & answer→नहीं।
रैखिक समीकरणों के युग्म के लिए शर्तें संगत हैं
$\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$ ... [अद्वितीय समाधान]
और $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$ ... [कई समाधान]
रैखिक समीकरणों की दी गई जोड़ी
$x + 3y = 11$ और $2x + 6y = 11$
$ax + by + c = 0$ से तुलना करना;
यहाँ, $a_1 = 1, b_1 = 3, c_1 = -11$
और $a_2 = 2, b_2 = 6, c_2 = -11$
$\frac{a_{1}}{a_{2}}$ = $\frac{1}{2}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}}$ = $\frac{1}{2}$
$ \frac{c_{1}}{c_{2}}$ = 1
यहाँ, $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$
अतः दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है।
रैखिक समीकरणों के युग्म के लिए शर्तें संगत हैं
$\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$ ... [अद्वितीय समाधान]
और $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$ ... [कई समाधान]
रैखिक समीकरणों की दी गई जोड़ी
$x + 3y = 11$ और $2x + 6y = 11$
$ax + by + c = 0$ से तुलना करना;
यहाँ, $a_1 = 1, b_1 = 3, c_1 = -11$
और $a_2 = 2, b_2 = 6, c_2 = -11$
$\frac{a_{1}}{a_{2}}$ = $\frac{1}{2}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}}$ = $\frac{1}{2}$
$ \frac{c_{1}}{c_{2}}$ = 1
यहाँ, $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$
अतः दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है।
Question 82 Marks
क्या रैखिक समीकरणों के निम्नलिखित युग्म संगत हैं? अपने उत्तरों का औचित्य दीजिए।
$x + 3y = 11; 2 (2x + 6y) = 22$
$x + 3y = 11; 2 (2x + 6y) = 22$
Answer
View full question & answer→नहीं।
रैखिक समीकरणों के युग्म के लिए शर्तें संगत हैं
$\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$ ... [अद्वितीय समाधान]
और $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$ ... [कई समाधान]
रैखिक समीकरणों की दी गई जोड़ी
$x + 3y = 11$ और $2x + 6y = 11$
ax + by + c = 0 से तुलना करना;
यहाँ, $a_1 = 1, b_1 = 3, c_1 = -11$
और $a_2 = 2, b_2 = 6, c_2 = -11$
$\frac{a_{1}}{a_{2}}$ = $\frac{1}{2}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}}$ = $\frac{1}{2}$
$ \frac{c_{1}}{c_{2}} = 1$
यहाँ, $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$
अतः दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है।
रैखिक समीकरणों के युग्म के लिए शर्तें संगत हैं
$\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$ ... [अद्वितीय समाधान]
और $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$ ... [कई समाधान]
रैखिक समीकरणों की दी गई जोड़ी
$x + 3y = 11$ और $2x + 6y = 11$
ax + by + c = 0 से तुलना करना;
यहाँ, $a_1 = 1, b_1 = 3, c_1 = -11$
और $a_2 = 2, b_2 = 6, c_2 = -11$
$\frac{a_{1}}{a_{2}}$ = $\frac{1}{2}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}}$ = $\frac{1}{2}$
$ \frac{c_{1}}{c_{2}} = 1$
यहाँ, $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$
अतः दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है।
Question 92 Marks
क्या रैखिक समीकरणों के निम्नलिखित युग्म संगत हैं? अपने उत्तरों का औचित्य दीजिए।
$2ax + by = a; 4ax + 2by – 2a = 0; a, b \neq 0$
$2ax + by = a; 4ax + 2by – 2a = 0; a, b \neq 0$
Answer
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रैखिक समीकरणों के युग्म के लिए शर्तें संगत हैं
$\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$ ... [अद्वितीय हल]
और $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$ ... [संयोग या अपरिमित रूप से अनेक हल]
रैखिक समीकरणों का दिया गया युग्म-
$2ax + by – a = 0$ और $4ax + 2by - 2a = 0$
$ax + by + c = 0$ से तुलना करना;
यहाँ, $a_1 = 2a, b_1 = b, c_1 = -a;$
और $a_2 = 4a, b_2 = 2b, c_2 = -2a;$
$\frac{a_{1}}{a_{2}}$ = $\frac{1}{2}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}}$ = $\frac{1}{2}$
$ \frac{c_{1}}{c_{2}}$ = $\frac{1}{2}$
यहाँ, $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$
इसलिए, रैखिक समीकरणों के दिए गए युग्म के अपरिमित रूप से कई हल हैं, अर्थात्, संगत या आश्रित।
रैखिक समीकरणों के युग्म के लिए शर्तें संगत हैं
$\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$ ... [अद्वितीय हल]
और $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$ ... [संयोग या अपरिमित रूप से अनेक हल]
रैखिक समीकरणों का दिया गया युग्म-
$2ax + by – a = 0$ और $4ax + 2by - 2a = 0$
$ax + by + c = 0$ से तुलना करना;
यहाँ, $a_1 = 2a, b_1 = b, c_1 = -a;$
और $a_2 = 4a, b_2 = 2b, c_2 = -2a;$
$\frac{a_{1}}{a_{2}}$ = $\frac{1}{2}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}}$ = $\frac{1}{2}$
$ \frac{c_{1}}{c_{2}}$ = $\frac{1}{2}$
यहाँ, $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$
इसलिए, रैखिक समीकरणों के दिए गए युग्म के अपरिमित रूप से कई हल हैं, अर्थात्, संगत या आश्रित।
Question 102 Marks
क्या रैखिक समीकरणों के निम्नलिखित युग्म संगत हैं? अपने उत्तरों का औचित्य दीजिए।
$2ax + by = a; 4ax + 2by – 2a = 0; a, b \neq 0$
$2ax + by = a; 4ax + 2by – 2a = 0; a, b \neq 0$
Answer
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रैखिक समीकरणों के युग्म के लिए शर्तें संगत हैं
$\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$ ... [अद्वितीय हल]
और $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$ ... [संयोग या अपरिमित रूप से अनेक हल]
रैखिक समीकरणों का दिया गया युग्म-
$2ax + by – a = 0$ और $4ax + 2by - 2a = 0$
$ax + by + c = 0$ से तुलना करना;
यहाँ, $a_1 = 2a, b_1 = b, c_1 = -a;$
और $a_2 = 4a, b_2 = 2b, c_2 = -2a;$
$\frac{a_{1}}{a_{2}}$ = $\frac{1}{2}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}}$ = $\frac{1}{2}$
$ \frac{c_{1}}{c_{2}}$ = $\frac{1}{2}$
यहाँ, $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$
इसलिए, रैखिक समीकरणों के दिए गए युग्म के अपरिमित रूप से कई हल हैं, अर्थात्, संगत या आश्रित।
रैखिक समीकरणों के युग्म के लिए शर्तें संगत हैं
$\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$ ... [अद्वितीय हल]
और $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$ ... [संयोग या अपरिमित रूप से अनेक हल]
रैखिक समीकरणों का दिया गया युग्म-
$2ax + by – a = 0$ और $4ax + 2by - 2a = 0$
$ax + by + c = 0$ से तुलना करना;
यहाँ, $a_1 = 2a, b_1 = b, c_1 = -a;$
और $a_2 = 4a, b_2 = 2b, c_2 = -2a;$
$\frac{a_{1}}{a_{2}}$ = $\frac{1}{2}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}}$ = $\frac{1}{2}$
$ \frac{c_{1}}{c_{2}}$ = $\frac{1}{2}$
यहाँ, $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$
इसलिए, रैखिक समीकरणों के दिए गए युग्म के अपरिमित रूप से कई हल हैं, अर्थात्, संगत या आश्रित।
Question 112 Marks
क्या रैखिक समीकरणों के निम्नलिखित युग्म संगत हैं? अपने उत्तरों का औचित्य दीजिए।
$\frac{3}{5} x-y=\frac{1}{2}$; $\frac{1}{5} x-3 y=\frac{1}{6}$
$\frac{3}{5} x-y=\frac{1}{2}$; $\frac{1}{5} x-3 y=\frac{1}{6}$
Answer
View full question & answer→रैखिक समीकरणों के युग्म के संगत होने की शर्तें है
$\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$ ... [अद्वितीय समाधान के लिए]
और $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$ ... [संयोग या अपरिमित रूप से कई समाधानों के लिए]
रैखिक समीकरणों का दिया गया युग्म
$\frac{3}{5} x-y=\frac{1}{2}$; $\frac{1}{5} x-3 y=\frac{1}{6}$
मानक रूप के साथ तुलना करने पर देता है;
यहाँ, $a_1 = \frac{3}{5} , b_1 = -1, c_1 = \frac{-1}{2}$;
और $ a_2 = \frac{1}{5} , b_2 = 3, c_2 = \frac{-1}{6}$;
$\frac{a_{1}}{a_{2}}$ = 3
$\frac{b_{1}}{b_{2}}$ = $\frac{-1}{-3}$ = $\frac{1}{3}$
$ \frac{c_{1}}{c_{2}}$ = 3
यहां, $\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$
इसलिए, रैखिक समीकरणों के दिए गए युग्म का अद्वितीय हल है, अर्थात संगत।
$\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$ ... [अद्वितीय समाधान के लिए]
और $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$ ... [संयोग या अपरिमित रूप से कई समाधानों के लिए]
रैखिक समीकरणों का दिया गया युग्म
$\frac{3}{5} x-y=\frac{1}{2}$; $\frac{1}{5} x-3 y=\frac{1}{6}$
मानक रूप के साथ तुलना करने पर देता है;
यहाँ, $a_1 = \frac{3}{5} , b_1 = -1, c_1 = \frac{-1}{2}$;
और $ a_2 = \frac{1}{5} , b_2 = 3, c_2 = \frac{-1}{6}$;
$\frac{a_{1}}{a_{2}}$ = 3
$\frac{b_{1}}{b_{2}}$ = $\frac{-1}{-3}$ = $\frac{1}{3}$
$ \frac{c_{1}}{c_{2}}$ = 3
यहां, $\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$
इसलिए, रैखिक समीकरणों के दिए गए युग्म का अद्वितीय हल है, अर्थात संगत।
Question 122 Marks
क्या रैखिक समीकरणों के निम्नलिखित युग्म संगत हैं? अपने उत्तरों का औचित्य दीजिए।
$\frac{3}{5} x-y=\frac{1}{2}$; $\frac{1}{5} x-3 y=\frac{1}{6}$
$\frac{3}{5} x-y=\frac{1}{2}$; $\frac{1}{5} x-3 y=\frac{1}{6}$
Answer
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$\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$ ... [अद्वितीय समाधान के लिए]
और $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$ ... [संयोग या अपरिमित रूप से कई समाधानों के लिए]
रैखिक समीकरणों का दिया गया युग्म
$\frac{3}{5} x-y=\frac{1}{2}$; $\frac{1}{5} x-3 y=\frac{1}{6}$
मानक रूप के साथ तुलना करने पर देता है;
यहाँ, $a_1 = \frac{3}{5} , b_1 = -1, c_1 = \frac{-1}{2}$;
और $a_2 = \frac{1}{5} , b_2 = 3, c_2 = \frac{-1}{6}$;
$\frac{a_{1}}{a_{2}} = 3$
$\frac{b_{1}}{b_{2}}$ = $\frac{-1}{-3}$ = $\frac{1}{3}$
$ \frac{c_{1}}{c_{2}} = 3$
यहां, $\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$
इसलिए, रैखिक समीकरणों के दिए गए युग्म का अद्वितीय हल है, अर्थात संगत।
$\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$ ... [अद्वितीय समाधान के लिए]
और $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$ ... [संयोग या अपरिमित रूप से कई समाधानों के लिए]
रैखिक समीकरणों का दिया गया युग्म
$\frac{3}{5} x-y=\frac{1}{2}$; $\frac{1}{5} x-3 y=\frac{1}{6}$
मानक रूप के साथ तुलना करने पर देता है;
यहाँ, $a_1 = \frac{3}{5} , b_1 = -1, c_1 = \frac{-1}{2}$;
और $a_2 = \frac{1}{5} , b_2 = 3, c_2 = \frac{-1}{6}$;
$\frac{a_{1}}{a_{2}} = 3$
$\frac{b_{1}}{b_{2}}$ = $\frac{-1}{-3}$ = $\frac{1}{3}$
$ \frac{c_{1}}{c_{2}} = 3$
यहां, $\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$
इसलिए, रैखिक समीकरणों के दिए गए युग्म का अद्वितीय हल है, अर्थात संगत।
Question 132 Marks
क्या रैखिक समीकरणों के निम्नलिखित युग्म संगत हैं? अपने उत्तरों का औचित्य दीजिए।
$–3x– 4y = 12; 4y + 3x = 12$
$–3x– 4y = 12; 4y + 3x = 12$
Answer
View full question & answer→रैखिक समीकरणों के युग्म के संगत होने की शर्तें है
$\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$ ...[अद्वितीय समाधान के लिए]
और $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$ ...[संयोग या अपरिमित रूप से कई समाधानों के लिए]
रैखिक समीकरणों का दिया गया युग्म
$- 3x - 4y - 12 = 0$ और $4y + 3x - 12 = 0$
मानक रूप से हमें प्राप्त होता है:
$a_1 = -3, b_1 = -4, c_1 = -12;$
और $a_2 = 3, b_2 = 4, c_2 = -12;$
$\frac{a_{1}}{a_{2}}$ = $\frac{-3}{3} = -1$
$\frac{b_{1}}{b_{2}}$ = $\frac{-4}{4} = - 1$
$ \frac{c_{1}}{c_{2}}$ = $\frac{-12}{-12} = 1$
यहां, $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$
इसलिए, रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं है, अर्थात् असंगत।
$\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$ ...[अद्वितीय समाधान के लिए]
और $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$ ...[संयोग या अपरिमित रूप से कई समाधानों के लिए]
रैखिक समीकरणों का दिया गया युग्म
$- 3x - 4y - 12 = 0$ और $4y + 3x - 12 = 0$
मानक रूप से हमें प्राप्त होता है:
$a_1 = -3, b_1 = -4, c_1 = -12;$
और $a_2 = 3, b_2 = 4, c_2 = -12;$
$\frac{a_{1}}{a_{2}}$ = $\frac{-3}{3} = -1$
$\frac{b_{1}}{b_{2}}$ = $\frac{-4}{4} = - 1$
$ \frac{c_{1}}{c_{2}}$ = $\frac{-12}{-12} = 1$
यहां, $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$
इसलिए, रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं है, अर्थात् असंगत।
Question 142 Marks
क्या रैखिक समीकरणों के निम्नलिखित युग्म संगत हैं? अपने उत्तरों का औचित्य दीजिए।
$–3x– 4y = 12; 4y + 3x = 12$
$–3x– 4y = 12; 4y + 3x = 12$
Answer
View full question & answer→रैखिक समीकरणों के युग्म के संगत होने की शर्तें है
$\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$ ...[अद्वितीय समाधान के लिए]
और $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$ ...[संयोग या अपरिमित रूप से कई समाधानों के लिए]
रैखिक समीकरणों का दिया गया युग्म
$- 3x - 4y - 12 = 0$ और $4y + 3x - 12 = 0$
मानक रूप से हमें प्राप्त होता है:
$a_1 = -3, b_1 = -4, c_1 = -12;$
और $a_2 = 3, b_2 = 4, c_2 = -12;$
$\frac{a_{1}}{a_{2}}$ = $\frac{-3}{3}= -1$
$\frac{b_{1}}{b_{2}}$ = $\frac{-4}{4} = - 1$
$ \frac{c_{1}}{c_{2}}$ = $\frac{-12}{-12} = 1$
यहां, $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$
इसलिए, रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं है, अर्थात् असंगत।
$\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$ ...[अद्वितीय समाधान के लिए]
और $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$ ...[संयोग या अपरिमित रूप से कई समाधानों के लिए]
रैखिक समीकरणों का दिया गया युग्म
$- 3x - 4y - 12 = 0$ और $4y + 3x - 12 = 0$
मानक रूप से हमें प्राप्त होता है:
$a_1 = -3, b_1 = -4, c_1 = -12;$
और $a_2 = 3, b_2 = 4, c_2 = -12;$
$\frac{a_{1}}{a_{2}}$ = $\frac{-3}{3}= -1$
$\frac{b_{1}}{b_{2}}$ = $\frac{-4}{4} = - 1$
$ \frac{c_{1}}{c_{2}}$ = $\frac{-12}{-12} = 1$
यहां, $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$
इसलिए, रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं है, अर्थात् असंगत।
Question 152 Marks
क्या $\frac{x}{2}+y+\frac{2}{5}=0$ और $4x + 8y + \frac{5}{16}= 0$ संपाती रेखाओं का एक युग्म निरूपित करती है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
Answer
View full question & answer→संपाती रेखाओं के लिए शर्त,
$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$
नहीं, दिए गए रैखिक समीकरण युग्म हैं:
$\frac{x}{2}+y+\frac{2}{5}=0$ और $ 4x + 8y + \frac{5}{16} = 0$
$ax + by + c = 0$ से तुलना करना;
यहाँ, $a_1 = \frac{1}{2}$, $b_1 = 1, c_1 = \frac{2}{5}$;
और $a_2 = 4, b_2 = 8, c_2 = \frac{5}{16}$;
$\frac{a_{1}}{a_{2}}$ = $ \frac{1}{8}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}}$ = $ \frac{1}{8}$
$ \frac{c_{1}}{c_{2}}$ = $ \frac{32}{25}$
यहां, $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$ यानी समानांतर रेखाएं
इसलिए, दिए गए रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं है।
$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$
नहीं, दिए गए रैखिक समीकरण युग्म हैं:
$\frac{x}{2}+y+\frac{2}{5}=0$ और $ 4x + 8y + \frac{5}{16} = 0$
$ax + by + c = 0$ से तुलना करना;
यहाँ, $a_1 = \frac{1}{2}$, $b_1 = 1, c_1 = \frac{2}{5}$;
और $a_2 = 4, b_2 = 8, c_2 = \frac{5}{16}$;
$\frac{a_{1}}{a_{2}}$ = $ \frac{1}{8}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}}$ = $ \frac{1}{8}$
$ \frac{c_{1}}{c_{2}}$ = $ \frac{32}{25}$
यहां, $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$ यानी समानांतर रेखाएं
इसलिए, दिए गए रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं है।
Question 162 Marks
क्या $\frac{x}{2}+y+\frac{2}{5}=0$ और $4x + 8y + \frac{5}{16}$ = 0 संपाती रेखाओं का एक युग्म निरूपित करती है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
Answer
View full question & answer→संपाती रेखाओं के लिए शर्त,
$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$
नहीं, दिए गए रैखिक समीकरण युग्म हैं:
$\frac{x}{2}+y+\frac{2}{5}=0$ और $4x + 8y +\frac{5}{16}$ = 0
$ax + by + c = 0$ से तुलना करना;
यहाँ, $a_1 = \frac{1}{2} , b_1 = 1, c_1 = \frac{2}{5}$;
और $a_2 = 4, b_2 = 8, c_2 = \frac{5}{16}$;
$\frac{a_{1}}{a_{2}}$ = $ \frac{1}{8}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}}$ = $ \frac{1}{8}$
$ \frac{c_{1}}{c_{2}}$ = $ \frac{32}{25}$
यहां, $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$ यानी समानांतर रेखाएं
इसलिए, दिए गए रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं है।
$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$
नहीं, दिए गए रैखिक समीकरण युग्म हैं:
$\frac{x}{2}+y+\frac{2}{5}=0$ और $4x + 8y +\frac{5}{16}$ = 0
$ax + by + c = 0$ से तुलना करना;
यहाँ, $a_1 = \frac{1}{2} , b_1 = 1, c_1 = \frac{2}{5}$;
और $a_2 = 4, b_2 = 8, c_2 = \frac{5}{16}$;
$\frac{a_{1}}{a_{2}}$ = $ \frac{1}{8}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}}$ = $ \frac{1}{8}$
$ \frac{c_{1}}{c_{2}}$ = $ \frac{32}{25}$
यहां, $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$ यानी समानांतर रेखाएं
इसलिए, दिए गए रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं है।
Question 172 Marks
क्या $–2x – 3y = 1$ और $6y + 4x = – 2$ संपाती रेखाओं का एक युग्म निरूपित करती हैं? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
Answer
View full question & answer→संपाती रेखाओं के लिए शर्त निम्न द्वारा दी गई है:
$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$
दिया गया रैखिक समीकरणों का युग्म है
$-2x - 3y - 1 = 0$ और $4x + 6y + 2 = 0;$
हमारे पास मानक रूप की तुलना में;
$a_1 = -2, b_1 = -3, c_1 = -1;$
और $a_2 = 4, b_2 = 6, c_2 = 2;$
$\frac{a_{1}}{a_{2}}$ = $ \frac{-2}{4}$ = $ \frac{-1}{2}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}}$ = $ \frac{-3}{6}$ = $ \frac{-1}{2}$
$ \frac{c_{1}}{c_{2}}$ = $ \frac{-1}{2}$
यहाँ, $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$, अर्थात, संपाती रेखाएँ
इसलिए, रैखिक समीकरणों का दिया गया युग्म संपाती है।
$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$
दिया गया रैखिक समीकरणों का युग्म है
$-2x - 3y - 1 = 0$ और $4x + 6y + 2 = 0;$
हमारे पास मानक रूप की तुलना में;
$a_1 = -2, b_1 = -3, c_1 = -1;$
और $a_2 = 4, b_2 = 6, c_2 = 2;$
$\frac{a_{1}}{a_{2}}$ = $ \frac{-2}{4}$ = $ \frac{-1}{2}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}}$ = $ \frac{-3}{6}$ = $ \frac{-1}{2}$
$ \frac{c_{1}}{c_{2}}$ = $ \frac{-1}{2}$
यहाँ, $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$, अर्थात, संपाती रेखाएँ
इसलिए, रैखिक समीकरणों का दिया गया युग्म संपाती है।
Question 182 Marks
क्या $–2x – 3y = 1$ और $6y + 4x = – 2$ संपाती रेखाओं का एक युग्म निरूपित करती हैं? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
Answer
View full question & answer→संपाती रेखाओं के लिए शर्त निम्न द्वारा दी गई है:
$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$
दिया गया रैखिक समीकरणों का युग्म है
$-2x - 3y - 1 = 0$ और $4x + 6y + 2 = 0$;
हमारे पास मानक रूप की तुलना में;
$a_1 = -2, b_1 = -3, c_1 = -1;$
और $a_2 = 4, b_2 = 6, c_2 = 2;$
$\frac{a_{1}}{a_{2}}$ = $ \frac{-2}{4}$ = $ \frac{-1}{2}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}}$ = $ \frac{-3}{6}$ = $ \frac{-1}{2}$
$ \frac{c_{1}}{c_{2}}$ = $ \frac{-1}{2}$
यहाँ, $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$, अर्थात, संपाती रेखाएँ
इसलिए, रैखिक समीकरणों का दिया गया युग्म संपाती है।
$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$
दिया गया रैखिक समीकरणों का युग्म है
$-2x - 3y - 1 = 0$ और $4x + 6y + 2 = 0$;
हमारे पास मानक रूप की तुलना में;
$a_1 = -2, b_1 = -3, c_1 = -1;$
और $a_2 = 4, b_2 = 6, c_2 = 2;$
$\frac{a_{1}}{a_{2}}$ = $ \frac{-2}{4}$ = $ \frac{-1}{2}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}}$ = $ \frac{-3}{6}$ = $ \frac{-1}{2}$
$ \frac{c_{1}}{c_{2}}$ = $ \frac{-1}{2}$
यहाँ, $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$, अर्थात, संपाती रेखाएँ
इसलिए, रैखिक समीकरणों का दिया गया युग्म संपाती है।
Question 192 Marks
क्या $3x + \frac{1}{7} y = 3 $और $7x + 3y = 7$ संपाती रेखाओं का एक युग्म निरूपित करती है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
Answer
View full question & answer→संपाती रेखाओं के लिए कोई शर्त नहीं दी गई है:
$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$
रैखिक समीकरणों का दिया गया युग्म है
$3x + \frac{1}{7} y = 3$ और $7x + 3y = 7$
मानक रूप की तुलना में, हम प्राप्त करते हैं:
$a_1 = 3, b_1 = \frac{1}{7}, c_1 = -3;$
और $a_2 = 7, b_2 = 3, c_2 = -7;$
$\frac{a_{1}}{a_{2}}$ = $ \frac{3}{7}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}}$ = $ \frac{1}{21}$
$ \frac{c_{1}}{c_{2}}$ = $ \frac{-3}{-7}$ = $ \frac{3}{7}$
यहाँ, $\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$
इसलिए, दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल है।
$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$
रैखिक समीकरणों का दिया गया युग्म है
$3x + \frac{1}{7} y = 3$ और $7x + 3y = 7$
मानक रूप की तुलना में, हम प्राप्त करते हैं:
$a_1 = 3, b_1 = \frac{1}{7}, c_1 = -3;$
और $a_2 = 7, b_2 = 3, c_2 = -7;$
$\frac{a_{1}}{a_{2}}$ = $ \frac{3}{7}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}}$ = $ \frac{1}{21}$
$ \frac{c_{1}}{c_{2}}$ = $ \frac{-3}{-7}$ = $ \frac{3}{7}$
यहाँ, $\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$
इसलिए, दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल है।
Question 202 Marks
क्या 3x + $\frac{1}{7} y = 3$ और $7x + 3y = 7$ संपाती रेखाओं का एक युग्म निरूपित करती है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
Answer
View full question & answer→संपाती रेखाओं के लिए कोई शर्त नहीं दी गई है:
$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$
रैखिक समीकरणों का दिया गया युग्म है
$3x + \frac{1}{7} y = 3$ और $7x + 3y = 7$
मानक रूप की तुलना में, हम प्राप्त करते हैं:
$a_1 = 3, b_1 =\frac{1}{7}, c_1 = -3;$
और $a_2 = 7, b_2 = 3, c_2 = -7;$
$\frac{a_{1}}{a_{2}}$ = $ \frac{3}{7}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}}$ = $ \frac{1}{21}$
$ \frac{c_{1}}{c_{2}}$ = $ \frac{-3}{-7}$ = $ \frac{3}{7}$
यहाँ, $\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$
इसलिए, दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल है।
$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$
रैखिक समीकरणों का दिया गया युग्म है
$3x + \frac{1}{7} y = 3$ और $7x + 3y = 7$
मानक रूप की तुलना में, हम प्राप्त करते हैं:
$a_1 = 3, b_1 =\frac{1}{7}, c_1 = -3;$
और $a_2 = 7, b_2 = 3, c_2 = -7;$
$\frac{a_{1}}{a_{2}}$ = $ \frac{3}{7}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}}$ = $ \frac{1}{21}$
$ \frac{c_{1}}{c_{2}}$ = $ \frac{-3}{-7}$ = $ \frac{3}{7}$
यहाँ, $\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$
इसलिए, दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल है।
Question 212 Marks
क्या समीकरणों के निम्नलिखित युग्म का कोई हल नहीं है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
$3x + y – 3 = 0$
$2x +\frac{2}{3}y = 2$
$3x + y – 3 = 0$
$2x +\frac{2}{3}y = 2$
Answer
View full question & answer→नहीं।
समाधान न होने की शर्त है: $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$ ... (समानांतर रेखाएं)
दिए गए समीकरणों के युग्म,
$3x + y - 3 = 0$
और $ 2x + \frac{2}{3}y = 2$
$ax + by + c = 0$ से तुलना करना;
यहाँ, $a_1 = 3, b_2 = 1, c_1 = 3;$
और $a_2 = 2, b_2 = \frac{2}{3}, c_2 = - 2;$
$\frac{a_1}{a_2}$ = $\frac{2}{6}$ = $\frac{3}{2}$
$\frac{b_1}{b_2}$ = $\frac{4}{12}$ = $\frac{3}{2}$
$\frac{c_1}{c_2}$ = $\frac{-3}{-2}$ = $\frac{3}{2}$
यहाँ, $\frac{a_1}{a_2}$ = $\frac{b_1}{b_2}$ = $\frac{c_1}{c_2}$, यानी संयोग रेखाएं
अत: दिया गया रैखिक समीकरण युग्म संपाती है और जिसके अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।
समाधान न होने की शर्त है: $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$ ... (समानांतर रेखाएं)
दिए गए समीकरणों के युग्म,
$3x + y - 3 = 0$
और $ 2x + \frac{2}{3}y = 2$
$ax + by + c = 0$ से तुलना करना;
यहाँ, $a_1 = 3, b_2 = 1, c_1 = 3;$
और $a_2 = 2, b_2 = \frac{2}{3}, c_2 = - 2;$
$\frac{a_1}{a_2}$ = $\frac{2}{6}$ = $\frac{3}{2}$
$\frac{b_1}{b_2}$ = $\frac{4}{12}$ = $\frac{3}{2}$
$\frac{c_1}{c_2}$ = $\frac{-3}{-2}$ = $\frac{3}{2}$
यहाँ, $\frac{a_1}{a_2}$ = $\frac{b_1}{b_2}$ = $\frac{c_1}{c_2}$, यानी संयोग रेखाएं
अत: दिया गया रैखिक समीकरण युग्म संपाती है और जिसके अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।
Question 222 Marks
क्या समीकरणों के निम्नलिखित युग्म का कोई हल नहीं है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
$3x + y – 3 = 0$
$2x + \frac{2}{3}y = 2$
$3x + y – 3 = 0$
$2x + \frac{2}{3}y = 2$
Answer
View full question & answer→नहीं।
समाधान न होने की शर्त है: $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$ ... (समानांतर रेखाएं)
दिए गए समीकरणों के युग्म,
$3x + y - 3 = 0$
और $ 2x + \frac{2}{3}y = 2$
$ax + by + c = 0$ से तुलना करना;
यहाँ, $a_1 = 3, b_2 = 1, c_1 = 3;$
और $a_2 = 2, b_2 = \frac{2}{3}, c_2 = - 2;$
$\frac{a_1}{a_2}$ = $\frac{2}{6}$ = $\frac{3}{2}$
$\frac{b_1}{b_2}$ = $\frac{4}{12}$ = $\frac{3}{2}$
$\frac{c_1}{c_2}$ = $\frac{-3}{-2}$ = $\frac{3}{2}$
यहाँ, $\frac{a_1}{a_2}$ = $\frac{b_1}{b_2}$ = $\frac{c_1}{c_2}$, यानी संयोग रेखाएं
अत: दिया गया रैखिक समीकरण युग्म संपाती है और जिसके अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।
समाधान न होने की शर्त है: $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$ ... (समानांतर रेखाएं)
दिए गए समीकरणों के युग्म,
$3x + y - 3 = 0$
और $ 2x + \frac{2}{3}y = 2$
$ax + by + c = 0$ से तुलना करना;
यहाँ, $a_1 = 3, b_2 = 1, c_1 = 3;$
और $a_2 = 2, b_2 = \frac{2}{3}, c_2 = - 2;$
$\frac{a_1}{a_2}$ = $\frac{2}{6}$ = $\frac{3}{2}$
$\frac{b_1}{b_2}$ = $\frac{4}{12}$ = $\frac{3}{2}$
$\frac{c_1}{c_2}$ = $\frac{-3}{-2}$ = $\frac{3}{2}$
यहाँ, $\frac{a_1}{a_2}$ = $\frac{b_1}{b_2}$ = $\frac{c_1}{c_2}$, यानी संयोग रेखाएं
अत: दिया गया रैखिक समीकरण युग्म संपाती है और जिसके अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।
Question 232 Marks
क्या समीकरणों के निम्नलिखित युग्म का कोई हल नहीं है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
$x = 2y$
$y = 2x$
$x = 2y$
$y = 2x$
Answer
View full question & answer→नहीं।
समाधान न होने की शर्त है $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$ ... (समानांतर रेखाएं)
समीकरणों की जोड़ी को देखते हुए,
$x = 2y$ और $y = 2x$
या $x - 2y = 0 $और $2x - y = 0;$
$ax + by + c = 0$ से तुलना करना;
यहाँ, $a_1 = 1, b_1 = -2, c_1 = 0;$
और $a_2 = 2, b_2 = -1, c_2 = 0;$
$\frac{a_1}{a_2}$ = $\frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2}$ = $\frac{-2}{-1} = 2$
यहाँ, $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$
इसलिए, रैखिक समीकरणों के दिए गए युग्म का अद्वितीय हल है।
समाधान न होने की शर्त है $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$ ... (समानांतर रेखाएं)
समीकरणों की जोड़ी को देखते हुए,
$x = 2y$ और $y = 2x$
या $x - 2y = 0 $और $2x - y = 0;$
$ax + by + c = 0$ से तुलना करना;
यहाँ, $a_1 = 1, b_1 = -2, c_1 = 0;$
और $a_2 = 2, b_2 = -1, c_2 = 0;$
$\frac{a_1}{a_2}$ = $\frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2}$ = $\frac{-2}{-1} = 2$
यहाँ, $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$
इसलिए, रैखिक समीकरणों के दिए गए युग्म का अद्वितीय हल है।
Question 242 Marks
क्या समीकरणों के निम्नलिखित युग्म का कोई हल नहीं है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
$x = 2y$
$y = 2x$
$x = 2y$
$y = 2x$
Answer
View full question & answer→नहीं।
समाधान न होने की शर्त है $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$ ... (समानांतर रेखाएं)
समीकरणों की जोड़ी को देखते हुए,
$x = 2y$ और $y = 2x$
या $x - 2y = 0$ और $2x - y = 0;$
$ax + by + c = 0$ से तुलना करना;
यहाँ, $a_1 = 1, b_1 = -2, c_1 = 0;$
और $a_2 = 2, b_2 = -1, c_2 = 0;$
$\frac{a_1}{a_2}$ = $\frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2}$ = $\frac{-2}{-1} = 2$
यहाँ, $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$
इसलिए, रैखिक समीकरणों के दिए गए युग्म का अद्वितीय हल है।
समाधान न होने की शर्त है $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$ ... (समानांतर रेखाएं)
समीकरणों की जोड़ी को देखते हुए,
$x = 2y$ और $y = 2x$
या $x - 2y = 0$ और $2x - y = 0;$
$ax + by + c = 0$ से तुलना करना;
यहाँ, $a_1 = 1, b_1 = -2, c_1 = 0;$
और $a_2 = 2, b_2 = -1, c_2 = 0;$
$\frac{a_1}{a_2}$ = $\frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2}$ = $\frac{-2}{-1} = 2$
यहाँ, $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$
इसलिए, रैखिक समीकरणों के दिए गए युग्म का अद्वितीय हल है।
Question 252 Marks
क्या समीकरणों के निम्नलिखित युग्म का कोई हल नहीं है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
$2x + 4y = 3, 12y + 6x = 6$
$2x + 4y = 3, 12y + 6x = 6$
Answer
View full question & answer→कोई समाधान नहीं होने की शर्त है:
$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$ ... (समानांतर रेखाएं)
हां।
दिए गए समीकरणों के युग्म हैं,
$2x + 4y - 3 = 0$ और $6x + 12y - 6 = 0$ की तुलना $a_1x + b_2y + c_1 = 0, a_2x + b_2y + c_2 = 0$
हम पाते हैं, $a_1 = 2, b_1 = 4, c_1 = -3;$
और $a_2 = 6, b_2 = 12, c_2 = -6;$
$\frac{a_1}{a_2}$ = $\frac{2}{6}$ = $\frac{1}{3}$
$\frac{b_1}{b_2}$ = $\frac{4}{12}$ = $\frac{1}{3}$
$\frac{c_1}{c_2}$ = $\frac{-3}{-6}$ = $\frac{1}{2}$
यहाँ, $\frac{a_1}{a_2}$ = $\frac{b_1}{b_2}$ = $\frac{c_1}{c_2}$, यानी समानांतर रेखाएं
इसलिए, रैखिक समीकरणों के दिए गए युग्म का कोई हल नहीं है।
$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$ ... (समानांतर रेखाएं)
हां।
दिए गए समीकरणों के युग्म हैं,
$2x + 4y - 3 = 0$ और $6x + 12y - 6 = 0$ की तुलना $a_1x + b_2y + c_1 = 0, a_2x + b_2y + c_2 = 0$
हम पाते हैं, $a_1 = 2, b_1 = 4, c_1 = -3;$
और $a_2 = 6, b_2 = 12, c_2 = -6;$
$\frac{a_1}{a_2}$ = $\frac{2}{6}$ = $\frac{1}{3}$
$\frac{b_1}{b_2}$ = $\frac{4}{12}$ = $\frac{1}{3}$
$\frac{c_1}{c_2}$ = $\frac{-3}{-6}$ = $\frac{1}{2}$
यहाँ, $\frac{a_1}{a_2}$ = $\frac{b_1}{b_2}$ = $\frac{c_1}{c_2}$, यानी समानांतर रेखाएं
इसलिए, रैखिक समीकरणों के दिए गए युग्म का कोई हल नहीं है।
Question 262 Marks
क्या समीकरणों के निम्नलिखित युग्म का कोई हल नहीं है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
$2x + 4y = 3, 12y + 6x = 6$
$2x + 4y = 3, 12y + 6x = 6$
Answer
View full question & answer→कोई समाधान नहीं होने की शर्त है:
$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$ ... (समानांतर रेखाएं)
हां।
दिए गए समीकरणों के युग्म हैं,
$2x + 4y - 3 = 0$ और $6x + 12y - 6 = 0$ की तुलना $a_1x + b_2y + c_1 = 0, a_2x + b_2y + c_2 = 0$
हम पाते हैं, $a_1 = 2, b_1 = 4, c_1 = -3;$
और $a_2 = 6, b_2 = 12, c_2 = -6;$
$\frac{a_1}{a_2}$ = $\frac{2}{6}$ = $\frac{1}{3}$
$\frac{b_1}{b_2}$ = $\frac{4}{12}$ = $\frac{1}{3}$
$\frac{c_1}{c_2}$ = $\frac{-3}{-6}$ = $\frac{1}{2}$
यहाँ, $\frac{a_1}{a_2}$ = $\frac{b_1}{b_2}$ = $\frac{c_1}{c_2}$, यानी समानांतर रेखाएं
इसलिए, रैखिक समीकरणों के दिए गए युग्म का कोई हल नहीं है।
$\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$ ... (समानांतर रेखाएं)
हां।
दिए गए समीकरणों के युग्म हैं,
$2x + 4y - 3 = 0$ और $6x + 12y - 6 = 0$ की तुलना $a_1x + b_2y + c_1 = 0, a_2x + b_2y + c_2 = 0$
हम पाते हैं, $a_1 = 2, b_1 = 4, c_1 = -3;$
और $a_2 = 6, b_2 = 12, c_2 = -6;$
$\frac{a_1}{a_2}$ = $\frac{2}{6}$ = $\frac{1}{3}$
$\frac{b_1}{b_2}$ = $\frac{4}{12}$ = $\frac{1}{3}$
$\frac{c_1}{c_2}$ = $\frac{-3}{-6}$ = $\frac{1}{2}$
यहाँ, $\frac{a_1}{a_2}$ = $\frac{b_1}{b_2}$ = $\frac{c_1}{c_2}$, यानी समानांतर रेखाएं
इसलिए, रैखिक समीकरणों के दिए गए युग्म का कोई हल नहीं है।
Question 272 Marks
समीकरण x - y + 2 = 0 और 4x - y - 4 = 0 के युग्म का आलेख खींचिए। इस प्रकार खींची गयी रेखाओं और x-अक्ष से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer
View full question & answer→दिए गए समीकरणों का आलेख खींचने के लिए, हम इन समीकरणों में से प्रत्येक के दो हल ज्ञात करते हैं, जो सारणी में दिए गए हैं:
| x | 0 | -2 |
| y = x + 2 | 2 | 0 |
| x | 0 | -2 |
| y = x + 2 | 2 | 0 |
बिंदुओं A(0, 2), B(-2, 0), P(0, -4) और Q(1, 0) को आलेख कागज़ पर आलेखित कीजिए तथा इन बिंदुओं को रेखाएँ AB और PQ बनाने के लिए मिलाइए, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है:
हम देखते हैं कि इन दोनों रेखाओं AB और PQ में एक बिंदु R(2, 4) उभयनिष्ठ है। इन रेखाओं और x - अक्ष से बनने वाला त्रिभुज BQR है।
इस त्रिभुज के शीर्ष B(-2, 0), Q(1, 0) और R(2, 4) हैं।
हम जानते हैं कि,
त्रिभुज का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2}$ आधार $\times$ शीर्षलंब
यहाँ, आधार = BQ = BO + OQ = 2 + 1 = 3 इकाई
शीर्षलंब = RM = R की कोटि = 4 इकाई
अत:, त्रिभुज BQR का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times 3 \times 4$ = 6 वर्ग इकाई
Question 282 Marks
समीकरण x - y + 2 = 0 और 4x - y - 4 = 0 के युग्म का आलेख खींचिए। इस प्रकार खींची गयी रेखाओं और x-अक्ष से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer
View full question & answer→दिए गए समीकरणों का आलेख खींचने के लिए, हम इन समीकरणों में से प्रत्येक के दो हल ज्ञात करते हैं, जो सारणी में दिए गए हैं:
| x | 0 | -2 |
| y = x + 2 | 2 | 0 |
| x | 0 | -2 |
| y = x + 2 | 2 | 0 |
बिंदुओं A(0, 2), B(-2, 0), P(0, -4) और Q(1, 0) को आलेख कागज़ पर आलेखित कीजिए तथा इन बिंदुओं को रेखाएँ AB और PQ बनाने के लिए मिलाइए, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है:
हम देखते हैं कि इन दोनों रेखाओं AB और PQ में एक बिंदु R(2, 4) उभयनिष्ठ है। इन रेखाओं और x - अक्ष से बनने वाला त्रिभुज BQR है।
इस त्रिभुज के शीर्ष B(-2, 0), Q(1, 0) और R(2, 4) हैं।
हम जानते हैं कि,
त्रिभुज का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2}$ आधार $\times$ शीर्षलंब
यहाँ, आधार = BQ = BO + OQ = 2 + 1 = 3 इकाई
शीर्षलंब = RM = R की कोटि = 4 इकाई
अत:, त्रिभुज BQR का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times 3 \times 4$ = 6 वर्ग इकाई
Question 292 Marks
निम्नलिखित समीकरण-युग्म को हल कीजिए:
21x + 47y = 110
47x + 21y = 162
21x + 47y = 110
47x + 21y = 162
Answer
View full question & answer→हमें प्राप्त है:
21x + 47y = 110 ...(i)
47x + 21y = 162 ...(ii)
समीकरण (i) को 47 से और समीकरण (ii) को 21 से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है :
987x + 2209y = 5170
987x + 441y = 3402
समीकरण (iii) में से समीकरण (iv) को घटाने पर, हमें प्राप्त होता है:
1768y = 1768
दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के युग्म
या y = 1, समीकरण (i) में y का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:
21x + 47 = 110
या 21x = 63
या x = 3
अतः, x = 3, y = 1
21x + 47y = 110 ...(i)
47x + 21y = 162 ...(ii)
समीकरण (i) को 47 से और समीकरण (ii) को 21 से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है :
987x + 2209y = 5170
987x + 441y = 3402
समीकरण (iii) में से समीकरण (iv) को घटाने पर, हमें प्राप्त होता है:
1768y = 1768
दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के युग्म
या y = 1, समीकरण (i) में y का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:
21x + 47 = 110
या 21x = 63
या x = 3
अतः, x = 3, y = 1
Question 302 Marks
निम्नलिखित समीकरण-युग्म को हल कीजिए:
21x + 47y = 110
47x + 21y = 162
21x + 47y = 110
47x + 21y = 162
Answer
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21x + 47y = 110 ...(i)
47x + 21y = 162 ...(ii)
समीकरण (i) को 47 से और समीकरण (ii) को 21 से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है :
987x + 2209y = 5170
987x + 441y = 3402
समीकरण (iii) में से समीकरण (iv) को घटाने पर, हमें प्राप्त होता है:
1768y = 1768
दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के युग्म
या y = 1, समीकरण (i) में y का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:
21x + 47 = 110
या 21x = 63
या x = 3
अतः, x = 3, y = 1
21x + 47y = 110 ...(i)
47x + 21y = 162 ...(ii)
समीकरण (i) को 47 से और समीकरण (ii) को 21 से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है :
987x + 2209y = 5170
987x + 441y = 3402
समीकरण (iii) में से समीकरण (iv) को घटाने पर, हमें प्राप्त होता है:
1768y = 1768
दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के युग्म
या y = 1, समीकरण (i) में y का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:
21x + 47 = 110
या 21x = 63
या x = 3
अतः, x = 3, y = 1
Question 312 Marks
p और q के किन मानों के लिए समीकरण-युग्म
4x + 5y = 2;
(2p + 7q)x + (p + 8q)y = 2q - p + 1 के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे?
4x + 5y = 2;
(2p + 7q)x + (p + 8q)y = 2q - p + 1 के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे?
Answer
View full question & answer→यहाँ, $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{4}{2 p+7 q}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{5}{p+8 q}$
और $\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{2}{2 q-p+1}$ है।
किसी समीकरण-युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होने के लिए, $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}$ होता है।
अत:, $\frac{4}{2 p+7 q}=\frac{5}{p+8 q}=\frac{2}{2 q-p+1}$
इसलिए, $\frac{4}{2 p+7 q}=\frac{5}{p+8 q}$ और $\frac{4}{2 p+7 q}=\frac{2}{2 q-p+1}$ है।
अर्थात्, 4p + 32q = 10p + 35q और 8q - 4p + 4 = 4p + 14q है।
अर्थात्, 6p + 3q = 0 और 8p + 6q = 4,
अर्थात, q = -2p ... (i) और 4p + 3q = 2 ... (ii)
समीकरण (i) से प्राप्त q के मान को समीकरण (ii) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है:
4p - 6p = 2
या p = -1
p के इस मान को समीकरण (i) में रखने (प्रतिस्थापित करने) पर, हमें प्राप्त होता है: q = 2
अतः, p = -1, q = 2 के लिए, दिए हुए समीकरण-युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे।
$\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{5}{p+8 q}$
और $\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{2}{2 q-p+1}$ है।
किसी समीकरण-युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होने के लिए, $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}$ होता है।
अत:, $\frac{4}{2 p+7 q}=\frac{5}{p+8 q}=\frac{2}{2 q-p+1}$
इसलिए, $\frac{4}{2 p+7 q}=\frac{5}{p+8 q}$ और $\frac{4}{2 p+7 q}=\frac{2}{2 q-p+1}$ है।
अर्थात्, 4p + 32q = 10p + 35q और 8q - 4p + 4 = 4p + 14q है।
अर्थात्, 6p + 3q = 0 और 8p + 6q = 4,
अर्थात, q = -2p ... (i) और 4p + 3q = 2 ... (ii)
समीकरण (i) से प्राप्त q के मान को समीकरण (ii) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है:
4p - 6p = 2
या p = -1
p के इस मान को समीकरण (i) में रखने (प्रतिस्थापित करने) पर, हमें प्राप्त होता है: q = 2
अतः, p = -1, q = 2 के लिए, दिए हुए समीकरण-युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे।
Question 322 Marks
p और q के किन मानों के लिए समीकरण-युग्म
4x + 5y = 2;
(2p + 7q)x + (p + 8q)y = 2q - p + 1 के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे?
4x + 5y = 2;
(2p + 7q)x + (p + 8q)y = 2q - p + 1 के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे?
Answer
View full question & answer→यहाँ, $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{4}{2 p+7 q}$
$\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{5}{p+8 q}$
और $\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{2}{2 q-p+1}$ है।
किसी समीकरण-युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होने के लिए, $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}$ होता है।
अत:, $\frac{4}{2 p+7 q}=\frac{5}{p+8 q}=\frac{2}{2 q-p+1}$
इसलिए, $\frac{4}{2 p+7 q}=\frac{5}{p+8 q}$ और $\frac{4}{2 p+7 q}=\frac{2}{2 q-p+1}$ है।
अर्थात्, 4p + 32q = 10p + 35q और 8q - 4p + 4 = 4p + 14q है।
अर्थात्, 6p + 3q = 0 और 8p + 6q = 4,
अर्थात, q = -2p ... (i) और 4p + 3q = 2 ... (ii)
समीकरण (i) से प्राप्त q के मान को समीकरण (ii) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है:
4p - 6p = 2
या p = -1
p के इस मान को समीकरण (i) में रखने (प्रतिस्थापित करने) पर, हमें प्राप्त होता है: q = 2
अतः, p = -1, q = 2 के लिए, दिए हुए समीकरण-युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे।
$\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{5}{p+8 q}$
और $\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{2}{2 q-p+1}$ है।
किसी समीकरण-युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होने के लिए, $\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}$ होता है।
अत:, $\frac{4}{2 p+7 q}=\frac{5}{p+8 q}=\frac{2}{2 q-p+1}$
इसलिए, $\frac{4}{2 p+7 q}=\frac{5}{p+8 q}$ और $\frac{4}{2 p+7 q}=\frac{2}{2 q-p+1}$ है।
अर्थात्, 4p + 32q = 10p + 35q और 8q - 4p + 4 = 4p + 14q है।
अर्थात्, 6p + 3q = 0 और 8p + 6q = 4,
अर्थात, q = -2p ... (i) और 4p + 3q = 2 ... (ii)
समीकरण (i) से प्राप्त q के मान को समीकरण (ii) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है:
4p - 6p = 2
या p = -1
p के इस मान को समीकरण (i) में रखने (प्रतिस्थापित करने) पर, हमें प्राप्त होता है: q = 2
अतः, p = -1, q = 2 के लिए, दिए हुए समीकरण-युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे।