प्रश्नों के उत्तर लिखिए। (प्रत्येक प्रश्न 4 अंक का हे)

Question 14 Marks

दो पानी के नल एक साथ एक हौज को $9 \frac{3}{8}$ घंटों में भर सकते हैं। बड़े व्यास वाला नल हौज को भरने में कम व्यास वाले नल से $10$ घण्टे कम समय लेता है। प्रत्येक द्वारा अलग से हौज को भरने के समय ज्ञात कीजिए।

Answer

माना बड़े व्यास वाला नल हौज को भरने में समय लेता है $= x$ घंटे
$\therefore$ छोटे व्यास वाला नल हौज को भरने में समय लेता है $= (x + 10)$ घंटे
$1$ घंटे में बड़े व्यास वाला नल हौज को भरता है $=\frac{1}{x}$
$1$ घंटे में छोटे व्यास वाला नल हौज को भरता है $=\frac{1}{x+10}$
$1$ घंटे में दोनों नल मिलकर हौज को भरते है
$=\frac{1}{x}+\frac{1}{x+10}=\frac{x+10+x}{x(x+10)}$
$=\frac{2 x+10}{x(x+10)}=\frac{2(x+5)}{x(x+10)} ...(i)$
$1$ घंटे में दोनों नल मिलकर हौज को भरते है $=\frac{8}{75} ...(ii) [$ दिया है $]$
$\therefore$ समीकरण $(i)$ और $(ii)$ से
$\frac{2(x+5)}{x(x+10)}=\frac{8}{75}$
$\Rightarrow \frac{x+5}{x^{2}+10 x}=\frac{4}{75}$
$\Rightarrow 75x + 375 = 4x^2 + 40x$
$\Rightarrow 4x^2 + 40x - 75x - 375 = 0$
$\Rightarrow 4x^2 - 35x - 375 = 0$
$\therefore x=\frac{35 \pm \sqrt{(35)^{2}-4 \times 4 \times(-375)}}{2 \times 4}$
$=\frac{35 \pm \sqrt{1225+6000}}{8}$
$=\frac{35 \pm \sqrt{7225}}{8}=\frac{35 \pm 85}{8}$
$=\frac{35+85}{8}, \frac{35-85}{8}$
$=\frac{120}{8}, \frac{-50}{8}$
$= 15,$ नल द्वारा लिया गया समय ऋणात्मक नहीं हो सकता
अतः बड़े नल द्वारा हौज भरने में लिया गया समय $= 15\ h$
छोटे नल द्वारा हौज भरने में लिया गया समय $= (15 +10) = 25\ h$

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Question 24 Marks

एक रेलगाड़ी एक समान चाल से $360\ km$ की दूरी तय करती है। यदि यह चाल $5\ km/h$ अधिक होती, तो वह उसी यात्रा में $1$ घण्टा कम समय लेती। रेलगाडी की चाल ज्ञात कीजिए।

Answer

माना रेलगाड़ी की चाल $= x\ km/h$
दूरी $= 360\ km$
$\therefore 360\ km$ दूरी तय करने में लगा समय $=\frac{360}{x} h$
यदि चाल 5 km/h अधिक होती तब, $360\ km$ दूरी तय करने में लगा समय $=\frac{360}{x+5} h$
प्रश्नानुसार,
$\frac{360}{x}-\frac{360}{x+5}=1$
$\Rightarrow 360\left[\frac{1}{x}-\frac{1}{x+5}\right]=1$
$\Rightarrow 360\left[\frac{x+5-x}{x(x+5)}\right]=1$
$\Rightarrow \frac{360 \times 5}{x^{2}+5 x}=1$
$\Rightarrow x^2 + 5x = 1800$
$\Rightarrow x^2 + 5x - 1800 = 0$
यह x में एक द्विघात समीकरण है।
गुणनखंड विधि द्वारा हल करने पर
$\Rightarrow x^2 + 45x - 40x - 1800 = 0$
$\Rightarrow x (x + 45) - 40 (x + 45) = 0$
$\Rightarrow (x + 45) (x - 40) = 0$
$\Rightarrow x + 45 = 0, x - 40 = 0$
$\Rightarrow x = - 45, x = 40$
लेकिन चाल कभी ऋणात्मक नहीं हो सकती
$\therefore x = 40$
अतः रेलगाड़ी की चाल $= 40\ km/h$

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Question 34 Marks

दो संख्याओं के वर्गों का अंतर $180$ है। छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का आठ गुना है। दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

Answer

मान लीजिए बड़ी संख्या $x$ है तो प्रश्नानुसार,
$($छोटी संख्या$)^2 = 8x \Rightarrow$ छोटी संख्या $=\sqrt{8 x}$
एवं $x^2 - 8x = 180$
$\Rightarrow x^2 - 8x - 180 = 0$
$\Rightarrow x^2 - 18x + 10x - 180 = 0$
$\Rightarrow x(x - 18) + 10 (x - 18) = 0$
$\Rightarrow (x - 18) (x + 10) = 0$
यातो $x - 18 = 0 \Rightarrow x = 18$ बड़ी संख्या
तो छोटी संख्या $=\sqrt{8 x}=\sqrt{8 \times 18}=\sqrt{144}=\pm 12$
अथवा $ x+ 10 = 0 \Rightarrow x = -10$ जो असम्भव है।
अतः अभीष्ट संख्याएँ या तो $18$ और $12$ अथवा $18$ और $-12$ हैं।

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Question 44 Marks

एक आयताकार खेत का विकर्ण उसकी छोटी भुजा से $60$ मी अधिक लंबा है। यदि बड़ी भुजा छोटी भुजा से 30 मी अधिक हो, तो खेत की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

Answer

मान लीजिए आयताकार खेत की छोटी भुजा $x$ मी. है तो प्रश्नानुसार विकर्ण $= (x + 60)$ मी. एवं
बड़ी भुजा $= (x + 30)$ मी.
अब पाइथागोरम प्रमेय से,
$($विकर्ण$)^2 = ($बड़ी भुजा$)^2 + ($छोटी भुजा$)^2$
$\Rightarrow (x + 60)^2 = (x + 30)^2 + (x)^2$
$\Rightarrow x^2 + 120x + 3600 = x^2 + 60x + 900 + x^2$
$\Rightarrow x^2 - 60x - 2700 = 0$
$\Rightarrow x^2 - 90x + 30x - 2700 = 0$
$\Rightarrow x (x - 90) + 30 (x - 90) = 0$
$\Rightarrow (x - 90) (x + 30) = 0$
या तो $x + 30 = 0 \Rightarrow x = - 30$ जो असम्भव है।
अथवा $x - 90 = 0 \Rightarrow x = 90$ मी.
$\Rightarrow$ छोटी भुजा $= x = 90$ मी.
एवं बड़ी भुजा $= x + 30 = 90 + 30 = 120$ मी.
अतः आयताकार खेत की अभीष्ट भुजाएँ $120$ मी. एवं $90$ मी. है।

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Question 54 Marks

एक क्लास टेस्ट में शेफाली के गणित और अंग्रेजी में प्राप्त किए गए अंकों का योग $30$ है। यदि उसको गणित में $2$ अंक अधिक और अंग्रेजी में $3$ अंक कम मिले होते, उनके अंकों को गुणनफल $210$ होता। उसके द्वारा दोनों विषयों में प्राप्त किए अंक ज्ञात कीजिए।

Answer

माना शेफाली के गणित में प्राप्त अंक $= x$
तब उसके अंग्रेजी में प्राप्त अंक $= (30 - x)$
प्रश्नानुसार,
$(x + 2)(30 - x - 3) = 210$
$\Rightarrow (x + 2)(27 - x) = 210$
$\Rightarrow 27x - x^2 + 54 - 2x - 210 = 0$
$\Rightarrow -x^2 + 25x - 156 = 0$
$\Rightarrow x^2 - 25x + 156 = 0$
$x^2- 13x - 12x + 156 = 0$
$\Rightarrow x(x - 13) - 12(x - 13) = 0$
$\Rightarrow (x - 13) (x - 12) = 0$
$\Rightarrow x - 13 = 0, x - 12 = 0$
$x = 13, x = 12$
अतः यदि उसके गणित में प्राप्त अंक $= 13,$ तब उसके अंग्रेजी में प्राप्त अंक $= 17$
और यदि उसके गणित में प्राप्त अंक $=12$, तब उसके अंग्रेजी में प्राप्त अंक $= 30 - 12 = 18$

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Question 64 Marks

$3$ वर्ष पूर्व रहमान की आयु (वर्षों में) का व्युत्क्रम और अब से $5$ वर्ष पश्चात् आयु के व्युत्क्रम का योग $\frac{1}{3}$ है। उसकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।

Answer

माना रहमान की वर्तमान आयु $= x$ वर्ष
$3$ वर्ष पहले उसकी आयु $= (x - 3)$ वर्ष
$5$ वर्ष बाद उसकी आयु $= (x + 5)$ वर्ष
प्रश्नानुसार,
$\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{3}$
$\Rightarrow 3(x + 5) + 3(x - 3) = (x - 3)(x + 5)$
$\Rightarrow 3x + 15 + 3x - 9 = x^2 + 5x - 3x - 15$
$\Rightarrow 6x + 6 = x^2 + 2x - 15$
$\Rightarrow x^2 - 4x - 21 = 0$
$\Rightarrow x^2 - 7x + 3x - 21 = 0$
$\Rightarrow x(x - 7) + 3(x - 7) = 0$
$\Rightarrow (x - 7)(x + 3) = 0$
या तो $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 ($जो असम्भव है$)$
अथवा $x - 7 = 0 \Rightarrow x = 7$
अतः रहमान की वर्तमान आयु $= 7$ वर्ष।

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Question 74 Marks

यदि द्विघात समीकरण $2x^2 + x - 4 = 0$ के मूल का अस्तित्व है तो इसे पूर्ण वर्ग बनाने की विधि द्वारा ज्ञात कीजिए।

Answer

चूँकि $2x^2 + x - 4 = 0$ में $a = 2, b = 1$ एवं $c = -4$
इसलिए $b^2 - 4ac = (1)^2 - 4(2)(-4) = 1 + 32 = 33$
अतः मूलों का अस्तित्व है।
अब $2x^2 + x - 4 = 0$
$\Rightarrow x^{2}+\frac{1}{2} x-2=0$
$\Rightarrow(x)^{2}+2(x)\left(\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}-\left(\frac{1}{4}\right)^{2}-2=0$
$\Rightarrow \left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}-\frac{1}{16}-2=0$
$\Rightarrow \left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}-\left(\frac{1+32}{16}\right)=0$
$\Rightarrow \left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}-\left(\frac{\sqrt{33}}{4}\right)^{2}=0$
$\Rightarrow \left(x+\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{33}}{4}\right)\left(x+\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{33}}{4}\right)=0$
$\Rightarrow \left(x+\frac{1+\sqrt{33}}{4}\right)\left(x+\frac{1-\sqrt{33}}{4}\right)=0$
या तो $x+\frac{1+\sqrt{33}}{4}=0 \Rightarrow x=-\frac{1+\sqrt{33}}{4}$
अथवा $x+\frac{1-\sqrt{33}}{4}=0 \Rightarrow x=-\frac{1-\sqrt{33}}{4}$
अतः समीकरण के अभीष्ट मूल $\frac{-1 \pm \sqrt{33}}{4}$ हैं।

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Question 84 Marks

दो वर्गों के क्षेत्रफलों का योग $468\ m^2$ है। यदि उनके परिमापों का अंतर $24\ m$ हो, तो दोनों वर्गों की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

Answer

माना पहले वर्ग की भुजा $= x\ m$
और दूसरे वर्ग की भुजा $= y\ m$
पहले वर्ग का क्षेत्रफल $= x^2 m^2$
दूसरे वर्ग का क्षेत्रफल $= y^2 m^2$
पहले वर्ग का परिमाप $= 4x\ m$
दूसरे वर्ग का परिमाप $= 4y\ m$
प्रश्नानुसार,
$x^2 + y^2 = 468 ...(i)$
$4x - 4y = 24$
$\Rightarrow x - y = 6 ...(ii)$
समीकरण $(ii)$ से
$x = 6 + y ...(iii)$
$x$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर
$(6 + y)^2 + y^2= 468$
$ \Rightarrow 36+12y + y^2 + y^2 = 468 $
$\Rightarrow 2y^2+ 12y + 36 - 468 =0 $
$\Rightarrow 2y^2 + 12y - 432 = 0$
$\Rightarrow y^2 + 6y - 216 = 0$
यह y में द्विघात समीकरण है।
द्विघात सूत्र द्वारा हल करने पर
$a = 1, b = 6, c = -216$
$\therefore D = b^2 - 4ac$
$= (6)^2 - 4 \times 1 \times (-216)$
$= 36 + 864 = 900$
$y=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2 a}=\frac{-6 \pm \sqrt{900}}{2 \times 1}$
$=\frac{-6 \pm 30}{2}=\frac{24}{2}, \frac{-36}{2} = 12, -18$
लेकिन वर्ग की भुजा कभी ऋणात्मक नहीं होती
$y = 12$
$y$ का मान समीकरण (iii) में रखने पर
$x = 6 + 12 = 18$
अत: पहले वर्ग की भुजा $= 18\ m$
और दूसरे वर्ग की भुजा $= 12\ m$

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Question 94 Marks

यदि द्विघात समीकरण $2x^2 - 7x + 3 = 0$ के मूल का अस्तित्व है तो इसे पूर्ण वर्ग बनाने की विधि द्वारा ज्ञात कीजिए।

Answer

चूँकि $2x^2 - 7x + 3 = 0$ में $a = 2, b = -7$ एवं $c = 3$
इसलिए $b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4(2)(3) = 49 - 24 = 25 > 0$
अतः मूलों का अस्तित्व है।
अब $2x^2 - 7x + 3 = 0 \Rightarrow x^{2}-\frac{7}{2} x+\frac{3}{2}=0$
$\Rightarrow (x)^{2}-2 \times(x)\left(\frac{7}{4}\right)+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}-\left(\frac{7}{4}\right)^{2}+\frac{3}{2}=0$
$\Rightarrow\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}-\frac{49}{16}+\frac{3}{2}=0$
$\Rightarrow \left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}-\left(\frac{49-24}{16}\right)=0$
$\Rightarrow\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}-\frac{25}{16}=0$
$\Rightarrow \left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}-\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=0$
$\Rightarrow \left(x-\frac{7}{4}+\frac{5}{4}\right)\left(x-\frac{7}{4}-\frac{5}{4}\right)=0$
$\Rightarrow \left(x-\frac{1}{2}\right)(x-3)=0$
या तो $x-\frac{1}{2}=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2}$
अथवा $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$
अतः समीकरण के अभीष्ट मूल $\frac{1}{2}$ एवं $3$ हैं।

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Question 104 Marks

मैसूर और बैंगलौर के बीच $132\ km$ यात्रा करने में एक एक्सप्रेस रेलगाड़ी, सवारी गाड़ी से $1$ घंटा समय कम लेती है (मध्य के स्टेशनों पर ठहरने का समय ध्यान में न लिया जाए)। यदि एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल, सवारी गाड़ी की औसत चाल से $11\ km/h$ अधिक हो, तो दोनों रेलगाड़ियों की औसत चाल ज्ञात कीजिए।

Answer

माना सवारी गाड़ी की औसत चाल $= x\ km/h$
तब एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल $= (x + 11)\ km/h$
दूरी $= 132\ km$
$132\ km$ दूरी तय करने में सवारी गाड़ी द्वारा लिया गया समय $=\frac{132}{x} \mathrm{~h}$
$132\ km$ दूरी तय करने में एक्सप्रेस रेलगाड़ी द्वारा लिया गया समय $=\frac{132}{x+11} \mathrm{~h}$
प्रश्नानुसार,
$\frac{132}{x}-\frac{132}{x+11}=1$
$\Rightarrow 132\left[\frac{1}{x}-\frac{1}{x+11}\right]=1$
$\Rightarrow \frac{x+11-x}{x(x+11)}=\frac{1}{132}$
$\Rightarrow \frac{11}{x^{2}+11 x}=\frac{1}{132}$
$\Rightarrow x^2 + 11x = 132 \times11$
$\Rightarrow x^2 + 11x - 1452 = 0$
यह x में एक द्विघात समीकरण है।
द्विघात सूत्र द्वारा हल करने पर
$a = 1, b = 11, c = - 1452$
$D = b^2 - 4ac$
$= (11)^2 - 4 \times 1 \times (-1452)$
$= 121 + 5808 = 5929$
$x=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2 a}=\frac{-11 \pm \sqrt{5929}}{2 \times 1}$
$=\frac{-11 \pm 77}{2}=\frac{66}{2}, \frac{-88}{2} = 33, -44$
रेलगाड़ी की चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती
$\therefore x = 33$
अत: सवारी गाड़ी की औसत चाल $= 33\ km/h$
एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल $= 33 + 11 = 44\ km/h$

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Question 114 Marks

$13$ मीटर व्यास वाले एक वृत्ताकार पार्क की परिसीमा के एक बिंदु पर एक खंभा इस प्रकार गाड़ना है कि इस पार्क के एक व्यास के दोनों अंत बिंदुओं पर बने फाटकों $A$ और $B$ से खंभे की दूरियों का अंतर $7$ मीटर हो। क्या ऐसा करना संभव है? यदि है, तो दोनों फाटकों से कितनी दूरियों पर खंभा गाड़ना है?

Answer

आइए सर्वप्रथम एक चित्र बनाएँ

माना खंभे की अभीष्ट स्थिति $P$ है। माना खंभे की फाटक $B$ से दूरी $x\ m$ है अर्थात् $BP = x\ m$ है। अब खंभे की दोनों फाटकों की दूरियों का अंतर$ = AP - BP ($या $BP - AP) = 7\ m$ है। इसलिए, $AP = (x + 7) m$ होगा।
साथ ही, $A B = 13\ m$ है। चूँकि $AB$ व्यास है, इसलिए
$\angle APB = 90^\circ $
इसलिए $AP^2 + PB^2 = AB^2 ($पाइथागोरस प्रमेय द्वारा$)$
अर्थात् $(x + 7)^2 + x^2 = 13^2$^
अर्थात् $x^2 + 14x + 49 + x^2 = 169$
अर्थात् $2x^2 + 14x - 120 = 0$
अतः खंभे की फाटक $B$ से दूरी $'x'$ समीकरण $x^2 + 7x - 60 = 0$ को संतुष्ट करती है।
यह देखने के लिए कि ऐसा संभव है अथवा नहीं, आइए इसके विविक्तकर पर विचार करें।
विविक्तकर है: $b^2 - 4ac = 72 - 4 \times 1 \times (-60) = 289 > 0$
अतः दिए गए द्विघात समीकरण के दो वास्तविक मूल हैं और इसीलिए खंभे को पार्क की परिसीमा पर गाड़ा जा सकना संभव है।
द्विघात समीकरण $x^2 + 7x - 60 = 0$ को द्विघाती सूत्र से हल करने पर, हम पाते हैं;
$x=\frac{-7 \pm \sqrt{289}}{2}=\frac{-7 \pm 17}{2}$
इसलिए, $x = 5$ या $-12$ है।
चूँकि $x$ खंभे और फाटक $B$ के बीच की दूरी है, यह धनात्मक होना चाहिए। इसलिए, $x = -12$ को छोड़ देते हैं। अतः, $x = 5$ है।
इस प्रकार. खंभे को पार्क की परिसीमा पर फाटक $B$ से $5\ m$ और फाटक $A$ से $\sqrt{13^{2}-5^{2}} = 12\ m$ की दूरी पर गाड़ना है।

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गणित प्रश्नों के उत्तर लिखिए। (प्रत्येक प्रश्न 4 अंक का हे)

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