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गणित प्रश्नों के उत्तर लिखिए। (प्रत्येक प्रश्न 2 अंक का हे)

निर्देशांक ज्यामिति · UP Board (UPMSP) कक्षा 10 (UPMSP - हिन्दी माध्यम). 18 questions.

Questions

प्रश्नों के उत्तर लिखिए। (प्रत्येक प्रश्न 2 अंक का हे)

Take a timed test

18 questions · self-marked practice — reveal the answer and mark yourself.

Question 12 Marks
मान लीजिए A(4, 2), B(6, 5) और C(1, 4) एक त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं। आप क्या देखते हैं?
[नोट: वह बिंदु जो तीनों माध्यिकाओं में सार्वनिष्ठ हो, उस त्रिभुज का केंद्रक (centroid) कहलाता है और यह प्रत्येक माध्यिका को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।]
Answer
हमें प्राप्त है कि: $\triangle$ABC के शीर्ष A(4, 2), B(6, 5) और C(1, 4) हैं। स्पष्ट है कि P, Q और R एक बिन्दु को व्यक्त करते है।
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Question 22 Marks
मान लीजिए A(4, 2), B(6, 5) और C(1, 4) एक त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं। AD पर स्थित ऐसे बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए की AP : PD = 2 : 1 हो।
Answer
हमें प्राप्त है कि: $\triangle$ABC के शीर्ष A(4, 2), B(6, 5) और C(1, 4) हैं।
चूंकि AP : PD = 2 : 1 अर्थात् P रेखाखण्ड AD को 2 : 1 के अनुपात में बांटता है।
$\therefore$ P के निर्देशांक हैं:
$\left[\frac{2\left(\frac{7}{2}\right)+(1 \times 4)}{2+1}, \frac{2\left(\frac{9}{2}\right)+1 \times 2}{2+1}\right]$ या $\left(\frac{11}{3}, \frac{11}{3}\right)$
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Question 32 Marks
मान लीजिए A(4, 2), B(6, 5) और C(1, 4) एक त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं। A से होकर जाने वाली माध्यिका BC से D पर मिलती है। बिंदु D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
Answer

हमें प्राप्त है कि: $\triangle$ABC के शीर्ष A(4, 2), B(6, 5) और C(1, 4) हैं।
चूंकि AD एक माध्यिका है
$\therefore$ D के निर्देशांक हैं:
$\left(\frac{6+1}{2}, \frac{5+4}{2}\right)$ या $\left(\frac{7}{2}, \frac{9}{2}\right)$

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Question 42 Marks
x और y में एक संबंध ज्ञात कीजिए, यदि बिंदु (x, y), (1, 2) और (7, 0) संरेखी हैं।
Answer
दिए गये बिन्दु हैं: A(x, y), B(1, 2) और C(7, 0)
A, B और C संरेखी होंगे यदि इन बिन्दुओं से बनी $\triangle$ का क्षेत्रफल शून्य हो।
अर्थात् यदि x(2 - 0) + 1(0 - y) + 7(y - 2) = 0
यदि 2x - y + 7y - 14 = 0
यदि 2x + 6y - 14 = 0
यदि x + 3y - 7 = 0
जो कि x और y के बीच अभीष्ठ संबंध है।
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Question 52 Marks
(8, 1), (k, -4), (2, -5) में k का मान ज्ञात कीजिए, ताकि तीनों बिंदु संरेखी हों।
Answer
माना (8, 1), (k, -4) और (2, -5) एक $\triangle$ के शीर्षों के निर्देशांक हैं।
A, B और C संरेखी होंगे, यदि क्षे. ($\triangle$ABC) = 0
i.e., 8(-4 + 5) + k(-5 - 1) + 2(1 - (-4)) = 0
$\Rightarrow$ 8(+1) + k(-6) + 2(5) = 0 $\Rightarrow$ 8 + (-6k) + 10 = 0
$\Rightarrow$ -6k + 18 = 0
$\Rightarrow$ k = $\frac{-18}{-6}$ = 3
इस प्रकार, k = 3
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Question 62 Marks
(7, -2), (5, 1), (3, k) में k का मान ज्ञात कीजिए, ताकि तीनों बिंदु संरेखी हों।
Answer
दिए गये तीन बिन्दु संरेखी होंगे, यदि उनसे बनी $\triangle$ का क्षेत्रफल शून्य हो। माना A(7, -2), B(5, 1) और C(3, k) है
$\therefore$ A, B और C संरेखी होंगे यदि क्षे. ($\triangle$ABC) = 0
अर्थात् 7(1 - k) + 5(k + 2) + 3(-2 - 1) = 0
$\Rightarrow$ 7 - 7k + 5k + 10 + (-6) - 3 = 0
$\Rightarrow$ 17 - 9 + 5k - 7k = 0 $\Rightarrow$ 8 - 2k = 0 $\Rightarrow$ 2k = 8
$\Rightarrow$ k = $\frac{8}{2}$ = 4
अत: k का अभीष्ठ मान = 4
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Question 72 Marks
बिंदुओं के (a, b), (-a, -b) युग्मों के बीच की दूरियाँ ज्ञात कीजिए।
Answer
यहाँ $x _1= a , y _1= b , x _2=- a$ और $y _2= b$
$\therefore$ अभीष्ठ दूरी = $\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}$
= $\sqrt{(-a-a)^{2}+(-b-b)^{2}}$
= $\sqrt{(-2a)^{2}+(-2b)^{2}}$
= $\sqrt{4 a^{2}+4 b^{2}}$
= $\sqrt{4\left(a^{2}+b^{2}\right)}=2 \sqrt{\left(a^{2}+b^{2}\right)}$
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Question 82 Marks
बिंदुओं के (-5, 7), (-1, 3) युग्मों के बीच की दूरियाँ ज्ञात कीजिए।
Answer
यहाँ $x _1=-5, y _1=7, x _2=-1$ और $y _2=3$
$\therefore$ अभीष्ठ दूरी = $\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}$
= $\sqrt{(-1-(-5)^{2}+(3-7)^{2}}$
= $\sqrt{(-1+5)^{2}+(-4)^{2}}$
= $\sqrt{16+16}$
= $\sqrt{32}=\sqrt{2 \times 16}=4 \sqrt{2}$
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Question 92 Marks
बिंदुओं के (2, 3), (4, 1) युग्मों के बीच की दूरियाँ ज्ञात कीजिए।
Answer
यहाँ $x _1=2, y _1=3, x _2=4$ और $y _2=1$
$\therefore$ अभीष्ठ दूरी = $\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}$
= $\sqrt{(4-2)^{2}+(1-3)^{2}}$
= $\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}}$
= $\sqrt{4+4}=\sqrt{8}$
= $\sqrt{2 \times 4}=2 \sqrt{2}$
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Question 102 Marks
बिंदुओं (5, -6) और (-1, -4) को जोड़ने वाले रेखाखंड को y-अक्ष किस अनुपात में विभाजित करती है? इस प्रतिच्छेद बिंदु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
Answer
मान लीजिए वांछित अनुपात k : 1 है। तब, विभाजन सूत्र द्वारा, उस रेखाखंड को k : 1 के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक हैं: $\left(\frac{-k+5}{k+1}, \frac{-4 k-6}{k+1}\right)$
यह बिंदु y-अक्ष पर स्थित है और हम जानते हैं कि y-अक्ष पर भुज 0 होता है।
अतः $\frac{-k+5}{k+1}=0$
इसलिए k = 5 है।
अर्थात् वांछित अनुपात 5 : 1 है। k का मान 5 रखने पर हमें प्रतिच्छेद बिंदु $\left(0, \frac{-13}{3}\right)$ प्राप्त होता है।
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Question 112 Marks
उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिंदुओं (4, -3) और (8, 5) को जोड़ने वाले रेखाखंड को आंतरिक रूप से 3 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।
Answer
मान लीजिए P(x, y) वांछित बिंदु है। विभाजन सूत्र का प्रयोग करने पर हमें
x = $\frac{3(8)+1(4)}{3+1}$ = 7, y = $\frac{3(5)+1(-3)}{3+1}$ = 3
प्राप्त होता है। अतः (7, 3) ही वांछित बिंदु है।
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Question 122 Marks
x और y में एक संबंध ज्ञात कीजिए, ताकि बिंदु (x, y) बिंदुओं (7, 1) और (3, 5) से समदूरस्थ (equidistant) हो।
Answer
मान लीजिए P(x, y) बिंदुओं A(7, 1) और B(3, 5) से समदूरस्थ है।
हमें $AP = BP$ दिया है। अतः, $AP ^2= BP ^2$ है।
अर्थात् $(x-7)^2+(y-1)^2=(x-3)^2+(y-5)^2$
अर्थात् $x^2-14 x+49+y^2-2 y+1=x^2-6 x+9+y^2-10 y+25$
अर्थात् $x-y=2$
यही x और y में वांछित संबंध है।
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Question 132 Marks
यदि A(-5, 7), B(-4, -5), C(-1, -6) और D(4, 5) एक चतुर्भुज ABCD के शीर्ष हैं, तो इस चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer
B को D से मिलाने पर, आपको दो त्रिभुज ABD और BCD प्राप्त होते हैं।
अब $\triangle$ABD का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2}$[-5(-5 - 5) + (-4)(5 - 7) + 4(7 + 5)]
= $\frac{1}{2}$(50 + 8 + 48) = $\frac{106}{2}$ = 53 वर्ग मात्रक
साथ ही, $\triangle$BCD का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2}$[-4(-6 - 5) - 1(5 + 5) + 4(-5 + 6)]
= $\frac{1}{2}$(44 - 10 + 4) = 19 वर्ग मात्रक
अतः, चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = 53 + 19 = 72 वर्ग मात्रक
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Question 142 Marks
k का मान ज्ञात कीजिए, यदि बिंदु A(2, 3), B(4, k) और C(6, -3) संरेखी हैं।
Answer
चूँकि तीनों बिंदु संरेखी हैं, इसलिए इनसे बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल 0 होगा।
अर्थात्
$\frac{1}{2}$[2(k + 3) + 4(-3 - 3) + 6(3 - k)] = 0
अर्थात् $\frac{1}{2}$(-4k) = 0
या k = 0
अत:, k का वांछित मान 0 है।
आइए अपने उत्तर की जाँच करें।
$\triangle$ABC का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2}$[2(0 + 3) + 4(-3 - 3) + 6(3 - 0) = 0
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Question 152 Marks
बिंदुओं P(-1.5, 3), Q(6, -2) और R(-3, 4) से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer
दिए हुए बिंदुओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल है:
$\frac{1}{2}$[-1.5(-2 - 4) + 6(4 - 3) + (-3)(3 + 2)]
= $\frac{1}{2}$(9 + 6 - 15) = 0
क्या हम 0 वर्ग मात्रक क्षेत्रफल वाला कोई त्रिभुज प्राप्त कर सकते हैं? इसका अर्थ क्या है? इसका अर्थ है कि यदि किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल 0 मात्रक हो, तो उसके शीर्ष संरेखी होंगे।
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Question 162 Marks
बिंदुओं A(5, 2), B(4, 7) और C(7, -4) से बनने वाले $\triangle$ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer
शीर्षों A(5, 2), B(4, 7) और C(7, -4) वाले त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल है:
$\frac{1}{2}$[5(7 + 4) + 4(-4 - 2) + 7(2 - 7)]
= $\frac{1}{2}$(55 - 24 - 35) = $\frac{-4}{2}$ = -2
चूँकि क्षेत्रफल एक माप है, इसलिए यह ऋणात्मक नहीं हो सकता है। अतः, हम क्षेत्रफल के रूप -2 का संख्यात्मक मान 2 लेंगे। इसलिए त्रिभुज का क्षेत्रफल 2 वर्ग मात्रक है।
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Question 172 Marks
उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (1, -1),(-4, 6) और (-3, -5) है।
Answer
शीर्षों A(1, -1), B(-4, 6) और C(-3, -5) वाले त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल, उपरोक्त सूत्र द्वारा निम्नलिखित है:
$\frac{1}{2}$[1 (6 + 5) (-4) (-5 + 1) (-3) (-1 - 6)]
= $\frac{1}{2}$(11 + 16 + 21) = 24
अत: त्रिभुज का क्षेत्रफल 24 वर्ग मात्रक है।
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Question 182 Marks
यदि बिंदु A(6, 1), B(8, 2), C(9, 4) और D(p, 3) एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष इसी क्रम में हों, तो p का मान ज्ञात कीजिए।
Answer
हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं।
अतः, विकर्ण AC के मध्य बिंदु के निर्देशांक = विकर्ण BD के मध्य-बिंदु के निर्देशांक
अर्थात् $\left(\frac{6+9}{2}, \frac{1+4}{2}\right)=\left(\frac{8+p}{2}, \frac{2+3}{2}\right)$
या $\left(\frac{15}{2}, \frac{5}{2}\right)=\left(\frac{8+p}{2}, \frac{5}{2}\right)$
अतः $\frac{15}{2}=\frac{8+p}{2}$
या p = 7
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