MCQ [1M] - गणित कक्षा 10 Questions - Vidyadip

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MCQ [1M]

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MCQ 11 Mark

यदि sin A + sin² A = 1 है, तो व्यंजक (cos² A + cos⁴A) का मान है

A
$\frac{1}{2}$
B
2
C
3
D
1

Answer

दिया गया है, sin A + sin² A = 1
$\Rightarrow$ sin A = 1 - sin² A
$\Rightarrow$ sin A = cos² A
दोनों पक्षों का वर्ग करने के बाद
$\Rightarrow$ sin² A = cos⁴ A
$\Rightarrow$ 1 - cos² A = cos⁴ A
$\Rightarrow$ cos² A + cos⁴ A = 1

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MCQ 21 Mark

यदि $\triangle$ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें कोण C समकोण है, तो cos (A + B) का मान है

A
1
B
$\frac{1}{2}$
C
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D
0

Answer

हम जानते है कि
त्रिभुज के तीनों अतः कोणों का योग = 180^o
$\therefore$ $\angle A + \angle B + \angle C= 180^o $
परन्तु $\angle$C = 90^o (दिया है)
$\Rightarrow$ $\angle A + \angle B + 90^o= 180^o $
A + B = 180^o - 90^o
$\Rightarrow$ A + B = 90^o ($\because$ $\angle$A = A)
दोनों पक्षों का cos लेने पर, cos (A + B) = cos 90^o = 0

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MCQ 31 Mark

यदि cos 9$\alpha$ = sin $\alpha$ है और 9$\alpha$ < 90^o है, तो tan 5$\alpha$ का मान है

A
0
B
1
C
$\sqrt{3}$
D
$\frac{1}{\sqrt{3}}$

Answer

दिया गया है, cos 9$\alpha$ = sin $\alpha$
$\Rightarrow$ cos 9$\alpha$ = cos (90° - $\alpha$)
$\Rightarrow$ 9$\alpha$ = 90° - $\alpha$
$\Rightarrow$10$\alpha$ = 90°
$\Rightarrow$ $\alpha$ = 9^o
$\therefore$ tan 5$\alpha$ = tan (5 $\times$ 9^o) = tan 45° = 1

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MCQ 41 Mark

(tan 1° tan 2° tan 3° ... tan 89°) का मान है

A
$\frac{1}{2}$
B
2
C
1
D
0

Answer

हमारे पास tan 1°$\cdot$ tan 2$\cdot$ tan 3° …… tan 89°
= tan 1$\cdot$ tan 2$\cdot$ tan 3°… tan 43$\cdot$ tan 44$\cdot$ tan 45$\cdot$ tan 46$\cdot$ tan 47°…tan 87$\cdot$ tan 88$\cdot$ tan 89°
= tan 1$\cdot$ tan 2$\cdot$ tan 3°… tan 43$\cdot$ tan 44$\cdot$tan 46$\cdot$ tan 47°… tan 87$\cdot$ tan 88$\cdot$ tan 89° ...($\because$ tan 45° = 1)
= tan1$\cdot$tan 2$\cdot$tan 3°…tan 43$\cdot$tan 44$\cdot$1$\cdot$tan(90° - 44°)$\cdot$tan(90° - 43°)…tan(90° - 3°). tan(90° - 2°) $\cdot$ tan(90° - 1°)
= tan 1$\cdot$ tan 2$\cdot$ tan 3°…tan 43$\cdot$ tan 44$\cdot$ 1 $\cdot$ cot 44$\cdot$ cot 43°…cot 3$\cdot$ cot 2$\cdot$ cot 1° ...($\because$ tan(90° - $\theta$) = cot $\theta$)
= tan 1$\cdot$ tan 2$\cdot$ tan 3°… tan 43$\cdot$ tan 44$\cdot$1$\cdot$ $\frac{1}{\tan 44^{\circ}} \cdot \frac{1}{\tan 43^{\circ}} \cdots \frac{1}{\tan 3^{\circ}} \cdot \frac{1}{\tan 2^{\circ}} \cdot \frac{1}{\tan 1^{\circ}}$ ...($\because$ tan $\theta$ = $\frac{1}{\cot \theta}$)
= $\left(\tan 1^{\circ} \times \frac{1}{\tan 1^{\circ}}\right) \cdot\left(\tan 2^{\circ} \times \frac{1}{\tan 2^{\circ}}\right)$ .... $\left(\tan 44^{\circ} \times \frac{1}{\tan 44^{\circ}}\right)$ = 1
अत: tan 1$\cdot$ tan 2$\cdot$ tan 3° …… tan 89° = 1

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MCQ 51 Mark

यदि cos ($\alpha+\beta$) = 0 हो, तो sin ($\alpha-\beta$) को निम्नलिखित के रूप में बदला जा सकता है

A
sin $2\alpha$
B
cos $\beta$
C
cos $2\beta$
D
sin $\alpha$

Answer

दिया गया है: cos $(\alpha+\beta)$ = 0
हम लिख सकते हैं, cos$(\alpha+\beta)$ = cos 90^o ($\because$ cos 90^o = 0)
दोनों ओर cosine समीकरण की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं $(\alpha+\beta)$ = 90^o
$\Rightarrow \alpha=90^{\circ}-\beta$
अब हमें sin$(\alpha-\beta)$ कम करना है
तो, sin $(\alpha-\beta)$ = sin (90° - $\beta$ - $\beta$) ($\because$ हमें $\alpha$ का मान मिला है, जो है $\alpha=90^{\circ}-\beta$)
= sin (90 ° - 2$\beta$)
= cos 2$\beta$ ($\because$ sin (90° - $\theta$) = cos $\theta$)
इसलिए, sin $(\alpha-\beta)$ = cos 2$\beta$

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MCQ 61 Mark

यदि sin $\theta$ = $\frac{a}{b}$ दिया है, तो cos $\theta$ बराबर है

A
$\frac{\sqrt{b^{2}-a^{2}}}{b}$
B
$\frac{a}{\sqrt{b^{2}-a^{2}}}$
C
$\frac{b}{\sqrt{b^{2}-a^{2}}}$
D
$\frac{b}{a}$

Answer

दिया गया: sin $\theta$ = $\frac{a}{b}$
हम जानते हैं कि cos $\theta=\sqrt{1-\sin ^{2} \theta}$ ...[$\because$ sin² $\theta$ + cos² $\theta$ = 1]
या, cos $\theta$ = $\sqrt{1- \frac{a^{2}}{b^{2}}}$
या, cos $\theta=\frac{\sqrt{b^{2}-a^{2}}}{b}$

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MCQ 71 Mark

व्यंजक [cosec (75° + $\theta$) – sec (15° – $\theta$) – tan (55° + $\theta$) + cot (35° – $\theta$)] का मान है

A
-1
B
$\frac{3}{2}$
C
0
D
1

Answer

हमारे पास है, cosec(75° + $\theta$) - sec(15° - $\theta$) - tan (55° + $\theta$) + cot (35° - $\theta$)
= cosec [90°- (15° - $\theta$)] - sec(15° - $\theta$) - tan (55° + $\theta$) + cot [90°- (55° + $\theta$)]
= sec(15° - $\theta$) - sec (15° - $\theta$) - tan (55° + $\theta$) + tan (55° + $\theta$) ($\because$ cosec (90° - $\theta$) = sec $\theta$ और cot (90° - $\theta$) = tan $\theta$)
= 0

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MCQ 81 Mark

यदि sin A = $\frac{1}{2}$ है, तो cot A का मान है

A
$\sqrt{3}$
B
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C
1
D
$\frac{1}{\sqrt{3}}$

Answer

दिया गया: sin A = $\frac{1}{2}$ ...(i)
और हम जानते हैं कि cot A = $\frac{1}{\tan A}=\frac{\cos A}{\sin A}$ ...(ii)
हमें cos A का मान ज्ञात करना है।
cos A = $\sqrt{1-\sin ^{2} A}$ ...(iii)
समीकरण (i) को समीकरण (iii) में रखने पर हमें प्राप्त होता है
cos A = $\sqrt{{1-( \frac{1}{2 })}^2}$
cos A = $\sqrt{\left(1-\frac{1}{4}\right)}$
= $\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
eq (ii) में sin A और cos A के मानों को प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं
$\frac{1}{\tan A}=\frac{\cos A}{\sin A}$
cot A = $\frac{\sqrt{3}}{2} \times 2$ ...{$\because$ $\frac {1}{tan A}$ = cot A}
$=\sqrt{3}$

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MCQ 91 Mark

6m ऊँचे एक खंभे की छाया भूमि पर 2 $\sqrt{3}$ m लंबी है। तब उस समय सूर्य का उन्नयन कोण है

A
30^o
B
45^o
C
90^o
D
60^o

Answer

माना ऊँचाई = 6m छाया की लंबाई = $2 \sqrt{3}$ m
$\theta$ उन्नयन कोण है
tan $\theta$ = (ऊंचाई) / (छाया की लंबाई)
= $\frac{6}{2\sqrt{3}} $
= $\frac{6}{2\sqrt{3}} \times \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$
= $\frac{12\sqrt 3}{12}$ = $\sqrt{3}$
tan$\theta$ = $\sqrt{3}$
$\Rightarrow$ $\theta$ = tan^-1$\sqrt{3}$
$\theta=\frac{\pi}{3}$
झुकाव का कोण = 60^o है।

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MCQ 101 Mark

sin (45^o + $\theta$) - cos (45^o - $\theta$) बराबर है

A
1
B
2 cos $\theta$
C
2 sin $\theta$
D
0

Answer

जैसा कि हम जानते हैं कि, sin(90° - $\theta$) = cos$\theta$
तो, sin(45° + $\theta$) - cos(45° - $\theta$) = sin [90 ° - (45 ° - $\theta$)] - cos(45° - $\theta$)
= cos(45° - $\theta$) - cos(45° - $\theta$)
= 0

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MCQ 111 Mark

यदि sin $\theta$ - cos $\theta$ = 0 है, तो (sin⁴ $\theta$ + cos⁴ $\theta$) का मान है

A
1
B
$\frac{1}{2}$
C
$\frac{3}{4}$
D
$\frac{1}{4}$

Answer

दिया जाता है कि,
sin $\theta$ - cos $\theta$ = 0
$\Rightarrow$ sin $\theta$ = cos $\theta$
$\Rightarrow$ $\frac{\sin \theta}{\cos \theta}=1$
$\Rightarrow$ tan $\theta$ = 1
$\Rightarrow$ $\theta$ = 45^o
$\therefore$ sin⁴ $\theta$ + cos⁴ $\theta$
= sin⁴ 45^o + cos⁴ 45^o
= $\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{4}+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{4}$
= $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}$
= $\frac{1}{2}$

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MCQ 121 Mark

यदि 4 tan $\theta$ = 3 है, तो ($\frac{4 \sin \theta-\cos \theta}{4 \sin \theta+\cos \theta}$) बराबर है

A
$\frac{2}{3}$
B
$\frac{1}{2}$
C
$\frac{1}{3}$
D
$\frac{3}{4}$

Answer

दिया गया है, 4 tan $\theta$ = 3
अब $\frac{4 \sin \theta-\cos \theta}{4 \sin \theta+\cos \theta}$ के सभी पदों को cos $\theta$ द्वारा विभाजित करेंगे,
= $\frac{4 \tan \theta-1}{4 \tan \theta+1}=\frac{3-1}{3+1}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

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MCQ 131 Mark

व्यंजक [$\frac{\sin ^{2} 22^{\circ}+\sin ^{2} 68^{\circ}}{\cos ^{2} 22^{\circ}+\cos ^{2} 68^{\circ}}$ + sin² 63 cos 63^o sin 27^o] का मान है

A
1
B
2
C
3
D
0

Answer

दिया गया है: $\frac{\sin ^{2} 22^{\circ}+\sin ^{2} 68^{\circ}}{\cos ^{2} 22^{\circ}+\cos ^{2} 68^{\circ}}$ + sin² 63^o + cos 63^o sin 27^o
= $\frac{\sin ^{2} 22^{\circ}+\sin ^{2}\left(90^{\circ}-22^{\circ}\right)}{\cos ^{2} 22^{\circ}+\cos ^{2}\left(90^{\circ}-22^{\circ}\right)}$ + sin² 63^o + cos 63^o sin (90^o - 63^o)
= $\frac{\sin ^{2} 22^{\circ}+\cos ^{2} 22^{\circ}}{\cos ^{2} 22^{\circ}+\sin ^{2} 22^{\circ}}$ + sin² 63^o + cos 63^o cos 63^o...($\because$ cos (90^o - $\theta$) = sin $\theta$ and sin (90^o - $\theta$) = cos $\theta$)
$\Rightarrow$ $\frac{\sin ^{2} 22^{\circ}+\cos ^{2} 22^{\circ}}{\cos ^{2} 22^{\circ}+\sin ^{2} 22^{\circ}}$ + sin² 63^o + cos² 63^o
$\Rightarrow$ $\frac{1}{1}$ + 1 = 2

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MCQ 141 Mark

यदि sin $\alpha$ = $\frac{1}{2}$और cos $\beta$ = $\frac{1}{2}$ दिया है, तो $(\alpha+\beta)$ का मान है

A
90^o
B
0^o
C
60^o
D
30^o

Answer

दिया गया: $\sin \alpha=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow$ sin $\alpha$ = sin 30^o
$\Rightarrow$ $\alpha$ = 30^o और cos $\beta$ = $\frac{1}{2}$
$\Rightarrow$ cos $\beta$ = cos 60^o
$\Rightarrow$ $\beta$ = 60^o
$\therefore$ $\alpha+\beta$ = 30^o + 60^o = 90^o

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MCQ 151 Mark

यदि cos A = $\frac{4}{5}$ है, तो tan A का मान है

A
$\frac{4}{3}$
B
$\frac{3}{4}$
C
$\frac{3}{5}$
D
$\frac{5}{3}$

Answer

दिया गया है: cos A = $\frac{4}{5}$ ...(i)
हम जानते हैं कि tan A = $\frac{\sin A}{\cos A}$
हम यह भी जानते हैं कि sin A = $\sqrt{\left(1-\cos ^{2} A\right)}$ ...(ii)
इस प्रकार, समीकरण (i) को समीकरण (ii) में रखने पर, हम प्राप्त करते हैं
sin A = $\sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^{2}}$
sin A = $\sqrt{1-\frac{16}{25}}$
= $\sqrt{(\frac 9 { 25})}=\frac{3}{5}$
इसलिए, tan A = $\frac{3}{5} \times \frac{5}{4}=\frac{3}{4}$

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MCQ 161 Mark

(sin 45° + cos 45°) का मान है

A
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
B
$\sqrt{2}$
C
1
D
$\frac{1}{\sqrt{2}}$

Answer

दिया गया है: sin 45^o + cos 45^o
= $\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}$
= $\frac{2}{\sqrt{2}}$
$\frac{2}{\sqrt{2}}$ का $\frac {\sqrt 2} {\sqrt 2} $ से गुणन करने पर
$\frac{2}{\sqrt{2}}$ $\times$ $\frac {\sqrt 2} {\sqrt 2} $
$\frac {2\sqrt 2} {2} $
$=\sqrt{2}$

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MCQ 171 Mark

$\frac{\tan 30^{\circ}}{\cot 60^{\circ}}$ का मान है

A
1
B
${\sqrt{3}}$
C
$\frac{1}{\sqrt{2}}$
D
$\frac{1}{\sqrt{3}}$

Answer

दिया गया है: $\frac{\tan 30^{\circ}}{\cot 60^{\circ}}$
= $\frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{1}{\sqrt{3}}}$ = 1

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MCQ 181 Mark

(sin 30° + cos 30°) – (sin 60° + cos 60°) का मान है

A
-1
B
2
C
0
D
1

Answer

दिया गया है: (sin 30° + cos 30°) - (sin 60° + cos 60°)
= ($\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$) - ($\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}$)
= $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ - $\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}$
इसे हल करने के बाद, इसका मान होगा
= 0

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