प्रश्नों के उत्तर लिखिए। (प्रत्येक प्रश्न 3 अंक का हे)

Question 13 Marks

यदि $\tan \theta + \sec \theta = l$ है, तो सिद्ध कीजिए कि $\sec \theta = \frac{l^{2}+1}{2 l}$ है।

Answer

दिया गया है, $\tan \theta + sec \theta = l ...(i)$
हम जानते हैं कि, $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1 ...(ii)$
अब, $\sec \theta + \tan \theta = l [eq (i)]$
$\Rightarrow (\sec \theta + \tan \theta) \frac{(\sec \theta-\tan \theta)}{\sec \theta-\tan \theta} = 1$
$\Rightarrow \frac{\sec ^{2} \theta-\tan ^{2} \theta}{\sec \theta-\tan \theta}=l$
$\Rightarrow \frac{1}{\sec \theta-\tan \theta}=l [eq (ii)]$
या, $\sec \theta – \tan \theta = \frac{l}{l} ...(iii)$
अब, $\sec \theta$ प्राप्त करने के लिए, $\tan \theta$ को $(i)$ और $(iii)$ से हटाकर $(i)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है:-
$\Rightarrow 2 \sec \theta = l+\frac{1}{l}$
$\Rightarrow 2 \sec \theta = \frac{l^{2}+1}{l}$
$\Rightarrow \sec \theta = \frac{l^{2}+1}{2 l}$
सिद्ध किया।

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Question 23 Marks

यदि $\sin \theta + 2 \cos \theta = 1$ दिया है, तो सिद्ध कीजिए कि $2 \sin \theta - \cos \theta = 2$ है।

Answer

दिया गया है, $\sin \theta + 2 \cos \theta = 1$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हम प्राप्त करते हैं
$(\sin \theta + 2 \cos \theta)^2 = 1$
$\Rightarrow \sin^2 \theta + 4 \cos^2 \theta + 4 \sin \theta \cos \theta = 1$
$\Rightarrow 1 – \cos^2 \theta + 4 (1 – \sin^2 \theta) + 4 \sin \theta \cos \theta = 1 [\because \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1]$
$\Rightarrow 1 – \cos^2 \theta + 4 – 4 \sin^2 \theta + 4 \sin \theta \cos \theta = 1$
$\Rightarrow –\cos^2 \theta – 4 \sin^2 \theta + 4 \sin \theta \cos \theta = –4$
$\Rightarrow -(\cos^2 \theta + 4 \sin^2 \theta - 4 \sin \theta \cos \theta) = -4$
$\Rightarrow \cos^2 \theta + 4 \sin^2 \theta – 4 \sin \theta \cos \theta = 4$
$\Rightarrow (\cos \theta)^2 + (2 \sin \theta)^2 – 2(\cos \theta) (2 \sin \theta) = 4$
$\Rightarrow (2 \sin \theta – \cos \theta)^2 = 2^2$
$\Rightarrow 2 \sin \theta – \cos \theta = 2$
इसलिए सिद्ध हुआ।

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Question 33 Marks

यदि $1 + \sin^2 \theta = 3 \sin \theta \cos \theta$ है, तो सिद्ध कीजिए कि $\tan \theta = 1$ या $\frac{1}{2}$ है।

Answer

दिया गया है, $1 + \sin^2 \theta = 3 \sin \theta \cos \theta,$ तो हमें सिद्ध करना होगा कि $\tan \theta = 1$, या $\frac{1}{2}$
अब, $1 + \sin^2 \theta = 3 \sin \theta \cos \theta [\sin^2 \theta$ से डिवाइडिंग दोनों पक्षों$]$
$\Rightarrow \frac{1}{\sin ^{2} \theta}+\frac{\sin ^{2} \theta}{\sin ^{2} \theta}=\frac{3 \sin \theta \cos \theta}{\sin ^{2} \theta}$
$\Rightarrow cosec^2 \theta + 1 = 3 \cot \theta$
$\Rightarrow 1 + \cot^2 \theta + 1 – 3 \cot \theta = 0$
$\Rightarrow \cot^2 \theta – 3 \cot \theta + 2 = 0$
$\Rightarrow \cot^2 \theta – 2 \cot \theta – \cot \theta + 2 = 0$
$\Rightarrow \cot \theta(\cot \theta – 2) –1(\cot \theta – 2) = 0$
$\Rightarrow (\cot \theta – 2) (\cot \theta – 1) = 0$
$\Rightarrow \cot \theta – 2 = 0$ or $(\cot \theta – 1) = 0$
$\Rightarrow \cot \theta = 2$ or $\cot \theta = 1$
$\Rightarrow \tan \theta = \frac{1}{2}$ or $\tan \theta = 1$
इसलिए, या तो, $\tan \theta = \frac{1}{2}$, या $1$

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Question 43 Marks

सिद्ध कीजिए कि $\sqrt{\sec ^{2} \theta+\operatorname{cosec}^{2} \theta}$ = tan $\theta$ + cot $\theta$ है।

Answer

हमें सिद्ध करना है:-
$\sqrt{\sec ^{2} \theta+\operatorname{cosec}^{2} \theta}$ = tan $\theta$ + cot $\theta$
अब, LHS लें = $\sqrt{\sec ^{2} \theta+\operatorname{cosec}^{2} \theta}$
= $\sqrt{\frac{1}{\cos ^{2} \theta}+\frac{1}{\sin ^{2} \theta}}=\sqrt{\frac{\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta}{\cos ^{2} \theta \sin ^{2} \theta}}$
= $\sqrt{\frac{1}{\sin ^{2} \theta \cdot \cos ^{2} \theta}}=\frac{1}{\sin \theta \cos \theta}$
= cosec $\theta$ sec $\theta$ ...(i)
अब, RHS = tan $\theta$ + cot $\theta$
= $\frac{\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{\cos \theta}{\sin \theta}=\frac{\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta}{\sin \theta \cos \theta}$
= $\frac{1}{\sin \theta \cdot \cos \theta}$
= cosec $\theta$ sec $\theta$ ...(ii)
इसलिए, (i) और (ii) से
LHS = RHS

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Question 53 Marks

सिद्ध कीजिए कि $\frac{1+\sec \theta-\tan \theta}{1+\sec \theta+\tan \theta}=\frac{1-\sin \theta}{\cos \theta}$ है।

Answer

हमें यह साबित करना होगा $\frac{1+\sec \theta-\tan \theta}{1+\sec \theta+\tan \theta}=\frac{1-\sin \theta}{\cos \theta}$
सर्वसमिका को याद कीजिए $sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$
यहाँ, LHS $= \frac{1+\sec \theta-\tan \theta}{1+\sec \theta+\tan \theta}$
$= \frac{\sec ^{2} \theta-\tan ^{2} \theta+\sec \theta-\tan \theta}{1+\sec \theta+\tan \theta}$
$= \frac{(\sec \theta-\tan \theta)(\sec \theta+\tan \theta)+(\sec \theta-\tan \theta)}{1+\sec \theta+\tan \theta} [\because a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)]$
$= \frac{(\sec \theta-\tan \theta)[\sec \theta+\tan \theta+1]}{(\sec \theta+\tan \theta+1)}$
$= sec \theta - \tan \theta$
$= \frac{1}{\cos \theta}-\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$
$= \frac{1-\sin \theta}{\cos \theta} =$ RHS

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Question 63 Marks

यदि $a \sin \theta + b \cos \theta = c$ है, तो सिद्ध कीजिए कि $a \cos \theta - b \sin \theta = \sqrt{a^{2}+b^{2}-c^{2}}$ है।

Answer

हमारे पास है, $a \sin \theta + b \cos \theta = c$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हम प्राप्त करते हैं
$(a \sin \theta + b \cos \theta)^2 = c^2$
$(a \sin \theta)^2 + (b \cos \theta)^2 + 2(a \sin \theta) (b \cos \theta) = c^2$
$\Rightarrow a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta + 2ab \sin \theta \cos \theta = c^2$
$\Rightarrow a^2(1 – \cos^2 \theta) + b^2 (1 – \sin^2 \theta) + 2 ab \sin \theta \cos \theta = c^2 [\because \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1]$
$\Rightarrow a^2 – a^2 \cos^2 \theta + b^2 – b^2 \sin^2 \theta + 2ab \sin \theta \cos \theta = c^2$
$\Rightarrow –a^2 \cos^2 \theta – b^2 \sin^2 \theta + 2ab \sin \theta \cos \theta = c^2– a^2 – b^2$
नकारात्मक चिन्ह बदलने पर,
$\Rightarrow a^2 \cos^2 \theta + b^2 \sin^2 \theta – 2ab \sin \theta \cos \theta = a^2 + b^2 – c^2$
$\Rightarrow (a \cos \theta)^2 + (b \sin \theta)^2 – 2(a \cos \theta) (b \sin \theta) = a^2+ b^2 – c^2$
$\Rightarrow (a \cos \theta - b \sin \theta)^2 = a^2 + b^2 - c^2$
$\Rightarrow a \cos \theta - b \sin \theta = \pm \sqrt{a^{2}+b^{2}-c^{2}}$
$\Rightarrow a \cos \theta - b \sin \theta = \sqrt{a^{2}+b^{2}-c^{2}}$
सिद्ध किया।

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Question 73 Marks

यदि $\sin \theta + \cos \theta = p$ और $\sec \theta + cosec\ \theta = q$ है, तो सिद्ध कीजिए कि $q(p^2 - 1) = 2p$ है।

Answer

हमारे पास है, $p = \sin \theta + \cos \theta$ और $q = \sec \theta + cosec\ \theta$
$\therefore$ LHS $= q(p^2 - 1) = (\sec \theta + cosec\ \theta) {(\sin \theta + \cos \theta)^2 - 1}$
$= \left(\frac{1}{\cos \theta}+\frac{1}{\sin \theta}\right) {\sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta - 1}$
$= \left(\frac{\sin \theta+\cos \theta}{\cos \theta \sin \theta}\right) (1 + 2 \sin \theta \cos \theta - 1)$
$= \left(\frac{\sin \theta+\cos \theta}{\cos \theta \sin \theta}\right) (2 \sin \theta \cos \theta ) = 2(\sin \theta + \cos \theta) = 2p =$ RHS

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Question 83 Marks

यदि $cosec\ \theta + \cot \theta = p$ है, तो सिद्ध कीजिए कि $\cos \theta=\frac{p^{2}-1}{p^{2}+1}$ है।

Answer

दिया गया है, $cosec \theta + \cot \theta = p ...(i)$
हम यह जानते हैं की, $cosec^2 \theta - \cot^2 \theta = 1$
$\Rightarrow (cosec\ \theta + \cot \theta)(cosec\ \theta - \cot \theta) = 1$
$\Rightarrow p(cosec\ \theta - \cot \theta) = 1$
$\Rightarrow cosec\ \theta - \cot \theta = \frac{1}{p} ...(ii)$
$i$ और $ii$ को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं
$2\ cosec\ \theta = p+\frac{1}{p}$
$cosec\ \theta = \frac{p^{2}+1}{2 p}$
$\Rightarrow \sin \theta = \frac{1}{\operatorname{cosec} \theta}=\frac{2 p}{p^{2}+1}$
हम वह जानते हैं, $\cos \theta = \sqrt{1-\sin ^{2} \theta}=\sqrt{1-\frac{4 p^{2}}{\left(p^{2}+1\right)^{2}}}=\sqrt{\frac{p^{4}+1-2 p^{2}}{\left(p^{2}+1\right)^{2}}}$
$\cos \theta = \sqrt{\frac{\left(p^{2}-1\right)^{2}}{\left(p^{2}+1\right)^{2}}}=\frac{p^{2}-1}{p^{2}+1}$

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गणित प्रश्नों के उत्तर लिखिए। (प्रत्येक प्रश्न 3 अंक का हे)

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