वास्तविक संख्याएँ गणित - वास्तविक संख्याएँ

1 से 10 तक की संख्याओं (दोनों सम्मिलित हैं) में से सभी संख्याओं से विभाज्य न्यूनतम संख्या है

एक शून्येतर परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का गुणनफल होता है

यदि दो धनात्मक पूर्णांकों p और q को p = ab² और q = a³b के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ a और b अभाज्य संख्याएँ हैं, तो LCM(p, q) है

यदि दो धनात्मक पूर्णांकों a और b को a = x³y² और b = xy³ के रूप में व्यक्त किया जाए, जहाँ x और y अभाज्य संख्याएँ हैं, तो HCF (a, b) है

वह सबसे बड़ी संख्या, जिससे 70 और 125 को विभाजित करने पर क्रमशः शेषफल 5 और 8 प्राप्त हों, है

यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करते हुए, ज्ञात कीजिए कि क्या संख्या 231, 396 युग्म सहअभाज्य हैं।

यूक्लिड की विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करते हुए, ऐसी सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए, जिससे 1251, 9377 और 15628 को भाग देने पर शेषफल क्रमशः 1, 2 और 3 प्राप्त हो।

441, 567 और 693 का HCF ज्ञात करने के लिए, यूक्लिड की विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कीजिए।

सिद्ध कीजिए कि यदि x और y दोनों धनात्मक विषम पूर्णांक हैं, तो x² + y² एक सम संख्या है, परंतु 4 से विभाज्य नहीं है।

यदि n एक विषम पूर्णांक है, तो दर्शाइए कि n² - 1, 8 से विभाज्य है।

दर्शाइए कि n, n + 4, n + 8, n + 12 और n + 16 में से एक और केवल एक ही 5 से विभाज्य है, जहाँ n कोई धनात्मक पूर्णांक है।
[संकेत: किसी भी धनात्मक पूर्णांक को 5q, 5q + 1, 5q + 2, 5q + 3, 5q + 4 के रूप में लिखा जा सकता है।]

सिद्ध कीजिए कि किसी धनात्मक पूर्णांक n के लिए संख्या n³ - n, 6 से विभाज्य है।

सिद्ध कीजिए कि किन्हीं तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों में से एक पूर्णांक 3 से अवश्य ही विभाज्य होना चाहिए।

सिद्ध कीजिए कि n, n + 2 और n + 4 में से एक और केवल एक ही 3 से विभाज्य है, जहाँ n कोई धनात्मक पूर्णांक है।

दर्शाइए कि 6q + r के रूप के एक धनात्मक पूर्णांक का घन भी, जहाँ q एक पूर्णांक है तथा r = 0, 1, 2, 3, 4, 5 हैं, 6m + r के रूप का होता है। जहाँ m एक पूर्णांक है।

क्या किन्हीं दो संख्याओं का HCF 18 और LCM 380 हो सकता है? कारण दीजिए।

दोनों ही संख्याएँ 525 और 3000 केवल 3, 5, 15, 25 और 75 से विभाज्य हैं। HCF(525, 3000) क्या है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।

एक धनात्मक पूर्णांक 3q + 1 के रूप का है, जहाँ q एक प्राकृत संख्या है। क्या इसके वर्ग को 3m + 1 से भिन्न रूप में, अर्थात् 3m या 3m + 2 के रूप में लिख सकते हैं, जहाँ m कोई पूर्णांक है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।