MCQ

MCQ 11 Mark

यदि त्रिज्या $3 \ cm$ वाले एक वृत्त की दो स्पर्श रेखाएँ ऐसी खींची जाएँ कि उनके बीच का कोण $60^{\circ}$ हो, तो प्रत्येक स्पर्श रेखा की लंबाई होगी

A
$\frac{3}{2} \sqrt{3}$ cm
✓
$3 \sqrt{3}$ cm
C
$3 \ cm$
D
$6 \ cm$

Answer

Correct option: B.

$3 \sqrt{3}$ cm

माना $O$ केंद्र है। रचना: $OP$ में शामिल हो गए।

चूँकि $O P$ समद्विभाजित करता $\angle P$, इसलिए, $\angle A P O=\angle O P B=30^{\circ}$ और $\angle O A P=90^{\circ}$ $\therefore \tan 30^{\circ}=\frac{ OA }{ AP } \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{3}{ AP }$
$\Rightarrow AP =3 \sqrt{3} cm$ क्योंकि बाह्य बिंदु से वृत्त पर प्रत्येक स्पर्श रेखा बराबर होती है। इसलिए, $PA = PB =3 \sqrt{3} cm$

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MCQ 21 Mark

आकृति में, यदि $P A$ और $P B$ केंद्र $O$ वाले वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार हैं कि $\angle A P B=50^{\circ}$ हैं, तब $\angle O A B$ बराबर है

✓
$25^{\circ}$
B
$30^{\circ}$
C
$50^{\circ}$
D
$40^{\circ}$

Answer

Correct option: A.

$25^{\circ}$

दिया गया है, PA और PB स्पर्श रेखाएँ हैं।
$PA = PB$ [चूंकि, एक बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है]
$\angle PBA =\angle PAB =\theta$
$\triangle P A B$ में
$\angle P +\angle A +\angle B =180^{\circ}$
[चूँकि, त्रिभुज के कोणों का योग $=180^{\circ}$ ]
$50^{\circ}+\theta+\theta=180^{\circ}$
$2 \theta=180^{\circ}-50^{\circ}=130^{\circ}$
$\theta=65^{\circ}$
$O A \perp P A$
[चूँकि वृत्त के किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा संपर्क बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंबवत होती है]
$\angle PAO =90^{\circ}$
$\Rightarrow \angle PAB +\angle OAB =90^{\circ}$
$\Rightarrow 65^{\circ}+\angle BAO =90^{\circ}$
$\Rightarrow \angle OAB =90^{\circ}-65^{\circ}=25^{\circ}$

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MCQ 31 Mark

आकृति में, यदि $O$ वृत्त का केंद्र है, $P Q$ एक जीवा है तथा $P$ पर खींची गई स्पर्श रेखा $P R$ जीवा $P Q$ के साथ $50^{\circ}$ का कोण बनाती है, तो $\angle$ $P O Q$ बराबर है

✓
$100^{\circ}$
B
$80^{\circ}$
C
$75^{\circ}$
D
$90^{\circ}$

Answer

Correct option: A.

$100^{\circ}$

$OP \perp PR [\because$ स्पशरिखा और त्रिज्या हैं मैं $\perp$ संपर्क के बिंदु पर एक दूसरे के लिए] $\angle O P Q=90^{\circ}-50^{\circ}=40^{\circ}$
$OP = OQ$ [समद्विबाहु त्रिभुज के गुण से]
$\angle O P Q=\angle O Q P=40^{\circ}$
In $\triangle O P Q$
$\Rightarrow \angle O +\angle P +\angle Q =180^{\circ}$
$\Rightarrow \angle O +40^{\circ}+40^{\circ}=180^{\circ}$
$\angle O =180^{\circ}-80^{\circ}=100^{\circ}$

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MCQ 41 Mark

आकृति में, $A T$ केंद्र $O$ वाले वृत्त पर एक स्पर्श रेखा इस प्रकार है कि $O T=4 cm$ और $\angle O T A=30^{\circ}$ है। तब, $AT$ बराबर है

✓
$2 \sqrt{3}$ cm
B
$4 \ cm$
C
$4 \sqrt{3}$ cm
D
$2 \ cm$

Answer

Correct option: A.

$2 \sqrt{3}$ cm

चूँकि $O A \perp A T$, तो
$\angle O A T=90^{\circ}$
समकोण त्रिभुज $OAT$ में
$\cos 30^{\circ}=\frac{ AT }{ OT }$
$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{ AT }{4} \Rightarrow AT =2 \sqrt{3} cm$

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MCQ 51 Mark

किसी $5 \ cm$ त्रिज्या वाले वृत्त के एक व्यास $A B$ के एक सिरे $A$ पर स्पर्श रेखा $X A Y$ खींची गई है। $X Y$ के समांतर तथा $A$ से $8 \ cm$ की दूरी पर, जीवा $C D$ की लंबाई है

A
$5 \ cm$
B
$6 \ cm$
C
$4 \ cm$
✓
$8 \ cm$

Answer

Correct option: D.

$8 \ cm$

यहाँ, $O P=O Q=5$ सेमी [त्रिज्या] और $O R=P R-O P=8-5=3$ सेमी इसके अलावा, $O A=5$ सेमी [त्रिज्या]
अब, समकोण त्रिभुज $A O R$ में, $O A^2=O R^2+A R^2$
$\Rightarrow 5^2=3^2+A R^2$
$\Rightarrow A R^2=25-9=16$
$\Rightarrow A R=4 cm$
क्योंकि वृत्त के केंद्र से जीवा पर लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है।
$\therefore A B=A R+B R=4+4=8 cm$

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MCQ 61 Mark

किसी बिंदु $P$ से, जो त्रिज्या $5 \ cm$ वाले एक वृत्त के केंद्र $O$ से $13 \ cm$ की दूरी पर है, वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ $P Q$ और $P R$ खींची गई हैं। तब चतुर्भुज $P Q O R$ का क्षेत्रफल है

A
$30 cm^2$
✓
$60 cm^2$
C
$65 cm^2$
D
$32.5 cm^2$

Answer

Correct option: B.

$60 cm^2$

सबसे पहले, केंद्र $O$ वाले $5$ सेमी त्रिज्या का एक वृत्त बनाएं। $P, O$ से $13$ सेमी की दूरी पर एक बिंदु है।
स्पररेखा $P Q$ और $P R$ की एक जोड़ी खींची गई है।
इस प्रकार, चतुर्भुज $PQOR$ बनता है।
$OQ \perp QP$ [चूंकि, AP एक स्पर्श रेखा है]
समकोण $\triangle P Q O$ में
$O P^2=O Q^2+Q P^2$
$\Rightarrow 13^2=5^2+Q P^2$
$\Rightarrow Q P^2=169-25=144=12^2$
$\Rightarrow Q P=12 cm$

अब, $\triangle OQP$ का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} \times QP \times QO =\frac{1}{2} \times 12 \times 5=30 cm^2$
चतुर्भुज $Q O R P$ का क्षेत्रफल $=2 \times \triangle O Q P$ का क्षेत्रफल $=2 \times 30=60 cm^2$

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MCQ 71 Mark

आकृति में, $A B$ एक वृत्त की जीवा है तथा $A O C$ वृत्त का व्यास इस प्रकार है कि $\angle A C B=50^{\circ}$ है। यदि $A T$ बिंदु $A$ पर वृत्त की स्पर्श रेखा है, तो $\angle B A T$ बराबर है

A
$65^{\circ}$
✓
$50^{\circ}$
C
$40^{\circ}$
D
$60^{\circ}$

Answer

Correct option: B.

$50^{\circ}$

$\angle A C B=50^{\circ}$
$\angle C B A=90^{\circ}$ (अर्धवृत्त में कोण)
$\therefore \angle O A B=90^{\circ}-50^{\circ}$
$=40^{\circ}$
$\angle B A T=90^{\circ}-\angle O A B$
$=90^{\circ}-40^{\circ}$
$=50^{\circ}$

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MCQ 81 Mark

आकृति में, यदि $\angle A O B=125^{\circ}$ है, तो $\angle C O D$ बराबर है

✓
$55^{\circ}$
B
$62.5^{\circ}$
C
$45^{\circ}$
D
$35^{\circ}$

Answer

Correct option: A.

$55^{\circ}$

चूँकि वृत्त के परिगत एक चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ वृत्त के केंद्र पर संपूरक कोण अंतरित करती हैं।
$\therefore \angle A O B+\angle C O D=180^{\circ}$
$\Rightarrow 125^{\circ}+\angle C O D=180^{\circ} \angle C O D=55^{\circ}$

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MCQ 91 Mark

आकृति में, यदि $P Q R$ केंद्र $O$ वाले वृत्त की बिंदु $Q$ पर स्पर्श रेखा है, $A B$ रेखा $P R$ के समांतर एक जीवा है तथा $\angle B Q R=70^{\circ}$ है, तो $\angle AQB$ बराबर है

A
$45^{\circ}$
B
$20^{\circ}$
✓
$40^{\circ}$
D
$35^{\circ}$

Answer

Correct option: C.

$40^{\circ}$

दिया गया,

$PQR$ एक स्पर्श रेखा
$A B \| P R$ है
$\angle B Q R=70$
इसलिए $B A Q=\angle B Q R=70$ (वैकल्पिक खंड प्रमेय द्वारा) और $\angle A B Q=\angle B Q R=70$ (वैकल्पिक आंतरिक कोण) सभी कोणों को जोड़कर $\angle B A Q+A B Q+\angle A Q B=180$
$\angle A Q B=180-70-70$
$=40^{\circ}$

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MCQ 101 Mark

यदि दो संकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ $4 \ cm$ और $5 \ cm$ हैं, तो एक वृत्त की प्रत्येक उस जीवा की लंबाई, जो दूसरे वृत्त पर स्पर्श रेखा है, निम्नलिखित होगी

A
$9 \ cm$
✓
$6 \ cm$
C
$3 \ cm$
D
$1 \ cm$

Answer

Correct option: B.

$6 \ cm$

यहाँ $O C, A B$ पर लम्ब है।
तब $O C, A B$ को समद्विभाजित करती है, अर्थात $A C=B C$
अब, त्रिभुज $O A C$ में, $O A^2=A C^2+O C^2$
$\Rightarrow(5)^2=A C^2+(4)^2 \Rightarrow A C^2=25-16$
$\Rightarrow A C=3$ अतः स्पर्श रेखा $A B$ की लंबाई $=A C+B C=3+3=6 cm$

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गणित MCQ

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