बताइए कि कथन सत्य हैं या असत्य (1M) - गणित कक्षा 10 Questions - Vidyadip

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बताइए कि कथन सत्य हैं या असत्य (1M)

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Question 11 Mark

दो भिन्न वृत्तों के बराबर लंबाइयों वाले चापों के संगत त्रिज्यखंडों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं। क्या यह कथन सत्य है? क्यों?

Answer

असत्य,
कथन असत्य है क्योंकि वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = $(\frac{1}{2})r^2\theta$, जहाँ r त्रिज्या है और वृत्त के केंद्र में चाप द्वारा अंतरित रेडियन में कोण है। यह चाप की लंबाई पर निर्भर नहीं करता है।

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Question 21 Mark

यदि त्रिज्या r वाले एक वृत्त के एक चाप की लंबाई त्रिज्या 2r वाले एक वृत्त के चाप की लंबाई के बराबर हो, तो पहले वृत्त के संगत त्रिज्यखंड का कोण दूसरे वृत्त के संगत त्रिज्यखंड के कोण का दोगुना होता है? क्या यह कथन असत्य है? क्यों?

Answer

सत्य,
मान लीजिए P और Q दो वृत्त हैं जिनकी त्रिज्या क्रमशः r और 2r है। माना $C_1$ और $C_2$ क्रमशः वृत्त P और Q के केंद्र हैं।
मान लीजिए AB, P की चाप की लंबाई है और CD, Q की चाप की लंबाई है,
मान लीजिए $\theta_1$ तथा $\theta_2$ चाप AB और CD द्वारा क्रमशः केंद्र पर बनाया गया कोण है।
दिया है कि AB = CD = (कहते हैं)
अब, चाप की लंबाई $=\frac{\theta_{1}}{360} \times 2 \pi$ (त्रिज्या)
$\therefore \mathrm{AB}=\frac{\theta_{1}}{360} \times 2 \pi \mathrm{r}=l$
$\mathrm{CD}=\frac{\theta_{2}}{360} \times 2 \pi(2 r)=l$
$\therefore$ उपरोक्त दो समीकरणों से, हम प्राप्त करते हैं
$\frac{\theta_{1}}{360} \times 2 \pi r=\frac{\theta_{1}}{360} \times 2 \pi(2 r)$
$\Rightarrow \theta_{1}=2 \theta_{2}$
$\therefore$ पहले वृत्त के संगत त्रिज्यखंड का कोण दूसरे वृत्त के संगत त्रिज्यखंड के कोण का दोगुना है।

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Question 31 Mark

एक वृत्त के क्षेत्रफल का संख्यात्मक मान उसकी परिधि के संख्यात्मक मान से अधिक होता है। क्या यह कथन सत्य है? क्यों?

Answer

असत्य
मान लीजिए r वृत्त की त्रिज्या है।
वृत्त का क्षेत्रफल = $\pi$$r^2$
वृत्त की परिधि = 2$\pi$r
दोनों तभी बराबर होते हैं जब r = 2 और परिधि का एक संख्यात्मक मान एक वृत्त के क्षेत्रफल के संख्यात्मक मान से अधिक होता है जब 0 < r < 2 और यदि r > 2, तो एक वृत्त के क्षेत्रफल का संख्यात्मक मान होता है वृत्त की परिधि के संख्यात्मक मान से अधिक।

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Question 41 Mark

s मीटर की दूरी चलने के लिए, त्रिज्या r मीटर वाला एक वृत्ताकार पहिया $\frac{s}{2 \pi r}$ चक्कर लगाता है। क्या यह कथन सत्य है? क्यों?

Answer

सत्य,
r m त्रिज्या वाले वृत्ताकार पहिये द्वारा एक चक्कर में तय की गई दूरी वृत्त की परिधि के बराबर होती है = $2 \pi r^2$
$\therefore$ 2$\pi$r m में दूरी चलने की संख्या = 1
1 m में दूरी चलने की संख्या = $(\frac{1}{2}\pi r) $
s m में दूरी चलने की संख्या = $(\frac{1}{2}\pi r) $ $\times$ s

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Question 51 Mark

क्या यह कहना सत्य है कि व्यास d cm वाले एक वृत्ताकार पहिए द्वारा एक परिभ्रमण में चली गयी दूरी 2$\pi$d cm होती है? क्यों?

Answer

असत्य,
r त्रिज्या वाले वृत्ताकार पहिये द्वारा एक चक्कर में तय की गई दूरी वृत्त की परिधि के बराबर होती है।
साथ ही, वृत्त की परिधि = 2$\pi$r जहाँ d वृत्त का व्यास है।

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Question 61 Mark

क्या यह कहना सत्य है कि एक वृत्तखंड का क्षेत्रफल संगत त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल से कम होता है? क्यों?

Answer

एक वृत्त के दो खंड होते हैं, एक प्रमुख खंड और एक छोटा खंड।
लघु खंड का क्षेत्रफल संबंधित क्षेत्र के क्षेत्रफल से कम है।
लेकिन प्रमुख खंड के लिए भी यही सच नहीं है।

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Question 71 Mark

आकृति में, व्यास d वाले एक वृत्त के अंतर्गत एक वर्ग खींचा गया है तथा एक अन्य वर्ग इसी वृत्त के परिगत है। क्या बाहरी वर्ग का क्षेत्रफल आंतरिक वर्ग के क्षेत्रफल का चार गुना है? अपने उत्तर का कारण दीजिए।

Answer

असत्य

वृत्त का व्यास = d
इसलिए,
आंतरिक वर्ग का विकर्ण EFGH = बाहरी वर्ग $A B C D$ की भुजा = वृत्त का व्यास $= d$
मान लीजिए कि आंतरिक वर्ग EFGH की भुजा
समकोण त्रिभुज EFG में है,
$( EG )^2=( EF )^2+( FG )^2$ (पाइथागोरस प्रमेय द्वारा)
$\Rightarrow d^2=a^2+a^2$
$\Rightarrow d^2=2 a^2$
$\Rightarrow a^2=\frac{d^2}{2}$
$\therefore$ आंतरिक वृत्त का क्षेत्रफल $=a^2=\frac{d^2}{2}$
साथ ही, बाहरी वर्ग का क्षेत्रफल $= d ^2$
$\therefore$ बाहरी वृत्त का क्षेत्रफल आंतरिक वृत्त के क्षेत्रफल का केवल दो गुना है।
इस प्रकार, बाहरी वर्ग का क्षेत्रफल भीतरी वर्ग के क्षेत्रफल के चार गुना के बराबर नहीं है।

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Question 81 Mark

क्या यह कहना सत्य होगा कि त्रिज्या a cm वाले एक वृत्त के परिगत वर्ग का परिमाप 8 cm है? अपने उत्तर का कारण दीजिए।

Answer

सत्य
मान लीजिए r वृत्त की त्रिज्या है = a cm
$\therefore$ वृत्त का व्यास = d = 2 $\times$ त्रिज्या = 2a cm
चूँकि वृत्त वर्ग में अंकित है, इसलिए वर्ग की
भुजा = वृत्त का व्यास = 2a cm
इसलिए, वर्ग का परिमाप = 4 $\times$ (भुजा) = 4 $\times$ 2a = 8a cm

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Question 91 Mark

क्या यह कहना सत्य है कि व्यास $p cm$ वाले एक वृत्त के अंतर्गत वर्ग का क्षेत्रफल $p^2 cm^2$ है? क्यों?

Answer

असत्य,
जब वर्ग को वृत्त में अंकित किया जाता है, तो वृत्त का व्यास वर्ग के विकर्ण के बराबर होता है, लेकिन वर्ग की भुजा के नहीं। माना वर्ग की भुजा = a
$\therefore p^2=a^2+a^2$
$\Rightarrow p^2=2 a^2$
$\Rightarrow a^2=\frac{p^2}{2}$
अत: वर्ग का क्षेत्रफल $= a ^2=\frac{p^2}{2}$

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Question 101 Mark

दो वृत्तों के क्षेत्रफल बराबर हैं। क्या यह आवश्यक है कि इन वृत्तों की परिधियाँ भी बराबर हों? क्यों?

Answer

हाँ,
हमें दिया गया है कि
$R _1$ त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल $= R _2$ त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल
$\Rightarrow \pi\left(R_1\right)^2=\pi\left(R_2\right)^2$
$\Rightarrow R_1=R_2$
$\Rightarrow 2 \pi R_1=2 \pi R_2$ और इसलिए परिधि भी बराबर हैं।

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Question 111 Mark

दो वृत्तों की परिधियाँ बराबर हैं। क्या यह आवश्यक है कि इन वृत्तों के क्षेत्रफल भी बराबर हों? क्यों?

Answer

हाँ,
हमें दिया गया है कि
त्रिज्या $R_1$ वाले वृत्त की परिधि = त्रिज्या $R_2$ वाले वृत्त की परिधि
$\Rightarrow 2 \pi R_1=2 \pi R_2$
$\Rightarrow R_1=R_2$
$\Rightarrow \pi\left(R_1\right)^2=\pi\left(R_2\right)^2$
और इसलिए क्षेत्रफल भी बराबर हैं।

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Question 121 Mark

क्या लंबाई a cm और चौड़ाई $b cm ( a > b )$ वाले एक आयत के अंदर खींचे जा सकने वाले सबसे बड़े वृत्त का क्षेत्रफल $\pi b ^2 cm^2$ है? क्यों?

Answer

असत्य,
एक आयत के अंदर खींचा जा सकने वाला सबसे बड़ा वृत्त तब संभव है जब आयत एक वर्ग बन जाए।
$\therefore$ वृत्त का व्यास $=$ आयत की चौड़ाई $= b$
$\therefore$ वृत्त की त्रिज्या $=\frac{b}{2}$
अतः वृत्त का क्षेत्रफल $=\pi r^2=\pi\left(\frac{b}{2}\right)^2$

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Question 131 Mark

दो भिन्न वृत्तों के दो त्रिज्यखंडों के क्षेत्रफल बराबर हैं। क्या यह आवश्यक है कि इन त्रिज्यखंडों के संगत चापों की लंबाइयाँ बराबर होंगी? क्यों?

Answer

पहले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $=\left(\frac{1}{2}\right)\left(r_{1}\right)^{2} \theta_{1}$
जहाँ $r_1$ त्रिज्या है, $\theta_1$ वृत्त के केंद्र पर चाप द्वारा अंतरित केंद्रीय में कोण है।
दूसरे त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $=\left(\frac{1}{2}\right)\left(r_{2}\right)^{2} \theta_{2}$
जहाँ $r_2$ त्रिज्या है, $\theta_2$ वृत्त के केंद्र पर चाप द्वारा अंतरित कोण है।
मान लें कि: $\left(\frac{1}{2}\right)\left(r_{1}\right)^{2} \theta_{1}=\left(\frac{1}{2}\right)\left(r_{2}\right)^{2} \theta_{2}$
$\Rightarrow\left(r_{1}\right)^{2} \theta_{1}=\left(r_{2}\right)^{2} \theta_{2}$
यह केंद्र पर अंतरित त्रिज्या और कोण दोनों पर निर्भर करता है। लेकिन चाप की लंबाई केवल वृत्त की त्रिज्या पर निर्भर करती है।
इसलिए, यह आवश्यक नहीं है कि संगत चाप की लंबाई समान हो। यह तभी संभव है जब संगत कोण बराबर हों (क्योंकि तब, संगत त्रिज्याएँ समान होंगी और इसलिए चाप की लंबाई समान होगी)।

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Question 141 Mark

क्या भुजा a cm वाले वर्ग के अंतर्गत खींचे गये वृत्त का क्षेत्रफल $\pi a ^2 cm^2$ होता है? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।

Answer

मान लीजिए a वर्ग की भुजा है।
हमें दिया गया है कि वर्ग में वृत्त बना हुआ है।
$\therefore$ वृत्त का व्यास = वर्ग की भुजा = a
$\therefore$ वृत्त की त्रिज्या = $\frac{a}{2}$
वृत्त का क्षेत्रफल = $\pi$r$^2$= $\pi$($\frac{a}{2}$)$^2$ $= \frac{(\pi a^2)}{4}$ $cm^2$
इसलिए, वृत्त का क्षेत्रफल है $\frac{1}{4}$$\pi$a$^2$ $cm^2$

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Question 151 Mark

यदि त्रिज्या r वाले एक वृत्त के एक त्रिज्यखंड का कोण (डिग्री में) $\theta$ है, त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल है

Answer

$\frac{\pi r^{2} \theta}{360}$

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Question 161 Mark

यदि एक वृत्त का क्षेत्रफल 154 cm$^2$है, तो उसका परिमाप है

Answer

दिया गया वृत्त का क्षेत्रफल = 154
$\Rightarrow$ वृत्त का क्षेत्रफल = $\pi$r$^2$
= $(\frac{22}{7})$ $\times$ 7 $\times$ 7
= 154
अतः वृत्त की त्रिज्या = 7 cm
वृत्त का परिमाप = 2$\pi$r
= 2 $\times$ $(\frac{22}{7})$ $\times$ 7
= 44 cm
$\Rightarrow$ वृत्त का परिमाप = 44 cm

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