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गणित प्रश्नों के उत्तर लिखिए। (प्रत्येक प्रश्न 3 अंक का हे)

वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल · UP Board (UPMSP) कक्षा 10 (UPMSP - हिन्दी माध्यम). 23 questions.

Questions

प्रश्नों के उत्तर लिखिए। (प्रत्येक प्रश्न 3 अंक का हे)

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23 questions · self-marked practice — reveal the answer and mark yourself.

Question 13 Marks
बराबर त्रिज्या $7\ cm$ त्रिज्या वाले चार वृत्ताकार गत्ते के टुकड़ों को एक कागज पर इस प्रकार रखा गया है कि प्रत्येक टुकड़ा अन्य दो टुकड़ों को स्पर्श करता है। इन टुकड़ों के बीच में परिबद्ध भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer
चारों वृत्तों को इस प्रकार रखा गया है कि प्रत्येक टुकड़ा अन्य दो टुकड़ों को स्पर्श करे।
अत: वृत्तों के केन्द्रों को एक रेखाखंड से मिलाने पर हमें एक वर्ग ABCD प्राप्त होता है जिसकी भुजाएँ
$AB = BD = DC = CA = 2$ (त्रिज्या) $= 2(7) cm = 14\ cm$
$$अब, वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)$^2 = (14)^2 = 196 cm^2$
चूँकि, ABCD एक वर्ग है, $\therefore$ प्रत्येक कोण का माप $90^\circ $ होता है।
$\therefore$ $\angle$A = $\angle$B = $\angle$D = $\angle$C $= 90^\circ $ = $\frac{\pi}{2}$ = त्रिज्या (कहते हैं)
साथ ही, प्रत्येक त्रिज्यखंड की त्रिज्या $= 7$ सेमी
अत: केंद्रीय कोण A वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $=(\frac{1}{2})r^2\theta$
$=\frac{1}{2} r^{2} \theta$
$=\frac{1}{2} \times 49 \times \frac{\pi}{2}$
$=\frac{1}{2} \times 49 \times \frac{22}{2 \times 7}$
$=(\frac{77}{2})$ $cm^2$
चूंकि प्रत्येक त्रिज्यखंड के केंद्रीय कोण और त्रिज्या समान हैं, इसलिए प्रत्येक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $\frac{77}{2}$ $cm^2$ है
$\therefore$ छायांकित भाग का क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल - चार त्रिज्यखंडों का क्षेत्रफल
$=196-\left(4 \times \frac{77}{2}\right)$
$= 196 - 154$
$= 42\ cm^2$
अतः, इन टुकड़ों के बीच के भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल $42\ cm^2$ है।
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Question 23 Marks
त्रिज्या $5\ cm$ वाले वृत्त के उस त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके संगत चाप की लंबाई $3.5\ cm$ है।
Answer
प्रश्न के अनुसार,
वृत्त की त्रिज्या $= r = 5\ cm$
चाप की लम्बाई $= l = 3.5\ cm$
$\therefore$ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} \times l \times r$
$=\frac{1}{2} \times 3.5 \times 5$
$= 8.7\ cm^2$
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Question 33 Marks
बराबर त्रिज्या $3.5\ cm$ वाले तीन वृत्त इस प्रकार खींचे गये हैं कि इनमें से प्रत्येक अन्य दो वृत्तों को स्पर्श करता है। इन वृत्तों से परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer
तीनों वृत्त इस प्रकार खींचे गए हैं कि उनमें से प्रत्येक अन्य दो को स्पर्श करता है।
अतः तीनों वृत्तों के केंद्रों को मिलाने पर,
$AB = BC = CA = 2$ (त्रिज्या) $= 7\ cm$ प्राप्त होता है
इसलिए त्रिभुज ABC एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी प्रत्येक भुजा $7\ cm$ है।
$\therefore$ त्रिभुज का क्षेत्रफल $\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right) \times a^{2}$
जहाँ a त्रिभुज की भुजा है।
$=\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right) \times(7)^{2}$
$=\frac{49}{4} \sqrt{3}$ cm$^2$
$= 21.2176\ cm^2$
अब, प्रत्येक त्रिज्यखंड का मध्य कोण = $\phi$ $= 60^\circ $ $(60$$\pi$)/$180$
$=\frac{\pi}{3}$ त्रिज्या
इस प्रकार, प्रत्येक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2}r^2\theta$
$=(\frac{1}{2})\times(3.5)^2\times (\frac{\pi}{3})$
$=12.25 \times \frac{22}{7 \times 6}$
$= 6.4167\ cm\ 2$
तीन त्रिज्यखंडों का कुल क्षेत्रफल $= 3$ $\times$ $6.4167 = 19.25\ cm^2$
$\therefore$ तीन वृत्तों के बीच का क्षेत्रफल = त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल - तीनों त्रिज्यखंडों का क्षेत्रफल
$= 21.2176 - 19.25$
$= 1.9676\ cm^2$
अतः, इन वृत्तों के बीच का अभीष्ट क्षेत्रफल $1.967\ cm^2$ (लगभग) है।
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Question 43 Marks
आकृति में, $ABCD$ एक समलंब है, जिसमें $AB || DC, AB = 18\ cm, DC = 32\ cm$ तथा AB और DC के बीच की दूरी $= 14\ cm$ है। यदि $A, B, C$ और $D$ को केंद्र मानकर त्रिज्याओं $7\ cm$ के चाप खींचे गये हैं, तो इस आकृति के छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer
ar(समलंब ABCD) = $\frac { 1 } { 2 }$ (समानांतर भुजाओं का योग) $\times$ (उनके बीच की दूरी)
$= \left\{ \frac { 1 } { 2 } ( 18 + 32 ) \times 14 \right\}$$cm^2$​​​​​​​
$= 350\ cm^2$​​​​​​​
$4$ त्रिज्यखंडों के क्षेत्रफलों का योग $= 7\ cm$ त्रिज्या वाले एक वृत्त का क्षेत्रफल
$= \left( \frac { 22 } { 7 } \times 7 \times 7 \right)$ cm$^2$
$= 154\ cm^2$​​​​​​​
छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल $= (350 - 154) cm^2 = 196 cm^2$​​​​​​​​​​​​​​
$\therefore$ छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल है $196\ cm^2$​​​​​​​
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Question 53 Marks
एक वृत्ताकार तालाब का व्यास $17.5\ m$ है। इसके अनुदिश बाहर की ओर $2\ m$ चौड़ा एक पथ बना हुआ है। $25$ रु प्रति वर्ग मीटर की दर से इस पथ के निर्माण की लागत ज्ञात कीजिए।
Answer
एक तालाब की त्रिज्या $=\frac{17.5}{2}$ $= 8.75$
एक तालाब का क्षेत्रफल = $\pi$$(8.75)^2$ वर्ग मीटर
पथ सहित वृत्त की त्रिज्या $= 8.75 + 2 = 10.75\ m$
प्रश्न के अनुसार,
पथ का क्षेत्रफल = पथ सहित वृत्त का क्षेत्रफल - तालाब का क्षेत्रफल
= $\pi$$(10.75)^2$ - $\pi$$(8.75)^2$
= $\pi$$[(10.75)^2 - (8.75)^2]$
$=\frac{22}{7} \times 39$
$=\frac{858}{7}$ वर्ग मीटर
$= 122.46$ वर्गमीटर
पथ के निर्माण की लागत $= 25$ $\times$ $122.46 = ₹ 3061.50$
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Question 63 Marks
त्रिज्या $12\ cm$ वाले वृत्त के उस वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसके संगत त्रिज्यखंड का केंद्रीय कोण $60^\circ $ है।
Answer
लघु खंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल - $\triangle$OAB का क्षेत्रफल
In $\triangle$OAB,

$\theta$ $= 60^\circ $
$OA = OB = r = 12\ cm$
$\angle$B = $\angle$A = x [$\angle$s विपरीत भुजाएँ बराबर है]
$\Rightarrow$ $\angle$A + $\angle$B + $\angle$O $= 180^\circ $
$\Rightarrow$ $x + x + 60^\circ = 180^\circ $
$\Rightarrow$ $2x = 180^\circ - 60^\circ $
$\Rightarrow$ x = $\frac { 120 ^ { \circ } } { 2 }$ $= 60^\circ $
$\therefore$ समबाहु $\triangle$OAB में प्रत्येक भुजा   $= 12\ cm$
समबाहु  $\triangle$ का क्षेत्रफल $= \frac { \sqrt { 3 } } { 4 } a ^ { 2 }$
लघु खंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल - $\triangle$OAB का क्षेत्रफल
$= \frac { \pi r ^ { 2 } \theta } { 360 ^ { \circ } } - \frac { \sqrt { 3 } } { 4 } a ^ { 2 }$
$= \frac { 3.14 \times 12 \times 12 \times 60 ^ { \circ } } { 360 ^ { \circ } } - \frac { \sqrt { 3 } } { 4 } \times 12 \times 12$
$= 6.28$ $\times$ 12 - $36 \sqrt { 3 }$
$\therefore$ लघु खंड का क्षेत्रफल = (75.36 - $36 \sqrt { 3 }$) $cm^2$​​​​​​​
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Question 73 Marks
एक त्रिभुजाकार खेत की भुजाएँ $15m, 16m$ और $17m$ हैं। इस खेत में चरने के लिए, इसके तीनों कोनों से एक गाय, एक भैंस और एक घोड़े को अलग-अलग $7m$ लंबी रस्सियों से बाँध दिया गया है। खेत के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसमें ये तीनों पशु चर नहीं पाएँगे।
Answer
चूंकि मैदान के तीनों कोनों के साथ एक गाय, एक भैंस और एक घोड़ा और खेत में चरने के लिए प्रत्येक को $7$ मीटर लंबाई की रस्सियों से अलग-अलग बांधा जाता है।
खेत का क्षेत्रफल जो जानवरों द्वारा नहीं चरा जा सकता = $\triangle$BCH का क्षेत्रफल - तीन त्रिज्यखंडों का क्षेत्रफल
यहाँ, $a = 15\ m, b = 16\ m, c = 17\ m$

$\therefore$ s = $\frac { a + b + c } { 2 } = \frac { 15 + 16 + 17 } { 2 }$
$\Rightarrow$ s = $\frac { 48 } { 2 }$ = 24 m
$\triangle$BCH का क्षेत्रफल $= \sqrt { s ( s - a ) ( s - b ) ( s - c ) }$
$= \sqrt { 24 ( 24 - 15 ) ( 24 - 16 ) ( 24 - 17 ) }$
$= \sqrt { 24 \times 9 \times 8 \times 7 }$
$= \sqrt { 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 2 \times 2 \times 7 }$
$\Rightarrow$ ar($\triangle$BCH) = $24 \sqrt { 21 }$ $m^2​​​​​​​$​​​​​​​
तीन क्षेत्रों का क्षेत्रफल $= \frac { \pi r ^ { 2 } \theta _ { 1 } } { 360 ^ { \circ } } + \frac { \pi r ^ { 2 } \theta _ { 2 } } { 360 ^ { \circ } } + \frac { \pi r ^ { 2 } \theta _ { 3 } } { 360 ^ { \circ } }$
$= \frac { \pi r ^ { 2 } } { 360 ^ { \circ } } \left[ \theta _ { 1 } + \theta _ { 2 } + \theta _ { 3 } \right]$ ​​​​​​​
$= \frac { 22 } { 7 } \times \frac { 7 \times 7 } { 360 ^ { \circ } } \times 180 ^ { \circ }$ ($\therefore$ $\theta_1$ + $\theta_2$ + $\theta_3$ = 180°)
$= 77\ m^2$​​​​​​​
$\therefore$ जानवरों द्वारा चरने वाले $3$ क्षेत्रों का क्षेत्रफल $= 77\ m^2​​​​​​​.$
अतः वह क्षेत्रफल जो $3$ पशुओं द्वारा नहीं चरा जा सकता है ($24 \sqrt { 21 }$ – $77) m^2​​​​​​​$​​​​​​​ के बराबर है।
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Question 83 Marks
त्रिज्या $21\ cm$ वाले एक वृत्त के $120^\circ $ कोण वाले त्रिज्यखंड और उसके संगत दीर्घ त्रिज्यखंड के क्षेत्रफलों का अंतर ज्ञात कीजिए।
Answer
मान लीजिए $A_1$ और $A_2​​​​​​​$​​​​​​​ क्रमशः दिए गए त्रिज्यखंड और संबंधित प्रमुख त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल हैं।
दिया गया, $\theta$ $= 120^\circ $ और इसकी त्रिज्या $21$ सेमी है। अतः, $r = 21\ cm$.
$\therefore A _ { 1 } = \frac { \theta } { 360 } \times \pi r ^ { 2 }$$= \frac { 120 } { 360 } \times \pi \times ( 21 ) ^ { 2 } $ $= 147\ cm^2$​​​​​​​
और, $A_2​​​​​​​$​​​​​​​ = वृत्त का क्षेत्रफल - $A_1​​​​​​​$​​​​​​​
$\Rightarrow A _ { 2 } = \left\{ \pi \times ( 21 ) ^ { 2 } - 147 \pi \right\} \mathrm { cm } ^ { 2 }$ = $\pi$$(44 - 147) cm^2 = 294\ cm^2$​​​​​​​
आवश्यक अंतर $= A_2 - A_1$​​​​​​​
$= (294$$\pi$ - 147$\pi$) cm$^2$ - 147$\pi$ cm$^2$ $ = \left( 147 \times \frac { 22 } { 7 } \right) \mathrm { cm } ^ { 2 }$
$= 462\ cm^2$​​​​​​​
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Question 93 Marks
किसी ट्रैक्टर के अगले और पिछले पहियों के व्यास क्रमशः 80 cm और 2 m हैं। ज्ञात कीजिए कि पिछले पहिए द्वारा उतनी दूरी तय करने में कितने चक्कर लगाने होंगे, जितनी दूरी अगला पहिया 1400 चक्कर लगाने पर तय करता है।
Answer
मान लीजिए $r_1$ और $r_2$ ट्रैक्टर के आगे और पीछे के पहियों की त्रिज्याएँ हैं।
यह दिया गया है कि $r_1 = 0.40 m$ और $r_2 = 1 m$
एक चक्कर में आगे के पहिये द्वारा तय की गई दूरी = 2$\pi$$r_1$​​​​​​​ = 2$\pi$ $\times$0.4 m = 0.8$\pi$m
1400 चक्करों में आगे के पहिये द्वारा तय की गई दूरी = 1400 $\times$ 0.8$\pi$m = 1120$\pi$m
मान लीजिए कि पिछला पहिया इस दूरी को तय करने के लिए n चक्कर लगाता है। फिर,
(एक चक्कर में पिछले पहिये द्वारा तय की गई दूरी) $\times$ n = 1120$\pi$
2$\pi$$r_2​​​​​​​$​​​​​​​ $\times$ n = 1120$\pi$ $\Rightarrow$ 2$\pi$ $\times$ 1 $\times$ n = 1120$\pi$ $\Rightarrow$ n = 560
अतः पिछला पहिया 560 चक्कर लगाता है।
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Question 103 Marks
वृत्त की उस जीवा द्वारा निर्मित दोनों वृत्तखंडों के क्षेत्रफलों का अंतर ज्ञात कीजिए, जिसकी लंबाई $5 cm$ है और जो केंद्र पर $90^\circ $ का कोण अंतरित करती है।
Answer
जीवा AB = 5 सेमी वृत्त को दो खंडों लघु खंड APB और प्रमुख खंड AQB में विभाजित करता है। हमें बड़े और छोटे खंड के क्षेत्रफल में अंतर का पता लगाना है।
यहाँ, हमें दिया गया है कि $\theta$$ = 90^\circ$
$\triangle$OAB का क्षेत्रफल = $ \frac { 1 } { 2 }$आधार $\times$ ऊँचाई = $\frac { 1 } { 2 }$r $\times$ r = $\frac { 1 } { 2 } r ^ { 2 }$

लघु खंड का क्षेत्रफल APB
$= \frac { \pi r ^ { 2 } \theta } { 360 ^ { \circ } }$– $\triangle$AOB का क्षेत्रफल
$= \frac { \pi r ^ { 2 } 90 ^ { \circ } } { 360 ^ { \circ } } - \frac { 1 } { 2 } r ^ { 2 }$
$\Rightarrow$ लघु खंड का क्षेत्रफल = $\left( \frac { \pi r ^ { 2 } } { 4 } - \frac { r ^ { 2 } } { 2 } \right)$ …(i)
बड़े खंड AQB का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल - लघु खंड का क्षेत्रफल
= $\pi$$r^2$ $- \left[ \frac { \pi r ^ { 2 } } { 4 } - \frac { r ^ { 2 } } { 2 } \right]$
$\Rightarrow$ प्रमुख खंड AQB का क्षेत्रफल AQB $= \left[ \frac { 3 } { 4 } \pi r ^ { 2 } + \frac { r ^ { 2 } } { 2 } \right]$ …(ii)
प्रमुख और लघु खंड के क्षेत्रों के बीच अंतर
$= \left( \frac { 3 } { 4 } \pi r ^ { 2 } + \frac { r ^ { 2 } } { 2 } \right) - \left( \frac { \pi r ^ { 2 } } { 4 } - \frac { r ^ { 2 } } { 2 } \right)$
$= \frac { 3 } { 4 } \pi r ^ { 2 } + \frac { r ^ { 2 } } { 2 } - \frac { \pi r ^ { 2 } } { 4 } + \frac { r ^ { 2 } } { 2 }$
$\Rightarrow$ आवश्यक क्षेत्र $= \frac { 2 } { 4 } \pi r ^ { 2 } + r ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \pi r ^ { 2 } + r ^ { 2 }$
समबाहू $\triangle$OAB में,
$r^2 + r^2 = AB^2$​​​​​​​
$\Rightarrow 2r^2 = 5^2$
$\Rightarrow r^2 = \frac { 25 } { 2 }$
इसलिए, आवश्यक क्षेत्र $= \left[ \frac { 1 } { 2 } \pi \times \frac { 25 } { 2 } + \frac { 25 } { 2 } \right] = \left[ \frac { 25 } { 4 } \pi + \frac { 25 } { 2 } \right]$$cm^2​​​​​​​$
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Question 113 Marks
$176\ m$ की दूरी तय करने (घूमने) में, $1.54\ m^2 $ क्षेत्रफल वाले एक वृत्ताकार पहिये द्वारा लगाये जाने वाले चक्करों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer
त्रिज्या $r = 2\pi r n$ के साथ $n$ चक्करों में पहिया द्वारा तय की गई दूरी।
$\therefore 2\pi r n = 176 m ...(i)$
पहिया का क्षेत्रफल $($गोलाकार$) = 1.54 m^2$
$\Rightarrow \pi r^2 = 1.54$
$\Rightarrow r^2 = \frac { 1.54 } { \pi } = \frac { 154 \times 7 } { 22 \times 100 } = \frac { 7 \times 7 } { 10 \times 10 }$
$\Rightarrow r = 0.7 m$
Now, $2\pi rn = 176$
$\Rightarrow 2 \times \frac { 22 } { 7 } \times 0.7 \times n = 176 [$समीकरण $(i)$ से$]$
$\Rightarrow n = \frac { 176 \times 7 \times 10 } { 2 \times 22 \times 7 } = 40$
इस प्रकार, चक्करों की संख्या $40$ है।
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Question 123 Marks
आकृति में, दिये छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer


वर्ग $ABCD$ का क्षेत्रफल $=$ भुजा $\times$ भुजा $= 14 \times 14 = 196 cm^2$^
भीतर बने अर्धवृत्त की त्रिज्या $= 2 cm$
चारों अर्धवृत्तों का क्षेत्रफल $= 4 \times \frac { 1 } { 2 } \pi r ^ { 2 }$
$= 4 \times \frac { 1 } { 2 } \times(3.14) \times (2) ^ { 2 }$
$= 2 \times 3.14 \times 2 \times 2$
$= 25.12 cm^2$ 
अर्धवृत्त के भीतर बने वर्ग की भुजा की लंबाई $= 4 cm.$
वर्ग का क्षेत्रफल $=$ भुजा \times भुजा $= 4 \times 4 = 16 cm^2$
छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल $=$ वर्ग $ABCD$ का क्षेत्रफल $- (4$ अर्धवृत्तों का क्षेत्रफल $+$ वर्ग का क्षेत्रफल$)$
$= 196 - (25.12 + 16)$
$= 196 - 41.12$
$= 154.88 cm^2$​​​​​​​
अतः, छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल $= 154.88 cm^2 $ है।
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Question 133 Marks
त्रिज्याओं $7\ cm$ और $21\ cm$ वाले दो वृत्तों के दो त्रिज्यखंडों के केंद्रीय कोण क्रमशः $120^\circ $ और $40^\circ $ हैं। इन दोनों त्रिज्यखंडों के क्षेत्रफल तथा साथ ही संगत चापों की लंबाई ज्ञात कीजिए। आप क्या देखते हैं?
Answer
  त्रिज्यखंड I त्रिज्यखंड II
त्रिज्या $r_1 = 7\ cm$ $r_2 = 21\ cm$
त्रिज्यखंड का कोण $\theta_1$$= 120^\circ $ $\theta_2$$= 40^\circ $
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $A _ { 1 } = \frac { \theta _ { 1 } } { 360 } \times \pi r _ { 1 } ^ { 2 }$ $A _ { 2 } = \frac { \theta _ { 2 } } { 360 } \times \pi r _ { 2 } ^ { 2 }$
त्रिज्यखंड की चाप $l _ { 1 } = \frac { \theta _ { 1 } } { 360 } \times 2 \pi r _ { 1 }$ $l _ { 2 } = \frac { \theta _ { 2 } } { 360 } \times 2 \pi r _ { 2 }$
हमने ज्ञात किया हैं कि
$A_1$​​​​​​​ = $\frac { \theta _ { 1 } } { 360 } \times \pi r _ { 1 } ^ { 2 } = \frac { 120 } { 360 } \times \frac { 22 } { 7 } \times 7 ^ { 2 } \mathrm { cm } ^ { 2 } = \frac { 154 } { 3 } \mathrm { cm } ^ { 2 }$
$A_2$= $\frac { \theta _ { 2 } } { 360 } \times \pi r _ { 2 } ^ { 2 } = \frac { 40 } { 360 } \times \frac { 22 } { 7 } \times 21 ^ { 2 } \mathrm { cm } ^ { 2 }$$= 154 cm^2$
$l_1$ = $\frac { \theta _ { 1 } } { 360 } \times 2 \pi r _ { 1 } = \frac { 120 } { 360 } \times 2 \times \frac { 22 } { 7 } \times 7 \mathrm { cm } ^ { 2 } = \frac { 44 } { 3 } \mathrm { cm }$
$l_2 $ = $\frac { \theta _ { 2 } } { 360 } \times 2 \pi r _ { 2 } = \frac { 40 } { 360 } \times 2 \times \frac { 22 } { 7 } \times 21 \mathrm { cm } = \frac { 44 } { 3 } \mathrm { cm }$
हम देखते हैं कि विभिन्न त्रिज्याओं वाले दो वृत्तों की चाप की लंबाई समान हो सकती है लेकिन क्षेत्रफल समान नहीं होना चाहिए।
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Question 143 Marks
किसी वृत्त के $200^\circ $ केंद्रीय कोण वाले एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $770\ cm^2$ है। इस त्रिज्यखंड के संगत चाप की लंबाई ज्ञात कीजिए।
Answer
दिया गया है, त्रिज्यखंड का केंद्रीय कोण $= \theta = 200^\circ $
और त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $= 770 cm^2$ 
हम जानते हैं कि त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $= \frac { \pi r ^ { 2 } } { 360 ^ { \circ } } \times \theta ^ { \circ }$
$\therefore 770 = \frac { \pi r ^ { 2 } } { 360 ^ { \circ } } \times 200$
$\Rightarrow \frac { 77 \times 18 } { \pi } = r ^ { 2 }$
$\Rightarrow r ^ { 2 } = \frac { 77 \times 18 } { 22 } \times 7 \Rightarrow r ^ { 2 } = 9 \times 49$
$\therefore r = 21 cm$
तो, त्रिज्यखंड की त्रिज्या $= 21 cm.$
इस त्रिज्यखंड के संगत चाप की लंबाई $= \frac{\theta}{360^o} \times 2 \pi r$
$= \frac{200^o}{360^o} \times 2 \pi \times 21$
$= \frac { 20 } { 18 } \times 21 \times \frac { 22 } { 7 }$
$= \frac { 220 } { 3 } \mathrm { cm } = 73 \frac { 1 } { 3 } \mathrm { cm }$
अतः संगत चाप की अभीष्ट लंबाई $73\frac 13$ cm है।
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Question 153 Marks
एक घड़ी की मिनट वाली सुई की लंबाई 5 cm है। प्रात: 6:05 बजे से प्रातः 6:40 बजे तक के समय काल में इस सुई द्वारा तय किये गये (या घूमे गये) क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer

हम जानते हैं कि, 60 मिनट में मिनट की सुई द्वारा घुमाया गया कोण = 360°
1 मिनट में, मिनट की सुई से घुमाया गया कोण $=\frac { 360^\circ} { 60^\circ }$
मिनट की सुईं द्वारा (6: 05 पूर्वाह्न से 6:40) के बीच तय किया गया कुल समय  = 35 मिनट,
तो, मिनट की सुई से तय किए गए कोण = $\frac { 360 ^ { \circ } } { 60 ^ { \circ } } \times 35 °= (6 \times 35)°$
दिया गया है, मिनट की सुई की लंबाई (r) = 5 cm
$\therefore$ AOBA का क्षेत्रफल $\angle O = (6×35)^{\circ}$ है
$= \frac { \pi r ^ { 2 } } { 360 ^ { \circ } } \times \angle O$
$= \frac { 22 } { 7 } \times \frac { ( 5 ) ^ { 2 } } { 360 } \times 6 \times 35$
$= \frac { 22 } { 7 } \times \frac { 5 \times 5 } { 360 } \times 6 \times 35$
$= \frac { 22 \times 5 \times 5 \times 5 } { 60 } = \frac { 22 \times 5 \times 5 } { 12 }$
$= \frac { 11 \times 5 \times 5 } { 6 } = \frac { 275 } { 6 } = 45 \frac { 5 } { 6 } \mathrm { cm } ^ { 2 }$
सुई द्वारा तय किये गये (या घूमे गये) क्षेत्र का क्षेत्रफल = $45\frac 56 cm^2$
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Question 163 Marks
किसी धनुर्विद्या (या तीरंदाजी) लक्ष्य के तीन क्षेत्र हैं, जो आकृति में दर्शाए अनुसार तीन संकेंद्रीय वृत्तों से बने हैं। यदि इन संकेंद्रीय वृत्तों के व्यास $1 : 2 : 3$ के अनुपात में हैं, तो इन तीनों क्षेत्रों के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
Answer


माना एक वृत्त का व्यास $1 : 2 : 3$ के अनुपात में है।
माना एक केंद्र वृत्त का व्यास x है।
$ \Rightarrow $ त्रिज्या $ = {r_1} = \frac{x}{2}$
$ \Rightarrow $ $A = A_1$ का क्षेत्रफल $ = \pi r_1^2 = \pi {\left( {\frac{x}{2}} \right)^2} = \frac{{\pi {x^2}}}{4}$
माना एक मध्य वृत्त का व्यास 2x है।
$ \Rightarrow $ त्रिज्या $= {r_2} = \frac{{2x}}{2} = x$
$ \Rightarrow $ क्षेत्र $ = {A_2} = \pi r_2^2 = \pi {(x)^2} = \pi \times {x^2}$
$ \Rightarrow $ $B = A_2 - A_1​​​​​​​$​​​​​​​ का क्षेत्रफल = $\pi \times {x^2} - \pi \times \frac{{{x^2}}}{4} $
$= \pi \times {x^2}\left( {1 - \frac{1}{4}} \right) = \frac{3}{4}\pi {x^2}$
माना किसी बाहरी वृत्त का व्यास 3x है।
$ \Rightarrow $ त्रिज्या $= {r_3} = \frac{{3x}}{2}$
$ \Rightarrow $ क्षेत्र $ = {A_3} = \pi r_3^2 = \pi {\left( {\frac{{3x}}{2}} \right)^2} = \pi \times \frac{{9{x^2}}}{4}$
$ \Rightarrow $ $C = A_3 - A_2$​​​​​​​ का क्षेत्रफल $ = \pi \times \frac{{9{x^2}}}{4} - \pi \times {x^2}$
$ = \pi \times {x^2}\left( {\frac{9}{4} - 1} \right) = \frac{5}{4}\pi {x^2}$
अब,
क्षेत्र A का क्षेत्रफल : क्षेत्र B का क्षेत्रफल : क्षेत्र C का क्षेत्रफल
$ = \frac{{\pi {x^2}}}{4}:\frac{3}{4}\pi {x^2}:\frac{5}{4}\pi {x^2}$
$= 1 : 3 : 5$
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Question 173 Marks
एक समचतुर्भुज के सभी शीर्ष एक वृत्त पर स्थित हैं। इस समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि वृत्त का क्षेत्रफल $1256 ~cm^2$ है।
Answer
एक समचतुर्भुज के सभी शीर्ष एक वृत्त पर स्थित होते हैं इसलिए समचतुर्भुज एक वर्ग होता है और इसके विकर्णों की लंबाई 2r cm होती है।

वृत्त का क्षेत्रफल $= 1256 cm^2$
$\Rightarrow \pi r^2= 1256 cm^2$
$\Rightarrow r^2 = \frac { 1256 } { \pi }$
$\Rightarrow r^2 = \frac { 1256 \times 100 } { 314 } = 400$
$\Rightarrow r = \sqrt { 400 } = 20 cm$
$\therefore$ समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $= \frac { 1 } { 2 } d_1d_2 =\frac { 1 } { 2 } \times 2r \times 2r$
$= 2r^2 = 2 \times 20 \times 20$
$\Rightarrow$ समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $= 800 cm^2$ 
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Question 183 Marks
किसी कमरे के फर्श की विमाएँ 5 m $\times$ 4 m हैं और इस पर वृत्ताकार टाइलें लगायी जाती हैं, जिनमें से प्रत्येक का व्यास 50 cm है, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। फर्श के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिस पर टाइल नहीं लगी हैं ($\pi$ = 3.14 का प्रयोग कीजिए)।
Answer
लंबाई $= 5\ m$ और चौड़ाई $= 4 m$
गोलाकार टाइल का व्यास $= 50 cm = 0.5 m$
$\therefore$एक पंक्ति में लंबाई के साथ टाइलों की संख्या = $\frac{5}{0.5} = 10$
एक स्तंभ में चौड़ाई के अनुदिश टाइलों की संख्या = $\frac{4}{0.5} = 8$
$\therefore$टाइल्स की कुल संख्या $= 10 \times 8 = 80$
80 टाइलों का क्षेत्रफल = $80 \times \pi r ^ { 2 } =80 \times 3.14 \times ( 0.25 ) ^ { 2 } \mathrm { m } ^ { 2 } = 15.7 m^2$
कमरे के फर्श का क्षेत्रफल $= 5 \times 4 m^2 = 20 m^2$
$\therefore$ खुले फर्श का क्षेत्रफल $= (20 - 15.7) m^2 = 4.3 m^2$​​​​​​​
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Question 193 Marks
$784 cm^2$ क्षेत्रफल वाले एक वर्गाकार गत्ते की शीट पर, अधिकतम माप की चार सर्वांगसम वृत्ताकार प्लेटें इस प्रकार रखी गयी हैं कि प्रत्येक वृत्ताकार प्लेट अन्य दो प्लेटों को स्पर्श करती है तथा वर्गाकार शीट की प्रत्येक भुजा दो वृत्ताकार प्लेटों को स्पर्श करती है। वर्गाकार शीट के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जो वृत्ताकार प्लेटों द्वारा ढका नहीं गया है।
Answer
माना प्रत्येक वृत्ताकार प्लेट की त्रिज्या r cmहै। तब,

वर्गाकार शीट की प्रत्येक भुजा की लंबाई $= 4r\ cm.$
$\therefore$ कार्डबोर्ड की चौकोर शीट का क्षेत्रफल $= (4r \times 4r) cm^2 = 16 r^2 cm^2$ 
लेकिन, गत्ते की शीट का क्षेत्रफल $784 cm^2$ दिया गया है।
$\therefore 16r^2 = 784 \Rightarrow r^2 = 49$
$\Rightarrow r = 7$
एक वृत्ताकार प्लेट का क्षेत्रफल $=\pi r^{2}=\frac{22}{7} \times 7^{2} cm^2 = 154 cm$
$\therefore$ चार वृत्ताकार प्लेटों का क्षेत्रफल $= 4 \times 154 cm^2 = 616 cm^2$
$\therefore$ वर्गाकार शीट का खुला क्षेत्रफल $= (784 - 616) cm^2 = 168 cm^2$ 
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Question 203 Marks
किसी वृत्ताकार खेल के मैदान का क्षेत्रफल $22176\ m^2$ है। इस मैदान पर $₹\ 50$ प्रति मीटर की दर से बाड़ लगवाने का व्यय ज्ञात कीजिए।
Answer
वृत्ताकार खेल के मैदान में बाड़ की परिधि (2$\pi$r) है। तो, हमें इसके लिए त्रिज्या की आवयश्कता है।
वृत्ताकार खेल के मैदान का क्षेत्रफल $= 22176 m^2$
$\Rightarrow$ $\pi r^2 = 22176$
$\Rightarrow$ $\frac { 22 } { 7 } r ^ { 2 }$ = 22176
$\Rightarrow  r^2 =  \frac { 7 \times 22176 } { 22 }$
$\Rightarrow  r^2 = \sqrt { 7 \times 1008 }$
$\Rightarrow$ r = $\sqrt { 7 \times 7 \times 3 \times 3 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 }$
$\Rightarrow$ r = 7 $\times$ 3 $\times$ 2 $\times$ 2
$\Rightarrow$ r = 84 m
$\therefore$ बाड़ की लंबाई = वृत्त की परिधि
= 2$\pi$r = 2 $\times$ $\frac { 22 } { 7 }$ $\times$ 84 = 24 $\times$ 22 m
= 50 $\times$ 24 $\times$ 22 = 26400
अतः, बाड़ लगाने की लागत = ₹26400
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Question 213 Marks
भुजा 20 m वाले एक वर्गाकार घास लगे लॉन ABCD के एक कोने पर 6 m लंबी एक रस्सी से एक बछड़ा बँधा हुआ है। यदि रस्सी की लंबाई 5.5 m बढ़ा ली जाये, तो लॉन के उस क्षेत्रफल में वृद्धि ज्ञात कीजिए, जिसमें बछड़ा घास चर सकता है।
Answer
मान लीजिए कि वर्गाकार लॉन के कोने A पर बछड़ा बँधा हुआ है (देखिए आकृति।)

तब, क्षेत्रफल में वृद्धि = केंद्रीय कोण $90^\circ$ वाले और त्रिज्याओं 11.5 m (= 6 m + 5.5 m) और 6 m वाले त्रिज्यखंडों के क्षेत्रफलों का अंतर, जो आकृति में छायांकित दर्शाया गया है। अतः, क्षेत्रफल में वाँछित वृद्धि
$=\left[\frac{90}{360} \times \pi \times 11.5^{2}-\frac{90}{360} \pi \times 6^{2}\right] \mathrm{m}^{2}$
$=\frac{\pi}{4} \times(11.5+6)(11.5-6) \mathrm{m}^{2}$
$=\frac{22}{7 \times 4} \times 17.5 \times 5.5 \mathrm{~m}^{2}$
$= 75.625 m^2$
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Question 223 Marks
एक त्रिभुज ABC के A, B और C शीर्षों को केंद्र मानकर तथा त्रिज्याएँ 5 cm लेकर आकृति में दर्शाए अनुसार चाप खींचे गये हैं। यदि AB = 14 cm, BC = 48 cm और CA = 50 cm है, तो छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ($\pi$ = 3.14 का प्रयोग कीजिए।)
Answer
कोण A वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $=\frac{\angle \mathrm{A}}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}=\frac{\angle \mathrm{A}}{360^{\circ}} \times \pi \times(5)^{2} \mathrm{~cm}^{2}$
कोण B वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $=\frac{\angle \mathrm{B}}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}=\frac{\angle \mathrm{B}}{360^{\circ}} \times \pi \times(5)^{2} \mathrm{~cm}^{2}$
तथा कोण C वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $=\frac{\angle \mathrm{C}}{360^{\circ}} \times \pi \times(5)^{2} \mathrm{~cm}^{2}$
अतः, तीनों त्रिज्यखंडों के क्षेत्रफल ($cm^2$ में) का योग
$=\frac{\angle \mathrm{A}}{360^{\circ}} \times \pi \times(5)^{2}+\frac{\angle \mathrm{B}}{360^{\circ}} \times \pi \times(5)^{2}+\frac{\angle \mathrm{C}}{360^{\circ}} \times \pi \times(5)^{2}$
$=\frac{\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{C}}{360^{\circ}} \times 25 \pi$
$=\frac{180^{\circ}}{360^{\circ}} \times 25 \pi$ (क्योंकि $\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{C}=180^{\circ}$)
$=25 \times \frac{\pi}{2}=25 \times 1.57$ = 39.25
अब, $\triangle$ABC का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हम ज्ञात करते हैं:
$\mathrm{s}=\frac{a+b+c}{2}=\frac{48+50+14}{2} \mathrm{~cm}$ = 56 cm
हिरोन के सूत्र द्वारा,
ar(ABC) $=\sqrt{\mathrm{s}(\mathrm{s}-a)(\mathrm{s}-b)(\mathrm{s}-c)}$
$=\sqrt{56 \times 8 \times 6 \times 42} \mathrm{~cm}^{2}$
$= 336 cm^2$
अतः छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल - तीनों त्रिज्यखंडों का क्षेत्रफल
$= (336 - 39.25) cm^2 = 296.75 cm^2$
ar(ABC) के लिए वैकल्पिक विधि
यहाँ $AB^2 + BC^2 = (14)^2 + (48)^2 = 2500 = (50)^2 = (CA)^2$
अतः $\angle B = 90^\circ$ है। (पाइथागोरस प्रमेय के विलोम द्वारा)
इसलिए, $\operatorname{ar}(\mathrm{ABC})=\frac{1}{2} \mathrm{AB} \times \mathrm{BC}$
$=\frac{1}{2} \times 14 \times 48 \mathrm{~cm}^{2} = 336\ cm^2​​​​​​​$​​​​​​​
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Question 233 Marks
व्यास 20 cm वाले वृत्त की एक जीवा उसके केंद्र पर 90° का कोण बनाती है। इस वृत्त के संगत दीर्घ वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ($\pi$ = 3.14 का प्रयोग कीजिए)।
Answer
मान लीजिए कि AB केंद्र और 10 cm त्रिज्या वाले वृत्त की एक जीवा है (देखिए आकृति)।

यहाँ, $\angle$AOB = 90° है तथा हमें दीर्घ वृत्तखंड (जो छायांकित है) का क्षेत्रफल ज्ञात करना है। क्योंकि $\angle$AOB = 90° है, इसलिए दीर्घ त्रिज्यखंड का कोण = 360° - 90° = 270° है।
अतः, दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $=\frac{270}{360} \times \pi \times(10)^{2} cm^2$
$=\frac{3}{4} \times 3.14 \times 100 cm^2$
$= 75 \times 3.14 cm^2 = 235.5 cm^2$
अब, $\therefore$ OAB का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए OM $\perp$ AB खींचिए।
अब, $\mathrm{AM}=\frac{1}{2} \mathrm{AB}$ और $\angle \mathrm{AOM}=\frac{1}{2} \times 90^{\circ}$ = 45°
अब, $\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{OA}}=\sin 45^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः, AM $=10 \times \frac{1}{\sqrt{2}}$ cm
इसलिए, AB = $10\sqrt2$ cm तथा OM = OA cos 45° $=10 \times \frac{1}{\sqrt{2}} \mathrm{~cm}=5 \sqrt{2} \mathrm{~cm}$
अतः, $\triangle$OAB का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2}$ आधार $\times$ ऊँचाई
$=\frac{1}{2} \times 10 \sqrt{2} \times 5 \sqrt{2} \mathrm{~cm}^{2} = 50 cm^2$
इसलिए, वाँछित दीर्घ वृत्तखंड का क्षेत्रफल
$= 235.5 cm^2 + 50 cm^2 = 285.5 cm^2$​​​​​​​
$\triangle$OAB के क्षेत्रफल के लिए अन्य विधिः
क्योंकि $\angle$AOB = 90° है, इसलिए
$\triangle$OAB का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} \mathrm{OA} \times \mathrm{OB}$
$=\frac{1}{2} \times 10 \times 10 cm^2 = 50 cm^2$
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