प्रश्नों के उत्तर लिखिए। (प्रत्येक प्रश्न 3 अंक का हे)

Question 13 Marks

एक संस्था के कर्मचारियों में से 5 कर्मचारियों का चयन प्रबंध समिति के लिए किया गया है। पाँच कर्मचारियों का ब्योरा निम्नलिखित है:

क्रम	नाम	लिंग	आयु (वर्षो में)
$1.$	हरीश	$M$	$30$
$2.$	रोहन	$M$	$33$
$3.$	शीतल	$F$	$46$
$4.$	ऐलिस	$F$	$28$
$5.$	सलीम	$M$	$41$

इस समूह से प्रवक्ता पद के लिए यादृच्छया एक व्यक्ति का चयन किया गया। प्रवक्ता के पुरुष या 35 वर्ष से अधिक आयु का होने की क्या प्रायिकता है?

Answer

पाँच व्यक्तियों में से एक व्यक्ति के चुने जाने के कुल तरीके $n(S) =\ ^5C_1= 5$
$A =$ पुरुष, $B = 35$ वर्ष से अधिक
$n(B) = 2, n(A) = 3$
$A \cap B =$ पुरुष और 35 वर्ष से अधिक
$n(A \cap B) = 1$
$\because P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
$= \frac{n(A)}{n(S)}+\frac{n(B)}{n(S)}-\frac{n(A \cap B)}{n(S)}$
$P(A \cup B)=\frac{3}{5}+\frac{2}{5}-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$

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Question 23 Marks

100 विद्यार्थियों में से 40 और 60 विद्यार्थियों के दो वर्ग बनाए गए हैं। यदि आप और आपका एक मित्र 100 विद्यार्थियों में हैं तो प्रायिकता क्या है कि

आप दोनों एक ही वर्ग में हों?
आप दोनों अलग-अलग वर्गों में हों?

Answer

100 विद्यार्थियों में से 60 और 40 विद्यार्थियों के दो वर्ग बनाने के कुल तरीके
n(S) = $\frac{100!}{40! \ 60!}$

E = आप और आपका एक भिन्न समान वर्ग में है।
$\therefore$ n(E) = $\frac{98!}{{60! \ 38!}}+\frac{98!}{58! \ 40!}$
= $\frac{ 98!}{{60!} 40!}\{40 \times 39+60 \times 59\}$
= $\frac{98!}{{60!} \times 40!} \times$ 5100
अतः P(E) = $\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{5100}{100 \times 99}=\frac{17}{33}$
E = आप और आपका भिन्न अलग-अलग वर्गों में हो।
तो अभीष्ट प्रायिकता = 1 - $\frac{17}{33}=\frac{16}{33}$

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Question 33 Marks

किसी अटैची के ताले में चार चक्र लगे हैं जिनमें प्रत्येक पर $0$ से $9$ तक $10$ अंक अंकित हैं। ताला चार अंकों के एक विशेष क्रम (अंकों की पुनरावृत्ति नहीं) द्वारा ही खुलता है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि कोई व्यक्ति अटैची खोलने के लिए सही क्रम का पता लगा ले?

Answer

दिये गये $10$ अंकों में से $4$ अंक लेकर बने सभी सम्भावित क्रम
$n(S) =\ ^{10}P_4= \frac{10!}{{16!}} = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040$
किन्तु ताले को खोलने के लिए अंकों का एक ही विशेष क्रम होता है।
$\therefore n(E) = 1$
अतः अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{n(E)}{n(S)}=\frac{1}{5040}$

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Question 43 Marks

एक अनभिनत सिक्के को चार बार उछाला जाता है और एक व्यक्ति प्रत्येक चित्त पर ₹1 जीतता है और प्रत्येक पट् पर ₹1.50 हारता है। इस परीक्षण के प्रतिदर्श समष्टि से ज्ञात कीजिए कि आप चार उछालों में कितनी विभिन्न राशियाँ प्राप्त कर सकते हैं। साथ ही इन राशियों में से प्रत्येक की प्रायिकता भी ज्ञात कीजिए?

Answer

एक सिक्के को चार बार उछाला जाता है तब प्रतिदर्श समष्टि
S = {HHHH, HHHT, HHTH, HTHH, HTTH, HTHT, HHTT, HTTT, THHH, THHT, THTH, TTHH, TTTH, TTHT, THTT, TTTT}
$\because$ प्रत्यके चित (Head) पर व्यक्ति ₹1.00 जीतता है। और प्रत्येक पट (Tail) पर व्यक्ति ₹1.50 हारता है।

चारों चित आने पर, प्राप्त धनराशि = 4 $\times$ 1.00
X = ₹4.00
$\therefore$ P(X = 4) = $\frac{1}{16}, \because$ E = {HHHH}
तीन चित और एक पट्ट आने पर, प्राप्त धनराशि
X = 3 $\times$ 1 - 1.50 = ₹1.50
$\therefore$ P(X = 1.50) = $\frac{4}{16}=\frac{1}{4}, \because$ E = {HHHT, HHTH, HTHH, THHH}
2H, 2T आने पर, प्राप्त धनराशि
X = 2 $\times$ 1 - 2 $\times$ 1.50
= 2 - 3 = -₹1.00
$\therefore$ P(X = -1) = $\frac{6}{16}=\frac{3}{8}, \because$ E = {HHTT, HTHT, HTTH, THTH, TTHH, THHT}
1H, 3T आने पर, प्राप्त धनराशि
X = 1 - 3 $\times$ 1.50
= -₹3.50
$\therefore$ P(X = -3.50) = $\frac{4}{16}=\frac{1}{4}, \because$ E = {HTTT, THTT, TTHT, TTTH}
4T आने पर, प्राप्त धनराशि
X = -4 $\times$ 1.50
= -₹ 6.00
$\therefore$ P(X = -6) = $\frac{1}{16}, \because$ E = {TTTT}

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Question 53 Marks

एक कक्षा के 60 विद्यार्थियों में से 30 ने एन. सी. सी. (NCC), 32 ने एन. एस. एस. (NSS) और 24 ने दोनों को चुना है। यदि इनमें से एक विद्यार्थी यादृच्छया चुना गया है तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि

विद्यार्थी ने एन.सी.सी. या एन.एस.एस. को चुना है।
विद्यार्थी ने न तो एन.सी.सी. और न ही एन.एस.एस. को चुना है।
विद्यार्थी ने एन.एस.एस. को चुना है किंतु एन.सी.सी. को नहीं चुना है।

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Question 63 Marks

एक विद्यार्थी के अंतिम परीक्षा के अंग्रेजी और हिन्दी दोनों विषयों को उत्तीर्ण करने की प्रायिकता 0.5 है और दोनों में से कोई भी विषय उत्तीर्ण न करने की प्रायिकता 0.1 है। यदि अंग्रेजी की परीक्षा उत्तीर्ण करने की प्रायिकता 0.75 हो तो हिन्दी की परीक्षा उत्तीर्ण करने की प्रायिकता क्या है?

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Question 73 Marks

यदि E और F घटनाएँ इस प्रकार हैं कि P(E) = $\frac{1}{4}$, P(F) = $\frac{1}{2}$ और P(E और F) = $\frac{1}{8}$, तो ज्ञात कीजिए

P(E या F)
P(E-नहीं और F-नहीं)।

Answer

A = गणित पढ़ने वाले छात्र
B = जीव विज्ञान पढ़ने वाले छात्र
P(A) = $\frac{40}{100}$, P(B) - $\frac{30}{100}$
P(A $\cap$ B) = $\frac{10}{100}$
$\therefore$ P(A $\cup$ B) = P(A) + P(B) - P(A $\cap$ B)
= $\frac{40}{100}+\frac{30}{100}-\frac{10}{100}=\frac{60}{100}$ या 60%

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Question 83 Marks

यदि A, B, C किसी यादृच्छिक प्रयोग के संगत तीन घटनाएँ हों तो सिद्ध कीजिए कि P(A $\cup$ B $\cup$ C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A $\cap$ B) - P(A $\cap$ C) - P(B $\cap$ C) + P(A $\cap$ B $\cap$ C)

Answer

विचारिए E = B $\cup$ C तब
P(A $\cup$ B $\cup$ C) = P(A $\cup$ E)
= P(A) + P(E) - P(A $\cap$ E) ...(1)
अब P(E) = P(B $\cup$ C)
= P(B) + P(C) - P(B $\cap$ C) ...(2)
साथ ही A $\cap$ E = A $\cap$ (B $\cup$ C) = (A $\cap$ B) $\cup$ (A $\cap$ C) [समुच्चयों के संघ पर सर्वनिष्ठ के वितरण नियम द्वारा]
अतः P(A $\cap$ E) = P(A $\cap$ B) + P(A $\cap$ C) - P[(A $\cap$ B) $\cap$ (A $\cap$ C)]
= P(A $\cap$ B) + P(A $\cap$ C) - P[A $\cap$ B $\cap$ C] ...(3)
(2) और (3) को (1) में प्रयोग करने पर
P[A $\cup$ B $\cup$ C] = P(A) + P(B) + P(C) - P(B $\cap$ C) - P(A $\cap$ B) - P(A $\cap$ C) - P(A $\cap$ B $\cap$ C)

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Question 93 Marks

जब ताश के $52$ पत्तों की गड्डी से $7$ पत्तों का एक समूह बनाया जाता है तो इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इसमें

सारे बादशाह शामिल हैं
तथ्यतः $3$ बादशाह हैं
न्यूनतम $3$ बादशाह हैं।

Answer

समूहों की कुल संभव संख्या $=\ ^{52}C_7$_

$4$ बादशाहों सहित समूहों की संख्या $=\ ^4C_4 \times\ ^{48}C_3 ($अन्य $3$ पत्ते शेष $48$ पत्तों में से चुने जाते हैं$)$
अतः $P ($समूह में चार बादशाह$) = \frac{{ }^{4} \mathrm{C}_{4} \times{ }^{48} \mathrm{C}_{3}}{{ }^{52} \mathrm{C}_{7}}=\frac{1}{7735}$
$3$ बादशाह और $4$ अन्य पत्तों वाले समूहों की संख्या $=\ ^4C_3 \times\ ^{48}C_4$
इसलिए $P($तथ्यतः 3 बादशाह$) = \frac{{ }^{4} C_{3} \times{ }^{48} C_{4}}{{ }^{52} C_{7}}=\frac{9}{1547}$
$P ($न्यूनतम $3$ बादशाह$)$
$= P($तथ्यतः $3$ बादशाह$) + P(4$ बादशाह$)$
$= \frac{9}{1547}+\frac{1}{7735}=\frac{46}{7735}$

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Question 103 Marks

एक थैले में 9 डिस्क हैं जिनमें से 4 लाल रंग की, 3 नीले रंग की और 2 पीले रंग की हैं। डिस्क आकार एवं माप में समरूप हैं। थैले में से एक डिस्क यादृच्छया निकाली जाती है। प्रायकिता ज्ञात कीजिए कि निकाली गई डिस्क

लाल रंग की है
पीले रंग की है
नीले रंग की है
नीले रंग की नहीं है
लाल रंग की है या नीले रंग की है।

Answer

डिस्कों की कुल संख्या 9 है। इसलिए संभव परिणामों की कुल संख्या 9 हुई। मान लीजिए घटनाओं A, B व C को इस प्रकार से परिभाषित किया गया है।
A: निकाली गई डिस्क लाल रंग की है।
B: निकाली गई डिस्क पीले रंग की है।
C: निकाली गई डिस्क नीले रंग की है।

लाल रंग की डिस्कों की संख्या = 4 अर्थात् n(A) = 4
अतः P(A) = $\frac{4}{9}$
पीले रंग की डिस्कों की संख्या = 2, अर्थात् n(B) = 2
इसलिए, P(B) = $\frac{2}{9}$
नीले रंग की डिस्कों की संख्या = 3, अर्थात् n(C) = 3
इसलिए, P(C) = $\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
स्पष्टतया घटना डिस्क नीले रंग की नहीं है 'C-नहीं' ही है हम जानते हैं कि P(C-नहीं ) = 1 - P(C)
इसलिए P(C - नहीं) = 1 - $\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$
घटना लाल रंग की डिस्क या नीले रंग की डिस्क का समुच्चय 'A $\cup$ C' से वर्णित किया जा सकता है।
क्योंकि, A और C परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं, इसलिए
P(A या C) = P(A $\cup$ C) = P(A) + P(C) = $\frac 49 + \frac 13 = \frac 79$

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