Question 15 Marks
45% अम्ल के 1125 लिटर विलयन में कितना पानी मिलाया जाए कि परिणामी मिश्रण में अम्ल 25% से अधिक परंत् 30% से कम हो जाए?
Answerमाना 45% अम्ल के 1125 लिटर विलयन में x लिटर पानी मिलाना चाहिए।
$\therefore$ मिश्रण की कुल मात्रा =(1125 + x) लिटर
और अम्ल की मात्रा = 1125 $\times \frac{45}{100}$ लिटर
प्रश्नानुसार, पानी मिलाने के बाद अम्ल की की मात्रा 25% से अधिक किन्तु 30% से कम हो।
$\therefore (1125+x) \times \frac{25}{100} <1125$ $ \times \frac{45}{100}<(1125+x) \times \frac{30}{100}$
$\Rightarrow$ (1125 + x) $\times$ 5 < 1125 $\times$ 9 < (1125 + x) $\times$ 6
$\Rightarrow$ 5625 + 5x < 10125 < 6750 + 6x
$\Rightarrow$ 5625 + 5x < 10125 और 6750 + 6x > 10125
$\Rightarrow$ 5x < 4500 और 6x > 3375
$\Rightarrow$ x < 900 और x > 562.5
अर्थात् 562.5 < x < 900
अतः मिलाये गये पानी की मात्रा 562.5 लिटर से अधिक और 900 लिटर से कम होनी चाहिए।
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8% बोरिक एसिड के विलयन में 2% बोरिक एसिड का विलयन मिलाकर तनु (dilute) किया जाता है। परिणामी मिश्रण में बोरिक एसिड 4% से अधिक तथा 6% से कम होना चाहिए। यदि हमारे पास 8% विलयन की मात्रा 640 लिटर हो तो ज्ञात कीजिए कि 2% विलयन के कितने लिटर इसमें मिलाने होंगे?
Answerमाना 2% विलयन के x लीटर को 8% विलयन के 640 लीटर में मिलाया जाता है।
$\therefore$ मिश्रण की कुल मात्रा = (x + 640) लीटर ...(1)
8% विलयन में बोरिक अम्ल की मात्रा = 640 $\times \frac{8}{100}$
और 2% विलयन में बोरिक अम्ल की मात्रा = x $\times \frac{2}{100}$
$\therefore$ मिश्रण में बोरिक अम्ल की कुल मात्रा = $\left(\frac{640 \times 8}{100}+\frac{2 x}{100}\right)$ लीटर ...(2)
प्रश्नानुसार, मिश्रण में बोरिक अम्ल की मात्रा 4% से अधिक और 6% से कम है।
$\therefore$ (x + 640) $\times \frac{4}{100} <\frac{640 \times 8}{100}+\frac{2 x}{100}$ < (x + 640) $\times \frac{6}{100}$
$\Rightarrow$ 4x + 2,560 < 5,120 + 2x < 6x + 3,840
$\Rightarrow$ 4x + 2,560 < 5,120 + 2x
$\Rightarrow$ 2x < 2,560
$\Rightarrow$ x < 1,280 और 5,120 + 2x < 6x + 3,840
$\Rightarrow$ 1,280 < 4x
$\Rightarrow$ x > 320
$\therefore$ 320 < x < 1,280
अतः 2% वाले विलयन की मात्रा 320 लीटर से अधिक तथा 1280 लीटर से कम होनी चाहिए।
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असमिका निकाय को आलेखीय विधि से हल कीजिए: graphically: 5x + 4y $\leq$ 20, x $\geq$ 1, y $\geq$ 2
Answer5x + 4y $\leq$ 20 ...(1)
संगत समी. 5x,+ 4y = 20
$\Rightarrow \frac{x}{4}+\frac{y}{5}$ = 1
यह रेखा अक्षों को क्रमशः बिन्दुओं A(4, 0) और B(0, 5) पर मिलती है और मूलबिन्दु इसे सन्तुष्ट करता है। अतः वह क्षेत्र लेगें जिसमें मूलबिन्दु स्थित है।
x $\geq$ 1 ...(2)
संगत समी. x = 1
जो कि y-अक्ष के समान्तर है और मूलबिन्दु से दायी ओर x = 1 की दूरी पर है तथा इस रेखा के दांयी ओर के क्षेत्र को निरूपित करता है।
तथा y $\geq$ 2 ...(3)
संगत समी. y = 2
जो कि x अक्ष के समान्तर ऊपरी अर्धतल में मूलबिन्दु से y = 2 की दूरी पर स्थित है। और रेखा y = 2 के ऊपर के तल को निरूपित करता है।
इस प्रकार छायांकित भाग असमिकाओं के उभयनिष्ठ क्षेत्र को निरूपित करता है।
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असमिका निकाय को आलेखीय विधि से हल कीजिए: graphically: x + y $\leq$ 9, y > x, x $\geq$ 0
Answerx + y $\leq$ 9 ...(1)
संगत समी. x + y = 9
या $\frac{x}{9}+\frac{y}{9}$ = 1
यह रेखा अक्षों को क्रमशः A(9, 0), B(0, 9) पर मिलती है तथा मूलबिन्दु इसे सन्तुष्ट करता है। अतः वह क्षेत्र लेते है जिसमें मूलबिन्दु स्थित है।
तथा y > x ...(2)
संगत समी. y = x
यह रेखा मूलबिन्दु से होकर जाती है। इसमें बिन्दु A(9, 0) रखने पर सन्तुष्ट नहीं होती है अतः वह क्षेत्र लेगें जिसमें बिन्दु A(9, 0) स्थित नहीं है।
और x $\geq$ 0 ...(3)
यह, मूलबिन्दु के दायीं ओर के क्षेत्र को निरूपित करता है।
इस प्रकार छायांकित भाग असमिकाओं के उभयनिष्ठ क्षेत्र को निरूपित करता है।
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असमिका निकाय को आलेखीय विधि से हल कीजिए: graphically: 2x + y $\geq$ 8, x + 2y $\geq$ 10
Answer2x + y $\geq$ 8 ...(1)
संगत समी. 2x + y = 8
$\Rightarrow \frac{x}{4}+\frac{y}{8}$ = 1
यह रेखा अक्षों को क्रमशः A(4, 0) और B(0, 8) पर काटती है। इसमें मूलबिन्दु रखने पर सन्तुष्ट नहीं होती है। अतः वह क्षेत्र लेते है जिसमें मूलबिन्दु स्थित नहीं है।
तथा x + 2y $\geq$ 10 ...(2)
संगत समी. x + 2y = 10
$\Rightarrow \frac{x}{10}+\frac{y}{5}$ = 1
यह रेखा अक्षों को क्रमशः C(10, 0) और D(0, 5) पर काटती है। इसमें मूलबिन्दु रखने पर सन्तुष्ट नहीं होती है। अतः वह क्षेत्र लेगें जिसमें मूलबिन्दु स्थित नहीं है।
इस प्रकार छायांकित भाग दोनों असमिकाओं के उभयनिष्ठ क्षेत्र को निरूपित करता है।
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असमिका निकाय को आलेखीय विधि से हल कीजिए: graphically: x + y $\leq$ 6, x + y $\geq$ 4
Answerअसमिका x + y $\leq$ 6 ...(1)
संगत समी. x + y = 6
$\Rightarrow \frac{x}{6}+\frac{x}{6}$ = 1
यह रेखा अक्षों को क्रमशः A(6, 0) और B(0, 6) पर मिलती है। इसमें origin (0, 0) रखने पर सन्तुष्ट हो जाती है। अतः वह क्षेत्र लेगें जिसमें origin स्थित है।
तथा असमिका x + y $\geq$ 4 ...(2)
संगत समी. x + y = 4
$\Rightarrow \frac{x}{4}+\frac{y}{4}$ = 1
यह रेखा अक्षों को क्रमशः C(4, 0) और D(0, 4) पर मिलती है। इसमें Origin रखने पर संतुष्ट नहीं होती है अतः वह क्षेत्र लेगें जिसमें Origin स्थित नहीं है।
इस प्रकार, छायांकित भाग दोनों असमिकाओं के तभयनिष्ठ क्षेत्र को निरूपित करता है।
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असमिका निकाय को आलेखीय विधि से हल कीजिए: graphically: 2x - y > 1, x - 2y < -1
Answer2x - y > 1 ...(1)
संगत समी. 2x - y = 1
$\Rightarrow \frac{x}{\frac{1}{2}}+\frac{y}{-1}$ = 1
यह रेखा अक्षों को क्रमशः A$\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ और B(0, -1) पर मिलती है। इसमें मूलबिन्दु (0, 0) रखने पर असमिका सन्तुष्ट नहीं होती है। अतः वह क्षेत्र लेगें जिसमें मूलबिन्दु स्थित नहीं है।
असमिका x - 2y < -1 ...(2)
संगत समी. x - 2y = -1
$\Rightarrow \frac{x}{-1}+\frac{y}{\frac{1}{2}}$ = 1
यह रेखा अक्षों को क्रमशः C(-1, 0) और D$\left(0, \frac{1}{2}\right)$ पर मिलती है। इसमें मूलबिन्दु रखने पर असंमिका सन्तुष्ट नहीं होती है। अतः वह क्षेत्र लेंगे जिसमें मूलबिन्दु स्थित नहीं हो।
इस प्रकार, छायांकित भाग दोनों असमिकाओं के उभयनिष्ठ क्षेत्र को निरूपित करता है।
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असमिका निकाय को आलेखीय विधि से हल कीजिए: graphically: x + y $\geq$ 4, 2x - y < 0
Answerx + y $\geq$ 4 ...(i)
संगत समी. x + y = 4
$\frac{x}{4}+\frac{y}{4}$ = 1
$\Rightarrow \frac{x}{4}+\frac{y}{4}$ = 1
यह रेखा अक्षों को क्रमशः A(4, 0) और B(0, 4) पर काटती है। इसमें मूलबिन्दु रखने पर असमिका सन्तुष्ट नहीं होती है। अतः वह क्षेत्र लेगें जिसमें मूलबिन्दु स्थित नहीं हो।
असमिका 2x - y < 0 ...(ii)
संगत समी. 2x - y = 0
या y = 2x
$\because$ या रेखा मूलबिन्दु से होकर जाती है। इसमें बिन्दु A(4, 0) रखने पर 2 $\times$ 4 - 0 < 0 या 8 < 0 जो कि असत्य है।
अतः वह क्षेत्र लेंगे जिसमें बिन्दु A(4, 0) स्थित नहीं हो।
इस प्रकार, छायांकित भाग ही दोनों असमिकाओं के उभयनिष्ठ क्षेत्र को निरूपित करता है।
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असमिका निकाय को आलेखीय विधि से हल कीजिए: graphically: 2x + y $\geq$ 6, 3x + 4y $\leq$ 12
Answer2x + y $\geq$ 6 ...(i)
संगत समी. 2x + y $\geq$ 6
$\Rightarrow \frac{x}{3}+\frac{y}{6}$ = 1
यह रेखा अक्षों को क्रमशः A(3, 0) और B(0, 6) पर काटती है। असमिका (i) में मूलबिन्दु (0, 0) रखने पर.
2 $\times 0+0 \geq$ 6
या 0 $\geq$ 6 जो कि असत्य है।
अतः इस असमिका द्वारा निरूपित क्षेत्र वह होगा जिसमें मूलबिंदु स्थित नहीं हो।
असमिका 3x + 4y $\leq$ 12 ...(2)
संगत समी. 3x + 4y = 12
$\Rightarrow \frac{x}{4}+\frac{y}{3}$ = 1
यह रेखा अक्षों को क्रमशः C(4, 0) और D(0, 3) पर काटती है। इसमें मूलबिन्दु (0, 0) रखने पर असमिका संतुष्ट हो जाती है। अतः वह क्षेत्र लेते है जिसमें मूलबिन्दु स्थित हो।
इस प्रकार, दोनों असमिकाओं का उभयनिष्ठ क्षेत्र छायांकित भाग द्वारा व्यक्त है।
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असमिका निकाय को आलेखीय विधि से हल कीजिए: graphically: 3x + 2y $\leq$ 12, x $\geq$ 1, y $\geq$ 2
Answer3x + 2y $\leq$ 12, ...(i)
संगत समी. 2x + 2y = 12
$\Rightarrow \frac{x}{4}+\frac{y}{6}$ = 1
यह रेखा अक्षों को क्रमशः A(4, 0) और B(0, 6) पर मिलती है। इसमें मूलबिन्दु (0, 0) रखने पर,
3 $\times 0+2 \times 0 \leq$ 12
या 0 $\leq$ 12 जो कि सत्य है।
$\therefore$ इस असमिका द्वारा क्षेत्र वह होगा जिसमें मूलबिन्दु स्थित है।
असमिका x $\geq$ 1
यह असमिका y-अक्ष के समान्तर मूल बिन्दु से दायीं ओर x = 1 सहित दायीं ओर का क्षेत्र निरूपित करती है।
तथा
असमिका y $\geq$ 2
यह असमिका x-अक्ष के समान्तर ऊपरी अर्धतल में मूल बिन्दु से y = 2 सहित ऊपर का क्षेत्र निरूपित करती है।
इस प्रकार, छायांकित क्षेत्र ही असमिका निकाय का हल है।
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असमिका निकाय को आलेखीय विधि से हल कीजिए: graphically: x + 2y $\leq$ 10, x + y $\geq$ 1, x – y $\leq$ 0, x $\geq$ 0, y $\geq$ 0
Answerx + 2y $\leq$ 10 ...(1)
संगत समी. x + y = 10
या $\frac x{10} + \frac y 5$ = 1
यह रेखा अक्षों को क्रमशः A(10, 0) और B(0, 5) पर मिलती है और वह क्षेत्र निरूपित करती है जिसमें origin स्थित है।
तथा x + y $\geq$ 1 ...(2)
संगत समी. x + y = 1
यह अक्षों को क्रमशः C(1, 0) और D(0, 1) पर मिलती है और वह क्षेत्र निरूपित करती है जिसमें origin स्थित है।
तथा x - y $\leq$ 0 ...(3)
संगत समी. x - y = 0
या y = x
यह रेखा मूलबिन्दु से होकर जाती है तथा वह क्षेत्र निरूपित करती हे जिसमें B(0, 5), D(0, 1) स्थित हैं।
साथ ही असमिकायें x$ \geq 0, y \geq$ 0 ...(4)
प्रथम चर्तुथांश को निरूपित करते हैं।
इस प्रकार छयांकित भाग असमिकाओं के उभयनिष्ट क्षेत्र को निरूपित करता है।
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असमिका निकाय को आलेखीय विधि से हल कीजिए: graphically: 3x + 2y $\leq$ 150, x + 4y $\leq$ 80, x $\leq$ 15, y $\geq$ 0, x $\geq$ 0
Answer3x + 2y $\leq$ 150 ...(1)
संगत समी. 3x + 2y = 150
$\Rightarrow \frac{x}{50}+\frac{y}{75}$ = 1
यह रेखा अक्षों को क्रमशः A(50, 0), B(0, 75) पर मिलती है तथा वह क्षेत्र निरूपित करती है जिसमें मूलबिन्दु स्थित है।
तथा x + 4y $\leq$ 80 ...(2)
संगत समी. x + 4y = 80
$\Rightarrow \frac{x}{80}+\frac{y}{20}$ = 1
यह रेखा अक्षों को क्रमशः C(80, 0) और D(0, 20) पर मिलती है तथा वह क्षेत्र निरूपित करती है जिसमें मूलबिन्दु स्थित है।
और x $\leq$ 15 ...(3)
संगत समी. x = 15 जो कि y-अक्ष के समान्तर है। तथा x = 15 के बांयी ओर के क्षेत्र को निरूपित करती है।
साथ ही x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(4)
ये असमिकायें प्रथम चतुर्थांश को निरूपित करते हैं।
इस प्रकार छायांकित भाग असमिकाओं के उभयनिष्ठ क्षेत्र को निरूपित करता है।
View full question & answer→Question 135 Marks
असमिका निकाय को आलेखीय विधि से हल कीजिए: graphically: 4x + 3y $\leq$ 60, y $\geq$ 2x, x $\geq$ 3, x, y $\geq$ 0
Answer4x + 3y $\leq$ 60 ...(1)
संगत समी. 4x + 3y = 60
या $\frac{x}{15}+\frac{y}{20}$ = 1
यह रेखा अक्षों को क्रमशः A(15, 0) और B(0, 20) पर मिलती है। तथा वह क्षेत्र निरूपित करती है जिसमें मूलबिन्दु स्थित है।
y $\geq$ 2x ...(2)
संगत समी. y = 2x
यह रेखा मूलबिन्दु से होकर जाती है तथा वह क्षेत्र निरूपित करती है जिसमें बिन्दु B(0, 20) स्थित है।
तथा x $\geq$ 3 ...(3)
संगत समी. x = 3
यह रेखा y-अक्ष के समान्तर मूलबिन्दु से. 3 की दूरी पर दांयी ओर स्थित है तथा $x=3$ के दांयी ओर के क्षेत्र को निरूपित करती है।
और x, y $\geq$ 0 ..(4)
ये असमिकाऐं प्रथम चतुर्थांश को व्यक्त करते हैं।
इस प्रकार, छायांकित भाग असमिकाओं के उभयनिष्ठ क्षेत्र को निरूपित करता है।
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असमिका निकाय को आलेखीय विधि से हल कीजिए: graphically: x – 2y $\leq$ 3, 3x + 4y $\geq$ 12, x $\geq$ 0 , y $\geq$ 1
Answerx – 2y $\leq$ 3 ...(1)
संगत समी. x - 2y = 3
$\Rightarrow\frac{x}{3}+\frac{y}{\frac {-3}2}$ = 1
यह रेखा अक्षों को क्रमशः A(3, 0) और B$\left(0,-\frac{3}{2}\right)$ पर मिलती है तथा वह क्षेत्र निरूपित करती है जिसमें मूलबिन्दु स्थित है।
तथा 3x + 4y $\geq$ 12 ...(2)
संगत समी 3x + 4y = 12
$\Rightarrow \frac{x}{4}+\frac{y}{3}$ = 1
यह रेखा अक्षों को क्रमशः C(4, 0) और D(0, 3) पर मिलती है। तथा वह क्षेत्र निरूपित करती है जिसमें मूलबिन्दु स्थित नहीं है।
और x $\geq$ 0 ...(3)
यह y-अक्ष के दायी ओर के क्षेत्र को निरूपित करती है।
एवं y $\geq$ 1
इसका संगत सभी y = 1 जो कि x अक्ष के समान्तर है तथा मूलबिन्दु से 1 की दूरी पर ऊपरी अर्धतल में स्थित है तथा y = 1 के ऊपर के क्षेत्र को निरूपित करती है।
इस प्रकार छायांकित भाग, असमिकाओं के उभयनिष्ठ क्षेत्र को निरूपित करता है।
View full question & answer→Question 155 Marks
असमिका निकाय को आलेखीय विधि से हल कीजिए: graphically: 2x + y $\geq$ 4, x + y $\leq$ 3, 2x – 3y $\leq$ 6
Answer2x + y $\geq$ 4 ...(1)
संगत समी. 2x + y = 4
या $\frac{x}{2}+\frac{y}{4}$ = 1
यह रेखा अक्षों को क्रमशः A(2, 0) नहीं और B(0, 4) पर मिलती है। इसमें मूलबिन्दु रखने पर संतुष्ट नहीं होती है अतः वह क्षेत्र लेगें जिसमें मूलबिन्दु स्थित नहीं है।
तथा x + y $\leq$ 3 ...(2)
संगत समी. x + y = 3
या $\frac{x}{3}+\frac{y}{3}$ = 1
यह रेखा अक्षों को क्रमशः C(3, 0) और D(0, 3) पर मिलती है तथा वह क्षेत्र निरूपित कंरती है जिसमें मूलबिन्दु स्थित है।
और 2x - 3y $\leq$ 6 ...(3)
संगत समी. 2x - 3y = 6
या $\frac{x}{3}+\frac{y}{-2}$ = 1
यह रेखा अक्षों को क्रमशः C(3, 0) और E(0, -2) पर मिलती है तथा वह क्षेत्र लेगें जिसमें मूलबिन्दु स्थित है।
इस प्रकार, छायांकित भाग असमिकाओं के उभयनिष्ठ क्षेत्र को निरूपित करता है।
View full question & answer→Question 165 Marks
असमिका निकाय को आलेखीय विधि से हल कीजिए: graphically: 3x + 4y $\leq$ 60, x + 3y $\leq$ 30, x $\geq$ 0, y $\geq$ 0
Answer3x + 4y $\leq$ 60 ...(1)
संगत समी. 3x + 4y = 60
$\Rightarrow \frac{x}{20}+\frac{y}{15}$ = 1
यह रेखा अक्षों को क्रमशः A(20, 0) और B(0, 15) पर मिलती है। इसमें मूलबिन्दु रखने पर सन्तुष्ट हो जाती है। अतः वह क्षेत्र लेते हैं जिसमें मूलबिन्दु स्थित है।
तथा x + 3y $\leq$ 30 ...(2)
संगत समी. x + 3y = 30
$\Rightarrow \frac{x}{30}+\frac{y}{10}$ = 1
यह रेखा अक्षों को क्रमशः C(30, 0) और D(0, 10) पर मिलती है। इसमें मूलबिन्दु रखने पर सन्तुष्ट हो जाती है अतः वह क्षेत्र लेते हैं जिसमें मूलबिन्दु स्थित है।
और x $\geq 0, y \geq$ 0 ...(3)
ये प्रथम चर्तुथांश को निरूपित करते हैं।
इस प्रकार, छायांकित भाग, असमिकाओं के उभयनिष्ट क्षेत्र को निरूपित करता है।
View full question & answer→Question 175 Marks
असमिका निकाय को आलेखीय विधि से हल कीजिए: graphically: x $\geq$ 3, y $\geq$ 2
Answerx $\geq$ 3 ...(i)
संगत समीकरण x = 3
यह रेखा y-अक्ष के समान्तर मूल बिन्दु से दांयी ओर स्थित है। और असमिका द्वारा निरूपित क्षेत्र x = 3 सहित इसके दायी ओर का छायांकित भाग है।
तथा y $\geq$ 2 ...(2)
संगत समीकरण y = 2
यह रेखा, x-अक्ष के समान्तर ऊपरी अर्धतल में मूलबिन्दु से y = 2 की दूरी पर है। तथा y = 2 सहित छायांकित से y = 2 की दूरी पर है। तथा y = 2 सहित छायांकित भाग को निरूपित करती है।
स्पष्ट है कि द्वि-छायांकित क्षेत्र (double shaded region) दोनों छायांकित क्षेत्रो में उभयनिष्ठ हैं तथा यही दी गई असमिकाओं का हल है।
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