Question 12 Marks
परवलय $y^2= 4ax,$ के अंतर्गत एक समबाहु त्रिभुज है जिसका एक शीर्ष परवलय का शीर्ष है। त्रिभुज की भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
Answerपरवलय y^2= 4ax ...(1)
माना समबाहु $\triangle OAB$ की प्रत्येक भुजा l है।
$\triangle OAC$ में,
$OC = l \cos 30^\circ= \frac{l \sqrt{3}}{2}$
और $AC = l \sin 30^\circ= \frac{l}{2}$
$\therefore A$ के निर्देशांक $\left(\frac{l \sqrt{3}}{2}, \frac{l}{2}\right)$
अब समीकरण $(1)$ से, $\left(\frac{l}{2}\right)^{2}=4 a\left(\frac{l \sqrt{3}}{2}\right)$
$\Rightarrow l = 8a\sqrt 3$ View full question & answer→Question 22 Marks
त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जो परवलय $x^2= 12y$ के शीर्ष को इसकी नाभिलंब जीवा के सिरों को मिलाने वाली रेखाओं से बना है।
Answer
परवलय
$x^2= 12y ...(1)$
यहां $4a = 12$
$\therefore a = 3$
$\Rightarrow AS = 3$
और नाभिलम्ब $= 4a = 4 \times 3 = 12$
$\therefore LSL' = 12$
अतः $\triangle LAL'$ का क्षे $= \frac{1}{2} \times$ आधार $\times$ ऊंचाई
$= \frac{1}{2} \times L S L^{\prime} \times AS$
$=\frac{1}{2} \times 12 \times 3 = 18$ वर्ग मात्रक View full question & answer→Question 32 Marks
यदि एक परवलयाकार परावर्तक का व्यास $20$ सेमी और गहराई $5$ सेमी है। नाभि ज्ञात कीजिए।
Answer
परावर्त्तक का व्यास
$LM = 20$ सेमी
$\therefore LN = MN$
$= \frac{20}{2} = 10$ सेमी.
और गहराई $AN = 5$ सेमी.
माना परावर्त्तक का समी.
$y^2= 4ax ...(1)$
बिन्दु $L$ के निर्देशांक $(5, 10)$ इस समी . $(1)$ को संतुष्ट करेंगें।
$(10)^2= 4a \times 5 \therefore a=\frac{100}{20} = 5$
समी. $(1)$ परावर्त्तक का समी. $y^2= 20x$
नाभि $(a, 0) = (5, 0)$ जो कि व्यास $LM$ का मध्यबिन्दु $N$ है। View full question & answer→Question 42 Marks
दिए गए शीर्ष $(0, \pm 3),$ नाभियाँ $(0, \pm 5)$ प्रतिबंध को संतुष्ट करते हुए अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answerशीर्ष $(0, \pm3), \therefore b = 3$
नाभियाँ $(0, \pm5) \therefore be = 5$
$\Rightarrow 3e = 5$
$\therefore e = \frac{5}{3}$
$\because a^2= b^2(e^2- 1)$
$\Rightarrow a^2= 9\left(\frac{25}{9}-1\right) = 16$
$\therefore a = 4$
अतः संयुग्मी अतिपरवलय का समी.
$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = -1$
$\Rightarrow \frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9} = -1$
$\Rightarrow \frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{16} = 1$
View full question & answer→Question 52 Marks
दिए गए शीर्ष $(0, \pm 5),$ नाभियाँ $(0, \pm 8)$ प्रतिबंध को संतुष्ट करते हुए अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answerशीर्ष $(0, \pm 5), \therefore b = 5$
नाभियाँ $(0, \pm 8), \therefore be = 8$
$\Rightarrow 5e = 8$
$e = \frac 85$
$\because a^2 = b^2(e^2 - 1)$
$= 25\left(\frac{64}{25}-1\right)=25 \times \frac{39}{25}$
$a^2 = 39$
अतः संमुग्मी अतिपरवलय का समी.
$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = -1$
$\frac{x^{2}}{39}-\frac{y^{2}}{25} = -1$
$\Rightarrow \frac{y^{2}}{25}-\frac{x^{2}}{39} = 1$
View full question & answer→Question 62 Marks
दिए गए शीर्ष $(\pm 2, 0),$ नाभियाँ $(\pm 3, 0)$ प्रतिबंध को संतुष्ट करते हुए अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answerशीर्ष $(\pm2, 0) \therefore a = 2$
नाभियां $(\pm3, 0) \therefore ae = 3$
$\Rightarrow 2e = 3$
$\therefore -e=\frac{3}{2}$
$\because b^2= a^2(e^2- 1)$
$= 4\left(\frac{9}{4}-1\right) = 5$
$b^2 = 5 \Rightarrow b = \sqrt 5$
अतः अतिपरवलय का समी.
$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \Rightarrow \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5} = 1$
View full question & answer→Question 72 Marks
अतिपरवल के शीर्षों, नाभियों के निर्देशांक, उत्केंद्रता और नाभिलंब जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए: $49y^2 - 16x^2 = 784$
Answer$49y^2 - 16x^2 = 784$
$\Rightarrow \frac{y^{2}}{16}-\frac{x^{2}}{49} = 1$
$\Rightarrow \frac{x^{2}}{49}-\frac{y^{2}}{16} = -1 ...(1)$
यह संयुग्मी अतिपरवलय का समी है।
$a^2= 49, b^2 = 16$
$\Rightarrow a = 7, b = 4$
$\because a^2 = b^2(e^2- 1)$
$49 = 16(e^2- 1)$
$e^2= 1 + \frac{49}{16}=\frac{65}{16}$
$e = \frac{\sqrt{65}}{4}$
अतः शीर्ष $(0, \pmb) = (0, \pm4)$
नाभियां $(0 \pm be) = \left(0, \pm 4 \times \frac{\sqrt{65}}{4}\right)=(0, \pm \sqrt{65})$
और नाभिलम्ब $= \frac{2 a^{2}}{b}=\frac{2 \times 49}{4}=\frac{49}{2}$ मात्रक
View full question & answer→Question 82 Marks
अतिपरवल के शीर्षों, नाभियों के निर्देशांक, उत्केंद्रता और नाभिलंब जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए: $5y^2 - 9x^2 = 36$
Answer$5y^2 - 9x^2 = 36$
$\Rightarrow \frac{5 y^{2}}{36}-\frac{9 x^{2}}{36} = 1$
$\Rightarrow \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{36 / 5} = 1 ...(1)$
यह संयुग्मी अतिपरवलय का समी. है।
$a^2 = 4, b^2 = \frac {36}5 \Rightarrow a = 2, b = \frac 6{\sqrt 5}$
$\because a^2 = b^2(e^2 - 1)$
$\Rightarrow 4 = \frac{36}{5}\left(e^{2}-1\right)$
$\Rightarrow e^{2}=1+\frac{5}{9}=\frac{14}{9}$
$\therefore e=\frac{\sqrt{14}}{3}$
अतः शीर्ष $(0, \pm b)=\left(0, \pm \frac{6}{\sqrt{5}}\right)$
नाभियां $(0, \pm b e)=\left(0, \pm \frac{6}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{14}}{3}\right)$
$= \left(0, \pm \frac{2 \sqrt{14}}{\sqrt{5}}\right)$
और नाभिलम्ब $= \frac{2 a^{2}}{b}=\frac{2 \times 4}{6 / \sqrt{5}}=\frac{4 \sqrt{5}}{3}$ मात्रक
View full question & answer→Question 92 Marks
अतिपरवल के शीर्षों, नाभियों के निर्देशांक, उत्केंद्रता और नाभिलंब जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए: $16x^2 - 9y^2 = 576$
Answer$16x^2 - 9y^2 = 576$
$\Rightarrow \frac{16 x^{2}}{576}-\frac{9 y^{2}}{576} = 1$
$\Rightarrow \frac{x^{2}}{36}-\frac{y^{2}}{64} = 1$
यहां $a^2= 36, b^2 = 64$
$\Rightarrow a = 6, b = 8$
$\because b^2 = a^2(e^2- 1)$
$\Rightarrow 64 = 36(e^2- 1)$
$e^2 = 1 + \frac{16}{9}=\frac{25}{9} \therefore e=\frac{5}{3}$
$\therefore$ शीर्ष $(\pm a, 0) \equiv(\pm 6, 0)$
नाभियां $(\pm ae, 0) = \left(\pm 6 \times \frac{5}{3}, 0\right)=(\pm 10,0)$
और नाभिलम्ब $= \frac{2 b^{2}}{a}=\frac{2 \times 64}{6}=\frac{64}{3}$ मात्रक
View full question & answer→Question 102 Marks
अतिपरवल के शीर्षों, नाभियों के निर्देशांक, उत्केंद्रता और नाभिलंब जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए: $9y^2 - 4x^2 = 36$
Answer$9y^2 - 4x^2 = 36$
$\Rightarrow \frac{9 y^{2}}{36}-\frac{4 x^{2}}{36} = 1$
$\Rightarrow \frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4} = -1$
यह संयुग्मी अतिपरवलय का समी. है।
$a^2= 9, b^2= 4$
$\Rightarrow a = 3, b = 2$
$\because a^2= b^2(e^2- 1)$
$\Rightarrow 9 = 4(e^2- 1)$
$\Rightarrow e^2= \frac{13}{4} \therefore e=\frac{\sqrt{13}}{2}$
$\Rightarrow$ शीर्ष $(0, \pmb) = (0, \pm2)$
नाभियां $(0, \pm be) = \left(0, \pm 2 \times \frac{\sqrt{13}}{2}\right)=(0, \pm \sqrt{13})$
नाभिलम्ब $= \frac{2 a^{2}}{b}=\frac{2 \times 9}{2} = 9$ मात्रक
View full question & answer→Question 112 Marks
अतिपरवल के शीर्षों, नाभियों के निर्देशांक, उत्केंद्रता और नाभिलंब जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए: $\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{27}$ = 1
Answer$\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{27} = 1$
$\Rightarrow \frac{x^{2}}{27} -\frac{y^{2}}{9} = -1 ...(1)$
यह संयुग्मी अतिपरवलय का समी. है।
$a^2= 27, b^2= 9$
$\because a^2= b^2(e^2- 1)$
$\Rightarrow 27 = 9(e^2- 1)$
$\Rightarrow e^2= 4 \therefore e = 2$
शीर्ष $(0, \pmb) = (0, \pm3)$
नाभिया $(0, \pm be) = (0, \pm3 \times 2) = (0, \pm 6)$
नाभिलम्ब $= \frac{2 a^{2}}{b}=\frac{2 \times 27}{3} = 18$
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अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए, जब नाभियाँ $(0, \pm \sqrt{10}),$ हैं तथा $(2, 3)$ से होकर जाता है।
Answerनाभियां $(0, \pm \sqrt{10}) \therefore b e=\sqrt{10} ...(1)$
माना अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = -1 ...(2)$
$\because$ यह बिन्दु $(2, 3)$ से होकर जाता है।
$\therefore \frac{4}{a^{2}}-\frac{9}{b^{2}} = -1 ...(3)$
$\Rightarrow \frac{4}{b^{2}\left(e^{2}-1\right)}-\frac{9}{b^{2}} = -1$
$\Rightarrow \frac{4}{b^{2} e^{2}-b^{2}}-\frac{9}{b^{2}} = -1$
$\Rightarrow \frac{4}{10-b^{2}}-\frac{9}{b^{2}} = -1$
$\Rightarrow 4b^2- 90 + 9b^2= -b^2(10 - b^2)$
$\Rightarrow 13b^2 - 90 = -10b^2 + b^4$
$b^4- 23b^2+ 90 = 0$
$(b^2- 18)(b^2- 5) = 0$
$b^2 = 18, b^2= 5$
समी. $(3)$ से, जब $b^2= 18$
तो $\frac{4}{a^{2}}-\frac{9}{18} = -1$
$\frac{4}{a^{2}} =\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$
$a^2= -8 ($यह असम्भव है।$)$
जब $b^2= 5 तो \frac{4}{a^{2}}-\frac{9}{5} = 1$
$\frac{4}{a^{2}}=\frac{9}{5}-1=\frac{4}{5} \Rightarrow a^{2} = 5$
$\therefore$ अतिपरवलय
समी. $(2) \Rightarrow \frac{x^{2}}{5}-\frac{y^{2}}{5} = -1$ अर्थात् $x^2- y^2= -5$
View full question & answer→Question 132 Marks
अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए, जब शीर्ष $(\pm7, 0), e = \frac{4}{3}.$
Answerशीर्ष $(\pm7, 0), \therefore ae = 7$
दिया है। $e = \frac{4}{3} \therefore a \times \frac 43 = 7$
$\Rightarrow a = \frac{21}{4}$
$\because b^2= a^2(e^2- 1)$
$\Rightarrow b^2= a^2e^2- a^2$
$= 49 - \frac{441}{16}=\frac{784-441}{16}=\frac{343}{16}$
$\therefore b^2= \frac{343}{16}$
अतः अतिपरवलय का समी.
$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$
$\Rightarrow \frac{x^{2}}{\left(\frac{441}{16}\right)}-\frac{y^{2}}{\left(\frac{343}{16}\right)} = 1$
$\Rightarrow \frac{16 x^{2}}{441}-\frac{16 y^{2}}{343} = 1$
View full question & answer→Question 142 Marks
अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए, जब नाभियाँ $(\pm 4, 0),$ नाभिलंब जीवा की लंबाई $12$ है।
Answerनाभियां $(\pm 4, 0) \therefore ae = 4 ...(1)$
नाभिलम्ब $\frac{2 b^{2}}{a} = 12 \therefore b^2 = 6a ...(2)$
$\because b^2= a^2(e^2- 1)$ से,
$\Rightarrow b^2= a^2e^2- a^2$
$\Rightarrow 6a = 16 - a^2\{$समी. $(1)$ और $(2)$ से$\}$
$\Rightarrow a^2 + 6a - 16 = 0$
$(a + 8)(a - 2) = 0$
$\therefore a = 2 \{\because a + 8 \ne 0\}$
समी. ($2) \Rightarrow b^2 = 6 \times 2 = 12$
$\therefore b = 2\sqrt 3$
अतः अतिपरवलय का समी.
$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$
$\Rightarrow \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12} = 1$
$\Rightarrow 3x^2 - y^2= 12$
View full question & answer→Question 152 Marks
अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए, जब नाभियाँ $(\pm 3 \sqrt{5}, 0),$ नाभिलंब जीवा की लंबाई 8 है।
Answerनाभियाँ $(\pm 3\sqrt{5}, 0), \therefore ae = 3\sqrt 5 ...(1)$
नाभिलम्ब $\frac{2 b^{2}}{a} = 8, b^2= 4a ...(2)$
$\because b^{2}=a^{2}\left(e^{2}-1\right)$
$\Rightarrow b^{2}=a^{2} e^{2}-a^{2}$
$\Rightarrow 4a = (3\sqrt{5})^2- a^2\{$समी. $(1), (2)$ से$\}$
$\Rightarrow a^2+ 4a - 45 = 0$
$\Rightarrow (a + 9)(a - 5) = 0$
$\therefore a = 5 \because a + 9 \ne 0$
समी. $(2) \Rightarrow b^2 = 4 \times 5 = 20 \therefore b = 2\sqrt 5$
अतः अतिपरवलय का समी.
$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$
$\frac{x^{2}}{25}-\frac{y^{2}}{20} = 1$
$4x^2- 5y^2= 100$
$\Rightarrow \frac{x^{2}}{25}-\frac{y^{2}}{20} = 1$
$\Rightarrow 4x^2 - 5y^2 = 100$
View full question & answer→Question 162 Marks
अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए, जब नाभियाँ $(0, \pm 13),$ संयुग्मी अक्ष की लंबाई $24$ है।
Answerनाभियां $(0, \pm 13) \therefore be = 13 ...(1)$
संयुग्मी अक्ष $= 24 \therefore 2a = 24$
$\Rightarrow a = 12 ...(2)$
$\because a^2 = b^2(e^2- 1)$
$\Rightarrow a^2 = b^2e^2- b^2$
$\Rightarrow 144 = 169 - b^2$
$\therefore b^2 = 25 \Rightarrow b = 5$
अतः संयुग्ती अतिपरवलय का समी.
$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = -1$
$\Rightarrow \frac{x^{2}}{144}-\frac{y^{2}}{25} = -1$
$\Rightarrow \frac{y^{2}}{25}-\frac{x^{2}}{144} = 1$
View full question & answer→Question 172 Marks
अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए, जब नाभियाँ $( \pm 5, 0),$ अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $8$ है।
Answerनाभियां $(\pm 5, 0) \therefore ae = 5$
और $2a = 8 \therefore a = 4$
अतः $4e = 5$
$\therefore e =\frac{5}{4}$
$b^2= a^2(e^2- 1)$
$= 16\left(\frac{25}{16}-1\right) = 9$
$\Rightarrow b = 9, \therefore b = 3$
अतः अतिपरवलय का समी.
$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$
$\Rightarrow \frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9} = 1$
View full question & answer→Question 182 Marks
अतिपरवल के शीर्षों, नाभियों के निर्देशांक, उत्केंद्रता और नाभिलंब जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए: $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}$ = 1
Answerअतिपरवलय का समी. \frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9} = 1 ...(1)
$a^2 = 16, b^2 = 9$
$\Rightarrow a = 4, b = 3$
$\because b^2= a^2(e^2- 1)$
$9 = 16(e^2- 1)$
$\therefore e^2= 1 + \frac{9}{16}=\frac{25}{16}$
$\Rightarrow e = \frac{5}{4}$
शीर्ष $(\pm a, 0) = (\pm4, 0)$
नाभियां $(\pm ae, 0) = \left(\pm 4 \times \frac{5}{4}, 0\right)=(\pm 5,0)$
नाभिलम्ब $= \frac{2 b^{2}}{a}=\frac{2 \times 9}{4}=\frac{9}{2}$ मात्रक
View full question & answer→Question 192 Marks
दिए गए $b = 3, c = 4,$ केंद्र मूल बिंदु पर, नाभियाँ $x$ अक्ष पर प्रतिबंध को संतुष्ट करते हुए दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answer$b = 3$ और $c = 4$
$\because$ नाभियां $x-$अक्ष पर है।
$c^2= a^2- b^2$
$\Rightarrow 16 = a^2- 9$
$\Rightarrow a^2 = 25 \therefore a = 5$
अतः दीर्घवृत्त का समी. $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$
$\Rightarrow \frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}= 1$
View full question & answer→Question 202 Marks
दिए गए नाभियाँ $(\pm3, 0), a = 4$ प्रतिबंध को संतुष्ट करते हुए दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answerनाभियां $(\pm3, 0) \therefore ae = 3$
$\because$ दिया है: $a = 4$
$\Rightarrow 4e = 3 \therefore e=\frac{3}{4}$
और $b^2= a^2(1 - e^2) = 16\left(1-\frac{9}{16}\right) = 7$
अतः दीर्घवृत्त का समी. $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$
$\Rightarrow \frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{7} = 1$
View full question & answer→Question 212 Marks
दिए गए दीर्घ अक्ष की लंबाई $16,$ नाभियाँ $ (0, \pm6)$ प्रतिबंध को संतुष्ट करते हुए दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answerदीर्घाक्ष की लम्बाई $= 16$ और नाभिंया $(0, \pm b)$
$\Rightarrow 2b = 16$ और $be = 6$
$b = 8$ और $e = \frac{6}{8}=\frac{3}{4}$
$\because a^2= b^2(1 - e^2)$
$= 64\left(1-\frac{9}{16}\right)=64 \times \frac{7}{16} = 28$
$a^2 = 28$
अतः दीर्घवृत्त का समी $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$
$\Rightarrow\frac{x^{2}}{28}+\frac{y^{2}}{64} = 1$
View full question & answer→Question 222 Marks
दिए गए दीर्घ अक्ष की लंबाई $26$, नाभियाँ $(\pm 5, 0)$ प्रतिबंध को संतुष्ट करते हुए दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answerदीर्घाक्ष की लम्बाई $= 26$
$2a = 26 \therefore a = 13$
नाभियां $(\pm 5, 0) \therefore ae = 5$
$\Rightarrow 13e = 5$
$\Rightarrow e = \frac 5{13}$
$\because b^2 = a^2(1 - e^2) = 169(1-\frac {25}{169})$
$b^2 = 169 \times \frac {144}{169} = 144$
$\therefore b = 12$
अतः दीर्घवृत्त का समी. $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$
$\frac{x^{2}}{169}+\frac{y^{2}}{144} = 1$
View full question & answer→Question 232 Marks
दिए गए दीर्घ अक्ष के अंत्य बिंदु $ (0, \pm \sqrt 5$), लघु अक्ष के अंत्य बिंदु $(\pm1, 0)$ प्रतिबंध को संतुष्ट करते हुए दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answerदीर्घाक्ष के अंत्य बिन्दु $(0, \pm \sqrt{5}) \therefore b=\sqrt{5}$
लघुअक्ष के अंत्य बिन्दु $(\pm1, 0) \therefore a = 1$
अतः दीर्घवृत्त का समी. $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$
$\Rightarrow \frac{x^{2}}{1}+\frac{y^{2}}{5} = 1$
$\Rightarrow 5x^2+ y^2= 5$
View full question & answer→Question 242 Marks
दिए गए दीर्घ अक्ष के अंत्य बिंदु ($\pm$3, 0), लघु अक्ष के अंत्य बिंदु (0, $\pm$2) प्रतिबंध को संतुष्ट करते हुए दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answerदीर्घाक्ष के अंत्य बिन्दु ($\pm$3, 0) $\therefore$ a = 3
और लघुअक्ष के अंत्य बिन्दु (0, $\pm$2) $\therefore$ b = 2
अतः दीर्घवृत्त का समी. $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}$ = 1
$\Rightarrow \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}$ = 1
View full question & answer→Question 252 Marks
दिए गए शीर्षों $(\pm6, 0),$ नाभियाँ $(\pm4, 0)$ प्रतिबंध को संतुष्ट करते हुए दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answerशीर्ष $(\pm 6, 0) \therefore a = 6$
नाभियां $(\pm 4, 0) \therefore ae = 4$
$\Rightarrow 6e = 6$
$\Rightarrow e = \frac{2}{3}$
$\because b^2= a^2(1 - e^2) = 36\left(1-\frac{4}{9}\right)$
$b^2 = 36 \times \frac{5}{9} = 20$
अतः दीर्घवृत्त का समी. $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$
$\Rightarrow \frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{20}= 1$
View full question & answer→Question 262 Marks
दिए गए शीर्षों $(0, \pm13),$ नाभियाँ $(0, \pm 5)$ प्रतिबंध को संतुष्ट करते हुए दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answerशीर्ष $(0, \pm13) \Rightarrow b = 13$
नाभियां $(0, \pm5) \Rightarrow be = 5$
$\therefore 13e = 5$
$\Rightarrow e=\frac{5}{13}$
$\because a^2= b^2(1 - e^2)$
$\Rightarrow a^2= 169\left(1 - \frac{25}{169}\right)=169 \times \frac{144}{169} = 144$
$\therefore a = 12$
अतः दीर्घवृत्त का समी. $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$
$\Rightarrow \frac{x^{2}}{144}+\frac{y^{2}}{169} = 1$
View full question & answer→Question 272 Marks
दिए गए शीर्षों $(\pm 5, 0)$, नाभियाँ $(\pm 4, 0)$ प्रतिबंध को संतुष्ट करते हुए दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answerशीर्ष $(\pm5, 0) \therefore a = 5$
और नाभियां $(\pm 4, 0) \therefore e = 4$
$\Rightarrow 5e = 4$
$\therefore e =\frac{4}{5}$
$\because b^2 = a^2(1 - e^2)$
$= 25\left(1-\frac{16}{25}\right)=25 \times \frac{9}{25}$
$b^2 = 9$
$\therefore b = 3$
अतः दीर्घवृत्त का समी. $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$
$\Rightarrow \frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9} = 1$
View full question & answer→Question 282 Marks
शीर्ष $(0, 0)$, नाभि $(3, 0)$ में परवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जो दिए प्रतिबंध को संतुष्ट करता है।
Answerशीर्ष $(0, 0),$ नाभि $(3, 0)$
यह परवलय का प्रथम प्रकार है और $a = 3$
$\therefore$ परवलय का समी. $y^2= 4ax$
$\Rightarrow y^2= 4 \times 3x$
$\Rightarrow y^2= 12x$
View full question & answer→Question 292 Marks
नाभि $(0, -3),$ नियता $y = 3$ में परवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जो दिए प्रतिबंध को संतुष्ट करता है।
Answer$\because$ नाभि $(0, -3)$
नियता का समी. $y = 3$
यह परवलय का चतुर्थ प्रकार है यहां $a = 3$
परवलय का समी. $x^2= -4ay$
$\Rightarrow x^2= -4 \times 3y$
$\Rightarrow x^2= -12y$
View full question & answer→Question 302 Marks
नाभि $(6, 0),$ नियता $x = -6$ में परवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जो दिए प्रतिबंध को संतुष्ट करता है।
Answer$\because$ नाभि $(6, 0)$ और नियता का समी. $x = -6$
यह परवलय का प्रथम प्रकार है जहां $a = 6$
परवलय का समी. $y^2= 4ax$
$\Rightarrow y^2= 4 \times 6x$
$\Rightarrow y^2= 24x$
View full question & answer→Question 312 Marks
दिय गए $x^2 = -9y$ में नाभि के निर्देशांक, परवलय का अक्ष, नियता का समीकरण और नाभिलंब जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
Answer$x^2 = -9y$
इस समी की तुलना $x^2= -4ay$ से करने पर,
$4a = 9 \therefore a=\frac{9}{4}$
नाभि $S(0, -a) \equiv S\left(0,-\frac{9}{4}\right)$
परवलय का अक्ष, $y$ अक्ष है जिसका समी $x = 0$
नियता का समी. $y = a$
$y = \frac{9}{4}$
$\Rightarrow 4y - 9 = 0$
और नाभिलम्ब $= 4a = 4 \times \frac{9}{4} = 9$ मात्रक
View full question & answer→Question 322 Marks
दिय गए $y^2 = 10x$ में नाभि के निर्देशांक, परवलय का अक्ष, नियता का समीकरण और नाभिलंब जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
Answer$y^2 = 10x ...(1)$
इस समी. की तुलना $y^2= 4ax$ से करने पर,
$4a = 10 \therefore a=\frac{5}{2}$
$\therefore$ नाभि $S(a, 0) \equiv S\left(\frac{5}{2}, 0\right)$
परवलय का अक्ष $x$ अक्ष है जिसका समी. $y = 0$
नियता का समी. $x = -a$
$\Rightarrow x=-\frac{5}{2}$
$\Rightarrow 2x + 5 = 0$
और नाभिलम्ब $= 4a = 4 \times \frac{5}{2} = 10$ मात्रक
View full question & answer→Question 332 Marks
दिय गए $x^2 = -16y$ में नाभि के निर्देशांक, परवलय का अक्ष, नियता का समीकरण और नाभिलंब जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
Answer$x^2 = -16y ...(1)$
इस समी की तुलना $x^2= -4ay$ से करने पर,
$4a = 16 \therefore a = 4$
नाभि $S(0, -a) \equiv S(0, -4)$
परवलय का अक्ष, $y$ अक्ष है जिसका समी. $x = 0$
नियता का समी. $y = a$
$\Rightarrow y = 4$
नाभिलम्ब $= 4a = 4 \times 4 = 16$ मात्रक
View full question & answer→Question 342 Marks
दिय गए $y^2 = -8x$ में नाभि के निर्देशांक, परवलय का अक्ष, नियता का समीकरण और नाभिलंब जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
Answery^$^2 = -8x ...(1)$
इस समी. की तुलना $y^2= -4ax$ से करने पर,
$4a = 8 \therefore a = 2$
नाभि $S(-a, 0) \equiv (-2, 0)$
परवलय का अक्ष, $x$ अक्ष है जिसका समी. $y = 0$
नियता का समी. $x = a$
$\Rightarrow x = 2$
$\Rightarrow x - 2 = 0$
नाभिलम्ब $= 4a = 4 \times 2 = 8$ मात्रक
View full question & answer→Question 352 Marks
दिय गए $x^2 = 6y$ में नाभि के निर्देशांक, परवलय का अक्ष, नियता का समीकरण और नाभिलंब जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
Answer$x^2= 6y ...(1)$
इस समी. की तुलना $x^2= 4ay$ से करने पर,
$4a = 6 \therefore a=\frac{3}{2}$
नाभि $S(0, a) \equiv S\left(0, \frac{3}{2}\right)$
परवलय का अक्ष, $y-$अक्ष है जिसका समी. $x = 0$
नियता का समी $y = -a$
$\Rightarrow y = -\frac 32$
$\Rightarrow 2y + 3 = 0$
और नाभिलम्ब $= 4a = 4 \times \frac{3}{2} = 6$ मात्रक
View full question & answer→Question 362 Marks
परवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जो दिए प्रतिबंध को संतुष्ट करता है शीर्ष $(0, 0), (5, 2)$ से जाता है और $y-$अक्ष के सापेक्ष सममित है।
Answerचूंकि परवलय का शीर्ष $(0, 0)$ और परवलय $y-$अक्ष के सापेक्ष सममित है।
$\therefore$ इसका समी. $x^2= 4ay ...(1)$
$\because$ यह बिन्दु $(5, 2)$ से होकर जाता है।
$\therefore 5^2= 4a \times 2$
$\Rightarrow 4a = \frac{25}{2}$
समी $(1)$ परवलय का समी.
$x^2= \frac{25}{2}y$
$2x^2 = 25y$
View full question & answer→Question 372 Marks
परवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जो दिए प्रतिबंध को संतुष्ट करता है शीर्ष $(0, 0), (2, 3)$ से जाता है और अक्ष, $x-$अक्ष के अनुदिश है।
Answer$\because$ परवलय का शीर्ष $(0, 0)$ है और अक्ष $x-$अक्ष के अनुदिश है।
माना इसका समी. $y^2= 4ax ...(1)$
$\because$ यह बिन्दु $(2, 3)$ से होकर जाता है।
$\therefore$ समी. $(1) \Rightarrow(3)^2= 4a \times 2$
$\therefore 4a = \frac{9}{2}$
यह मान समी. $(1)$ में रखने पर, परवलय का समी. $y^2= \frac{9}{2}x$
View full question & answer→Question 382 Marks
शीर्ष $(0, 0),$ नाभि $(-2, 0)$ में परवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जो दिए प्रतिबंध को संतुष्ट करता है।
Answerशीर्ष $(0, 0),$ नाभि $(-2, 0)$
यह परवलय का द्वितीय प्रकार है। तथा $a = 2$
इसका समी. $y^2 = -4ax$
$\Rightarrow y^2 = -4 \times 2x$
$\Rightarrow y^2 = -8x$
View full question & answer→Question 392 Marks
दिय गए $y^2 = 12x$ में नाभि के निर्देशांक, परवलय का अक्ष, नियता का समीकरण और नाभिलंब जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
Answerपरवलय $y^2= 12x ...(1)$
इस समी. की तुलना $y^2= 4ax$ से करने पर,
$4a = 12 \Rightarrow a = 3$
नाभि $S(a, 0) \equiv S(3, 0)$
परवलय का अक्ष $= x-$अक्ष जिसका समी. $y = 0$
नियता का समी. $x = -a$
$\Rightarrow x = -a$
$\Rightarrow x + 3 = 0$
नाभिलम्ब $= 4a = 4 \times 3 = 12$ मात्रक
View full question & answer→Question 402 Marks
$2x^2+ 2y^2- x = 0$ वृत्त का केंद्र और त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Answer$2x^2+ 2y^2- x = 0$
$\Rightarrow x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2}x = 0 ...(1)$
उस समी. की तुलना वृत्त के व्यापक समी.
$x^2+ y^2+ 2gx + 2fy + c = 0$ से करने पर,
$2g = \frac 12, 2f = 0, c = 0$
$\Rightarrow g = -\frac 14, f = 0, c = 0$
$\therefore$ केन्द्र $(-g, -f) = \left(\frac{1}{4}, 0\right)$
और त्रिज्या $= \sqrt{g^{2}+f^{2}-c}=\sqrt{\frac{1}{16}+0-0}=\frac{1}{4}$ मात्रक
View full question & answer→Question 412 Marks
$x^2+ y^2- 8x + 10y - 12 = 0$ वृत्त का केंद्र और त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Answer$x^2+ y^2- 8x + 10y - 12 = 0$
इस समी. की तुलना वृत्त के व्यापक समी.
$x^2+ y^2+ 2gx + 2fy + c = 0$ से करने पर,
$2g = -8, 2f = 10, c = -12$
$\Rightarrow g = -4, f = 5, c = -12$
$\therefore$ केन्द्र $(-g, -f) = (4, -5)$
और त्रिज्या $= \sqrt{g^{2}+f^{2}-c}=\sqrt{16+25+12}$
$= \sqrt{53}$ मात्रक
View full question & answer→Question 422 Marks
$x^2+ y^2- 4x - 8y - 45 = 0$ वृत्त का केंद्र और त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Answer$x^2+ y^2- 4x - 8y - 45 = 0$
इस समी. की तुलना वृत्त के व्यापक समी,
$x^2+ y^2+ 2gx + 2fy + c = 0$ से करने पर,
$2g = -4, 2f = -8, c = -45$
$\Rightarrow g = -2, f = -4, c = -45$
केंद्र $(-g, -f) = (2, 4)$
त्रिज्या $= \sqrt{g^{2}+f^{2}-c}=\sqrt{4+16+45}$
$= \sqrt{65} $ मात्रक
View full question & answer→Question 432 Marks
$(x + 5)^2 + (y - 3)^2 = 36$ वृत्त का केंद्र और त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Answerवृत्त $(x + 5)^2 + (y - 3)^2 = 36$
इस समी की तुलना $(x - h)^2+ (y - k)^2= a^2 $ से करने पर,
$h = -5, k = 3$ और $a^2 = 36$
$\therefore$ केंद्र $(h, k) = (-5, 3)$
तथा त्रिज्या $a = \sqrt{36} = 6$ मात्रक
View full question & answer→Question 442 Marks
केंद्र $(-a, -b)$ और त्रिज्या $\sqrt{a^{2}-b^{2}}$ इकाई में वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answerकेंद्र $(-a, -b), h = -a, k = -b$
त्रिज्या $= \sqrt{a^{2}-b^{2}}$
$\therefore$ वृत्त का समी. $(x + a)^2+ (y + b)^2= \left(\sqrt{a^{2}-b^{2}}\right)^{2}$
$x^2+ y^2+ 2ax + 2by + a^2+ b^2= a^2- b^2$
$\Rightarrow x^2+ y^2+ 2ax + 2by + 2b^2= 0$
View full question & answer→Question 452 Marks
केंद्र $(1, 1)$ और त्रिज्या $\sqrt 2$ इकाई में वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answerकेंद्र $(1, 1) \Rightarrow h = 1, k = 1$
त्रिज्या $= \sqrt{2} \therefore a=\sqrt{2}$
$\because $ वृत्त का समी.
$(x - h)^2+ (y - k)^2= a^2$
$\Rightarrow (x - 1)^2+ (y - 1)^2= (\sqrt{2})^{2}$
$\Rightarrow x^2 + y^2 - 2x - 2y = 0$
View full question & answer→Question 462 Marks
केंद्र $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right)$ और त्रिज्या $\frac 1{12}$ इकाई में वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answerकेंद्र $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right)$, h = $\frac 12$, k = $\frac 14$
और त्रिज्या = $\frac{1}{12}$ $\therefore a=\frac{1}{12}$
$\because$ वृत्त का समी $(x - h)^2+ (y - k)^2= a^2$
$\Rightarrow \left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(y-\frac{1}{4}\right)^{2}=\left(\frac{1}{12}\right)^{2}$
$\Rightarrow$ $x^{2}-x+\frac{1}{4}+y^{2}-\frac{1}{2} y+\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{144}$
$\Rightarrow x^{2}+y^{2}-x-\frac{1}{2} y+\frac{11}{36} = 0$
View full question & answer→Question 472 Marks
केंद्र $(-2, 3)$ और त्रिज्या $4$ इकाई में वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answerकेंद्र$ (-2, 3) h = -2, k = 3$
त्रिज्या $= 4 \therefore a = 4$
वृत्त का समी. $(x - h)^2+ (y - k)^2= a^2$
$\Rightarrow (x + 2)^2 + (y - 3)^2 = (4)^2$
$\Rightarrow x^2+ 4x + 4 + y^2- 6y + 9 = 16$
$\Rightarrow x^2 + y^2 + 4x - 6y - 3 = 0$
View full question & answer→Question 482 Marks
क्या बिंदु $(-2.5, 3.5)$ वृत्त $x^2+ y^2= 25$ के अंदर, बाहर या वृत्त पर स्थित है?
Answerवृत्त $x^2+ y^2= 25$
$\Rightarrow x^2+ y^2- 25 = 0$
बांये पक्ष में बिन्दु $(-2.5, 3.5)$ रखने पर,
$(-2.5)^2+ (3.5)^2- 25 = 6.25 + 12.25 - 25$
$= 18.5 - 25 = -6.5 < 0$
अतः बिन्दु $(-2.5, 3.5)$ वृत्त के अन्दर स्थित है।
View full question & answer→Question 492 Marks
उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केंद्र $(2, 2)$ हो तथा बिंदु $(4, 5)$ से जाता है।
Answerकेंद्र $(2, 2) \therefore h = 2, k = 2$
त्रिज्या $a = \sqrt{(4-2)^{2}+(5-2)^{2}} = \sqrt{4+9}=\sqrt{13}$
$\therefore$ वृत्त का समी.
$(x - 2)^2+ (y - 2)^2= (\sqrt{13})^{2}$
$\Rightarrow x^2+ y^2- 4x - 4y + 4 + 4 = 13$
$\Rightarrow x^2 + y^2 - 4x - 4y - 5 = 0$
View full question & answer→Question 502 Marks
$(0, 0)$ से होकर जाने वाले वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जो निर्देशांक्षों पर $a$ और $b$ अंतः खण्ड बनाता है।
Answer
$\because \angle AOB = 90^\circ$
$\Rightarrow AB$ वृत्त का व्यास है।
वृत्त के केंद्र $C$ के निर्देशांक
$= \left(\frac{a+0}{2}, \frac{0+b}{2}\right)$
$= \left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)$
तथा त्रिज्या $= OC = \sqrt{\left(\frac{a}{2}-0\right)^{2}+\left(\frac{b}{2}-0\right)^{2}}$
$= \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{4}}=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}$
$\therefore$ वृत्त का समी.
$\left(x-\frac{a}{2}\right)^{2}+\left(y-\frac{b}{2}\right)^{2}=\left(\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}\right)^{2}$
$\Rightarrow x^2 + y^2 - ax - by + \frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{2}}{4}=\frac{a^{2}+b^{2}}{4}$
$\Rightarrow x^2+ y^2- ax - by = 0$ View full question & answer→Question 512 Marks
त्रिज्या 5 के उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केंन्द्र $x-$अक्ष पर हो और जो बिंदु $(2, 3)$ से जाता है।
Answerमाना वृत्त का केन्द्र $(h, 0)$ है।
$\because$ त्रिज्या $= 5$
$\therefore$ वृत्त का समी. $(x - h)^2+ (y - 0)^2= 5^2 ...(1)$
$\because$ यह वृत्त बिन्दु $(2, 3)$ से होकर जाता है।
अतः $(2 - h)^2+ (3)^2= (5)^2$
$(2 - h)^2 = 25 - 9 = 16$
$\therefore 2 - h = \pm4$
$h = 2 - 4, 2 + 4$
$\Rightarrow h = -2, 6$
$\therefore$ समी. $(1) \Rightarrow$ वृत्त का समी.
$(x + 2)^2+ y^2= 25$
और $(x - 6)^2 + y^2 = 25$
View full question & answer→Question 522 Marks
बिंदुओं $(2, 3)$ और $(-1, 1)$ से जाने वाले वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केंद्र रेखा $x - 3y - 11 = 0$ पर स्थित है।
Answerमाना वृत्त का समी. $(x - h)^2+ (3y - k)^2= a^2 ...(1)$
$\because$ यह वृत्त बिन्दुओं $(2; 3)$ और $(-1, 1)$ से होकर जाता है।
$\therefore (2 - h)^2+ (3 - k)^2= a^2 ...(2)$
और $(-1 - h)^2 + (1 - k)^2 = a^2 ...(3)$
$\because$ वृत्त का केंद्र $(h, k)$ रेखा $x - 3y - 11 = 0$ पर स्थित है।
$\therefore h - 3k - 11 = 0 ...(4)$
समी. $(2)$ में से $(3)$ को घटाने पर,
$(2 - h)^2- (-1 - h)^2+ (3 - k)^2- (1 - k)^2= 0$
$\Rightarrow 3 - 6h + 8 - 4k = 0$
$\Rightarrow 6h + 4k - 11 = 0 ...(5)$
समी $(4)$ में $6$ का गुणा करके समी $(5)$ को घटाने पर,
$-22k - 55 = 0 \therefore k = -\frac 52$
समी. $(4) \Rightarrow h = 3k + 11 = -\frac{15}{2}+11=\frac{7}{2}$
समी. $(1) \Rightarrow a^{2}=\left(2-\frac{7}{2}\right)^{2}+\left(3+\frac{5}{2}\right)^{2}$
$= \frac{9}{4}+\frac{121}{4}=\frac{130}{4}=\frac{65}{2}$
$a^2= \frac{65}{2} \Rightarrow a=\sqrt{\frac{65}{2}}$ मात्रक
समी. $(1)$ से वृत्त का समी.
$(x - h)^2 + (y - k)^2 = a^2$
$\Rightarrow \left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}+\left(y+\frac{5}{2}\right)^{2} =\frac{65}{2}$
View full question & answer→Question 532 Marks
बिंदुओं $(4, 1)$ और $(6, 5)$ से जाने वाले वृत्त का समीकरण कीजिए जिसका केंद्र रेखा $4x + y = 16$ पर स्थित है।
Answerमाना वृत्त का व्यापक समी.
$x^2+ y^2+ 2gx + 2fy + c = 0 ...(1)$
$\because$ यह वृत्त बिन्दु $(4, 1)$ और $(6, 5)$ से होकर जाता है।
$\therefore 16 + 1 + 8g + 2f + c = 0$
$\Rightarrow 8g + 2f + c = -17 ...(2)$
और $36 + 25 + 12g + 10f + c = 0$
$\Rightarrow 12g + 10f + c = -61 ...(3)$
तथा वृत्त का केन्द्र $(-g, -f)$ रेखा $4x + y = 16$ पर स्थित है।
$\therefore -4g - f = 16 ...(4)$
समी. $(2)$ में से समी. $(3)$ को घटाने पर,
$-4g - 8f = 44 ...(5)$
समी. $(4)$ में से समी. $(5) $ को घटाने पर
$7f = -28 \Rightarrow f = -4$
समी. $(4) \Rightarrow -4g + 4 = 16$
$-4g = 12 \Rightarrow g = -3$
$g = -3, f = -4$ समी. $(2)$ में रखने पर,
$8g + 2f + c = -17$
$-24 - 8 + c = -17$
$\Rightarrow c = 15$
अब $g, f$ और $c$ के मान समी. $(i)$ में रखने पर, वृत्त का समी.
$x^2+ y^2+ 2 \times (-3)x + 2 \times (-4)y + 15 = 0$
$\Rightarrow x^2+ y^2- 6x - 8y + 15 = 0$
View full question & answer→Question 542 Marks
केंद्र $(0, 2)$ और त्रिज्या 2 इकाई में वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answerकेंद्र $(0, 2) \therefore h = 0, k = 2$
त्रिज्या $= 2 \Rightarrow a = 2$
वृत्त का समी. $(x - h)^2+ (y - k)^2 = a^2$
$\Rightarrow (x - 0)^2 + (y - 2)^2 = 2^2$
$\Rightarrow x^2 + y^2 - 4y + 4 = 4$
$\Rightarrow x^2+ y^2- 4y = 0$
View full question & answer→Question 552 Marks
उस परवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जो $y-$अक्ष के परितः सममित हो और बिंदु $(2, -3)$ से गुज़रता है।
Answerक्योंकि परवलय $y-$अक्ष के परितः सममित है और इसका शीर्ष मूल बिंदु पर है, अतः इसका समीकरण x^$^2= 4ay$ या $x^2= -4ay,$ के रूप में है जहाँ चिह्न परवलय के ऊपर या नीचे खुलने पर निर्भर करता है परंतु परवलय चतुर्थ चतुर्थांश में स्थित बिंदु $(2, -3)$ से गुज़रता है इसलिए यह अवश्य ही नीचे की ओर खुलेगा। अतः परवलय का समीकरण $x^2= -4ay$ के अनुरूप है, क्योंकि परवलय $(2, -3),$ से गुज़रता है, अतः हमें प्राप्त होता है,
$2^2= -4a(-3)$, अर्थात् $a = \frac{1}{3}$
अतः परवलय का समीकरण है
$x^2= -4\left(\frac{1}{3}\right)y,$ अर्थात् $3x^2= -4y$
View full question & answer→Question 562 Marks
एक परवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका शीर्ष $(0, 0)$ और नाभि $(0, 2)$ है।
Answerक्योंकि शीर्ष $(0, 0)$ पर और नाभि $(0, 2)$ पर है, जो $y-$अक्ष पर स्थित है, अतः परवलय का अक्ष, $y-$अक्ष है। इसलिए परवलय का समीकरण, $x^2 = 4ay$ के रूप में है। अतः परवलय का समीकरण है $x^2= 4(2)y,$ अर्थात् $x^2= 8y$ है।
View full question & answer→Question 572 Marks
नाभि $(2, 0)$ और नियता $x = -2$ वाले परवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answerक्योंकि नाभि $(2, 0) x-$अक्ष पर है इसलिए $x-$अक्ष स्वयं परवलय का अक्ष है।
अतः परवलय का समीकरण $y^2= 4ax$ या $y^2= -4ax$ के रूप में होना चाहिए क्योंकि नियता $x = -2$ है और नाभि $(2, 0)$ है, इसलिए परवलय का समीकरण $y^2 = 4ax$ के रूप में है जहाँ $a = 2.$
अतः परवलय का अभीष्ट समीकरण $y^2= 4(2)x = 8x$ है।
View full question & answer→Question 582 Marks
यदि एक परवलय का समीकरण $y^2= 8x$ है तो नाभि के निर्देशांक, अक्ष, नियता का समीकरण और नाभिलंब जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
Answerदिए समीकरण में $y^2 $ का पद है इसलिए परवलय $x-$अक्ष के परितः सममित है।
क्योंकि समीकरण में पद $x$ का गुणांक धनात्मक है इसलिए परवलय दाहिनी ओर खुलता है। दिए गए समीकरण $y^2= 4ax$, से तुलना करने पर, $a = 2$
अतः परवलय की नाभि $(2, 0)$ है और परवलय की नियता का समीकरण $x = -2$ है (आकृति)।
नाभिलंब जीवा की लंबाई $4a = 4 \times 2 = 8$ View full question & answer→Question 592 Marks
बिंदुओं $(2, -2)$, और $(3, 4)$ से होकर जाने वाले उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केंद्र रेखा $x + y = 2$ पर स्थित है।
Answerमान लीजिए कि वृत्त का समीकरण $(x - h)^2+ (y - k)^2= r^2$ है।
यह बिंदुओं $(2, -2)$ और $(3, 4)$ से जाता है। इसलिए हम पाते हैं कि
$(2 - h)^2+ (-2 - k)^2= r^2 ...(1)$
और $(3 - h)^2+ (4 - k)^2= r^2 ...(2)$
तथा वृत्त का केंद्र रेखा $x + y = 2,$ पर स्थित है,
इसलिए $h + k = 2 ...(3)$
समीकरण $(1), (2)$ व $(3)$, को हल करने पर, हम पाते हैं कि
$h = 0.7, k = 1.3$ और $r^2= 12.58$
अतः वृत्त का अभीष्ट समीकरण
$(x - 0.7)^2 + (y - 1.3)^2 = 12.58$
View full question & answer→Question 602 Marks
वृत्त $x^2+ y^2+ 8x + 10y - 8 = 0$ का केंद्र तथा त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Answerदिया गया समीकरण $(x^2+ 8x) + (y^2+ 10y) = 8$
अब कोष्ठकों को पूर्ण वर्ग बनाने पर,
$(x^2+ 8x + 16) + (y^2+ 10y + 25) = 8 + 16 + 25$
या $(x + 4)^2 + (y + 5)^2= 49$
या $[x - (-4)^2+ {y - (-5)}^2= 7^2]$
अतः वृत्त का केंद्र $(-4, -5)$व त्रिज्या $7$ इकाई है।
View full question & answer→Question 612 Marks
$15$ सेमी लंबी एक छड़ $AB$ दोनों निर्देशांक्षों के बीच में इस प्रकार रखी गई है कि उसका एक सिरा $A, x-$अक्ष पर और दूसरा सिरा $B, y-$अक्ष पर रहता है छड़ पर एक बिंदु $P(x, y)$ इस प्रकार लिया गया है कि $AP = 6$ सेमी हैं दिखाइए कि $P$ का बिंदुपथ एक दीर्घवृत्त है।
Answerमान लीजिए छड़ $AB, OX$ के साथ \theta कोण बनाती है जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। $AB$ पर बिंदु $P(x, y)$ इस प्रकार है कि $AP = 6$ सेमी है।
क्योंकि $AB = 15$ सेमी, इसलिए
$PB = 9$ सेमी
$P$ से $PQ$ और $PR$ क्रमशः $y-$अक्ष और $x-$अक्ष पर लंब डालिए।
$\triangle PBR$ से, $\cos \theta=\frac{x}{9}$
$\triangle PRA$ से, $\sin \theta=\frac{y}{6}$
क्योंकि $\cos^2 \theta + \sin^2\theta = 1$
अतः $ \left(\frac{x}{9}\right)^{2}+\left(\frac{y}{6}\right)^{2} = 1$
या $\frac{x^{2}}{81}+\frac{y^{2}}{36} = 1$
अतः $P$ का बिंदुपथ एक दीर्घवृत्त है। View full question & answer→Question 622 Marks
नाभियाँ $ (0, \pm 3)$ और शीर्षों $\left(0, \pm \frac{\sqrt{11}}{2}\right)$ वाले अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answerक्योंकि नाभियाँ y-अक्ष पर हैं, इसलिए अतिपरवलय का समीकरण $\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ के रूप में है।
क्योंकि शीर्ष $\left(0, \pm \frac{\sqrt{11}}{2}\right)$, इसलिए $a = \frac{\sqrt{11}}{2}$ और नाभियाँ $(0, \pm 3); c = 3$ और $b^2= c^2- a^2= \frac{25}{4}$
इसलिए, अतिपरवलय का समीकरण है
$\frac{y^{2}}{\left(\frac{11}{4}\right)}-\frac{x^{2}}{\left(\frac{25}{4}\right)} = 1,$ अर्थात् $100y^2 - 44x^2= 275$
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