Question 12 Marks
p का मान ज्ञात कीजिए जिससे तीन रेखाएँ 3x + y - 2 = 0, px + 2y - 3 = 0 और 2x - y - 3 = 0 एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करें।
Answerरेखाओं के समीकरण
3x + y - 2 = 0 ...(1)
px + 2y - 3 = 0 ...(2)
2x - y - 3 = 0 ...(3)
समी. (1) और समी. (3) को जोड़ने पर,
5x - 5 = 0
$\therefore$ x = 1
समीं. (1)
$\Rightarrow$ 3 + y - 2 = 0
$\Rightarrow$ y + 1 = 0
$\Rightarrow$ y = -1
अतः प्रतिच्छेद बिन्दु (1, -1) है।
$\because$ तीनों रेखाऐं एक ही बिन्दु से होकर जाती है।
$\therefore$ बिन्दु (1, -1) समी. (2) को भी सन्तुष्ट करेगा।
p $\times$ 1 + 2 $\times$ 1 - 3 = 0
p + 2 - 3 = 0
p = 1
View full question & answer→Question 22 Marks
रेखाओं x - 7y + 5 = 0 और 3x + y = 0 के प्रतिच्छेद बिंदु से खींची गई और y-अक्ष के समांतर रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answerदी गई रेखाओं के प्रतिच्छेद बिन्दु से होकर जाने वाली रेखा का समी.
(x - 7y + 5) + k(3x + y) = 0
$\Rightarrow$ (1 + 3k) x + (k - 7) y + 5 = 0 ...(1)
$\because$ यह रेखा y-अक्ष के समान्तर है।
$\therefore$ y का गुणांक = 0
k - 7 = 0
$\Rightarrow$ k = 7
समी. (1) से, (1 + 21)x + 0y + 5 = 0
$\Rightarrow$ 22x + 5 = 0
View full question & answer→Question 32 Marks
y-अक्ष पर कौन से बिंदु ऐसे हैं, जिनकी रेखा $\frac{x}{3}+\frac{y}{4}$ = 1 से दूरी 4 इकाई है।
Answerरेखा $\frac{x}{3}+\frac{y}{4}$ = 1
$\Rightarrow$ 4x + 3y - 12 = 0 ...(1)
माना y-अक्ष पर बिन्दु (0, b) हैं जिनकी रेखा (1) से दूरी 4 इकाई है।
$\left|\frac{4 \times 0+3 b-12}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}\right|$ = 4
$\frac{3 b-12}{5} =\pm$ 4
3b - 12 = $\pm$ 20
$\therefore$ 3b - 12 = 20, 3b - 12 = -20
b = $\frac{32}{3}, b=\frac{-8}{3}$
अतः y-अक्ष पर स्थित अभीष्ट बिन्दु $\left(0, \frac{32}{3}\right)$ और $\left(0, \frac{8}{3}\right)$ हैं।
View full question & answer→Question 42 Marks
रेखाओं $\sqrt{3}x + y = 1$ और $x + \sqrt{3}y = 1$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
Answer$\sqrt{3}x + y = 1$
$\Rightarrow y = - \sqrt{3}x + 1, $ ढाल $m_1 = \sqrt{3} ...(1)$
और $ x + \sqrt{3}y = 1$
$\Rightarrow y=\frac{-1}{\sqrt{3}} x+\frac{1}{\sqrt{3}}$, ढाल $m_2= \frac{-1}{\sqrt{3}} ...(2)$
$\therefore$ इन रेखाओं के बीच का कोण $\theta$
$\tan \theta=\left|\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1} m_{2}}\right|=\left|\frac{-\sqrt{3}+\frac{1}{\sqrt{3}}}{1+(-\sqrt{3})\left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right)}\right|$
$\Rightarrow \tan \theta=\left|\frac{-3+1}{\sqrt{3}(1+1)}\right|=\frac{2}{2 \sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$
$\Rightarrow \tan \theta=\frac{1}{\sqrt{3}} \therefore \theta=30^{\circ}$
View full question & answer→Question 52 Marks
रेखा x - 7y + 5 = 0 पर लंब और x-अंतः खंड 3 वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Question 62 Marks
बिंदु (-1, 1) की रेखा 12(x + 6) = 5(y - 2) से दूरी ज्ञात कीजिए।
Answerरेखा 12(x + 6) = 5(y - 2)
$\Rightarrow$ 12x + 72 = 5y - 10
$\Rightarrow$ 12x - 5y + 82 = 0 ...(1)
इस रेखा की बिन्दु (-1, 1) से दूरी
d = $\left|\frac{a x_{1}+b y_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\right|$
d = $\left|\frac{12 \times(-1)-5 \times 1+82}{\sqrt{12^{2}+(-5)^{2}}}\right|$
= $\left|\frac{-12-5+82}{\sqrt{144+25}}\right|=\frac{65}{13}$ = 5 मात्रक
View full question & answer→Question 72 Marks
$x - y = 4$ समीकरण को लंब रूप में रूपांतरित कीजिए। उनकी मूल बिंदु से लांबिक दूरी और लंब तथा धन $x-$अक्ष के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
Answer$x - y = 4$
दोनों ओर $\sqrt{(1)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$ से भाग देने पर,
$\frac{1}{\sqrt{2}} x-\frac{1}{\sqrt{2}} y =\frac{4}{\sqrt{2}}$
$\Rightarrow x \frac{1}{\sqrt{2}}+y\left(\frac{-1}{\sqrt{2}}\right)=2 \sqrt{2} ...(1)$
इस समी की तुलना $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ से करने पर
$\cos \alpha=\frac{1}{\sqrt{2}}, \sin \alpha=\frac{-1}{\sqrt{2}}, p=2 \sqrt{2}$
$\alpha, iv$ चतुर्थ चतुर्थांश में हैं।
$\alpha = -45^\circ$ या $315^\circ$
अतः लम्बरूप $x \cos (-45^\circ) + y \sin (-45^\circ) = 2\sqrt{2}$
View full question & answer→Question 82 Marks
$y - 2 = 0$ समीकरण को लंब रूप में रूपांतरित कीजिए। उनकी मूल बिंदु से लांबिक दूरी और लंब तथा धन $x-$अक्ष के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
Answer$y - 2 = 0$
$\Rightarrow y = 2$
$\Rightarrow x \cos 90^\circ + y \sin 90^\circ = 2 ...(1)$
इस समी. की तुलना $x \cos \alpha + y \sin \alpha = P$ से करने पर, $\alpha = 90^\circ, p = 2$ मात्रक
View full question & answer→Question 92 Marks
$x - \sqrt{3}y + 8 = 0$ समीकरण को लंब रूप में रूपांतरित कीजिए। उनकी मूल बिंदु से लांबिक दूरी और लंब तथा धन $x-$अक्ष के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
Answer$x - \sqrt{3}y + 8 = 0$
$\Rightarrow x - \sqrt{3}y = -8$
$\Rightarrow -x + \sqrt{3}y = 8$
दोनों ओर $\sqrt{(-1)^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3} = 2$ से भाग देने पर,
$\frac{-1}{2} x+\frac{\sqrt{3}}{2} y = 4 ...(1)$
इस समी. की तुलना लम्ब रूप $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ से करने पर,
$\cos \alpha=\frac{-1}{2}, \sin \alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$ तथा $P = 4$ मात्रक
$\therefore \alpha = 120^\circ$
इस प्रकार लम्बरूप
$x \cos 120^\circ + y \sin 120^\circ= 4$
View full question & answer→Question 102 Marks
बिंदुओं (3, 4) और (-1, 2) को मिलाने वाली रेखाखंड के लंब समद्विभाजक रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Question 112 Marks
सिद्ध कीजिए कि बिंदु $(x_1, y_1)$ से जाने वाली और रेखा $Ax + By + C = 0$ के समांतर रेखा का समीकरण $A(x - x_1) + B(y - y_1) = 0$ है।
Answerरेखा $Ax + By + C = 0$
$\Rightarrow By = -Ax - X$
$\Rightarrow y =-\frac{A}{B} x-\frac{C}{B}$
इस रेखा की ढाल $m_1= \frac{-A}{B}$
$\therefore$ इसके समान्तर रेखा की ढाल
$m_2= m_1= \frac{-A}{B}$
$\because$ समान्तर रेखा बिन्दु $(x, y)$ से होकर जाती है।
$\therefore$ इस रेखा का समी.
$y - y_1= \frac{-A}{B}(x - x_1)$
$\Rightarrow B(y - y_1) = -A(x - x_1)$
$\Rightarrow A(x - x_1) + B(y - y_1) = 0$
View full question & answer→Question 122 Marks
बिंदुओं $(h, 3)$ और $(4, 1)$ से जाने वाली रेखा, रेखा $7x - 9y - 19 = 0$ को समकोण पर प्रतिच्छेद करती है। $h$ का मान ज्ञात कीजिए।
Answerबिन्दु $(h, 3)$ और $(4, 1)$ को मिलाने वाली रेखा की ढाल $m_1= \frac{1-3}{4-h}=\frac{-2}{4-h}$ तथा रेखा तथा रेखा $7x - 9y - 19 = 0$
$\Rightarrow 9y = 7x - 19$
$\Rightarrow y=\frac{7}{9} x-\frac{19}{9}$
इस रेखा की ढाल $m_2= \frac{7}{9}$
$\because$ दोनों रेखाएं समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं।
$\therefore m_1m_2= -1$
$\Rightarrow \frac{-2}{4-h} \times \frac{7}{9} = -1$
$\Rightarrow 14 = 9(4 - h)$
$\Rightarrow 14 = 36 - 9h$
$9h = 22$
$\therefore h = \frac{22}{9}$
View full question & answer→Question 132 Marks
उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी मूल बिंदु से लांबिक दूरी 5 इकाई और लंब, धन $x-$अक्ष से $30^\circ$ का कोण बनाती है।
Answer$P = 5$ इकाई, $\alpha=30^{\circ}$
रेखा का समीकरण
$x \cos \alpha + y \sin \alpha = P$
$\Rightarrow x \cos 30^\circ+ y \sin 30^\circ= 5$
$\Rightarrow x \frac{\sqrt{3}}{2}+y \times \frac{1}{2} = 5$
$\Rightarrow x\sqrt{3} + y = 10$
View full question & answer→Question 142 Marks
रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो दिये गये प्रतिबंध को संतुष्ट करता है: बिंदुओं $(-1, 1)$ और $(2, -4)$ से जाते हुए।
Answerबिन्दुओं $A(-1, 1)$ और $B(2, -4)$
$x_1= -1, y_1= 1, x_2= 2, y_2= -4$
रेखा $AB$ का समीकरण $y - y_1= \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}(x - x_1)$
$y - 1 = \frac{-4-1}{2+1}(x + 1)$
$\Rightarrow y - 1 = \frac {-5}3(x + 1)$
$\Rightarrow 3y - 3 = -5x - 5$
$\Rightarrow 5x + 3y + 2 = 0$
View full question & answer→Question 152 Marks
रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो दिये गये प्रतिबंध को संतुष्ट करता है: मूल बिंदु से ऊपर $y-$अक्ष को $2$ इकाई की दूरी पर प्रतिच्छेद करने वाली और $x-$की धन दिशा के साथ $30^\circ$ का कोण बनाने वाली।
Answer
$m = \tan 30^\circ$
$= \frac{1}{\sqrt{3}}$
बिन्दु $B(0, 2)$ से जाने वाली रेखा का समीमरण
$y - y_1= m(x - x_1)$
$\Rightarrow y - 2 = \frac{1}{\sqrt{3}}(x - 0)$
$\Rightarrow \sqrt{3} y-2 \sqrt{3} = x$
$\Rightarrow \sqrt{3}y = x + 2\sqrt{3}$ View full question & answer→Question 162 Marks
रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो दिये गये प्रतिबंध को संतुष्ट करता है: मूल बिंदु के बांईं ओर $x-$अक्ष को $3$ इकाई की दूरी पर प्रतिच्छेद करने तथा ढाल$-2$ वाली।
Answer
$m = -2$
प्रश्नानुसार,
रेखा बिन्दु $A(-3, 0),$ जो कि मूलबिन्दु के बायी ओर स्थित होकर जाती है।
इस रेखा का समीकरण
$y - y_1= m(x - x_1)$
$\Rightarrow y - 0 = -2( x + 3)$
$\Rightarrow y = -2x - 6$
$\Rightarrow 2x + y + 6 = 0$ View full question & answer→Question 172 Marks
रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो दिये गये प्रतिबंध को संतुष्ट करता है: बिन्दु $(2, 2\sqrt{3}) $ से जाने वाली और $x-$अक्ष से $75^\circ$ के कोण पर झुकी हुई।
Answerबिन्दु $(2, 2\sqrt{3}),$ यहां $x_1= 2 $ और $y_1= 2\sqrt{3}$
ढाल $m = \tan 75^\circ= \tan (45^\circ+ 30^\circ)$
$= \frac{\tan 45^{\circ}+\tan 30^{\circ}}{1-\tan 45^{\circ} \times 30^{\circ}}$
$m = \frac{1+\frac{1}{\sqrt{3}}}{1-1 \times \frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$
$m = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} \times \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}$
$m = \frac{3+1+2 \sqrt{3}}{3-1}=\frac{4+2 \sqrt{3}}{2}$
$m = 2 + \sqrt{3}$
रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$
$\Rightarrow y - 2\sqrt{3} = (2 + \sqrt{3})(x - 2)$
View full question & answer→Question 182 Marks
रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो दिये गये प्रतिबंध को संतुष्ट करता है: ढाल $\frac{1}{2}$ और बिंदु $(-4, 3)$ से जाने वाली रेखा।
Answer$m = \frac{1}{2}$ बिन्दु $(-4, 3)$
यहां $x_1 = -4, y = 3$
बिन्दु $(-4, 3)$ से जाने वाली रेखा का समीकरण
$y - y_1= m(x - x_1)$
$\Rightarrow y - 3 = \frac{1}{2}(x+4)$
$\Rightarrow 2y - 6 = x + 4$
$\Rightarrow 2y = x + 10$
View full question & answer→Question 192 Marks
मूल बिंदु से किसी रेखा पर डाला गया लंब रेखा से बिंदु $(-2, 9)$ पर मिलता है, रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answer
$p = OP = \sqrt{(0+2)^{2}+(0-9)^{2}}=\sqrt{4+81}=\sqrt{85}$
तथा $\tan \alpha=\frac{9-0}{-2-0}=-\frac{-9}{2}$
$\therefore \sec^2 \alpha=1+\tan ^{2} \alpha=1+\frac{81}{4}=\frac{85}{4}$
$sec \alpha=-\frac{\sqrt{85}}{2} (\because \alpha,$ द्वितीय चर्तुथांश में है।$)$
$\Rightarrow \cos \alpha=\frac{-2}{\sqrt{85}}$
तथा $\sin \alpha = \tan \alpha \times \cos \alpha=\frac{-9}{2} \times \frac{-2}{\sqrt{85}}$
$= \frac{9}{\sqrt{85}}$
अतः रेखा का समी.
$x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$
$\Rightarrow x\left(\frac{-2}{\sqrt{85}}\right)+y \times \frac{9}{\sqrt{85}} =\sqrt{85}$
$\Rightarrow -2x + 9y = 85$
$\Rightarrow 2x - 9y + 85 = 0$ View full question & answer→Question 202 Marks
एक रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो निर्देशांकों से समान अंतः खंड काटती है और बिंदु (2, 3) से जाती है।
AnswerCase (i) जब अक्षों से काटे गये समान अन्तखण्ड समान चिन्ह के हों। तो रेखा का समी.
$\Rightarrow \frac{x}{a}+\frac{y}{a}$ = 1
$\Rightarrow$ x + y = a ...(1)
यह रेखा (2, 3) से होकर जाती है।
$\therefore$ 2 + 3 = a
$\Rightarrow$ a = 5
समी. (i) से, रेखा का समी. x + y = 5
Case (ii) जब अक्षों से काटे गये समान अतः खण्ड विपरीत चिन्हों के हों तो रेखा का समी.
$\Rightarrow \frac{x}{a}-\frac{y}{a}$ = 1
$\Rightarrow$ x - y = a ...(2)
यह रेखा (2, 3) से होकर जाती है।
$\therefore$ 2 - 3 = a
$\Rightarrow$ a = -1
समी (2) $\Rightarrow$ रेखा का समी.
x - y = -1
$\Rightarrow$ x - y + 1 = 0
View full question & answer→Question 212 Marks
$(-3, 5)$ से होकर जाने वाली और बिंदु $(2, 5)$ और $(-3, 6)$ से जाने वाली रेखा पर लंब रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answerबिन्दु $(2, 5)$ और $(-3, 6)$ से जाने वाली रेखा की प्रवणता $m_1= \frac{6-5}{-3-2}$
$= \frac{1}{-5}=\frac{-1}{5}$
माना इसकी लम्ब रेखा की प्रवणता $m$ है।
$\therefore m m_1 = -1$
$m \times \frac{-1}{5} = -1$
$\Rightarrow m = 5$
यह लम्ब रेखा, बिन्दु $(-3, 5)$ से होकर जाती है। इस समी.
$y - y_1= m(x - x_1)$
$\Rightarrow y - 5 = 5(x + 3)$
$\Rightarrow y - 5 = 5x + 15$
$y = 5x + 20$
View full question & answer→Question 222 Marks
$x-$अक्ष पर एक बिंदु ज्ञात कीजिए जो $(7, 6)$ और $(3, 4)$ बिंदुओं से समान दूरी पर है।
Answerमाना $x-$अक्ष पर बिन्दु $A(a, 0)$ है।
जिसकी बिन्दुओं $P(7, 6)$ और $Q(3, 4)$ से दूरिया समान हैं।
$\therefore AP = AQ$
$\Rightarrow \sqrt{(a-7)^{2}+(0-6)^{2}}=\sqrt{(a-3)^{2}+(0-4)^{2}}$
वर्ग करने पर,
$(a - 7)^2+ 36 = (a - 3)^2+ 16$
$\Rightarrow a^2-14a + 49 + 36 = a^2- 6a + 9 + 16$
$\Rightarrow -14a + 60 = -6a$
$\therefore 14a - 6a = 60$
$8a = 60$
$\therefore a = \frac{15}{2}$
अतः $A$ के निर्देशांक $\left(\frac{15}{2}, 0\right)$ हैं।
View full question & answer→Question 232 Marks
$P(x_1, y_1)$ और $Q(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए जब $PQ, x-$अक्ष के समांतर है।
Answer$P(x_1, y_1)$ और $Q(x_2, y_2)$ है।
$PQ || x-$अक्ष
$\therefore y_1= y_2$
तब $PQ = |x_2- x_1|$
View full question & answer→Question 242 Marks
$P(x_1, y_1)$ और $Q(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए जब $PQ, y-$अक्ष के समांतर है।
Answer$P(x_1, y_1)$ और $Q(x_2, y_2)$ है।
$\therefore PQ || y-$अक्ष
$\therefore x_1= x_2$
तब $PQ = |y_2- y_1|$
View full question & answer→Question 252 Marks
$2a$ भुजा के समबाहु त्रिभुज का आधार $y-$अक्ष के अनुदिश इस प्रकार है कि आधार का मध्य बिंदु मूल बिंदु पर है। त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात कीजिए।
Answer
माना समबाहु त्रिभुज का आधार $BC, y-$अक्ष पर है और इसका मध्यबिन्दु, मूलबिन्दु पर है।
$\therefore B(0, a)$ और $C(0, a)$ होंगे
$\therefore \triangle$ का शीर्ष $A$ या $A' x-$अक्ष पर है
अतः $\triangle ABC$ और $\triangle A'BC$ अभीष्ट समबाहु त्रिभुज है।
$\therefore AB = AC = BC = 2a$
$\triangle AOB$ में, पाइथागोरस प्रमेय से,
$AB^2= OA^2+ OB^2$
$(2a)^2= OA^2+ a^2$
$OA^2= 4a^2- a^2= 3a^2$
$\Rightarrow OA = a\sqrt{3}$
इसी प्रकार $OA' = a\sqrt{3}$
अतः $A$ के निर्देशांक $(a\sqrt{3}, 0)$ और $A'$ के निर्देशांक $(-a\sqrt{3}, 0)$ हैं। View full question & answer→Question 262 Marks
एक रेखा की ढाल दूसरी रेखा की ढाल का दुगुना है। यदि दोनों के बीच के कोण की स्पर्शज्या (tangent) $\frac{1}{3}$ है तो रेखाओं की ढाल ज्ञात कीजिए।
Answerमाना $m_1 = m$ और $m_2 = 2m$
इन रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ है।
तथा $\tan \theta = \frac 13 ($दिया है।$)$
$\Rightarrow \left|\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1} m_{2}}\right| = \frac 13$
$\Rightarrow \left|\frac{m-2m}{1+m \times 2m}\right| = \frac 13$
$\Rightarrow \left|\frac{-m}{1+2m^{2}}\right| = \frac 13$
$\Rightarrow \frac{m}{1+2m^{2}} = \frac 13$
$\Rightarrow 1 + 2m^2 = 3m$
$\Rightarrow 2m^2 - 3m + 1 = 0$
$\Rightarrow 2m^2 - 2m - m + 1 = 0$
$2m(m - 1) - (m - 1) = 0$
$(m - 1) - (m - 1) = 0$
$\therefore m = 1, m = \frac 12$
जब $m = 1$ तो रेखाओं की प्रवणताएं
$m_1= m = 1$
$m_2= 2m = 2$
और जब $m = \frac{1}{2}$ तो रेखाओं की प्रवणताएं
$m_1= m = \frac{1}{2}$
$m_2= 2m = 1$
View full question & answer→Question 272 Marks
कार्तीय तल में एक चतुर्भुज खींचिए जिसके शीर्ष $(-4, 5), (0, 7), (5, -5)$ और $(-4, -2)$ हैं। इसका क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।
Answer
चित्र में चतुर्भुज $ABCD$ प्रदर्शित है।
इस चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए किसी एक विकर्ण को खींचते है।
सूत्र: $\triangle$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2}{x_1(y_2- y_3) + x_2(y_3- y_1) + x_3(y_1- y_2)}$ से,
$\square ABCD$ का क्षेत्रफल $= |\triangle ABD$ का क्षेत्रफल$| + |\triangle DBC$ का क्षेत्रफल$| ...(1)$
$\triangle ABD$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2}{-4(-2 - 7) - 4(7 - 5) + 0(5 + 2)}$
$= \frac{1}{2}{36 - 8 + 0} = \frac{1}{2} \times 28$
$= 14$ वर्ग मात्रक $ ...(2)$
और $\triangle DBC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2}{0(-2 + 5) - 4(-5 - 7) + 5(7 + 2)}$
$= \frac{1}{2}{0 + 48 + 45} = \frac{93}{2}$ वर्ग मात्रक $...(3)$
$\therefore$ समीकरण $(1)$ से,
$\triangle ABCD$ का क्षेत्रफल $= 14 + \frac{93}{2}$
$= \frac{28+93}{2}=\frac{121}{2}$
$= 60\frac{1}{2}$ वर्ग मात्रक View full question & answer→Question 282 Marks
$7(-2, 3)$ से जाने वाली ढाल$-4$ की रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answerयहाँ $m = -4$ और दिया बिंदु $(x_0, y_0) = (-2, 3)$ है।
उपर्युक्त बिंदु-ढाल रूप सूत्र $(1)$ से दी रेखा का समीकरण $y - 3 = -4(x + 2)$ या $4x + y + 5 = 0,$ है जो अभीष्ट समीकरण है।
View full question & answer→Question 292 Marks
अक्षों के समांतर और (-2, 3) से जाने वाली रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answerआकृति में रेखाओं की स्थितियाँ दर्शाई गई हैं। x-अक्ष के समांतर रेखा के प्रत्येक बिंदु के y-निर्देशांक 3 हैं, इसलिए x-अक्ष के समांतर और (-2, 3) से जाने वाली रेखा का समीकरण y = 3 है। इसी प्रकार, y-अक्ष के समांतर और (-2, 3) से जाने वाली रेखा का समीकरण x = -2 है।
View full question & answer→Question 302 Marks
$(-2, 6)$ और $(4, 8)$ बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा, $(8, 12)$ और $(x, 24)$ बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा पर लंब है। $x$ का मान ज्ञात कीजिए।
Answer$(-2, 6)$ और $(4, 8)$ बिंदुओं से जाने वाली रेखा की ढाल
$m_1= \frac{8-6}{4-(-2)}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} (8, 12)$ और
$(x, 24)$ बिंदुओं से जाने वाली रेखा की ढाल
$m_2= \frac{24-12}{x-8}=\frac{12}{x-8}$ क्योंकि दोनों रेखाएँ लंब हैं इसलिए,
$m_1m_2= -1,$ जिससे प्राप्त होता है
$\frac{1}{3} \times \frac{12}{x-8} = -1 $ या $x = 4.$
View full question & answer→Question 312 Marks
दर्शाइए कि रेखाओं $y = m_1x + c_1, y = m_2x + c_2 $ और $x =0 $ से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}}{2\left|m_{1}-m_{2}\right|}$ है।
Answerदी रेखाएँ हैं
$y = m_1x + c_1$
$y = m_2x + c_2$
$x = 0$
हम जानते हैं कि रेखा $y = mx + c$ रेखा $x = 0 (y-$अक्ष$)$ को बिंदु $(0, c)$ पर मिलाती है। इसलिए रेखाओं $(1)$ से $(3)$ तक से बने त्रिभुज के दो शीर्ष $P(0, c_1)$ और $Q(0, c_2)$ हैं (आकृति)। तीसरा शीर्ष समीकरण $(1)$ और $(2)$ को हल करने पर प्राप्त होगा। $(1)$ और $(2)$ को हल करने पर, हम पाते हैं
$x = \frac{\left(c_{2}-c_{1}\right)}{\left(m_{1}-m_{2}\right)} तथा y = \frac{\left(m_{1} c_{2}-m_{2} c_{1}\right)}{\left(m_{1}-m_{2}\right)}$
इसलिए, त्रिभुज का तीसरा शीर्ष $R\left(\frac{\left(c_{2}-c_{1}\right)}{\left(m_{1}-m_{2}\right)}, \frac{\left(m_{1} c_{2}-m_{2} c_{1}\right)}{\left(m_{1}-m_{2}\right)}\right)$ है।
अब, त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \mid 0 .\left(\frac{m_{1} c_{2}-m_{2} c_{1}}{m_{1}-m_{2}}-c_{2}\right)+\frac{c_{2}-c_{1}}{m_{1}-m_{2}} + 0\left(c_{1}-\frac{m_{1} c_{2}-m_{2} c_{1}}{m_{1}-m_{2}}\right) \mid=\frac{\left(c_{2}-c_{1}\right)^{2}}{2\left|m_{1}-m_{2}\right|}$ है। View full question & answer→Question 322 Marks
कल्पना करते हुए कि सरल रेखाएँ बिंदु के लिए दर्पण की तरह कार्य करती है, बिंदु (1, 2) का रेखा x - 3y + 4 = 0 में प्रतिबिंब ज्ञात कीजिए।
Answerमान लीजिए Q(h, k) बिंदु P(1, 2) का रेखा
x - 3y + 4 = 0 ...(1)
में प्रतिबिंब है।
इसलिए, रेखा (1) रेखाखंड PQ का लंब समद्विभाजक है (आकृति)। 
अतः PQ की ढाल = 
,
जिससे $\frac{k-2}{h-1}=\frac{-1}{\frac{1}{3}}$ या 3h + k = 5 ...(2)
और PQ का मध्य बिंदु अर्थात् बिंदु $\left(\frac{h+1}{2}, \frac{k+2}{2}\right)$ समीकरण (1) को संतुष्ट करेगा जिससे
$\frac{h+1}{2}-3\left(\frac{k+2}{2}\right)$ + 4 = 0 या h - 3k = -3 ...(3)
(2) और (3) को हल करने पर, हम पाते हैं h = $\frac{6}{5}$ और k = $\frac{7}{5}$
अतः बिंदु (1, 2) का रेखा (1) में प्रतिबिंब $\left(\frac{6}{5}, \frac{7}{5}\right)$ है।
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बिंदु $P(4, 1)$ से रेखा $4x - y = 0$ की दूरी उस रेखा के अनुदिश ज्ञात कीजिए जो धन $x-$अक्ष से $135^\circ$ का कोण बनाती है।
Answerदी हुई रेखा $4x - y = 0 ...(1)$ रेखा $(1)$ की बिंदु $P(4, 1)$ से दूरी, किसी अन्य रेखा के अनुदिश, ज्ञात करने के लिए हमें दोनों रेखाओं के प्रतिच्छेद बिंदु को ज्ञात करना पड़ेगा। इसके लिए हम पहले दूसरी रेखा का समीकरण प्राप्त करेंगे (आकृति)। दूसरी रेखा की ढाल स्पर्शज्या (tangent) $135^\circ= -1$
ढाल $-1$ वाली और बिंदु $P(4, 1)$ से जाने वाली रेखा का समीकरण
$y - 1 = -1(x - 4)$ या $x + y - 5 = 0 ...(2)$
$(1)$ और $(2)$ को हल करने पर, हम $x = 1$ और $y = 4$ पाते हैं अतः दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद बिंदु $Q(1, 4)$ है। अब रेखा $(1)$ की बिंदु $(4, 1)$ से रेखा $(2)$ के अनुदिश दूरी $= P(4, 1)$ और $Q (1, 4)$
बिंदुओं के बीच की दूरी $= \sqrt{(1-4)^{2}+(4-1)^{2}}=3 \sqrt{2}$ इकाई View full question & answer→Question 342 Marks
यदि रेखाएँ 2x + y - 3 = 0, 5x + ky - 3 = 0 और 3x - y - 2 = 0 संगामी (concurrent) हैं, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
Answerतीन रेखाएँ संगामी कहलाती हैं यदि वे एक सर्वनिष्ठ बिंदु से होकर जाए अर्थात् किन्हीं दो रेखाओं का प्रतिच्छेद बिंदु तीसरी रेखा पर स्थिति हो। यहाँ दी रेखाएँ हैं:
2x + y - 3 = 0 ...(1)
5x + ky - 3 = 0 ...(2)
3x - y - 2 = 0 ...(3)
(1) और (3) को वज्र गुणन विधि से हल करने पर,
$\frac{x}{-2-3}=\frac{y}{-9+4}=\frac{1}{-2-3} $ या x = 1, y = 1
इसलिए, दो रेखाओं का प्रतिच्छेद बिंदु (1, 1) है। चूँकि उपर्युक्त तीनों रेखाएँ संगामी हैं, बिंदु (1, 1) समीकरण (2) को संतुष्ट करेगा जिससे
5$\cdot$1 + k$\cdot$1 - 3 = 0 या k = -2
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यदि दो रेखाओं के बीच का कोण $\frac{\pi}{4}$ है और एक रेखा की ढाल $\frac{1}{2}$ है तो दूसरी रेखा की ढाल ज्ञात कीजिए।
Answerहम जानते हैं कि $m_1$ और $m_2$ ढाल वाली दो रेखाओं के बीच न्यूनकोण \theta इस प्रकार है कि $\tan \theta=\left|\frac{m_{2}-m_{1}}{1+m_{1} m_{2}}\right| ...(1)$
यहाँ $m_1= \frac{1}{2}, m_2 = m$ और $\theta=\frac{\pi}{4}$
अब $(1)$ में इन मानों को रखने पर $\tan \frac{\pi}{4}=\left|\frac{m-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} m}\right|$ या $1 = \left|\frac{m-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} m}\right|$
जिससे प्राप्त होता है $\frac{m-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} m} = 1$ या $-\frac{m-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} m}= -1$
इसलिए, $m = 3$ या $m = -\frac{1}3$
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समांतर रेखाओं $3x - 4y + 7 = 0$ और $3x - 4y + 5 = 0$ के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
Answerयहाँ $A = 3, B = -4, C_1= 7$ और $C_2= 5$ इसलिए, अभीष्ट दूरी
$d = \frac{|7-5|}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}=\frac{2}{5}$
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बिंदु $(3, -5)$ की रेखा $3x - 4y - 26 = 0$ से दूरी ज्ञात कीजिए।
Answerदी हुई रेखा $3x - 4y - 26 = 0 ...(1)$
$(1)$ की तुलना रेखा के व्यापक समीकरण $Ax + By + C = 0,$ से करने पर, हम पाते हैं:
$A = 3, B = -4$ और $C = -26$
दिया हुआ बिंदु $(x_1, y_1) = (3, -5)$ है। दिए बिंदु की रेखा से दूरी
$d = \frac{\left|\mathrm{A} x_{1}+\mathrm{B} y_{1}+\mathrm{C}\right|}{\sqrt{\mathrm{A}^{2}+\mathrm{B}^{2}}}=\frac{|3.3+(-4)(-5)-26|}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}=\frac{3}{5}$ इकाई है।
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रेखा $x - 2y + 3 = 0$ पर लंब और बिंदु $(1, -2)$ से जाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answerदी हुई रेखा $x - 2y + 3 = 0$ को
$y = \frac{1}{2} x+\frac{3}{2}$ लिखा जा सकता है। $...(1)$
रेखा $(1)$ की ढाल $m_1= \frac{1}{2}$ है। इसलिए, रेखा $(1)$ के लंब रेखा की ढाल $m_2= -\frac{1}{m_{1}} = -2$ है।
ढाल $-2$ वाली और बिंदु $(1, -2)$ से जाने वाली रेखा का समीकरण $y-(-2) = -2(x - 1)$ या $y = -2x$, है, जो अभीष्ट समीकरण है।
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दर्शाइए कि दो रेखाएँ $a_1x + b_1y + c_1= 0$ और $a_2x + b_2y + c_2= 0,$ जहाँ $b_1, b_2 \neq 0$ लंब है यदि $a_1a_2+ b_1b_2= 0$
Answerदी गई रेखाएँ ऐसे लिखी जा सकती हैं
$y = -\frac{a_{1}}{b_{1}} x-\frac{c_{1}}{b_{1}} ...(1)$
और $y = -\frac{a_{2}}{b_{2}} x-\frac{c_{2}}{b_{2}} ...(2)$
रेखाओं $(1)$ और $(2)$ की ढाल क्रमशः $m_1= -\frac{a_{1}}{b_{1}}$ और $m_2= -\frac{a_{2}}{b_{2}}$ हैं।
रेखाएँ लंब होंगी, यदि $m_1 \cdot m_2= -1$, जिससे प्राप्त होता है
$\frac{a_{1}}{b_{1}} \cdot \frac{a_{2}}{b_{2}} = -1$ या $a_1a_2+ b_1b_2= 0$
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दर्शाइए कि दो रेखाएँ $a_1x + b_1y + c_1= 0$ और $a_2x + b_2y + c_2= 0,$ जहाँ $b_1, b_2 \neq 0$ समांतर हैं यदि $\frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}$
Answerदी गई रेखाएँ ऐसे लिखी जा सकती हैं
$y = -\frac{a_{1}}{b_{1}} x-\frac{c_{1}}{b_{1}} ...(1)$
और $y = -\frac{a_{2}}{b_{2}} x-\frac{c_{2}}{b_{2}} ...(2)$
रेखाओं $(1)$ और $(2)$ की ढाल क्रमशः $m_1= -\frac{a_{1}}{b_{1}}$ और $m_2= -\frac{a_{2}}{b_{2}}$ हैं।
अब, रेखाएँ समांतर होंगी, यदि $m_1 = m_2$, जिससे प्राप्त होता है$ -\frac{a_{1}}{b_{1}}=-\frac{a_{2}}{b_{2}} या \frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}$
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$y - \sqrt{3}x - 5 = 0$ और $\sqrt{3}y - x + 6 = 0 $ रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
Answerदी हुई रेखाएँ
$y - \sqrt{3}x - 5 = 0$ या $y = \sqrt{3}x + 5 ...(1)$
और $\sqrt{3}y - x + 6 = 0$ या $y = \frac 1{\sqrt{3}}x - 2\sqrt{3} ...(2)$
रेखा $(1)$ की ढाल $m_1= \sqrt{3}$ और रेखा $(2)$ की ढाल $m_2= \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
दोनों रेखाओं के बीच न्यूनकोण $($माना कि $\theta)$ इस प्रकार है
$\tan \theta=\left|\frac{m_{2}-m_{1}}{1+m_{1} m_{2}}\right| ...(3)$
$m_1 $ और $m_2 $ के मान $(3)$ में रखने पर,
$\tan \theta=\left|\frac{\frac{1}{\sqrt{3}}-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3} \times \frac{1}{\sqrt{3}}}\right|=\left|\frac{1-3}{2 \sqrt{3}}\right|=\frac{1}{\sqrt{3}}$
जिससे$ \theta = 30^\circ $ प्राप्त होता है। अतः दोनों रेखाओं के बीच कोण या तो $30^\circ $ या 1$80^\circ- 30^\circ= 150^\circ $है।
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समीकरण $\sqrt{3}x + y - 8 = 0$ को लंब रूप में रूपांतरित कीजिए और $p$ तथा $\omega$ के मान ज्ञात कीजिए।
Answerदिया समीकरण
$\sqrt{3}x + y - 8 = 0 ...(1)$
$(1)$ को $\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+(1)^{2}} = 2,$ से भाग देने पर
$\frac{\sqrt{3}}{2} x+\frac{1}{2}y = 4$ या $x \cos 30^\circ+ y \sin 30^\circ= 4 ...(2)$
$(2)$ की तुलना $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p,$ से करने पर, हम $p = 4$ और $\alpha = 30^\circ$ पाते हैं।
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एक रेखा का समीकरण 3x - 4y + 10 = 0 है। इसके x-और y-अंतः खंड ज्ञात कीजिए।
Answerसमीकरण 3x - 4y + 10 = 0 को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है
3x - 4y = -10 या $\frac{x}{-\frac{10}{3}}+\frac{y}{\frac{5}{2}}$ = 1 ...(2)
(2) की तुलना $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}$ = 1, से करने पर हम पाते हैं कि x-अंतः खंड
a = -$\frac{10}{3}$ और y-अंतः खंड b = $\frac{5}{2}$ है।
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एक रेखा का समीकरण 3x - 4y + 10 = 0 है। इसके ढाल ज्ञात कीजिए।
Answerदिया हुआ समीकरण 3x - 4y + 10 = 0 को
y = $\frac{3}{4} x+\frac{5}{2}$ ...(1)
लिखा जा सकता है। (1) की तुलना y = mx + c, से करने पर हम पाते हैं कि दी हुई रेखा की ढाल m = $\frac{3}{4}$ है।
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फारेनहाइट ताप F और परम ताम K एक रैखिक समीकरण को संतुष्ट करते हैं। दिया है कि K = 273 जब F = 32 और K = 373 जब F = 212 तो K को F के पदों में व्यक्त कीजिए और F का मान ज्ञात कीजिए जबकि K = 0.
Answerकल्पना कीजिए कि F, x-अक्ष के अनुदिश और K, y-अक्ष अनुदिश है तो XY - तल में हमें दो बिंदु (32, 273) और (212, 373) स्थित हैं। दो बिंदु रूप सूत्र से बिंदु (F, K) के द्वारा संतुष्ट होने वाला समीकरण निम्नलिखित है:
K - 273 = $\frac{373-273}{212-32}$(F - 32) या K - 273 = $\frac{100}{180}$(F - 32)
या K = $\frac 59$(F - 32) + 273
यही अभीष्ट संबंध है। जब K = 0, समीकरण (1) से,
0 = $\frac 59$(F - 32) + 273 या F - 32 = -$\frac{273 \times 9}3$ = -491.4 या F = -459.4
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रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी मूल बिंदु से लांबिक दूरी $4$ इकाई और धन $x-$अक्ष तथा लंब के बीच कोण $15^\circ$ है।
Answer
यहाँ हमें दिया है $p = 4$ और $\omega = 15^\circ ($आकृति$)$
अब, $\cos 15^{\circ}=\frac{\sqrt{3}+1}{2 \sqrt{2}}$ और
$\sin 15^{\circ}=\frac{\sqrt{3}-1}{2 \sqrt{2}}$
उपर्युक्त लंब रूप $(6)$ से रेखा का समीकरण $x \cos 15^\circ+ y \sin 15^\circ= 4$
या $\frac{\sqrt{3}+1}{2 \sqrt{2}} x+\frac{\sqrt{3}-1}{2 \sqrt{2}} y = 4$
या $(\sqrt{3}+1) x+(\sqrt{3}-1) y = 8\sqrt{2}$ है। यही अभीष्ट समीकरण है। View full question & answer→Question 472 Marks
एक रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो x- और y-अक्ष से क्रमशः -3 और 2 के अंतः खंड बनाती है।
Answerयहाँ a = -3 और b = 2 उपर्युक्त अंतः खंड रूप (5) से रेखा का समीकरण $\frac{x}{-3}+\frac{y}{2}$ = 1 या 2x - 3y + 6 = 0.
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