प्रश्नों के उत्तर लिखिए। (प्रत्येक प्रश्न 3 अंक का हे)

Question 13 Marks

50 cm $\times$ 70 cm विमाओं वाली एक आयताकार टाइल पर, आकृति में दर्शाए अनुसार एक डिज़ाइन बनाया जाता है। इस डिज़ाइन में 8 त्रिभुज हैं, जिनमें से प्रत्येक की भुजा 26 cm, 17 cm और 25 cm की हैं। डिज़ाइन का पूर्ण क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए तथा टाइल के शेष भाग का क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।

Answer

दिया गया है, विमाओं वाली एक आयताकार टाइल पर एक डिज़ाइन बनाया गया है 50 cm $\times$ 70 cm
$\therefore$ आयताकार टाइल का क्षेत्रफल = 50 $\times 70 = 3500 cm^2$
एक त्रिभुज की एक डिज़ाइन की भुजाएँ a = 25 cm, b = 17 cm और c = 26 cm हैं।
अब, अर्ध-परिधि, s = $\frac{a+b+c}{2}$
$=\frac{25+17+26}{2}=\frac{68}{2}$ = 34 cm
$\therefore$ $\triangle$ABC का क्षेत्रफल = $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ [हीरोन का सूत्र द्वारा]
$=\sqrt{34(34-25)(34-17)(34-26)}=\sqrt{34 \times 9 \times 17 \times 8}$
$=\sqrt{17 \times 2 \times 3 \times 3 \times 17 \times 2 \times 2 \times 2}$
= 17 $\times$ 3 $\times$ 2 $\times$ 2
$= 204 cm^2$
$\therefore$ आठ त्रिभुजों का कुल क्षेत्रफल = 204 $\times$ $8 = 1632 cm^2$
डिजाइन 8 त्रिकोण दिखाता है।
डिजाइन का क्षेत्रफल = आठ त्रिभुजों का कुल क्षेत्रफल $= 1632 cm^2$
और, टाइल का शेष क्षेत्रफल = आयत का क्षेत्रफल - डिजाइन का क्षेत्रफल
$= 3500 cm^2- 1632 cm^2$
$= 1868 cm^2$
इसलिए, डिजाइन का कुल क्षेत्रफल $1632 cm^2$ है और टाइल का शेष क्षेत्रफल $1868 cm^2$ है।

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Question 23 Marks

एक आयत ABCD की विमाएँ 51 cm $\times$ 25 cm हैं। इस आयत में से एक समलंब PQCD काटा जाता है, जिसकी समांतर भुजाएँ QC और PD हैं और ये 9 : 8 के अनुपात में हैं, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। यदि समलंब PQCD का क्षेत्रफल आयत के क्षेत्रफल का $\frac{5}{6}$ भाग है, तो QC और PD की लंबाइयाँ ज्ञात कीजिए।

Answer

आयत ABCD का क्षेत्रफल = AB $\times$ BC = 51 $\times 25 = 1275 cm^2$
दी गई शर्त के अनुसार,
यदि समलम्ब PBCQ का क्षेत्रफल है $\frac{5}{6}$ आयत के क्षेत्रफल का भाग समलंब
PBCQ का क्षेत्रफल = $\frac{5}{6}$ $\times$ 1275 = $\frac{6375}{6} cm^2$
माना QC = 9x cm और PB = 8x cm
समलम्ब PBCQ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2}$ (QC + PB) $\times$ BC
$\Rightarrow$ $\frac{6375}{6}$ = $\frac{1}{2}$ (9x + 8x) $\times$ 25
$\Rightarrow \frac{17 x \times 25}{2}=\frac{6375}{6}$
$\Rightarrow$ x = $\frac{6375}{6} \times \frac{2}{17 \times 25}$
$\Rightarrow$ x = 5
$\therefore$ QC = 9 $\times$ 5 cm = 45 cm और PB = 8 $\times$ 5 cm = 40 cm

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Question 33 Marks

आकृति में, $\triangle$ABC की भुजाओं में AB = 7.5 cm, AC = 6.5 cm और BC = 7 cm है। आधार BC पर एक समांतर चतुर्भुज DBCE की रचना की जाती है, जो क्षेत्रफल में ABC के बराबर है। इस समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई DF ज्ञात कीजिए।

Answer

अब, पहले $\triangle$ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए
एक त्रिभुज की भुजाएँ इस प्रकार दी गई हैं,
AB = a = 7.5 cm, BC = b = 7 cm और CA = c = 6.5 cm
अब, त्रिभुज का अर्ध-परिधि,
s = $\frac{a+b+c}{2}=\frac{7.5+7+6.5}{2}=\frac{21}{2}$ = 10.5 cm
$\therefore$ $\triangle$ABC का क्षेत्रफल = $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ [हीरोन के सूत्र द्वारा]
$=\sqrt{10.5(10.5-7.5)(10.5-7)(10.5-65)}$
$=\sqrt{10.5 \times 3 \times 3.5 \times 4}=\sqrt{441} = 21 cm^2...(i)$
अब, समांतर चतुर्भुज BCED का क्षेत्रफल = आधार $\times$ ऊँचाई
= BC $\times$ DF = 7 $\times$ DF
प्रश्न के अनुसार,
$\triangle$ABC का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज BCED के क्षेत्रफल के बराबर है
$\Rightarrow$ 21 = 7 $\times$ DF [समी (i) और (ii) से]
$\Rightarrow$ DF = $\frac{21}{4}$ = 3 cm
इसलिए, समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई 3 cm है।

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Question 43 Marks

एक खेत समलंब के आकार का है, जिसकी समांतर भुजाएँ 90 m और 30 m की हैं। ये दोनों भुजाएँ तीसरी भुजा से समकोण पर मिलती हैं। चौथी भुजा की लंबाई 100 m की है। यदि $1\ m^2$ खेत की जुताई की लागत 4 रु है, तो खेत की जुताई में लगने वाली कुल लागत ज्ञात कीजिए।

Answer

दो समानांतर भुजाएँ AB = 90 cm और CD = 30 m हैं। DM $\perp$ AB
MB = AB - AM = 90 m - 30 m = 60 m
BD = 100 m

समकोण त्रिभुज DMB में, हमारे पास है $\angle$M $= 90^\circ$
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके
$ D B^2=D M^2+M B^2 $
$ D M^2=D B^2-M B^2 $
$ =(100)^2-(60)^2 $
$ D M^2=10,000-3600=6400$
$\Rightarrow$ DM = + $\sqrt{6400}$ = 80 m
$\therefore$ क्षेत्र का क्षेत्रफल ABDC जो आकार में समलम्ब है = $\frac{1}{2}$ $\times$ (समानांतर भुजाओं का योग) $\times$ ऊंचाई
$=\frac{1}{2} \times(90+30) \times 80 \mathrm{~m}^2 $
$ =\frac{1}{2} \times 120 \times 80=4800 \mathrm{~m}^2$
रु $4\ m^2$ की दर से खेत की जुताई करने का कुल खर्च = रु (4800 $\times$ 4) = रु19,200
अतः खेत की जुताई की कुल लागत रु19200 है।

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Question 53 Marks

एक मकान का निर्माण करने के लिए एक आयताकार भूखंड दिया गया, जिसकी लंबाई 40 मी है तथा सामने की चौडाई 15 मी है। नियमों के अनुसार, सामने और पीछे की ओर न्यूनतम 3 मी चौड़ी जगह तथा प्रत्येक अन्य ओर पर न्यूनतम 2 मी चौड़ी जगह छोड़नी आवश्यक है। वह अधिकतम क्षेत्र ज्ञात कीजिए जिसमें मकान का निर्माण किया जा सकता है।

Answer

आयताकार भूखंड की लंबाई = 40 मी
और भूखंड की चौड़ाई = 15 मी
चूँकि कम से कम 3 मी चौड़ी जगह आगे और पीछे 2 मी चौड़ी जगह हर दूसरी तरफ छोड़ी जानी चाहिए, इसलिए सबसे बड़ा क्षेत्र जहां घर का निर्माण किया जा सकता है।
= (40 - 2(3)] [15 - 2(2)] = 34 $\times$ 11 = 374 मी$^2$

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Question 63 Marks

एक समलंब का क्षेत्रफल 475 सेमी$^2$ है तथा ऊँचाई 19 सेमी है। इसकी समांतर भुजाओं की लंबाइयाँ ज्ञात कीजिए, यदि एक समांतर भुजा दूसरी समांतर भुजा से 4 सेमी अधिक है।

Answer

माना एक समलंब की भुजा DC = x सेमी है।

प्रश्नानुसार,
अन्य भुजा, AB = (x + 4) सेमी
हम जानते हैं कि
समलंब का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2}$ (समान्तर भुजाओं का योग) $\times$ (समान्तर भुजाओं के बीच की दूरी)
$\Rightarrow$ 475 = $\frac{1}{2}$ (x + x + 4) $\times$ 19
$\Rightarrow$ 475 = $\frac{(2 x+4) \times 19}{2}$ $\Rightarrow$ x + 2 = $\frac{475}{19}$
$\Rightarrow$ x + 2 = 25
$\Rightarrow$ x = 25 - 2 = 23
$\therefore$ अन्य भुजा = x + 4 = 23 + 4 = 27 सेमी
अतः समान्तर भुजाएँ 23 सेमी तथा 27 सेमी हैं।

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Question 73 Marks

एक त्रिभुज का परिमाप 50 सेमी है। त्रिभुज की एक भुजा छोटी भुजा से 4 सेमी लंबी है तथा तीसरी भुजा छोटी भुजा के दुगुने से 6 सेमी कम है। त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer

माना त्रिभुज की छोटी भुजा की लंबाई x सेमी है।
प्रश्नानुसार, एक भुजा = छोटी भुजा + 4 = (x + 4) सेमी
तीसरी भुजा = 2 $\times$ छोटी भुजा - 6 = (2x - 6) सेमी
दिया है,
त्रिभुज का परिमाप = 50 सेमी
$\therefore$ x + x + 4 + 2x - 6 = 50
$\Rightarrow$ 4x - 2 = 50 $\Rightarrow$ 4x = 52 $\Rightarrow$ x = 13
छोटी भुजा = 13 सेमी
दूसरी भुजा = 13 + 4 = 17 सेमी
तथा तीसरी भुजा = 2 $\times$ 13 - 6 = 26 - 6 = 20 सेमी
$\therefore$ s = $\frac{13+17+20}{2}$ = 25 सेमी
$\therefore$ त्रिभुज का क्षेत्रफल = $\sqrt{25(25-13)(25-17)(25-20)}$ (हीरोन के सूत्र से)
$=\sqrt{25 \times 12 \times 8 \times 5}=\sqrt{5 \times 5 \times 2 \times 2 \times 3 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5}$
= 5 $\times$ 2 $\times$ $2 \sqrt{30}$ सेमी$^2$ = $20 \sqrt{30}$ सेमी$^2$

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Question 83 Marks

आकृति में दी हुई पतंग को बनाने के लिए प्रत्येक शेड (रंग) के कितने कागज की आवश्यकता होगी, यदि ABCD विकर्ण 44 सेमी वाला एक वर्ग है।

Answer

हम जानते हैं कि, एक वर्ग की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं।
$\Rightarrow$ AB = BC = CD = DA
$\triangle A C D$ में, विकर्ण $A C=44$ सेमी तथा $\angle D=90^{\circ}$
$\because A C^2=A D^2+D C^2$ (पाइथागोरस प्रमेय से)
$\Rightarrow 44^2=A D^2+A D^2 $
$\Rightarrow 2 A D^2=44 \times 44$
$\Rightarrow 2AD^2= 44 \times$ 44
$\Rightarrow$ AD = $\sqrt{22 \times 44}$
$\Rightarrow$ AD = $\sqrt{2 \times 11 \times 4 \times 11} \Rightarrow$ AD = $22 \sqrt{2}$ सेमी
अतः AB = BC = CD = DA = $22 \sqrt{2}$ सेमी
वर्ग ABCD का क्षेत्रफल = भुजा $\times$ भुजा = $22 \sqrt{2}$ $\times$ $22 \sqrt{2}$ = 968 सेमी$^2$
$\therefore$ लाल भाग का क्षेत्रफल = $\frac{968}{4}$ = 242 सेमी$^2$ (चूँकि वर्ग का क्षेत्रफल चार चतुर्थांशों में विभाजित होता है)
हरे भाग का क्षेत्रफल = $\frac{968}{4}$ = 242 सेमी$^2$
पीले भाग का क्षेत्रफल = $\frac{968}{2}$ = 484 सेमी$^2$
$\triangle$PCQ में, PC = 20 सेमी, CQ = 20 सेमी तथा PQ = 14 सेमी
$\therefore$ s = $\frac{20+20+14}{2}=\frac{54}{2}$ = 27 सेमी
$\triangle$PCQ का क्षेत्रफल = $\sqrt{27(27-20)(27-20)(27-14)}$ (हीरोन के सूत्र से)
= $\sqrt{27 \times 7 \times 7 \times 13}=21 \sqrt{39}$ = 21 $\times$ 6.24 = 131.04 सेमी$^2$
अतः हरे भाग का कुल क्षेत्रफल = 242 + 131.04 = 373.04 सेमी$^2$

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Question 93 Marks

यदि एक त्रिभुज की प्रत्येक भुजा दुगुनी कर दी जाती है, तो इस प्रकार बने नए त्रिभुज और प्रारंभिक त्रिभुज के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

Answer

मान लीजिए कि प्रारंभिक त्रिभुज की भुजाएँ a, b और c हैं तथा अर्धपरिमाप s है।
तब, s = $\frac{a+b+c}{2}$ है।
या, 2s = a + b + c है। ...(1)
अतः, प्रारंभिक त्रिभुज का क्षेत्रफल = $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ = $\triangle$, मान लीजिए
कथन के अनुसार, नए त्रिभुज की 2a, 2b और 2c भुजाएँ हो जाती हैं। अतः नए त्रिभुज का अर्ध-परिमाप
S = $\frac{2 a+2 b+2 c}{2}$ = a + b + c ...(2)
(1),और (2) से, हमें प्राप्त होता है कि S = 2s है। ...(3)
अतः, नए त्रिभुज का क्षेत्रफल
$=\sqrt{\mathrm{S}(\mathrm{S}-2 a)(\mathrm{S}-2 b)(\mathrm{S}-2 c)}$
$=\sqrt{2 s(2 s-2 a)(2 s-2 b)(2 s-2 c)}$
$=\sqrt{16 s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$\sqrt[4]{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ = 4$\triangle$
अतः, वाँछित अनुपात 4 : 1 है।

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गणित प्रश्नों के उत्तर लिखिए। (प्रत्येक प्रश्न 3 अंक का हे)

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