Question 15 Marks
दो बिंदुओं P$(2 \vec{a}+\vec{b})$ और Q$(\vec{a}-3 \vec{b})$ को मिलाने वाली रेखा को 1 : 2 के अनुपात मे बाह्य विभाजित करने वाले बिंदु R का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए। यह भी दर्शाइए कि बिंदु P रेखाखंड RQ का मध्य बिंदु है।
Answerदिया है कि, $\vec{OP}$ = 2$\vec{a}$ + $\vec{b}$, $\vec{OQ}$ = $\vec{a}$ - 3$\vec{b}$
यदि एक बिंदु P तथा Q से मिलाने वाली रेखा को m : n के अनुपात में बाह्य विभाजित करता है, तब बिंदु का स्थिति सदिश
होता है। यहाँ दिया हुआ है कि दो बिंदु P तथा Q को मिलाने वाली रेखाखंड एक बिंदु R को 1 : 2 के अनुपात में बाह्य विभाजन करता है। तब अत सूत्र का प्रयोग करने पर, हम पाते हैं
बिंदु R का स्थिति सदिश = $\frac{(\vec{a}-3 \vec{b}) \times 1-(2 \vec{a}+\vec{b}) \times 2}{1-2}$
= $\frac{\vec a-3 \vec b-4 \vec a-2 \vec b}{-1}$ = $\frac{-3 \vec a -5 \vec b}{-1}$ = 3$\vec{a}$ + 5$\vec{b}$
अब, RQ के मध्य-बिंदु का स्थिति सदिश
= $\frac{\vec{OQ}+\vec{OR}}{2}$ = $\frac{(3\vec{a}+5\vec{b})+(\vec{a}-\vec{b})}{2}$ = $\frac{4\vec{a}+2\vec{b}}{2}$ = 2$\vec{a}$ + $\vec{b}$
जोकि बिंदु P का भी स्थिति सदिश है।
P = 2a + b
यह दर्शाता है कि रेखाखण्ड RQ का मध्य-बिंदु P है।
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दर्शाइए कि बिंदु A(1, -2, -8), B(5, 0, -2) और C(11, 3, 7) संरेख है और B द्वारा AC को विभाजित करने वाला अनुपात ज्ञात कीजिए।
Answerदिए गऐ बिंदु A(1, -2, -8), B(5, 0, -2) तथा C(11, 3, 7) है
$\vec{AB}$ = (B का स्थिति सदिश - A का स्थिति सदिश)
= $(5 \hat{{i}}+0 \hat{{j}}-2 \hat{{k}})$ - $(\hat{{i}}-2 \hat{{j}}-8 \hat{{k}})$
= (5 - 1)$ \hat{{i}}$ + (0+2)$ \hat{{j}}$ + (-2 + 8)$ \hat{{k}}$ = $4 \hat{{i}}+2 \hat{{j}}+6 \hat{{k}}$
|$\vec{AB}$| = $\sqrt{4^{2}+2^{2}+6^{2}}$ = $\sqrt{16+4+36}$ = $\sqrt{56}$ = $2 \sqrt{14}$
$\vec{BC}$ = (C का स्थिति सदिश - B का स्थिति सदिश)
= $(11 \hat{{i}}+3 \hat{{j}}+7 \hat{{k}})$ - $(5 \hat{{i}}+0 \hat{{j}}-2 \hat{{k}})$
= (11 - 5)$ \hat{{i}}$ + (3 - 0)$ \hat{{j}}$ + (7 + 2)$ \hat{{k}}$ = $6 \hat{{i}}+3 \hat{{j}}+9 \hat{{k}}$
|$\vec{BC}$| = $\sqrt{6^{2}+3^{2}+9^{2}}$ = $\sqrt{36+9+81}$ = $\sqrt{126}$ = $3 \sqrt{14}$
$\vec{AC}$ = (C का स्थिति सदिश - A का स्थिति सदिश)
= $(11 \hat{{i}}+3 \hat{{j}}+7 \hat{{k}})$ - $(\hat{{i}}-2 \hat{{j}}-8 \hat{{k}})$
= (11 - 1)$ \hat{{i}}$ + (3 + 2)$ \hat{{j}}$ + (7 + 8)$ \hat{{k}}$ = $10 \hat{{i}}+5 \hat{{j}}+15 \hat{{k}}$
|$\vec{AC}$| = $\sqrt{10^{2}+5^{2}+15^{2}}$ = $\sqrt{100+25+225}$ = $\sqrt{350}$ = $5 \sqrt{14}$
$\therefore$ |$\vec{AC}$| = |$\vec{AB}$| + |$\vec{BC}$|
अतः दिए गए बिंदु A, B तथा C संरेख हैं।
मान लीजिए रेखा AC पर बिंदु P इस प्रकार है कि वह |AC| को $\lambda$ : 1 के अनुपात में विभक्त करता हैं, तब
P का स्थिति सदिश = 
= $\frac{1}{\lambda+1}${$\lambda(11 \hat{{i}}+3 \hat{{j}}+7 \hat{{k}})$ + 1$(\hat{{i}}-2 \hat{{j}}-8 \hat{{k}})$}
= $\left(\frac{11 \lambda+1}{\lambda+1}\right) \hat{i}$ + $\left(\frac{3 \lambda-2}{\lambda+1}\right) \hat{j}$ + $\left(\frac{7 \lambda-8}{\lambda+1}\right) \hat{k}$
बिंदु B रेखा AC पर है अर्थात् बिंदु B, A तथा C संरेख हैं।
यदि P = B($\lambda$ के एक अद्वितीय मान के लिए)
$\Rightarrow$ $\left(\frac{11 \lambda+1}{\lambda+1}\right) \hat{{i}}$ + $\left(\frac{3 \lambda-2}{\lambda+1}\right) \hat{{j}}$ + $\left(\frac{7 \lambda-8}{\lambda+1}\right) \hat{{k}}$ = $5 \hat{{i}}+0 \hat{{j}}-2 \hat{{k}}$
$\Rightarrow$ $\frac{11 \lambda+1}{\lambda+1}$ = 5, $\frac{3 \lambda-2}{\lambda+1}$ = 0 तथा $\frac{7 \lambda-8}{\lambda+1}$ = -2
$\Rightarrow$ 11$ \lambda$ + 1 = 5$ \lambda$ + 5, 3$ \lambda$ = 2, 7$ \lambda$ -8 = -2$ \lambda$ -2
$\Rightarrow$ 6$ \lambda$ = 4, $ \lambda$ = $\frac23$, 9$ \lambda$ = 6 $\Rightarrow$ $ \lambda$ = $\frac23$
अतः A, B व C बिंदु संरेख हैं तथा बिंदु B, AC को $\frac{2}{3}$ : 1 के अनुपात में अर्थात् 2 : 3 के अनुपात में विभक्त करता है।
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यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ समान परिमाणों वाले परस्पर लंबवत् सदिश हैं तो दर्शाइए कि सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ सदिशों $\vec{a}$, $\vec{b}$ तथा $\vec{c}$ के साथ बराबर झुका हुआ है।
Answerदिया है, $\vec{a} \cdot \vec{b}$ = $\vec{b} \cdot \vec{c}$ = $\vec{c} \cdot \vec{a}$ = 0 ($\because$ $\vec{a}$, $\vec{b}$ व c परस्पर लंबक्त् हैं।
यह भी दिया गया है कि |$\vec{a}$| = |$\vec{b}$| = |$\vec{c}$| (चूँकि सभी सदिशों का परिमाण बराबर है) मान लीजिए सदिश ($\vec{a}$ + $\vec{b}$ + $\vec{c}$) सदिशों $\vec{a}$, $\vec{b}$ तथा $\vec{c}$ के साथ क्रमशः $\alpha$, $\beta$ तथा $\gamma$ कोण बनाती हैं।
तब, $\cos \alpha=\frac{(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot \vec{a}}{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}| \cdot|\vec{a}|}$ = $\frac{\vec{a} \cdot \vec{a}+\vec{b} \cdot a+\vec{c} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}||\vec{a}|}$
= $\frac{\vec{a} \cdot \vec{a}+0+0}{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}||\vec{a}|}$ = $\frac{|\vec{a}|^{2}}{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}||\vec{a}|}$ ($\because$$\vec{b} \cdot \vec{c}$ = $\vec{c} \cdot \vec{a}$ = 0)
= $\frac{|\vec{a}|}{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|}$
cos $\beta$ = $\frac{(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot \vec{b}}{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}| |\vec{b}|}$ = $\frac{(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{b}+\vec{c} \cdot \vec{b})}{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}| |\vec{b}|}$
= $\frac{{\vec{b}} \cdot {\vec{b}}+0+0}{|{\vec{a}}+{\vec{b}}+{\vec{c}}||{\vec{b}}|}$ = $\frac{|{\vec{b}}|^{2}}{|{\vec{a}}+{\vec{b}}+{\vec{c}}||{\vec{b}}|}$ ($\because$ $\vec{a} \cdot \vec{b}$ = $\vec{c}$ $\cdot$ $\vec{b}$ = 0)
= $\frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|}$
$\cos \gamma$ = $\frac{(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot \vec{c}}{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}||\vec{c}|}$ = $\frac{\vec{a} \cdot \vec{c}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{c}}{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}||\vec{c}|}$
= $\frac{\vec{c} \cdot \vec{c}+0+0}{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}||\vec{c}|}$ = $\frac{|\vec{c}|^{2}}{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}||\vec{c}|}$ ($\because$ $\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{c}$ = $\vec{b}$ $\cdot$ $\vec{c}$ = 0)
= $\frac{|\vec{c}|}{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|}$
अब यदि |$\vec{a}$| = |$\vec{b}$| = |$\vec{c}$|, तब cos$ \alpha$ = cos$\beta$ = cos$ \gamma$
अतः सदिश ($\vec{a}$ + $\vec{b}$ + $\vec{c}$) $\vec{a}$, $\vec{b}$ तथा $\vec{c}$ के साथ बराबर झुके हुए हैं।
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सदिश $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ का, सदिशों $2 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k}$ और $\lambda \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$ के योगफल की दिशा में मात्रक सदिश के साथ अदिश गुणनफल 1 के बराबर है तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।
Answerमान लीजिए $\vec{a} = \hat{{i}}+\hat{{j}}+\hat{{k}}, \vec{b} = 2 \hat{{i}}+4 \hat{{j}}-5 \hat{{k}} तथा \vec{c} = \lambda \hat{{i}}+2 \hat{{j}}+3 \hat{{k}}$
अब,$ \vec{b} + \vec{c} = 2 \hat{{i}}+4 \hat{{i}}-5 \hat{{k}} + \lambda \hat{{i}}+2 \hat{{j}}+3 \hat{{k}} = (2+\lambda) \hat{{i}}+6 \hat{{j}}-2 \hat{{k}}$
$\therefore |\vec{b} + \vec{c}| = \sqrt{(2+\lambda)^{2}+(6)^{2}+(-2)^{2}} = \sqrt{4+\lambda^{2}+4 \lambda+36+4} = \sqrt{\lambda^{2}+4 \lambda+44}$
$(\vec{b} + \vec{c})$ के अनुदिश मात्रक सदिश अर्थात् $\frac{\vec{b}+\vec{c}}{|\vec{b}+\vec{c}|} = \frac{(2+\lambda) \hat{{i}}+6 \hat{{j}}-2 \hat{{k}}}{\sqrt{\lambda^{2}+4 \lambda+44}}$
उपरोक्त मात्रक सदिश का सदिश $(\hat{{i}}+\hat{{j}}+\hat{{k}})$ से अदिश गुणनफल 1 है।
$\therefore (\hat{{i}}+\hat{{j}}+\hat{{k}}) \cdot \frac{\vec{b}+\vec{c}}{|\vec{b}+\vec{c}|} = 1 \Rightarrow (\hat{{i}}+\hat{{j}}+\hat{{k}}) \cdot \frac{(2+\lambda) \hat{{i}}+6 \hat{{j}}-2 \hat{{k}}}{\sqrt{\lambda^{2}+4 \lambda+44}} = 1$
$\Rightarrow \frac{1(2+\lambda)+1(6)+1(-2)}{\sqrt{\lambda^{2}+4 \lambda+44}} = 1 \Rightarrow \frac{(2+\lambda)+6-2}{\sqrt{\lambda^{2}+4 \lambda+44}} = 1$
$\Rightarrow \lambda + 6 = \sqrt{\lambda^{2}+4 \lambda+44} \Rightarrow (\lambda+6)^{2} = \lambda^2 + 4 \lambda + 44$
$\Rightarrow \lambda^2 + 12 \lambda + 36 = \lambda^2 + 4 \lambda + 44 \Rightarrow 8 \lambda = 8 \Rightarrow \lambda = 1$
अतः $\lambda$ का मान 1 है।
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मान लीजिए $\vec{a}$ = $\hat{i}+4 \hat{j}+2 \hat{k}$, $\vec{b}$ = $3 \hat{i}-2 \hat{j}+7 \hat{k}$ और $\vec{c}$ = $2 \hat{i}-\hat{j}+4 \hat{k}$ एक ऐसा सदिश $\vec{d}$ ज्ञात कीजिए जो $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों पर लंब है और $\vec{c} \cdot \vec{d}$ = 15.
Answerएक सदिश, जो $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ सदिश के लंबवत् हैं, निश्चित रूप से $\vec{a}$ $\times$ $\vec{b}$ के समांतर होगा।
अब, $\vec{a}$ $\times$ $\vec{b}$ = $\left|\begin{array}{ccc} \hat{{i}} & \hat{{j}} & \hat{{k}} \\ 1 & 4 & 2 \\ 3 & -2 & 7 \end{array}\right|$ = $\hat{{i}}(28+4)-\hat{{j}}(7-6)$ + $\hat{{k}}(-2-12)$ = $32 \hat{{i}}-\hat{{j}}-14 \hat{{k}}$
मान लीजिए, d = $\lambda$($\vec{a}$ $\times$ $\vec{b}$) = $\lambda$$(32 \hat{{i}}-\hat{{j}}-14 \hat{{k}})$
तथा $\vec{c}\cdot \vec{d}$ = 15 $\Rightarrow$ $(2 \hat{{i}}-\hat{{j}}+4 \hat{{k}})$ $\cdot$ $\lambda$$(32 \hat{{i}}-\hat{{j}}-14 \hat{{k}})$ = 15
$\Rightarrow$ 2 $\times$ (32$\lambda$) + (-1) $\times$ (-$\lambda$) + 4 $\times$ (-14$\lambda$) = 15
$\Rightarrow$ 64$\lambda$ + $\lambda$ - 56$\lambda$ = 15 $\Rightarrow$ 9$\lambda$ = 15 $\Rightarrow$ $\lambda$ = $\frac{15}{9}$ = $\frac53$
$\therefore$ अभीष्ट सदिश, d = $\frac{5}{3}$$(32 \hat{{i}}-\hat{{j}}-14 \hat{{k}})$
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एक समांतर चतुर्भुज की संलग्न भुजाएँ $2 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}$ और $\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}$ हैं। इसके विकर्ण के समांतर एक मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए। इसका क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।
Answerएक समांतर चतुर्भुज की सलंग्न भुजाएँ इस प्रकार दी गई है कि, $\vec{a}$ = $2 \hat{{i}}-4 \hat{{j}}+5 \hat{{k}}$ तथा $\vec{b}$ = $\hat{{i}}-2 \hat{{j}}-3 \hat{{k}}$ तब समांतर चतुर्भुज का विकर्ण, $\vec{v}$ = $\vec{a}+\vec{b}$
$\because$ चित्र से यह स्पष्ट है कि समांतर चतुर्भुज की संलग्न भुजाओं का परिणामी, इसके विकर्ण द्वारा प्रदर्शित है।
$\therefore$ $\vec{v}$ = $2 \hat{{i}}-4 \hat{{j}}+5 \hat{{k}}$ + $\hat{{i}}-2 \hat{{j}}-3 \hat{{k}}$ = $(2+1) \hat{{i}}+(-4-2) \hat{{j}}+(5-3) \hat{{k}}$ = $3 \hat{{i}}-6 \hat{{j}}+2 \hat{{k}}$
उपरोक्त की तुलना $\vec{X}$ = $x \hat{{i}}+y \hat{{j}}+z \hat{{k}}$ से करने पर हम प्राप्त करते हैं,
x = 3, y = -6, z = 2
$\therefore$ |$\vec{v}$| = $\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ = $\sqrt{(3)^{2}+(-6)^{2}+(2)^{2}}$ = $\sqrt{9+36+4}$ = $\sqrt{49}$ = 7
अतः विकर्ण के समांतर मात्रक सदिश = $\frac{{\vec{v}}}{|\vec{v}|}$ = $\frac{3 \hat{{i}}-6 \hat{{j}}+2 \hat{{k}}}{7}$ = $\frac{3}{7} \hat{{i}}-\frac{6}{7} \hat{{j}}+\frac{2}{7} \hat{{k}}$
तथा समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल,
|$\vec{a}$ $\times$ $\vec{b}$| = $\left|\begin{array}{ccc} \hat{{i}} & \hat{{j}} & \hat{{k}} \\ 2 & -4 & 5 \\ 1 & -2 & -3 \end{array}\right|$ = |$\hat{{i}}$(12 + 10) - $\hat{{j}}$(-6 - 5) + $\hat{{k}}$(-4 + 4)|
= |$22 \hat{{i}}+11 \hat{{k}}+0 \hat{{k}}$| = $\sqrt{(22)^{2}+(11)^{2}+0^{2}}$
= $\sqrt{(11)^{2}\left(2^{2}+1^{2}\right)}$ = $11 \sqrt{5}$ वर्ग इकाई
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एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष A(1, 1, 2), B(2, 3, 5) और C(1, 5, 5) हैं।
Answerएक त्रिभुज ABC जिसके शीर्ष इस प्रकार ज्ञात हैं, A(1, 1, 2), B(2, 3, 5) तथा C(1, 5, 5) अतः पहले हम सदिश $\vec{AB}$ तथा $\vec{AC}$ को ज्ञात करेंगे।
अब, $\vec{AB}$ = (B का स्थिति सदिश - A का स्थिति सदिश)
= $(2 \hat{{i}}+3 \hat{{j}}+5 \hat{{k}})$ - $(\hat{{i}}+\hat{{j}}+2 \hat{{k}})$
= $(2-1) \hat{{i}}+(3-1) \hat{{j}}$ + $(5-2) \hat{{k}}$ = $\hat{{i}}+2 \hat{{j}}+3 \hat{{k}}$
तथा $\vec{AC}$ = (C का स्थिति सदिश - A का स्थिति सदिश)
= $(\hat{{i}}+5 \hat{{j}}+5 \hat{{k}})$ - $(\hat{{i}}+\hat{{j}}+2 \hat{{k}})$ = $(1-1) \hat{{i}}+(5-1) \hat{{j}}+(5-2) \hat{{k}}$ = $4 \hat{{j}}+3 \hat{{k}}$
$\therefore$ $\vec{AB}$ $\times$ $\vec{AC}$ = $\left|\begin{array}{ccc} \hat{{i}} & \hat{{j}} & \hat{{k}} \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 3 \end{array}\right|$ = $\hat{{i}}(6-12)$ - $\hat{{j}}(3-0)+\hat{{k}}(4-0)$ = $-6 \hat{{i}}-3 \hat{{j}}+4 \hat{{k}}$
उपरोक्त की तुलना $\vec{X}$ = $x \hat{{i}}+y \hat{{j}}+z \hat{{k}}$ से करने पर, हम x = -6, y = -3, z = 4) प्राप्त करते है
$\therefore$ |$\vec{AB}$ $\times$ $\vec{AC}$| = $\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ = $\sqrt{(-6)^{2}+(-3)^{2}+(4)^{2}}$ = $\sqrt{36+9+16}$ = $\sqrt{61}$
$\triangle$ ABC का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2}$|$\vec{AB}$ $\times$ $\vec{AC}$| = $\frac{1}{2}$ $\times$ $\sqrt{61}$ = $\frac{\sqrt{61}}{2}$ (वर्ग इकाई)
अतः $\triangle$ ABC का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{61}}{2}$ वर्ग इकाई है।
View full question & answer→Question 85 Marks
मान लीजिए सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ क्रमश: $a_{1} \hat{i}+a_{2} \hat{j}+a_{3} \hat{k}$, $b_{1} \hat{i}+b_{2} \hat{j}+b_{3} \hat{k}$, $c_{1} \hat{i}+c_{2} \hat{j}+c_{3} \hat{k}$ के रूप में दिए हुए हैं तब दर्शाइए कि $\vec{a} \times(\vec{b}+\vec{c})$ = $\vec{a} \times \vec{b}$ + $\vec{a} \times \vec{c}$
Answerदिया है, $\vec{a}$ = $a_{1} \hat{{i}}+a_{2} \hat{{j}}+a_{3} \hat{{k}}$, $\vec{b}$ = $b_{1} \hat{{i}}+b_{2} \hat{{j}}+b_{3} \hat{{k}}$
तथा $\vec{c}$ = $c_{1} \hat{\mathbf{i}}+c_{2} \hat{{j}}+c_{3} \hat{{k}}$
अब,
$\vec{b}$ + $\vec{c}$ = $\left(b_{1}+c_{1}\right) \hat{{i}}$ + $\left(b_{2}+c_{2}\right) \hat{{j}}$ + $\left(b_{3}+c_{3}\right) \hat{{k}}$
$\therefore$ $\vec{a}$ $\times$ ($\vec{b}$ + $\vec{c}$) = $\left|\begin{array}{ccc} \hat{{i}} & \hat{{j}} & \hat{{k}} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1}+c_{1} & b_{2}+c_{2} & b_{3}+c_{3} \end{array}\right|$ = $\left|\begin{array}{ccc} \hat{{i}} & \hat{{j}} & \hat{{k}} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array}\right| $ + $\left|\begin{array}{ccc} \hat{{i}} & \hat{{j}} & \hat{{k}} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right|$ ...(i) (सारणिक के गुणधर्म द्वारा)
अब, $\vec{a}$ $\times$ $\vec{b}$ = $\left|\begin{array}{lll} \hat{{i}} & \hat{{j}} & \hat{{k}} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array}\right|$ तथा $\vec{a}$ $\times$ $\vec{c}$ = $\left|\begin{array}{lll} \hat{{i}} & \hat{{j}} & \hat{{k}} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right|$
$\therefore$ ( $\vec{a}$ $\times$ $\vec{b}$) + ($\vec{a}$ $\times$ $\vec{c}$) = $\left|\begin{array}{ccc} \hat{{i}} & \hat{{j}} & \hat{{k}} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array}\right|$ + $\left|\begin{array}{ccc} \hat{{i}} & \hat{{j}} & \hat{{k}} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right|$ ...(ii)
समी. (i) तथा (ii)से, $\vec{a}$ $\times$ ($\vec{b}$ $\times$ $\vec{c}$) = $\vec{a}$ $\times$ $\vec{b}$ + $\vec{a}$ $\times$ $\vec{c}$
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यदि एक मात्रक सदिश $\vec{a}$, $\hat{i}$ के साथ $\frac{\pi}{3}$, $\hat{j}$ के साथ $\frac{\pi}{4}$ और $\hat{k}$ साथ एक न्यून कोण $\theta$ बनाता है तो $\theta$ का मान ज्ञात कीजिए और इसकी सहायता से $\vec{a}$ के घटक भी ज्ञात कीजिए।
Answerमान लीजिए a मात्रक सदिश $\hat{\mathrm{i}}, \hat{{j}}$ तथा $\hat{{k}} $ के साथ क्रमश: $\alpha, \beta$ तथा $\gamma$ कोण बनाता है
तब, $\alpha = \frac{\pi}{3}, \beta = \frac{\pi}{4}$ तथा$ \gamma = \theta ($दिया है।$)$
$\therefore \cos ^{2} \frac{\pi}{3}+\cos ^{2} \frac{\pi}{4} + \cos^2 \theta = 1 \Rightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2} + \cos^2 \theta = 1$
$\Rightarrow \frac{1}{4}+\frac{1}{2} + \cos^2 \theta = 1 \Rightarrow \cos^2 \theta = 1 - \frac{3}{4} \Rightarrow \cos^2 \theta = \frac{4-3}{4} = \frac{1}{4}$
$\Rightarrow \cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{4}} \Rightarrow \cos \theta = \pm \frac{1}{2}$
$\cos \theta = \frac12 (\cos \theta \neq -\frac{1}{2}, \because \theta$ एक न्यून कोण हैं।$)$
$\Rightarrow \theta = \cos ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \cos ^{-1}\left(\cos \frac{\pi}{3}\right)$
$\Rightarrow \theta = \frac{\pi}{3}$ तथा a के घटक $\cos \frac{\pi}{3}, \cos \frac{\pi}{4}, \cos \frac{\pi}{3}$ हैं।
$\Rightarrow \frac12, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}$
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सदिश $\vec{a}+\vec{b}$ और $\vec{a}-\vec{b}$ की लंब दिशा में मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए जहाँ $\vec{a}$ = $3 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}$ और $\vec{b}$ = $\hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}$ है।
Answerदिया गया है, $\vec{a}$ = $3 \hat{{i}}+2 \hat{{j}}+2 \hat{{k}}$ तथा $\vec{b}$= $\hat{{i}}+2 \hat{{j}}-2 \hat{{k}}$
$\therefore$ $\vec{a}$ + $\vec{b}$ = $(3 \hat{{i}}+2 \hat{{j}}+2 \hat{{k}})$ + $(\hat{{i}}+2 \hat{{j}}-2 \hat{{k}})$ = $4 \hat{{i}}+4 \hat{{j}}+0 \hat{{k}}$
तथा $\vec{a}$ - $\vec{b}$ = $(3 \hat{{i}}+2 \hat{{j}}+2 \hat{{k}})$ - $(\hat{{i}}+2 \hat{{j}}-2 \hat{{k}})$ = $2 \hat{{i}}+4 \hat{{k}}$
अब ($\vec{a}$ + $\vec{b}$) $\times$ ($\vec{a}$ - $\vec{b}$) = $\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 4 \end{array}\right|$
= $\hat{{i}}(16-0)-\hat{{j}}(16-0)$ + $\hat{{k}}$(0 - 8) = $16 \hat{{i}}-16 \hat{{j}}-8 \hat{{k}}$
$\Rightarrow$ |($\vec{a}$ + $\vec{b}$) $\times$ ($\vec{a}$ - $\vec{b}$)| = $\sqrt{(16)^{2}+(-16)^{2}+(-8)^{2}}$
= $\sqrt{256+256+64}$ = $\sqrt{576}$ = 24
सदिश $\vec{a}$ + $\vec{b}$ तथा ($\vec{a}$ - $\vec{b}$) की लंब दिशा में मात्रक सदिश इस प्रकार है
$\pm \frac{(\vec{a}+\vec{b}) \times(\vec{a}-\vec{b})}{|(\vec{a}+\vec{b}) \times(\vec{a}-\vec{b})|}$ = $\pm \frac{16 \hat{\vec{i}}-16 \hat{\vec{j}}-8 \hat{\vec{k}}}{24}$
= $\pm \frac{8(2 \hat{{i}}-2 \hat{{j}}-1 \hat{{k}})}{24}$ = $\pm \frac{1}{3}(2 \hat{{i}}-2 \hat{{j}}-\hat{{k}})$
अतः अभीष्ट सदिश $\frac{2}{3} \hat{{i}}-\frac{2}{3} \hat{{j}}-\frac{1}{3} \hat{{k}}$ या $-\frac{2}{3} \hat{{i}}+\frac{2}{3} \hat{{j}}+\frac{1}{3} \hat{{k}}$ हैं।
View full question & answer→Question 115 Marks
दर्शाइए कि दिए हुए निम्नलिखित तीन सदिशों में से प्रत्येक मात्रक सदिश है,
$\frac{1}{7}(2 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k})$, $\frac{1}{7}(3 \hat{i}-6 \hat{j}+2 \hat{k})$, $\frac{1}{7}(6 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k})$
यह भी दर्शाइए कि ये सदिश परस्पर एक दूसरे के लंबवत् हैं।
Answerमान लीजिए $\vec a$ = $\frac{1}{7}(2 \hat{{i}}+3 \hat{{j}}+6 \hat{{k}})$ = $\frac{2}{7} \hat{{i}}+\frac{3}{7} \hat{{j}}+\frac{6}{7} \hat{{k}}$
$\vec b$ = $\frac{1}{7}(3 \hat{{i}}-6 \hat{{j}}+2 \hat{{k}})$ = $\frac{3}{7} \hat{{i}}-\frac{6}{7} \hat{{j}}+\frac{2}{7} \hat{{k}}$
तथा $\vec c$ = $\frac{1}{7}(6 \hat{{i}}+6 \hat{{j}}-\hat{{k}})$ = $\frac{6}{7} \hat{{i}}+\frac{2}{7} \hat{{j}}-\frac{3}{7} \hat{{k}}$
तब $\vec a$ का परिमाण, |$\vec a$| = $\sqrt{\left(\frac{2}{7}\right)^{2}+\left(\frac{3}{7}\right)^{2}+\left(\frac{6}{7}\right)^{2}}$ = $\sqrt{\frac{49}{49}}$ = 1
$\vec b$ का परिमाण, |$\vec b$| = $\sqrt{\left(\frac{3}{7}\right)^{2}+\left(\frac{-6}{7}\right)^{2}+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}}$ = $\sqrt{\frac{49}{49}}$ = 1
तथा $\vec c$ का परिमाण, |$\vec c$| = $\sqrt{\left(\frac{6}{7}\right)^{2}+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}+\left(\frac{-3}{7}\right)^{2}}$ = $\sqrt{\frac{49}{49}}$ = 1
अतः दिए गए सदिशों में से प्रत्येक एक मात्रक सदिश है।
$\vec a$ $\cdot$ $\vec b$ = $\left(\frac{2}{7} \hat{i}+\frac{3}{7} \hat{j}+\frac{6}{7} \hat{k}\right)$ $\cdot$ $\left(\frac{3}{7} \hat{i}-\frac{6}{7} \hat{j}+\frac{2}{7} \hat{k}\right)$
= $\frac{2}{7} \times \frac{3}{7}+\frac{3}{7} \times$ $\left(\frac{-6}{7}\right)$ + $\frac{6}{7} \times \frac{2}{7}$
= $\frac{6}{49}-\frac{18}{49}+\frac{12}{49}$ = $\frac{6-18+12}{49}$ = $\frac{0}{49}$ = 0
अर्थात् सदिश $\vec a$ तथा $\vec b$ एक-दूसरे के लंबवत् है।
$\vec b$ $\cdot$ $\vec c$ = $\left(\frac{3}{7} \hat{ {i}}-\frac{6}{7} \hat{ {j}}+\frac{2}{7} \hat{{k}}\right)$ $\cdot$ $\left(\frac{6}{7} \hat{ {i}}+\frac{2}{7} \hat{ {j}}-\frac{3}{7} \hat{ {k}}\right)$ = $\frac{3}{7} \times \frac{6}{7}$ + $\left(\frac{-6}{7}\right)$ $\times \frac{2}{7}+\frac{2}{7} \times\left(\frac{-3}{7}\right)$
= $\frac{18}{49}-\frac{12}{49}-\frac{6}{49}$ = $\frac{18-12-6}{49}$ = $\frac{0}{49}$ = 0
अर्थात् सदिश $\vec b$ तथा $\vec c$ एक-दूसरे के लंबवत् है।
$\vec c$ $\cdot$ $\vec a$ = $\left(\frac{6}{7} \hat{{i}}+\frac{2}{7} \hat{{j}}-\frac{3}{7} \hat{{k}}\right)$ $\cdot$ $\left(\frac{2}{7} \hat{{i}}+\frac{3}{7} \hat{{j}}+\frac{6}{7} \hat{{k}}\right)$ = $\frac{6}{7} \times \frac{2}{7}+\frac{2}{7}$ $\times \frac{3}{7}+\left(\frac{-3}{7}\right)$ $\times \frac{6}{7} $
= $\frac{12}{49}+\frac{6}{49}-\frac{18}{49}$ = $\frac{12+6-18}{49}$ = $\frac{0}{49}$ = 0
अर्थात् सदिश $\vec c$ तथा $\vec a$ सदिश एक-दूसरे के लंबवत् हैं। अतः दिए गए तीनों सदिश एक-दूसरे के लंबवत् हैं।
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दर्शाइए कि सदिश $2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$, $\hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}$ और $3 \hat{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k}$ एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों की रचना करते हैं।
Answerमान लीजिए $\vec{A} = 2 \hat{{i}}-\hat{{j}}+\hat{{k}}, \vec{B} = \hat{{i}}-3 \hat{{j}}-5 \hat{{k}} $ तथा $\vec{C} = 3 \hat{{i}}-4 \hat{{j}}-4 \hat{{k}}$
$\therefore$ भुजा $AB = B$ का स्थिति सदिश $- A$ का स्थिति सदिश
$= (\hat{{i}}-3 \hat{{j}}-5 \hat{{k}}) - (2 \hat{{i}}-\hat{{j}}+\hat{{k}})$
$= \hat{{i}}-3 \hat{{j}}-5 \hat{{k}} - 2 \hat{{i}}+\hat{{j}}-\hat{{k}} = -\hat{{i}}-2 \hat{{j}}-6 \hat{{k}}$
$|\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^{2}+(-2)^{2}+(-6)^{2}} = \sqrt{1+4+36} = \sqrt{41}$
$\vec{BC} = C$ का स्थिति सदिश $- B$ का स्थिति सदिश
$= (3 \hat{{i}}-4 \hat{{j}}-4 \hat{{k}}) - (\hat{{i}}-3 \hat{{j}}-5 \hat{{k}})$
$= 3 \hat{{i}}-4 \hat{{j}}-4 \hat{{k}} - \hat{{i}}+3 \hat{{j}}+5 \hat{{k}} = 2 \hat{{i}}-\hat{{j}}+\hat{{k}}$
$|\vec{BC}| = \sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+1^{2}} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}$
तथा $AC = C$ का स्थिति सदिश $- A$ का स्थिति सदिश
$= (3 \hat{{i}}-4 \hat{{j}}-4 \hat{{k}}) - (2 \hat{{i}}-\hat{{j}}+\hat{{k}}) = 3 \hat{{i}}-4 \hat{{j}}-4 \hat{{k}} - 2 \hat{{i}}+\hat{{j}}-\hat{{k}} = \hat{{i}}-3 \hat{{j}}-5 \hat{{k}}$
तथा $|\vec{AC}| = \sqrt{1^{2}+(-3)^{2}+(-5)^{2}} = \sqrt{1+9+25} = \sqrt{35}$
अब, $|\vec{BC}|^2 + |\vec{AC}|^2 = 6 + 35 = 41 = |\vec{AB}|^2$
जो यह प्रदर्शित करता हैं कि $ABC$ एक समकोण त्रिभुज है।
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यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ मात्रक सदिश इस प्रकार है कि $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = \overrightarrow{0}$ तो $\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}$ का मान ज्ञात कीजिए।
Answerदिया है, $|\vec a| = |\vec b| = |\vec c| = 1$ तथा $\vec a + \vec b + \vec c = 0$
$\because (\vec a + \vec b + \vec c) \cdot (\vec a + \vec b + \vec c) = 0$
$\Rightarrow \vec a \cdot (\vec a + \vec b + \vec c) + \vec b \cdot (\vec a + \vec b + \vec c) = 0$
$\Rightarrow \vec a \cdot \vec a + \vec a \cdot \vec a + \vec a \cdot \vec a+ \vec b \cdot \vec a + \vec b \cdot \vec b + \vec b \cdot \vec c + \vec c \cdot \vec a+\vec c \cdot \vec c + \vec c \cdot \vec c = 0$
$\Rightarrow |\vec a|^{2}+|\vec b|^{2}+|\vec c|^{2} + 2(\vec a \cdot \vec b + \vec b \cdot \vec c + \vec c \cdot \vec a) = 0 (\because \vec a \cdot \vec a = |\vec a|^2$^ और $\vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a)$
$\Rightarrow 1 + 1 + 1 + 2(\vec a \cdot \vec b + \vec b \cdot \vec c + \vec c \cdot \vec a) = 0 (\because |\vec a| = |\vec b| = |\vec c| = 1)$
$\Rightarrow 3 + 2(\vec a \cdot \vec b + \vec b \cdot \vec c + \vec c \cdot \vec a) = 0 \Rightarrow \vec a \cdot \vec b + \vec b \cdot \vec c + \vec c \cdot \vec a = -\frac{3}{2}$
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दर्शाइए कि बिंदु $A, B$ और $C,$ जिनके स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a} = 3 \hat{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k} ,\vec{b} = 2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{c} = \hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}$ हैं, एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों का निर्माण करते हैं।
Answerबिंदु $A, B$ तथा $C$ के स्थिति सदिश इस प्रकार दिए गए हैं
$\vec a = 3 \hat{{i}}-4 \hat{{j}}-4 \hat{{k}}, \vec b = 2 \hat{{i}}-\hat{{j}}+\hat{{k}}$ और $\vec c = \hat{{i}}-3 \hat{{j}}-5 \hat{{k}}$
अब, $\vec {AB} = \vec b - \vec a = (B$ का स्थिति सदिश $-A$ का स्थिति सदिश$)$
$\Rightarrow \vec b - \vec a = [(2 \hat{{i}}-\hat{{j}}+\hat{{k}}) - (3 \hat{{i}}-4 \hat{{j}}-4 \hat{{k}})] = -\hat{{i}}+3 \hat{{j}}+5 \hat{{k}}$
उपरोक्त की $\vec X = x \hat{{i}}+y \hat{{j}}+z \hat{{k}},$ से तुलना करने पर,
$x = -1, y = 3, z = 5$
$\therefore AB$ का परिमाण, $|\vec {AB}| = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} = \sqrt{(-1)^{2}+(3)^{2}+(5)^{2}}$
$\therefore |\vec {AB}|^2 = 35$
इसी प्रकार, $\vec {BC} = \vec c - \vec b = (C$ का स्थिति सदिश $-B$ का स्थिति सदिश$)$
$\Rightarrow \vec c - \vec b = (\hat{{i}}-3 \hat{{j}}-5 \hat{{k}}) - (2 \hat{{i}}-\hat{{j}}+\hat{{k}}) = -\hat{{i}}-2 \hat{{j}}-6 \hat{{k}}$
इसी प्रकार, $|\vec {BC}| = \sqrt{(-1)^{2}+(-2)^{2}+(-6)^{2}} \Rightarrow |\vec {BC}|^2 = 41$
तथा $\vec {CA} = \vec a - \vec c = (A$ का स्थिति सदिश $-C$ का स्थिति सदिश$)$
$\Rightarrow \vec a - \vec c = (3 \hat{{i}}-4 \hat{{j}}-4 \hat{{k}}) - (\hat{{i}}-3 \hat{{j}}-5 \hat{{k}}) = 2 \hat{{i}}-\hat{{j}}+\hat{{k}}$
$|\vec {CA}| = \sqrt{(2)^{2}+(-1)^{2}+(1)^{2}} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6} \Rightarrow |CA|^2 = 6$
अब, हम ज्ञात करते हैं। $|\vec {AB}|^2 + |\vec {CA}|^2 = 35 + 6 = 41 = |\vec {BC}|^2$
अत: $\triangle ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसका $\angle A$ एक समकोण है।
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