प्रश्नों के उत्तर लिखिए। (प्रत्येक प्रश्न 2 अंक का हे)

Question 12 Marks

एक समांतर चतुर्भुज ABCD की सम्मुख भुजाओं AB और CD पर क्रमशः बिंदु P और Q इस प्रकार लिए गए हैं कि AP = CQ है (आकृति)। दर्शाइए कि AC और PQ परस्पर समद्विभाजित करते हैं।

Answer

एक समांतर चतुर्भुज ABCD की विपरीत भुजाओं AB और CD पर बिंदु P और Q को इस प्रकार लिया गया है कि AP = CQ है।

(आकृति में AC और PQ, O पर प्रतिच्छेद करते हैं)
$\angle$PAO = $\angle$1, $\angle$QCO = $\angle$2, $\angle$AOP = $\angle$3, $\angle$COQ = $\angle$4, (इसे चित्र में चिह्नित करें)
$\triangle$AOP तथा $\triangle$COQ हमारे पास
AP = CQ [दिया गया है]
$\angle$1 = $\angle$2
$\angle$3 = $\angle$4
$\therefore$ $\triangle A O P \cong \triangle C O Q$ [SAS सर्वांगसमता नियम द्वारा]
$\therefore$ OA = OC और OP = OQ [CPCT]
इसलिए, AC और PQ एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

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Question 22 Marks

D, E और F क्रमशः एक समबाहु त्रिभुज ABC की भुजाओं BC, CA और AB के मध्य-बिंदु हैं। दर्शाइए कि $\triangle$DEF भी एक समबाहु त्रिभुज है।

Answer

दिया है, D, E और F क्रमशः भुजाओं BC, CA तथा AB के मध्य-बिन्दु हैं।
$\therefore$ EF || BC
DF || AC तथा DE || AB (मध्य-बिन्दु प्रमेय से)
साथ ही, EF = $\frac{1}{2}$BC, DE = $\frac{1}{2}$AB तथा FD = $\frac{1}{2}$AC
$\because$ $\triangle$ABC एक समबाहु त्रिभुज है।
AB = BC = CA
$\Rightarrow$ $\frac{1}{2} A B=\frac{1}{2} B C=\frac{1}{2} C A$
$\Rightarrow$ DE = EF = FD
इस प्रकार, $\triangle$DEF की सभी भुजाएँ समान हैं।
अतः
$\triangle$DEF एक समबाहु त्रिभुज है।

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Question 32 Marks

एक त्रिभुज ABC के शीर्षों A, B और C से होकर, क्रमशः भुजाओं BC, CA और AB के समांतर रेखाएँ RQ, PR और QP आकृति में दर्शाए अनुसार खींची गई हैं। दर्शाइए कि BC = $\frac{1}{2}$ QR है।

Answer

दिया है, PQ || AB तथा PR || AC तथा RQ || BC
चतुर्भुज BCAR में,
BR || CA तथा BC || RA
$\therefore$ BCAR एक समान्तर चतुर्भुज है।
$\therefore$ BC = AR ...(i)
अब, चतुर्भुज BCQA में, BC || AQ तथा A B || QC
$\therefore$ BCQA एक समान्तर चतुर्भुज है।
BC = AQ ...(ii)
समी (i) तथा (ii) को जोड़ने पर,
2BC = AR + AQ
$\Rightarrow$ 2BC = RQ
$\Rightarrow$ BC = $\frac{1}{2}$QR

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Question 42 Marks

E एक समलंब ABCD की भुजा AD का मध्य-बिंदु है, जिसमें AB || DC है। E से होकर AB के समांतर खींची गई रेखा BC को F पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि F भुजा BC का मध्य-बिंदु है।

Answer

दिया है, ABCD एक समलंब चतुर्भुज है, जिसमें
AB || DC
विकर्ण AC को मिलाया जो EF को बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करता है।
$\therefore$ मध्य-बिन्दु प्रमेय से, O भुजा AC का मध्य-बिन्दु है।
अब, $\triangle$CBA में, O भुजा AC का मध्य-बिन्दु है तथा OF || AB
$\therefore$ मध्य-बिन्दु प्रमेय से, F भुजा BC का मध्य-बिन्दु है।

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Question 52 Marks

समांतर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण, AC पर बिंदु E और F इस प्रकार स्थित हैं कि AE = CF है। दर्शाइए कि BFDE एक समांतर चतुर्भुज है।

Answer

BD को मिलाया, जो रेखा AC को बिन्दु O पर मिलता है। चूँकि समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
दिया है, OA = OC तथा OD = OB
अब, OA = OC तथा AE = CF
$\Rightarrow$ OA - AE = OC - CF $\Rightarrow$ OE = OF
$\therefore$ BFDE एक चतुर्भुज है, जिसके विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। अतः BFDE एक समान्तर चतुर्भुज है।

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Question 62 Marks

ABCD एक समचतुर्भुज है, जिसमें D से AB पर शीर्षलंब AB को समद्विभाजित करता है। समचतुर्भुज के कोण ज्ञात कीजिए।

Answer

आवश्यक आरेख नीचे दिखाया गया है:

$\triangle$APD तथा $\triangle$BPD से,
AP = BP ... [दिया गया]
तो, सर्वांगसमता के SAS मानदंड से, हमारे पास है
$\Delta A P D \cong \triangle B P D$
$\therefore$ $\angle A=\angle 3$ ...[CPCT]
परंतु, $\angle 3=\angle 4$ ...[$\because$ विकर्ण समचतुर्भुज के सम्मुख कोणों को समद्विभाजित करते हैं]
$\Rightarrow \angle A=\angle 3=\angle 4$ ...(i)
अब, AD || BC
इसलिए, $\angle A+\angle A B C=180^{\circ}$ [$\because$ लगातार आंतरिक कोणों का योग $180^\circ$ है]
$\Rightarrow \angle A+\angle 3+\angle 4=180^{\circ}$
$\Rightarrow \angle A+\angle A+\angle A=180^{\circ}$ [(i) का उपयोग करके]
$\Rightarrow 3 \angle A=180^{\circ}$
$\Rightarrow \angle A=\frac{180^{\circ}}{3}=60^{\circ}$
अभी, $\angle A B C=\angle 3+\angle 4$
$=60^{\circ}+60^{\circ}$
$= 120^\circ$ [$\because$ समचतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं]
$\therefore \angle A D C=\angle A B C=120^{\circ}$ [$\because$ समचतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं]

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Question 72 Marks

एक समांतर चतुर्भुज के एक अधिक कोण के शीर्ष से खींचे गए उस समांतर चतुर्भुज के दो शीर्षलंबों के बीच का कोण $60^\circ$ है। इस समांतर चतुर्भुज के सभी कोण ज्ञात कीजिए।

Answer

माना ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है, जिसमें $\angle$ADC तथा $\angle$ABC अधिक कोण हैं। अब, DE तथा DF समान्तर चतुर्भुज के दो शीर्षलंब हैं तथा जिनके बीच का कोण $60^\circ$ है।
अब, BEDF एक चतुर्भुज है, जिसमें $\angle$BED = $\angle$BFD$ = 90^\circ$
$\therefore \angle F B E=360^{\circ}-(\angle F D E+\angle B E D+\angle B F D) $
$=360^{\circ}-\left(60^{\circ}+90^{\circ}+90^{\circ}\right)=360^{\circ}-240^{\circ}$
$ \Rightarrow \angle F B E=120^{\circ}$
चूँकि $A B C D$ एक समान्तर चतुर्भुज है।
$\therefore \angle A D C=120^{\circ} $
अब, $\angle A+\angle B=180^{\circ} ($अन्तः कोणों के योग से $)$
$ \therefore \angle A=180^{\circ}-\angle B=180^{\circ}-120^{\circ}(\because \angle F B E=\angle B)$
$ \Rightarrow \angle A=60^{\circ} $
$ \angle C=\angle A=60^{\circ}$
अतः समान्तर चतुर्भुज के कोण क्रमशः $60^{\circ}, 120^{\circ}, 60^{\circ}$ तथा $120^{\circ}$ हैं।

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Question 82 Marks

ABCD एक समलंब है जिसमें AB || DC और $\angle$A = $\angle$B $= 45^\circ$ है। इस समलंब के कोण C और D ज्ञात कीजिए।

Answer

दिया है, $A B \| C D$ तथा $B C$ एक तिर्यक रेखा है।
$ \therefore \angle B+\angle C=180^{\circ}($अन्तः कोणों के योग से$)$
$ \Rightarrow \angle C=180^{\circ}-\angle B=180^{\circ}-45^{\circ} $
$ \Rightarrow \angle C=135^{\circ}$
इसी प्रकार, $\angle A+\angle D=180^{\circ}$ (अन्तः कोणों के योग से)
$\Rightarrow \angle D=180^{\circ}-45^{\circ} \Rightarrow \angle D=135^{\circ}$

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Question 92 Marks

आकृति में, समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजा BC पर एक बिंदु P इस प्रकार स्थित है कि $\angle$BAP = $\angle$DAP है। सिद्ध कीजिए कि AD = 2CD है।

Answer

उपरोक्त आकृति से हमारे पास है
$\angle B A P=\angle D A P=\frac{1}{2} \angle A$ ...(i)
चूँकि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, हमारे पास है
$\angle$A + $\angle$B$ = 180^\circ$...(ii) [$\because$ तिर्यक रेखा के एक ही तरफ के आंतरिक कोणों का योग $180^\circ$]
$\triangle$ABP, से अपने पास है
$\angle B A P+\angle B+\angle A P B$ $= 180^\circ$ (कोण योग संपत्ति)
$\frac{1}{2} \angle A+\angle A P B+\angle B=\angle A+\angle B$ [(i) और (ii) का उपयोग करना]
$\Rightarrow \angle A P B=\frac{1}{2} \angle A$ ...(iii)
(i) और (iii) से, हम प्राप्त करते हैं
$\angle$BAP = $\angle$APB
BP = AB ...(iv) [$\because$समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं। चूँकि समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं, इसलिए हमें प्राप्त होता है]
$A D=B C \Rightarrow \frac{1}{2} A D=\frac{1}{2} B C$
$\Rightarrow \frac{1}{2} A D=B P$ [$\because$ P, BC का मध्य-बिंदु है]
$\Rightarrow \frac{1}{2} A D=A B$ [$\because$ (iv) से, BP = AB]
चूँकि समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं, इसलिए हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{2} A D=C D$
$\Rightarrow$ AD = 2CD (जैसे, AB = CD)

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Question 102 Marks

एक चतुर्भुज का एक कोण $108^\circ$ है तथा अन्य तीनों कोण बराबर हैं। तीनों बराबर कोणों में से प्रत्येक को ज्ञात कीजिए।

Answer

माना प्रत्येक तीनों बराबर कोण $x^{\circ}$ के हैं।
अब, चतुर्भुज के सभी कोणों का योग $=360^{\circ}$
$ \Rightarrow 108^{\circ}+x^{\circ}+x^{\circ}+x^{\circ}=360^{\circ} $
$ \Rightarrow 3 x^{\circ}=360^{\circ}-108^{\circ} $
$ \Rightarrow x^{\circ}=\frac{252^{\circ}}{3} \Rightarrow x^{\circ}=84^{\circ}$
अतः तीनों बराबर कोणों में से प्रत्येक $84^\circ$ का है।

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Question 112 Marks

आकृति में, AX और CY क्रमशः समांतर चतुर्भुज ABCD के सम्मुख कोण A और C के समद्विभाजक हैं। दर्शाइए कि AX || CY है।

Answer

$\angle$A = $\angle$C (समांतर चतुर्भुज ABCD के सम्मुख कोण)
अतः $\frac{1}{2} \angle \mathrm{A}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{C}$
अर्थात्, $\angle$YAX = $\angle$YCX ...(i)
साथ ही, $\angle$AYC + $\angle$YCX $= 180^\circ$ (क्योंकि YA || CX) ...(ii)
अतः $\angle$AYC + $\angle$YAX $= 180^\circ$ [(i) और (ii) से]
इसलिए, AX || CY (क्योंकि तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोण संपूरक हैं)

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Question 122 Marks

आकृति में, X और Y क्रमशः समांतर चतुर्भुज ABCD की सम्मुख भुजाओं AD और BC के मध्य-बिंदु हैं। साथ ही, BX और DY क्रमशः AC को P और Q पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि AP = PQ = QC है।

Answer

AD = BC (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ)
अतः DX = BY ($\frac{1}{2}$AD = $\frac{1}{2}$BC)
साथ ही, DX || BY (क्योंकि AD || BC)
अतः, XBYD एक समांतर चतुर्भुज है। (सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर है।)
अर्थात्, PX || QD
अतः, AP = PQ ($\triangle$AQD से, जहाँ X रेखाखंड AD का मध्य-बिंदु है) ...(i)
इसी प्रकार $\triangle$CPB से, CQ = PQ ...(ii)
इस प्रकार, AP = PQ = CQ [(i) और से]

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Question 132 Marks

किसी चतुर्भुज के कोण 3 : 4 : 4 : 7 के अनुपात में हैं। इस चतुर्भुज के सभी कोण ज्ञात कीजिए।

Answer

मान लीजिए कि चतुर्भुज के कोण 3x, 4x, 4x और 7x हैं। इसलिए,
$3 x+4 x+4 x+7 x=360^{\circ}$ या
$18 x=360^{\circ},$ अर्थात् $ x=20^{\circ}$
इस प्रकार, वाँछित कोण $ 60^{\circ}, 80^{\circ}, 80^{\circ} $ और $ 140^{\circ} $ हैं।

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गणित प्रश्नों के उत्तर लिखिए। (प्रत्येक प्रश्न 2 अंक का हे)

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