प्रश्नों के उत्तर लिखिए। (प्रत्येक प्रश्न 4 अंक का हे) - गणित कक्षा 9 Questions - Vidyadip

Questions

प्रश्नों के उत्तर लिखिए। (प्रत्येक प्रश्न 4 अंक का हे)

Take a timed test

17 questions · self-marked practice — reveal the answer and mark yourself.

Question 14 Marks

आकृति में, PQ और RS दो दर्पण हैं जो एक दूसरे के समांतर रखे गए हैं। एक आपतन किरण (incident ray) AB, दर्पण PQ से B पर टकराती है और परावर्तित किरण (reflected ray) पथ BC पर चलकर दर्पण RS से C पर टकराती है तथा पुन: CD के अनुदिश परावर्तित हो जाती है। सिद्ध कीजिए कि AB || CD है।

Answer

दो दर्पणों पर बिंदु B तथा C पर लंब खींचो।

$\angle \mathrm{LBC}=\angle \mathrm{MCB}$ ...(i) [एकान्तर कोण]
$\angle \mathrm{ABL}=\angle \mathrm{LBC}$ ...(ii) [$\because$ आपतन कोण = परावर्तित कोण]
$\angle \mathrm{MCB}=\angle \mathrm{MCD}$ ...(iii) [$\because$ आपतन कोण = परावर्तित कोण]
समीकरण (i), (ii) और (iii) से
$\angle \mathrm{LBC}+\angle \mathrm{ABL}=\angle \mathrm{MCB}+\angle \mathrm{MCD}$
$\Rightarrow \angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{BCD}$
परन्तु यह एकान्तर कोणों का एक युग्म है।
इसलिए, AB || CD

View full question & answer→

Question 24 Marks

आकृति में, यदि AB || CD, $\angleAPQ = 50^\circ$ और $\angle PRD = 127^\circ$ है, तो x और y ज्ञात कीजिए।

Answer

$x = \angle APQ = 50^\circ$ [एकान्तर कोण]
$\angle$APQ + y = $\angle PRD = 127^\circ$ [एकान्तर कोण]
$50^\circ+ y = 127^\circ$
$y = 127^\circ- 50^\circ= 77^\circ$

View full question & answer→

Question 34 Marks

आकृति में, यदि PQ || ST, $\angle PQR = 110^\circ$ और $\angle RST = 130^\circ$ है, तो $\angle$QRS ज्ञात कीजिए।

Answer

बिंदु R से लेकर ST के समांतर एक रेखा खींचिए

$ \angle \mathrm{RST}+\angle \mathrm{SRU}=180^{\circ} $ [तिर्यक रेखा के एक ही ओर बने कोण]
$ \Rightarrow 130^{\circ}+\angle \mathrm{SRU}=180^{\circ} $
$ \Rightarrow \angle \mathrm{SRU}=180^{\circ}-130^{\circ}=50^{\circ} \ldots $ (i)
$ \angle \mathrm{QRU}=\angle \mathrm{PQR}=110^{\circ}$ [एकान्तर कोण]
$ \Rightarrow \angle \mathrm{QRS}+\angle \mathrm{SRU}=110^{\circ} $
$ \Rightarrow \angle \mathrm{QRS}+50^{\circ}=110^{\circ} $[समीकरण (i) से]
$ \Rightarrow \angle \mathrm{QRS}=110^{\circ}-50^{\circ}=60^{\circ}$

View full question & answer→

Question 44 Marks

आकृति में, यदि AB || CD, EF $\perp$ CD और $\angle GED = 126^\circ$ है, तो $\angle$AGE, $\angle$GEF और $\angle$FGE ज्ञात कीजिए।

Answer

$ \angle A G E=\angle G E D=126^{\circ}$[एकान्तर कोण]
$ \angle \mathrm{GED}=126^{\circ}$
$ \Rightarrow \angle \mathrm{GEF}+\angle \mathrm{FED}=126^{\circ}$
$ \Rightarrow \angle \mathrm{GEF}+90^{\circ}=126^{\circ} [\because \mathrm{EF} \perp \mathrm{CD} \therefore \angle \mathrm{FED}=90^{\circ}.] $
$ \Rightarrow \angle \mathrm{GEF}=126^{\circ}-90^{\circ}=36^{\circ}$
$ \angle G E C+\angle G E F+\angle F E D=180^{\circ}$ [रैखिक युग्म]
$ \Rightarrow \angle \mathrm{GEC}+36^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ} $
$ \Rightarrow \angle \mathrm{GEC}+126^{\circ}=180^{\circ} $
$ \Rightarrow \angle \mathrm{GEC}=180^{\circ}-126^{\circ}=54^{\circ} $
अब,$ \angle \mathrm{FGE}=\angle \mathrm{GEC}=54^{\circ}$[एकान्तर कोण]

View full question & answer→

Question 54 Marks

आकृति में, यदि AB || CD, CD || EF और y : z = 3 : 7 है, तो x का मान ज्ञात कीजिए।

Answer

$\because$ AB || CD
CD || EF
$\therefore$ AB || EF
$\therefore$ x = z ...(i) [एकान्तर कोण]
$x+y=180^{\circ} \ldots \text { (ii) }$
समीकरण (i) और (ii) से
$z+y=180^{\circ}$
$y : z = 3 : 7$
अनुपातों का योगफल = 3 + 7 = 10
$\therefore y=\frac{3}{10} \times 180^{\circ}=54^{\circ}$
$z=\frac{7}{10} \times 180^{\circ}=126^{\circ}$
$\therefore x=z=126^{\circ}$

View full question & answer→

Question 64 Marks

आकृति में, x और y के मान ज्ञात कीजिए और फिर दर्शाइए कि AB || CD है।

Answer

$\therefore \angle{AEG}+\angle \mathrm{AEH}= 180^\circ$ [रैखिक युग्म]

$\Rightarrow 50^{\circ}+x=180^{\circ} $
$\Rightarrow x=180^{\circ}-50^{\circ}=130^{\circ} \ldots \text { (i) } $
$ y=130^{\circ} \ldots $ (ii) [शीर्षाभिमुख कोण]
समीकरण (i) और (ii) से
x = y
परन्तु ये एकान्तर कोण हैं।
अत: AB || CD

View full question & answer→

Question 74 Marks

यह दिया है कि $\angle XYZ = 64^\circ$ है और XY को बिंदु P तक बढ़ाया गया है। दी हुई सूचना से एक आकृति खींचिए। यदि किरण YQ, $\angle$ZYP को समद्विभाजित करती है, तो $\angle$XYQ और प्रतिवर्ती $\angle$QYP के मान ज्ञात कीजिए।

Answer

$\therefore \angle \mathrm{XYZ}+\angle \mathrm{ZYP} = 180^\circ$

$\Rightarrow 64^{\circ}+\angle Z Y P=180^{\circ}$
[$\because$ $\angle \mathrm{XYZ}=64^{\circ}$ (दिया है )]
$\Rightarrow \angle Z Y P= 180^\circ- 64^\circ$
$\Rightarrow \angle Z Y P= 116^\circ...(i)$
$\because \angle Z Y P$ का अर्धक YQ है।
$\therefore \angle \mathrm{PYQ}=\angle Z Y Q=\frac{1}{2} \angle Z Y P$ = $\frac{1}{2}$ $(116^\circ)$ [समीकरण (i) से]
$= 58^\circ...(ii)$
$\therefore \angle Q Y P = 360^\circ- 58^\circ= 302^\circ$
[एक बिंदु के चारों ओर के कोणों का योग $360^\circ$ होता है]
पुनः, $\angle X Y Q=\angle X Y Z+\angle Z Y Q$
$= 64^\circ+ 58^\circ$
$\because \angle \mathrm{XYZ}=64^{\circ}, \angle \mathrm{ZYQ}=58^{\circ}$
$\angle X Y Q = 122^\circ$

View full question & answer→

Question 84 Marks

आकृति में, POQ एक रेखा है। किरण OR रेखा PQ पर लम्ब है। किरणों OP और OR के बीच में OS एक अन्य किरण है। सिद्ध कीजिए:

$\angle$ROS = $\frac{1}{2}$($\angle$QOS - $\angle$POS)

Answer

$\therefore \angle \mathrm{QOR}=\angle \mathrm{POR} = 90^\circ...(i)$
$\angle \mathrm{QOS}=\angle \mathrm{QOR}+\angle \mathrm{ROS}$ ...(ii)
$\angle \mathrm{POS}=\angle \mathrm{POR}-\angle \mathrm{ROS}$ ...(iii)
समीकरण (ii) और (iii) से
$\therefore \angle \mathrm{QOS}-\angle \mathrm{POS}$ = $(\angle Q O R-\angle P O R)+2 \angle R O S=2 \angle R O S$ [$\angle \mathrm{QOR}=\angle \mathrm{POR}$]
$\Rightarrow \angle \mathrm{ROS}=\frac{1}{2}(\angle \mathrm{QOS}-\angle \mathrm{POS})$

View full question & answer→

Question 94 Marks

आकृति में, यदि x + y = w + z है, तो सिद्ध कीजिए कि AOB एक रेखा है।

Answer

x + y = w + z ...(i) [दिया है]
एक बिंदु के चारों ओर बने कोण $=360^{\circ}$
$ \therefore x+y+w+z=360^{\circ} $
$ \Rightarrow x+y+x+y=360^{\circ} $
$\Rightarrow 2(x+y)=360^{\circ}$
$\Rightarrow$ x + y = $\frac{360^o}{2}$
$\Rightarrow$ x + y = 180$
$\therefore$ AOB एक सरल रेखा है।

View full question & answer→

Question 104 Marks

आकृति में, यदि $\angle$PQR = $\angle$PRQ है, तो सिद्ध कीजिए कि $\angle$PQS = $\angle$PRT है।

Answer

आकृति में, $\angle$PQR = $\angle$PRQ
$\therefore \angle \mathrm{PQS}+\angle \mathrm{PQR} = 180^\circ...(i)$ [रैखिक कोण]
$\therefore \angle \mathrm{PRQ}+\angle \mathrm{PRT} = 180^\circ...(ii)$ [रैखिक कोण]
समीकरण (i) और (ii) से
$\angle \mathrm{PQS}+\angle \mathrm{PQR}=\angle \mathrm{PRQ}+\angle \mathrm{PRT}$
$\Rightarrow \angle \mathrm{PQR}=\angle \mathrm{PRQ}$
$\Rightarrow \angle \mathrm{PQS}=\angle \mathrm{PRT}$

View full question & answer→

Question 114 Marks

आकृति में, रेखाएँ XY और MN बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि $\angle POY = 90^\circ$ और a : b = 2 : 3 है, तो c ज्ञात कीजिए।

Answer

$\therefore \angle \mathrm{POX}+\angle \mathrm{POY} = 180^\circ$ [एक ही रेखा पर बने कोण]
$\Rightarrow \angle \mathrm{POX}+90^{\circ} = 180^\circ$
$\because$ $\angle \text { POY } = 90^\circ$
$\Rightarrow \angle \mathrm{POX} = 180^\circ - 90^\circ$
$\Rightarrow \angle \mathrm{POX} = 90^\circ$
$\Rightarrow \angle \mathrm{POM}+\angle \mathrm{XOM} = 90^\circ$
$\Rightarrow a + b = 90^\circ...(i)$
$a : 2 = 2 : 3$
$\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{2}{3}$
$\Rightarrow \frac{a}{2}=\frac{b}{3}=k$
$\Rightarrow a = 2k$
$b = 3k$
दोनों का मान समीकरण (i) में रखने पर
$2k + 3k = 90^\circ$
$\therefore a = 2k = 2(18^\circ) = 36^\circ$
$b = 3k = 3(18^\circ) = 54^\circ...(ii)$
$\therefore \angle X O M+\angle X O N = 180^\circ$ [एक ही रेखा पर बने कोण]
$\Rightarrow b + c = 180^\circ$
$\Rightarrow 54^\circ+ c = 180^\circ$
$\Rightarrow c = 180^\circ- 54^\circ$
$\Rightarrow c = 126^\circ$

View full question & answer→

Question 124 Marks

आकृति में, रेखाएँ AB और CD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि $\angle$AOC + $\angle BOE = 70^\circ$ है और $\angle BOD = 40^\circ$ है, तो $\angle$BOE और प्रतिवर्ती $\angle$COE ज्ञात कीजिए।

Answer

$ \angle \mathrm{AOC}+\angle \mathrm{BOE}=70^{\circ}$
$ \angle \mathrm{BOD}=40^{\circ} \ldots \text { (i) } $
$ \therefore \angle \mathrm{AOC}=\angle \mathrm{BOD}$ [शीर्षाभिमुख कोण]
$ \therefore \angle \mathrm{AOC}=40^{\circ} \ldots \text { (ii) }$
अब, $ \angle A O C+\angle B O E=70^{\circ}$
$ \Rightarrow 40^{\circ}+\angle \mathrm{BOE}=70^{\circ} $
$\Rightarrow \angle \mathrm{BOE}=30^{\circ} $
$ =\angle C O D+\angle B O D+\angle B O E $
$=\angle \mathrm{COD}+40^{\circ}+30^{\circ}$
समीकरण (i) और (ii) से
$\angle C O E+40^{\circ}+30^{\circ}=180^{\circ} \Rightarrow \angle C O E=110^{\circ}$
प्रतिवर्ती
$\angle C O E=360^{\circ}-110^{\circ}=-250^{\circ}$

View full question & answer→

Question 134 Marks

यदि एक तिर्यक रेखा दो रेखाओं को इस प्रकार प्रतिच्छेद करे कि संगत कोणों के एक युग्म के समद्विभाजक परस्पर समांतर हों, तो सिद्ध कीजिए कि दोनों रेखाएँ भी परस्पर समांतर होती हैं।

Answer

आकृति में, एक तिर्यक रेखा AD दो रेखाओं PQ और RS को क्रमशः बिंदुओं B और C पर प्रतिच्छेद करती है। किरण BE, $\angle$ABQ की समद्विभाजक है और किरण CG, $\angle$BCS की समद्विभाजक है तथा BE || CG है।
हमें सिद्ध करना है कि PQ || RS है।
यह दिया है कि किरण BE, $\angle$ABQ की समद्विभाजक है।
अतः, $\angle \mathrm{ABE}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{ABQ}$ ...(i)
इसी प्रकार किरण CG, $\angle$BCS की समद्विभाजक है।
अतः, $\angle \mathrm{BCG}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{BCS}$ ...(ii)
परन्तु, BE || CG है और AD एक तिर्यक रेखा है।
अतः, $\angle \mathrm{ABE}=\angle \mathrm{BCG}$ (संगत कोण अभिगृहीत) ...(iii)
(iii) में, (i) और (ii) को प्रतिस्थापित करने पर, आपको प्राप्त होगा:
$\frac{1}{2} \angle \mathrm{ABQ}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{BCS}$
अर्थात्, $\angle \mathrm{ABQ}=\angle \mathrm{BCS}$
परन्तु, ये तिर्यक रेखा AD द्वारा रेखाओं PQ और RS के साथ बनाए गए संगत कोण हैं और ये बराबर हैं।
अतः PQ || RS (संगत कोण अभिगृहीत का विलोम)

View full question & answer→

Question 144 Marks

आकृति में, यदि PQ || RS, $\angle MXQ = 135^\circ$ और $\angle MYR = 40^\circ$ है, तो $\angle$XMY ज्ञात कीजिए।

Answer

यहाँ हमें m से होकर, रेखा PQ के समांतर एक रेखा AB खींचने की आवश्यकता है, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। अब, AB || PQ और PQ || RS है।

अतः AB || RS है।
अब, $\angle$QXM + $\angle XMB = 180^\circ$(AB || PQ, तिर्यक रेखा XM के एक ही ओर के अंत: कोण)
परन्तु, $\angle QXM = 135^\circ$ है। इसलिए,
$135^\circ$+ $\angle XMB = 180^\circ$
अतः, $\angle XMB = 45^\circ...(i)$
अब, $\angle \mathrm{BMY}=\angle \mathrm{MYR}$ (AB || RS, एकांतर कोण)
अतः $\angle \mathrm{BMY} = 40^\circ...(ii)$
(i) और (ii) को जोड़ने पर, आपको प्राप्त होगा:
$\angle \mathrm{XMB}+\angle \mathrm{BMY} = 45^\circ+ 40^\circ$
अर्थात, $\angle \mathrm{XMY} = 85^\circ$

View full question & answer→

Question 154 Marks

आकृति में, OP, OQ, OR और OS चार किरणें हैं। सिद्ध कीजिए कि $\angle$POQ + $\angle$QOR + $\angle$SOR + $\angle$POS $= 360^\circ$ है।

Answer

आकृति में, आपको किरणों OP, OQ, OR और OS में से किसी एक को पीछे एक बिंदु तक बढ़ाए जाने की आवश्यकता है। आइए किरण OQ को एक बिंदु T तक पीछे बढ़ा दें ताकि TOQ एक रेखा हो (देखिए आकृति)।

अब किरण OP रेखा TOQ पर खड़ी है।
अतः, $\angle$TOP + $\angle$POQ $= 180^\circ...(i)$ (रैखिक युग्म अभिगृहीत)
इसी प्रकार, किरण OS रेखा TOQ पर खड़ी है।
अतः, $\angle$TOS + $\angle$SOQ $= 180^\circ...(ii)$
परन्तु $\angle$SOQ = $\angle$SOR + $\angle$QOR है।
अतः, (ii) निम्न हो जाती है:
$\angle$TOS + $\angle$SOR + $\angle$QOR $= 180^\circ...(iii)$
अब, (i) और (iii) को जोड़ने पर, आपको प्राप्त होगा:
$\angle$TOP + $\angle$POQ + $\angle$TOS + $\angle$SOR + $\angle$QOR = 360° ...(iv)
परन्तु $\angle$TOP + $\angle$TOS = $\angle$POS है।
अतः, (iv) निम्न हो जाती है:
$\angle$POQ + $\angle$QOR + $\angle$SOR + $\angle$POS = 360°

View full question & answer→

Question 164 Marks

आकृति में, किरण OS रेखा POQ पर खड़ी है। किरण OR और OT क्रमशः $\angle$POS और $\angle$SOQ के समद्विभाजक हैं। यदि $\angle$POS = x है, तो $\angle$ROT ज्ञात कीजिए।

Answer

किरण OS रेखा POQ पर खड़ी है।
अतः $\angle$POS + $\angle SOQ = 180^\circ$
परन्तु, $\angle POS = x$
अतः, x + $\angle SOQ = 180^\circ$
इसलिए, $\angle SOQ = 180^\circ- x$
अब किरण OR, $\angle$POS को समद्विभाजित करती है।
इसलिए, $\angle \mathrm{ROS}=\frac{1}{2} \times \angle \mathrm{POS}$
$= \frac{1}{2} \times x=\frac{x}{2}$
इसी प्रकार, $\angle \mathrm{SOT}=\frac{1}{2} \times \angle \mathrm{SOQ}$
$= \frac{1}{2} \times\left(180^{\circ}-x\right)$
$=90^{\circ}-\frac{x}{2}$
अब $\angle \mathrm{ROT}=\angle \mathrm{ROS}+\angle \mathrm{SOT}$
$= \frac{x}{2}+90^{\circ}-\frac{x}{2}$
$= 90^\circ$

View full question & answer→

Question 174 Marks

आकृति में, रेखाएँ PQ और RS परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि $\angle$POR: $\angle$ROQ = 5 : 7 है, तो सभी कोण ज्ञात कीजिए।

Answer

$\angle \mathrm{POR}+\angle \mathrm{ROQ}=180^{\circ}$ (रैखिक युग्म के कोण)
परन्तु, $\angle \mathrm{POR}: \angle \mathrm{ROQ}=5: 7$ (दिया है)
अतः, $\angle \mathrm{POR}=\frac{5}{12} \times 180^{\circ}=75^{\circ}$
इसी प्रकार, $\angle \mathrm{ROQ}=\frac{7}{12} \times 180^{\circ}=105^{\circ}$
अब $\angle P O S=\angle R O Q=105^{\circ}$ (शीर्षाभिमुख कोण)
और $\angle \mathrm{SOQ}=\angle \mathrm{POR}=75^{\circ}$ (शीर्षाभिमुख कोण)

View full question & answer→

Generate Paper Free All रेखाएँ और कोण topics