गणित प्रश्नों के उत्तर लिखिए। (प्रत्येक प्रश्न 4 अंक का हे)

1. अक्षरों की संख्या	उपनामों की संख्या	वर्ग की चौड़ाई	आयत की लंबाई
   1-4	6	3	$\frac{6}{3} \times 2$ = 4
   4-6	30	2	$\frac{30}{2} \times 2$ = 30
   6-8	44	2	$\frac{44}{2} \times 2$ = 44
   8-12	16	4	$\frac{16}{4} \times 2$ = 8
   12-20	4	8	$\frac{4}{8} \times 2$ = 1

   
2. वह वर्ग अंतराल जिसमें कुलनामों की अधिकतम संख्या है: 6-8

यहाँ, आयतों की चौड़ाई अलग-अलग है। इसलिए, हमें आयतों की लंबाई में कुछ संशोधन करने की आवश्यकता है, ताकि क्षेत्र आवृत्तियों के समानुपाती हो जाएं। न्यूनतम वर्ग आकार 1.
आयत की लंबाई (समायोजित बारंबारता) = $\frac{\text{Minimum class size}}{\text{Class size of this class}}$ $\times$ फ़्रीक्वेंसी तब दिए गए डेटा की संशोधित तालिका नीचे दिखाई गई है 

हम सब, इन लम्बाइयों से एक आयत चित्र खींच सकते हैं।

क्योंकि आयतचित्र बनाए बिना हम एक बारंबारता बहुभुज खींचना चाहते हैं, इसलिए आइए हम ऊपर दिए हुए वर्ग अंतरालों, अर्थात् 140 - 150, 150 - 160, ... के वर्ग-चिह्न ज्ञात करें। वर्ग अंतराल 140 - 150 की उपरि सीमा = 150 और निम्न सीमा = 140 है।
अतः, वर्ग-चिह्न = $\frac{150+140}{2}=\frac{290}{2}$ = 145
इसी प्रकार, हम अन्य वर्ग अंतरालों के वर्ग-चिह्न ज्ञात कर सकते हैं। इस प्रकार प्राप्त नई सारणी नीचे दिखाई गई है:

अब क्षैतिज अक्ष पर वर्ग- चिन्ह आलेखित करके, ऊर्ध्वाधर अक्ष पर बारंबारताएँ आलेखित करके और फिर बिन्दुओं B(145, 5), C(155, 10), D(165, 20), E(175, 9), F(185, 6) और G(195, 2) को आलेखित करके और उन्हें रेखाखंडों से मिलाकर हम बारंबारता बहुभुज खींच सकते हैं। हमें शून्य बारंबारता के साथ वर्ग 130 - 140 (जो निम्नतम वर्ग 140 - 150 के ठीक पहले है) के वर्ग चिह्न के संगत बिंदु A(135, 0) को और G(195, 2) के तुरन्त बाद में आने वाले बिंदु H(205, 0) को आलेखित करना भूलना नहीं चाहिए। इसलिए परिणामी बारंबारता बहुभुज ABCDEFGH होगा (देखिए आकृति)।