प्रश्नों के उत्तर लिखिए। (प्रत्येक प्रश्न 1 अंक का हे)

Question 11 Mark

औचित्य देते हुए, 10.124124... को परिमेय या अपरिमेय संख्या के रूप में वर्गीकृत कीजिए।

Answer

10.124124... एक परिमेय संख्या है।
औचित्य:
माना x = 10.124124... एक अनित्य आवर्ती दशमलव संख्या है, इसलिए इसे $\frac{p}{q}$ रूप में लिखा जा सकता है , q $\neq$ 0, p, q दोनों पूर्णांक हैं।
अतः 10.124124 परिमेय है।

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Question 21 Mark

औचित्य देते हुए, (1 + $\sqrt{5}$) - (4 + $\sqrt{5}$) को परिमेय या अपरिमेय संख्या के रूप में वर्गीकृत कीजिए।

Answer

दी गई संख्या परिमेय संख्या है।
औचित्य:
विचार करें (1 + $\sqrt{5}$) - (4 + $\sqrt{5}$) = 1 - 4 + $\sqrt{5}$ - $\sqrt{5}$
= 1 - 4
= 3, जो स्पष्ट रूप से एक परिमेय संख्या है।
इस प्रकार, (1 + $\sqrt{5}$) - (4 + $\sqrt{5}$) तर्कसंगत है।

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Question 31 Mark

औचित्य देते हुए, 0.5918 को परिमेय या अपरिमेय संख्या के रूप में वर्गीकृत कीजिए।

Answer

दी गई संख्या परिमेय संख्या है।
औचित्य:
चूंकि 0.5918 एक गैर-आवर्ती सांत दशमलव संख्या है, इसलिए इसे $\frac{p}{q}$ के रूप में लिखा जा सकता है; q $\neq$ 0, जहाँ p, q, दोनों पूर्णांक हैं।
अतः 0.5918 परिमेय है।

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Question 41 Mark

औचित्य देते हुए, $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{75}}$ को परिमेय या अपरिमेय संख्या के रूप में वर्गीकृत कीजिए।

Answer

दी गई संख्या परिमेय संख्या है।
औचित्य: $\sqrt{\frac{12}{75}}=\sqrt{\frac{3 \times 4}{3 \times 25}}$
= $\sqrt{\frac{4}{25}}=\frac{2}{5}$ (वर्गमूल लेते हुए)
जो $\frac{p}{q}$ रूप में है ; q $\neq$ 0, p, q दोनों पूर्णांक हैं।
इस प्रकार, $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{75}}$ तर्कसंगत है।

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Question 51 Mark

औचित्य देते हुए, $-\sqrt{0.4}$ को परिमेय या अपरिमेय संख्या के रूप में वर्गीकृत कीजिए।

Answer

दी गई संख्या अपरिमेय संख्या है।
औचित्य : $-\sqrt{0.4}=-\sqrt{\frac{4}{10}}$ (दिए गए व्यंजक को सरल करते हुए)
$=-\frac{2}{\sqrt{10}}$
$=-\frac{2}{\sqrt{10}} \times \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$
$=-\frac{2 \sqrt{10}}{10}$
$=-\frac{\sqrt{10}}{5}$
जो एक परिमेय संख्या का गुणनफल है $\left(\frac{-1}{5}\right)$ और एक अपरिमेय संख्या $(\sqrt{10})$, और हम जानते हैं कि परिमेय और अपरिमेय का गुणनफल एक अपरिमेय संख्या में परिणत होता है।
इस प्रकार, $-\sqrt{0.4}$ तर्कहीन है।

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Question 61 Mark

औचित्य देते हुए, $\frac{\sqrt{28}}{\sqrt{343}}$ को परिमेय या अपरिमेय संख्या के रूप में वर्गीकृत कीजिए।

Answer

$\sqrt{\frac{28}{343}}=\sqrt{\frac{7 \times 4}{49 \times 7}}$ (दिए गए व्यंजक को सरल करते हुए)
$=\sqrt{\frac{4}{49}}=\frac{2}{7}$ (वर्गमूल लेते हुए)
$\frac{p}{q}$, q $\neq$ 0, p, q दोनों पूर्णांक हैं।
इस प्रकार, $\frac{\sqrt{28}}{\sqrt{343}}$ तर्कसंगत है।

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Question 71 Mark

औचित्य देते हुए, $\sqrt{\frac{9}{27}}$ को परिमेय या अपरिमेय संख्या के रूप में वर्गीकृत कीजिए।

Answer

$\sqrt{\frac{9}{27}}=\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$
$\because$ 1 एक परिमेय संख्या है और $\sqrt{3}$ ($\neq$ 0) एक अपरिमेय संख्या है।
$\therefore$ $\frac{1}{\sqrt{3}}$ एक अपरिमेय संख्या है।
($\because$ एक अपरिमेय संख्या वाली गैर-शून्य परिमेय संख्या का भागफल अपरिमेय होता है।)
अतः, $\sqrt{\frac{9}{27}}$ अपरिमेय संख्या है।

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Question 81 Mark

औचित्य देते हुए, $3 \sqrt{18}$ को परिमेय या अपरिमेय संख्या के रूप में वर्गीकृत कीजिए।

Answer

दी गई संख्या एक अपरिमेय संख्या है।
औचित्य:
$3 \sqrt{18}=3 \sqrt{3 \times 3 \times 2}=3 \sqrt{(3)^{2} \times 2}=3 \times 3 \times \sqrt{2}=9 \sqrt{2}$
जो परिमेय और अपरिमेय का उत्पाद है। इसलिए अपरिमेय।
इस प्रकार, $3 \sqrt{18}$ तर्कहीन है।

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Question 91 Mark

औचित्य देते हुए, 1.010010001... को परिमेय या अपरिमेय संख्या के रूप में वर्गीकृत कीजिए।

Answer

दी गई संख्या अपरिमेय संख्या है।
औचित्य: चूँकि 1.010010001... एक गैर-आवर्ती दशमलव संख्या है, इसलिए इसे $\frac{p}{q}$ फॉर्म में नहीं लिखा जा सकता है, q $\neq$ 0, p, q दोनों पूर्णांक हैं।
अतः 1.010010001... अपरिमेय है।

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Question 101 Mark

औचित्य देते हुए, $\sqrt{196}$ को परिमेय या अपरिमेय संख्या के रूप में वर्गीकृत कीजिए।

Answer

$\sqrt{196}$ परिमेय संख्या है।
औचित्य:
$\sqrt{196}$
$=\sqrt{14 \times 14}$
$=\sqrt{(14)^{2}}$
= 14
इस प्रकार, $\sqrt{196}$ तर्कसंगत परिमेय संख्या है।

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Question 111 Mark

मान लीजिए कि x एक परिमेय संख्या है और y एक अपरिमेय संख्या है। क्या xy आवश्यक रूप से एक अपरिमेय संख्या है? एक उदाहरण द्वारा अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।

Answer

यहाँ x एक परिमेय संख्या है और y एक अपरिमेय संख्या है।
हाँ, xy अनिवार्य रूप से एक अपरिमेय संख्या है।
उदाहरण: मान लीजिए x = 2, जो परिमेय है।
चलो y = $\sqrt{2}$, जो तर्कहीन है।
फिर, x $\times$ y = 2 $\times$ $\sqrt{2}$ = $\sqrt{2}$ = 2.82842712474619 ... जो फिर से तर्कहीन है।
साथ ही, उस स्थिति पर विचार करें जब x = 0.
तब xy = 0, जो परिमेय है।
$\therefore$ एक परिमेय और एक अपरिमेय संख्या का गुणनफल हमेशा अपरिमेय होता है, केवल तभी जब परिमेय संख्या शून्य न हो।

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Question 121 Mark

मान लीजिए कि x और y क्रमशः परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ हैं। क्या x + y आवश्यक रूप से एक अपरिमेय संख्या है? अपने उत्तर की पुष्टि के लिए एक उदाहरण दीजिए।

Answer

यहाँ x एक परिमेय संख्या है और y एक अपरिमेय संख्या है।
हाँ, x + y अनिवार्य रूप से एक अपरिमेय संख्या है।
उदाहरण: मान लीजिए x = 2, जो परिमेय है।
चलो y = $\sqrt{2}$, जो तर्कहीन है।
अत: x + y = 2 + $\sqrt{2}$ = 3.14421356 ...जो कि अपरिमेय है।
$\therefore$ एक परिमेय और एक अपरिमेय संख्या का योग हमेशा अपरिमेय होता है।

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Question 131 Mark

एक संख्या $x$ ऐसी है कि $x^2$ अपरिमेय है परंतु $x^4$ परिमेय है। एक उदाहरण की सहायता से अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।

Answer

सत्य है।
आइए $x=\sqrt[4]{2}$ लें।
अब, $x^2=(\sqrt[4]{2})^2=\sqrt{2}$, एक अपरिमेय संख्या
$x^4=(\sqrt[4]{2})^4=2$, एक परिमेय संख्या
अतः, हमें एक संख्या $x$ ऐसी प्राप्त है कि $x^2$ अपरिमेय है तथा $x^4$ परिमेय है।

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Question 141 Mark

क्या ऐसी दो अपरिमेय संख्याएँ हैं जिनका योग और गुणनफल दोनों ही परिमेय संख्याएँ हैं? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।

Answer

हाँ,
3 + $\sqrt{2}$ और 3 - $\sqrt{2}$ दो अपरिमेय संख्याएँ हैं।
(3 + $\sqrt{2}$) + (3 - $\sqrt{2}$) = 6, एक परिमेय संख्या
(3 + $\sqrt{2}$) (3 - $\sqrt{2}$) = 7, एक परिमेय संख्या
अतः, हमें दो ऐसी परिमेय संख्याएँ प्राप्त हैं, जिनका योग और गुणनफल दोनों ही परिमेय संख्याएँ हैं।

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गणित प्रश्नों के उत्तर लिखिए। (प्रत्येक प्रश्न 1 अंक का हे)

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